EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: MÉTODOS DE SÉRIES II

Transcrição

1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: MÉTODOS DE SÉRIES II MAURICIO A. VILCHES Departamento de Anáise - IME UERJ

2 2 Copyright by Mauricio A. Viches Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcia ou tota

3 3 PREFÁCIO Nestas notas abordaremos todos os tópicos da ementa das discipinas Cácuo Diferencia e Integra IV e Compementos de Equações Diferenciais oferecidas peo Departamento de Anáise do IME-UERJ. O Voume II, é dedicado ao estudo do Método de Fourier para obter as souções das equações diferenciais parciais cássicas. As séries de Fourier, como as séries de Tayor, são casos especiais das séries de funções, estudadas anteriormente. Jean-Baptiste Fourier apresentou no ano de 822, ao mundo acadêmico, seu grande trabaho "Théorie Anaytique de a Chaeur", o qua demorou 2 anos para escrever. Esta obra teve ínicio en 87, quando apresentou a "Théorie de a propagation de a chaeur dans es soides"ao Instituto de França, que tinha aberto um concurso para escarecer as dificudades de entender as derivações das equações diferenciais que regem o fuxo do caor e o uso extensivo em sua soução das expansões trigonométricas, conhecidas hoje como série de Fourier. A banca do concurso era formada por Joseph-Louis Lagrange, Pierre-Simon Lapace e Gaspard Monge, que não gostaram do trabaho apresentado por Fourier, pois contradizia muitos conceitos da época, como o fato de se compor funções, incusive descontínuas, por séries de funções trigonométricas simpes. A banca teve fortes ressavas, pea fata de rigor matemático de Fourier. Porém, percebeu que aém destas ressavas, existiam muitas ideias novas, de grande importância para o avanço da teoria do espahamento do caor. Finamente a banca reconheceu a importância do trabho e concedeu o prêmio a Fourier. Outros grandes matemáticos, como Johann Peter Dirichet, Georg Friedrich Bernhard Riemann, Kar Weierstrass, Jean e Rond D Aambert, Simón-Denis Poisson e Georg. Cantor, contribuiram de forma exempar, para estabeecer definitivamente as séries de Fourier. Na atuaidade, as séries de Fourie, são um caminho natura para o estudo inicia das Equações Diferenciais Parciais do caor, onda e Lapace.

4 4 O capítuo dois, sobre o estudo da convergências das séries de funções pode ser podem ser revistos posteriormente, quando o eitor esteja interessado nos fundamentos matemáticos das souções da equações direnciais ordinárias e parciais. Os pré-requisitos básicos deste ivro podem ser visto em [VC], [VC2] e [NP]. Desejo agradecer de forma muito especia a minha coega professora Maria Luiza Corrêa pea eitura rigorosa dos manuscritos, aém dos inúmeros comentários e observações, os quais permitiram dar careza aos tópicos estudados. Mauricio A. Viches Rio de Janeiro

5 Conteúdo SÉRIES DE FOURIER 9. Introdução Funções Periódicas Exempo Fundamenta Ágebra Linear Funções Ortogonais Séries de Fourier Observações Básicas sobre Integrabiidade Exempos Linearidade dos Coeficientes de Fourier Funções Não Periódicas: Extensões Extensão Par Extensão Ímpar Extensão por Zeros Séries dos Co-senos Séries dos Senos Exercícios CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Continuidade por Partes Diferenciabiidade por Partes Convergências Convergência Pontua Convergência Uniforme Observações sobres os coeficientes de S[f] Fenômeno de Gibbs Integração das Séries de Fourier Derivação das Séries de Fourier Convergência em Média Apicações Exercícios

6 6 CONTEÚDO 3 PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE 3. Introdução Probemas de Contorno Probemas de Sturm-Liouvie Probemas de Sturm - Liouvie Reguares Exempos EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Introdução Equações Diferenciais Parciais Lineares de Segunda Ordem Exempos de Edp s Lineares de Segunda Ordem Edp do caor ou de difusão Edp da onda Edp de Poisson Edp de Schrödinger Edp s Lineares de Segunda Ordem em R Cassificação das Edp s Lineares de Segunda Ordem em R Ágebra Linear Condições de Fronteira e Iniciais para Edp s Método de Separação das Variáveis Exercícios EQUAÇÃO DO CALOR Introdução Condição Inicia Condições de Fronteira Probema de Dirichet Homogêneo Separação das Variáveis Anáise da Soução Princípio do Máximo do Caor Probema de Dirichet Não Homogêneo Soução de Equiíbrio Determinação da Soução Probema de Neumann Separação das Variáveis Probema de Robin Separação das Variáveis Determinação de b n Caor num Ane Separação das Variáveis Exercícios

7 CONTEÚDO 7 6 EQUAÇÃO DA ONDA Separação das Variáveis Anáise da Soução Vaidade da Soução Primeiro Caso Segundo Caso Harmônicos e Nodos Soução de d Aembert A Onda Infinita Reversibiidade da edp da onda Equação de Euer - Bernoui: Vibração de uma Viga Separação das Variáveis Exercícios EQUAÇÃO DE LAPLACE 2 7. Funções Harmônicas e Princípio do Máximo Probema de Dirichet em Retânguos Separação das Variáveis Probema de Dirichet em Discos Probema Interno a um Disco Separação das Variáveis Estudo da Soução Núceo de Poisson Probema Externo a um Disco Separação das Variáveis Probema num Semi-disco Separação das Variáveis Probema de Dirichet para Anéis Separação das Variáveis Exercícios COMPLEMENTOS DE EDP Introdução Equação do Caor Apicação Perturbação da Equação do Caor Edp do Caor: Caso Gera Soução do Sistema Caor numa Barra Infinita Edp de Burgers Equação da Onda Apicação Perturbação da Equação da Onda

8 8 CONTEÚDO 8.2 Edp da Onda: Caso Gera Soução do Sistema Vibrações Forçadas Bibiografia 28

9 Capítuo SÉRIES DE FOURIER. Introdução As séries de Fourier, como as séries de Tayor são casos especiais das séries de funções, estudadas anteriormente. Jean-Baptise Fourier apresentou no ano e 822, ao mundo acadêmico, seu grande trabaho "Théorie Anaytique de a Chaeur"o qua demorou 2 anos para escrever. Esta obra teve inicio en 87, quando apresentou a "Théorie de a propagation de a chaeur dans es soides"ao Instituto de França, que tinha aberto um concurso para escarecer as dificudades de entender as derivações das equações diferenciais que regem o fuxo do caor e o uso extensivo em sua soução das expansões trigonométricas conhecidas hoje como série de Fourier. A banca do concurso era formada por Lagrange, Lapace e Monge, que não gostaram pois contradecia muitos conceitos época, como o fato de secompor funções, incussive descontínuas, por séries de funções trigonometricas simpes. Outros matemáticos, como P. G. Dirichet, G. B. Riemann, K. Weierstrass e G. Cantor, contribuim de forma exempar, para fixar definitivamente as séries de Fourier. Tiveram fortes reservas, pea fata de rigor matemático. Tendo todas estas resavas, a banca reconheciou a importância do trabaho e concediou o prêmio a Fourier. Na atuaidade, as séries de Fourier, são um caminho natura para o estudio inicia das Equações Diferenciais Parciais do caor, onda e Lapace. 9

10 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER.2 Funções Periódicas Definição.. Uma função f : R R é periódica se existe T R ta que: f(x) = f(x + T ), x R. Em ta caso, o número T é dito o período de f. Observação... Toda função é periódica de período zero; ogo, nestas notas, somente consideraremos T. 2. As funções constantes são periódicas de quaquer período; ogo, somente consideraremos funções não constantes. 3. Se T é o período de f, então n T para todo n Z {} é período de f. De fato, se n > para n = 2 temos: f(x + 2 T ) = f((x + T ) + T ) = f(x + T ) = f(x). Suponha que a propriedade é váida para n, então: f(x + n T ) = f((x + T ) + (n ) T ) = f(x + T ) = f(x). Anaogamente para n <. 4. Logo, nestas notas, somente consideraremos T >. Definição.2. O menor T, se existir, ta que f(x + T ) = f(x), para todo x R é dito período fundamenta de f. Observação.2.. As funções constantes não pussuem período fundamenta. 2. É possíve provar que as funções periódicas e contínuas não constantes possuem período fundamenta. 3. Nestas notas consideraremos somente funções com períodos fundamentais.

11 .2. FUNÇÕES PERIÓDICAS 4. Denotaremos por f(x) = f(x+t ) toda função periódica de período fundamenta T. 5. O gráfico de uma função periódica de período fundamenta T pode ser obtido a partir do gráfico de y = f(x) no intervao [a, a + T ], seguido de transações. Figura.: Gráfico de uma função periódica Exempo.. [] As funções f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) são periódicas de período fundamenta 2 π. [2] As funções f(x) = tg(x) e g(x) = cotg(x) são periódicas de período fundamenta π. [3] A função f(x) = 72 [ 2 sen ( x)] 2 é periódica de período 2 π. De fato: 2 f(x) = 72 [ 2 sen ( x)] 2 = 72 cos(x). 2 [4] f(x) = x, x [, ) ta que f(x) = f(x + 2) Figura.2: Gráfico de de f(x) = x, periódica

12 2 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER [5] Seja: f(x) = { se x se x <. ta que f(x) = f(x + 2) Figura.3: Gráfico de f(x), periódica [6] Seja f(x) = sen(x), x [, π] ta que f(x) = f(x + π) Figura.4: Gráfico de f(x) = sen(x), periódica [7] Determine o período de f(x) = 3 + ( ) [[x]], onde [[x]] é o maior inteiro menor ou igua a x. Seja n = [[x]], então x [n, n + ). Se n = 2 k, então ( ) [[x]] = e: Se n = 2 k +, então ( ) [[x]] = e: f(x) = 4, x [2 k, 2 k + ).

13 .2. FUNÇÕES PERIÓDICAS 3 f(x) = 2, x [2 k +, 2 k + 2). Por outro ado f(x + T ) = f(x), para todo x, então ( ) [x+t ] = ( ) [[x]], para todo x, em particuar para x =, temos ( ) [T ] =, ogo T é par, donde T = 2. Figura.5: Gráfico de f(x) = 3 + ( ) [[x]], periódica [8] A função f(x) = x [[x]] é periódica de período T = Figura.6: Gráfico de f(x) = x [[x]], periódica Proposição.. Se f e g são periódicas de período T, então:. α f + β g é periódica de período T. 2. f g é periódica de período T. 3. Se α, então f(α x) é periódica de período T α.

14 4 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER 4. f é periódica de período T. 5. Se f é integráve em quaquer intervao [a, a + T ]: a+t a f(x) dx = T a f(x) dx. A prova das propriedades seguem diretamente das definições. Veja [VC]. Observação.. A soma de funções periódicas de diferentes períodos pode ser ou não periódica de agum período. Proposição.2. Sejam f e g funções periódica de período T e T 2, respectivamente ta que T T 2, então f + g é períodica se: T T 2 Q. Exempo.2. [] A função f(x) = sen(x) + cos( 3 x) não é períodica. Figura.7: Gráfico de f(x) = sen(x) + cos( 3 x) [2] A função g(x) = cos(x) + cos ( x) é períodica de período 4 π. 2 De fato, devemos ter g(x + T ) = g(x), para todo x, então:

15 .2. FUNÇÕES PERIÓDICAS 5 x + T = x + 2m π x 2 + T 2 = x n π = { T = 2 m π T = 4 n π = m 4 = n 2, os menores números naturais que satisfazem esta iguadade são m = 2 e n =, ogo T = 4 π Figura.8: Gráfico de f(x) = sen(x) + cos(x) + cos( x 2 ) [3] A função h(x) = sen ( x) (x) + cos é períodica de período 24 π. 3 4 De fato, devemos ter h(x + T ) = h(x), para todo x, então: x 3 + T 3 = x 3 + 2m π x 4 + T 4 = x n π = { T = 6 m π T = 8 n π = m 8 = n 6, os menores números naturais que satisfazem esta iguadade são m = 4 e n = 3, ogo T = 24 π.

16 6 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER Figura.9: Gráfico de f(x) = sen( x 3 ) + cos( x 4 ).3 Exempo Fundamenta Seja: denotemos por: λ n = n π, n N, R, { Φ n (x) = sen(λ n x) e Ψ n (x) = cos(λ n x) (.) Determinemos os períodos fundamentais de Φ n e Ψ n.. Devemos ter Ψ n (x + T ) = Ψ n (x) para todo x R, isto é: Logo: donde: cos(λ n x) = cos(λ n (x + T )) = cos(λ n x) cos(λ n T ) sen(λ n x)) sen(λ n T ). { cos(λ n T ) = sen(λ n T ) =, T = 2 n.

17 .4. ÁLGEBRA LINEAR 7 2. Suponha que T é outro período de Ψ n, teremos: n π T = 2 k π, então T = k T, ogo, T = 2 é o período fundamenta. 3. Anaogamente para Φ n..4 Ágebra Linear Lembramos que um produto interno definido num R-espaço vetoria V é uma função: <, >: V V R, que satisfaz às seguintes propriedades:. < u, u > e < u, u >= se, e somente se u =, para todo u V. 2. < u, v >=< v, u >, para todo u, v V. 3. < α u + λ v, w >= α < u, w > +λ < v, w >, para todo u, v V e λ, α R. Definição.3. Seja V um R-espaço vetoria e W V :. Os vetores u, v V são ditos ortogonais se < u, v >=. 2. W é dito ortogona se < u, v >=, para todo u, v W. Dado ( V, <, > ) um R-espaço vetoria com produto interno, definimos a norma do vetor u V como: u = < u, u >.

18 8 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER.5 Funções Ortogonais Seja A R e denotemos por C(A) o conjunto das funções f : A R integráveis sobre A. O conjunto C(A) possui uma estrutura natura de R-espaço vetoria com as seguintes operações: dada f, g C(A) e λ R, então: ( f + g ) (x) = f(x) + g(x) ( λ f ) (x) = λ f(x), para todo x A. Seja [a, b] R, então em C ( [a, b] ) definimos o seguinte produto interno: < f, g >= para todo f, g C ( [a, b] ). b a f(x) g(x) dx, A prova de que é um produto interno segue diretamente das definições. Observação.2.. Utiizaremos a notação: < f, g >= f g. 2. Se as funções não forem contínuas, <, > não é um produto interno. Isto é, se f não é contínua, < f, f >= f 2 = não impica em f =. 3. Os poinômios de Legendre e de Hermite são ortogonais. Exempo.3. [] As funções f(x) = x e g(x) = x 2 são ortogonais em [ a, a] e a >. De fato: a < f, g >= x 3 dx = x4 a 4 =. a [2] As funções f(x) = e x e g(x) = x e x e x são ortogonais em [, 2]. De fato: < f, g >= 2 e x (x e x e x ) dx = a 2 (x ) dx =.

19 .5. FUNÇÕES ORTOGONAIS 9 [3] As funções f(x) = cos(x) e g(x) = sen 2 (x) são ortogonais em [, π]. De fato: π < f, g >= cos(x) sen 2 (x) dx = sen3 π (x) 3 =. Π Figura.: Gráfico de f e g Seja V = C ( [, ] ) o espaço vetoria das funções integráveis em [, ], com produto interno: f g =< f, g >= f(x) g(x) dx, f, g V. Proposição.3. O conjunto: W = {, Φ n, Ψ n / n N} é ortogona em V, onde Φ n e Ψ n são dados por (.). Em particuar, os eementos de W são inearmente independentes. Prova: De fato:. Note que Ψ (x) =, então: = dx = Ψ n = cos(λ n x) dx = sen(λ n x) λ n =, n.

20 2 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER 3. Anaogamente Φ n =, para todo n N. 4. Nos seguintes parágrafos faremos u = π x, então du = π 5. Se n m: dx; ogo: Ψ n Φ m = = π = 2 π =. cos(λ n x) sen(λ m x) dx π π π π cos(n u) sen(m u) du [ sen((n + m) u) + sen((n m) u) ] du 6. Se n m, não nuos: Ψ n Ψ m = = π = 2 π =. cos(λ n x) cos(λ m x) dx π π π π cos(n u) cos(m u) du [ cos((n + m) u) + cos((n m) u) ] du 7. Anaogamente, se n m: Φ n Φ m = = π = 2 π =, sen(λ n x) sen(λ m x) dx π π π π cos(n u) cos(m u) du [ cos((n m) u) cos((n + m) u) ] du

21 .5. FUNÇÕES ORTOGONAIS 2 8. Se n = m: Ψ n Ψ n = = π = 2 π =. cos 2 (λ n x) dx π π π π cos 2 (n u) du [ cos(n u) ] du 9. Anaogamente: para todo n N. Φ n Φ n =, Coroário.. Com as notações anteriores: Φ n Φ m = { Ψ n Ψ m = se n m se n = m. se n m se n = m N 2 se n = m =. Ψ n Φ m =, n, m N Coroário.2. Os conjuntos: W = {, Ψ n / n N} e W 2 = {Φ n / n N} são ortogonais em C ( [, ] ), onde Φ n e Ψ n são dados por (.).

22 22 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER.6 Séries de Fourier Suponha que, iniciamente, temos a seguinte expressão forma: f(x) = a 2 + [ an cos(λ n x) + b n sen(λ n x) ], (.2) onde a n, b n R e λ n = n π. Gostaríamos de poder responder às seguintes questões reativas à (.2).. Dada a função f, quando é possíve escrevê-a como (.2)? 2. Que reação existe entre a n, b n e f? 3. Em que sentido a série de funções dada em (.2) converge? Supondo que (.2) é vaida, responderemos à segunda questão. Para isto, utiizaremos formamente o produto interno definido na seção anterior. Denotemos (.2) por: f = a 2 Ψ + [ ] an Ψ n + b n Φ n. onde Φ n e Ψ n são dados por (.). Utiizando a ortogonaidade: Logo: f Ψ = a 2 Ψ Ψ + [ an Ψ n Ψ + b n Φ n Ψ ] = a 2 Ψ Ψ = a. então: a = [ ] [ ] f Ψ = f, a = f(x) dx. Fixemos m N; então: f Ψ m = a 2 Ψ m + [ ] an Ψ n Ψ m + b n Φ n Ψ m.

23 .6. SÉRIES DE FOURIER 23 Pea ortogonaidade, temos: f Ψ m = a m Ψ m Ψ m = a m para todo m N; então: a n = f(x) Ψ n (x) dx = f(x) cos(λ n x), dx n =, 2,... Anaogamente, pea ortogonaidade, temos: para todo m N; então: f Φ m = b m Φ m Φ m = b m b n = f(x) Φ n (x) dx = f(x) sen(λ n x) dx, n =, 2,... Observação.3. Se f pode ser escrita como em (.2), então:. f deve ser periódica de período As constantes a n e b n tem a propriedade: a n = f(x) Ψ n (x) dx f(x) Ψ n (x) dx f(x) dx b n = f(x) Φ n (x) dx f(x) Φ n (x) dx f(x) dx. Logo: a n f(x) dx e b n f(x) dx. 3. Isto é, se f é absoutamente integráve em [, ], então garantiremos a existência de a n e b n.

24 24 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER.7 Observações Básicas sobre Integrabiidade Se f for integráve e imitada, então f é absoutamente integráve. A recíproca é fasa, por exempo: Exempo.4. Seja: { se x Q f(x) = se x / Q. f não é integráve em [, ], mas f(x) =, para todo x [, ] e é integráve em [, ]. Se f não é imitada, a integrabiidade de f não impica em que f seja absoutamente integráve. Logo, existem funções integráveis que não são absoutamente integráveis e funções não integráveis que são absoutamente integráveis. Definição.4. Se f e f são integráveis, diremos que f está nas condições de Fourier. Observação.3.. A maioria das funções utiizadas nas apicações satisfazem à condição de Fourier. 2. Denotemos por C per o conjunto das funções periódicas de período fundamenta 2. Definição.5. Seja f C per satisfazendo às condições de Fourier. A série de Fourier de f é denotada e definida por: onde: S[f] = a 2 + [ an cos( n π x ) + b n sen( n π x ) ], a = f(x) dx, a n = f(x) cos( n π x ) dx, n =, 2,... b n = f(x) sen( n π x ) dx, n =, 2,...

25 .7. OBSERVAÇÕES BÁSICAS SOBRE INTEGRABILIDADE 25 Os coeficientes a n e b n são ditos de Fourier da série. As seguintes propriedades simpificam o cácuo de S[f] quando f possui aguns tipos de simetria. Proposição.4. Seja f integráve em [, ]:. Se f é par, então: 2. Se f é ímpar, então: f(x) dx = 2 f(x) dx. Prova: Veja [VC]. f(x) dx =. Coroário.3. Seja f C per, nas condições de Fourier e λ n = n π :. Se f é par, isto é, simétrica em reação ao eixo dos y, então b n = para todo n N, ogo: S[f] = a 2 + a n cos(λ n x), onde a n = 2 f(x) cos(λ n x) dx, n =,, 2, Se f é ímpar, isto é, simétrica em reação à origem, então a n = para todo n, ogo: S[f] = b n sen(λ n x), onde b n = 2 f(x) sen (λ n x) dx, n =, 2,...

26 26 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER.8 Exempos [] Ache S[f] se f(x) = x x [, ], e é ta que f(x) = f(x + 2). Figura.: Gráfico de f(x) = x, periódica 2 = 2, então =, f está nas condições de Fourier e é par; ogo b n =, para todo n =, 2,... e: Logo a 2n = e: a = 2 a n = 2 x dx = e x cos(n π x) dx = 2 n 2 π 2 [ ( ) n ]. 4 a 2n = π 2 (2 n ) ; 2 então: S[f] = 2 [ 4 π 2 (2 n ) 2 ] cos((2 n ) π x). [2] Ache S[f] se f(x) = x, x [, ], e é ta que f(x) = f(x + 2).

27 .8. EXEMPLOS Figura.2: Gráfico de f(x) = x, periódica f está nas condições de Fourier; 2 = 2, então = e f é ímpar; ogo a n =, para todo n =,, 2,... e: Logo: b n = 2 x sen ( n π x ) dx = [ ] sen(n π x) x n π cos(n π x) n 2 π 2 = 2 ( )n+. n π S[f] = [ ] 2 ( ) n+ sen(n π x). n π Sejam as seguintes somas parciais de S[f] S (x) = 2 π sen( π x ) S 4 (x) = 2 π sen( π x ) π sen( 2 π x ) π sen( 3 π x ) 2 π sen( 4 π x ). Observe o comportamento de f, S e S 4 nos respectivos gráficos:

28 28 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER - - Figura.3: Gráficos de f(x) = x (azu), S 2 (verde) e S 4 (vermeho) Figura.4: Gráficos de f(x) = x (azu), S 2 (verde) e S 4 (vermeho) [3] Ache S[f] se f(x) = 3 + ( ) [[x]]. Figura.5: Gráfico de f(x) = 3 + ( ) [[x]], periódica Sabemos que f é periódica de período 2 e está nas condições de Fourier; 2 = 2, então = ; f não é par nem ímpar, e:

29 .8. EXEMPLOS 29 a = e: (3 + ( ) [[x]] ) dx = 2 dx + 4 dx = 6, ogo: a n = = = (3 + ( ) [[x]] ) cos(n π x) dx 2 cos(n π x) dx + 6 sen(n π) ; n π 4 cos(n π x) dx a n =, n >. Por outro ado: ogo: Então: b n = = (3 + ( ) [[x]] ) sen(n π x) dx 2 sen(n π x) dx + 2 ( cos(n π)) = n π = 2 ( ( )n ) n π b 2n = e b 2n = S[f] = 3 + [ 4 (2 n ) π 4 sen(n π x) dx 4 (2 n ) π, n. ] sen((2 n ) π x). Observe o comportamento de f, S e S 4 nos respectivos gráficos:

30 3 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER 4 2 Figura.6: Gráficos de f(x) (azu), S 5 e S 5 (verde) Figura.7: Gráficos de f(x) (azu) e S 2 (verde) [4] Ache S[f] se: f(x) = { se x π se π x <, e é ta que f(x) = f(x + 2 π).

31 .8. EXEMPLOS Figura.8: Gráfico de f do exempo [4] f está nas condições de Fourier; 2 = 2 π, então = π; f não é par nem ímpar, e: a = π π π f(x) dx = π π dx = e a n = π π π f(x) cos(n x) dx = π π cos(n x) dx = b n = π π π f(x) sen(n x) dx = π 2 Logo b 2n = e b 2n = π (2 n ) ; então: S[f] = 2 + [ π 2 π (2 n ) sen(n x) dx = [ ] () n. n π ] sen((2 n ) x). Figura.9: Gráficos de S 5 e S 5

32 32 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER Figura.2: Gráficos de f (azu) e S 6 (vermeho) [5] Ache S[f] se f(x) = { se π x < x se x π, e é ta que f(x) = f(x + 2 π) Figura.2: Gráficos de f do exempo [5] f e está nas condições de Fourier; 2 = 2 π, então = π; f não é par nem ímpar, e: π π a = π π f(x) dx = π x dx = π 2 a n = π π π f(x) cos(n x) dx = π π x cos(n x) dx = ( )n n 2 π b n = π π π f(x) sen(n x) dx = π π x sen(n x) dx = ( )n+. n

33 .8. EXEMPLOS 33 Logo, a 2n = e: 2 a 2n = π (2 n ) : 2 então: S[f] = π 4 [ 2 π (2 n ) cos( (2 n ) x ) ( )n+ sen ( n x )]. 2 n Observe o comportamento de f e S 4 (x): p -p p Figura.22: Gráfico de f (vermeho) e S 4 (azu) [6] Ache S[f] se f(x) = sen ( π x ), x [, ] e é ta que f(x) = f(x + 2) Figura.23: Gráfico de f do exempo [6] 2 = 2, então = ; f é par, ogo, b n = para todo n =, 2..., = : a = 2 sen ( π x ) dx = 4 π

34 34 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER a n = 2 = sen ( π x ) cos(n π x) dx [ sen ( (n + ) π x ) sen ( (n ) π x )] dx = 2 (( )n + ) (n 2 ) π, se n, cacuando diretamente, temos: Por outro ado a 2n+ = e: Logo: a = 2 S[f] = 2 π [ sen ( π x ) cos(π x) dx =. 4 a 2n = π (4 n 2 ). 4 π ( 4 n 2 ) ] cos ( 2 n π x ). Observe o comportamento de f e S 2 (x). Compare como o comportamento nos outros exempos: Figura.24: Gráficos de f (verde) e S 2 (azu) [7] Ache S[f] se f(x) = x x, x [, ] e é ta que f(x) = f(x + 2).

35 .8. EXEMPLOS Figura.25: Gráfico de f do exempo [7] 2 = 2, então = ; f não é par ou ímpar, ogo: a = [x x] dx = 2 3. a n = [ (x x) cos(n π x) ] dx = 4 ( )n π 2 n 2 Logo: b n = [ (x x) sen(n π x) ] dx = 4 ( )n+. n π S[f] = ( ) n π n [cos(n π x) π n sen(n π x) ]. 2 2 Figura.26: Gráficos de f e S 5

36 36 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER [8] Cacue a série de Fourier de f(x) = x 2 sen(x), π x π periódica de período 2 π. Note que: Figura.27: Gráficos de f do exempo [8] f é ímpar, ogo: π x 2 cos(n x) dx = 2 π ( )n n 2, n >. a n =, n. Por outro ado = π : b n = 2 π π x 2 sen(x) sen(n x) dx = π π x 2 [ cos((n ) x) cos((n + ) x) ] dx 8 n ( ) n = (n + ) 2 (n ), n >. 2 Por outro ado: b = 2 π A série de Fourier é: π x 2 sen 2 (x) dx = π π x 2 [ cos(2 x) ] dx = π2 3 2.

37 .9. LINEARIDADE DOS COEFICIENTES DE FOURIER 37 [ π 2 S[f] = 3 ] sen(x) 2 [ n=2 8 n ( ) n (n + ) 2 (n ) 2.9 Linearidade dos Coeficientes de Fourier ] sen(n x). Sabemos que os coeficientes de Fourier de S[f] dependem somente de f. Sendo cacuados através de uma integra, resuta que estes coeficientes dependem inearmente da função. Se denotamos por a n (f) e b n (f) os coeficientes de S[f], então: a n ( α f + β g ) = α an (f) + β a n (g), n =,,... ( ) b n α f + β g = α bn (f) + β b n (g), n =, 2,... para toda f e g C per, nas condições de Fourier e todo α, β R. Exempo.5. [] Cacue S[h], onde h(x) = x, x [, ] é ta que h(x + 2 ) = h(x) Figura.28: Gráfico de h para = Seja f(x) = x, x [, ] é ta que f(x + 2 ) = f(x); sabemos que sua série de Fourier é: S[f] = 2 4 π 2 (2 n ) 2 cos(λ 2n x). Utiizando a inearidade dos coeficientes de Fourier:

38 38 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER a (f) =, 4 a n (f) = e b (2 n ) 2 π 2 n (f) = para todo n N; então: a (h) = a [ 2 x ] = 2 a () a (f) = = a n (h) = a n [ 2 x ] = 2 a n() a n (f) = a n (f), n =,,... b n (h) = b n () b n (f) =, n =, 2,... Note que h é par; ogo: S[h] = 4 π 2 (2 n ) 2 cos(λ 2n x). [2] Cacue S[h], onde h(x) = 2 x 2 x, x [, ] e ta que h(x + 2) = h(x) Figura.29: Gráfico de h Pea inearidade dos coeficientes de Fourier, devemos somente cacuar a série de Fourier de f(x) = x 2, x [, ] e ta que f(x + 2) = f(x); = e f é par:

39 .. FUNÇÕES NÃO PERIÓDICAS: EXTENSÕES 39 a = 2 x 2 dx = 2 3 b n =, n =, 2,... a n = 2 x 2 cos(n π x) dx = 4 ( )n n 2 π 2 n =, 2,... Por outro ado, seja g(x) = x, x [, ] e ta que g(x + 2) = g(x); sabemos que g é ímpar e sua série de Fourier é: Então: 2 ( ) n+ S[g] = sen ( n π x ). n π a (h) = 2 a (f) a (g) = 2 a (f) = 4 3 a n (h) = 2 a n (f) a n (g) = 2 a n (f) = 8 ( )n, n =, 2,... n 2 π2 Logo: b n (h) = 2 b n (f) b n (g) = b n (g) = 2 ( )n+ n π S[h] = ( ) n+ n π = 2 ( )n, n =, 2,... n π [ ] 4 cos(n π x) + sen(n π x). n π. Funções Não Periódicas: Extensões Considere o seguinte probema: Dada uma função: f : [, ] R, é possíve definir S[f]? Para responder a esta questão, embramos primeiramente que os conjuntos W = {, Ψ n / n N} e W 2 = {Φ n / n N} são ortogonais em C ( [, ] ), onde Φ n e Ψ n são dados por (.).

40 4 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER. Extensão Par Seja f : [, ] R. A extensão par de f é denotada e definida por: f p (x) = { f(x) se x f( x) se x <. f p ( x) = f p (x), isto é, f p é par. Figura.3: Gráficos de f (azu) e f p.2 Extensão Ímpar Seja f : [, ] R. A extensão ímpar de f é denotada e definida por: f o (x) = { f(x) se x f( x) se x <. f o ( x) = f o (x), isto é, f o é ímpar.

41 .3. EXTENSÃO POR ZEROS 4 Figura.3: Gráficos de f (azu) e f o.3 Extensão por Zeros Seja f : [, ] R. A extensão por zeros de f é denotada e definida por: { f(x) se x f z (x) = se x <. f z não é uma função par nem ímpar. Figura.32: Gráficos de f (azu) e f z Exempo.6. x se x < π [] Considere a função: f(x) = 2 π π x se 2 x < π. Então:

42 42 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER x se π 2 x < π + x se π x < π f p (x) = 2 x se x < π 2 π π x se 2 x < π. π Figura.33: Gráficos de f (azu) e f p x se π 2 x < π 2 f o (x) = π x se π x < π 2 π π x se 2 x < π. π π 2 Figura.34: Gráficos de f (azu) e f

43 .3. EXTENSÃO POR ZEROS 43 x se x < π π 2 f z (x) = π x se 2 x < π se π < x <. π Figura.35: Gráficos de f (azu) e f z [2] Considere a função f(x) = e x, ta que x Então: f p (x) = { e x se x < e x se x <. Figura.36: Gráficos de f (vermeho) e f p f o (x) = { e x se x < e x se x <

44 44 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER Figura.37: Gráficos de f (vermeho) e f o f z (x) = { e x se x < se x < Figura.38: Gráficos de f (vermeho) e f z Observação.4.. As funções: f p, f o, f z : [, ] R são tais que: f p (x) = f o (x) = f z (x) = f(x), x [, ]. 2. Se f está nas condições de Fourier, então f p, f e f z satisfazem às condições de Fourier.

45 .3. EXTENSÃO POR ZEROS Se f é definida num intervao I do tipo [a, b) ou (a, b], então podemos estender f para todo R de forma periódica de período T = b a, fazendo: para todo x I e k Z. Por exempo: f(x + k T ) = f(x) Exempo.7. [] A função f(x) = sen(x), π 2 x π 2 período π para todo x R e seu gráfico é: pode ser estendida de forma periódica de -2p -p p 2p - Figura.39: Gráficos de fe sua extensão [2] A função f(x) = cos(x), x π pode ser estendida de forma periódica de período π para todo x R e seu gráfico é: 2 Π Π Π 2 Π Figura.4: Gráficos de fe sua extensão [3] A função f(x) = e x, x pode ser estendida de forma periódica de período 2 para todo x R

46 46 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER ou Figura.4: Gráficos de f (vermeho) e f p ou Figura.42: Gráficos de f (vermeho) e f o 2 Figura.43: Gráficos de f (vermeho) e f z Observação.4. Considerando f p e f o periódicas de período 2 e satisfazendo às condições de Fourier, podemos definir as respectivas séries de Fourier.

47 .4. SÉRIES DOS CO-SENOS 47.4 Séries dos Co-senos Sejam f : [, ] R e f p sua extensão par, periódica de período 2 e nas condições de Fourier; então: onde λ n = n π, e: S[f p ] = a 2 + a n cos(λ n x), a n = f p (x) cos(λ n x) dx = 2 f(x) cos(λ n x) dx, n =, 2,... Na útima integra utiizamos o fato de que f p é par e f p = f em [, ]..5 Séries dos Senos Sejam f : [, ] R e f o sua extensão ímpar, periódica de período 2 e nas condições de Fourier; então: onde λ n = n π, e: S[f o ] = a n sen(λ n x), b n = f (x) sen(λ n x) dx = 2 f(x) sen(λ n x) dx, n =, 2,... Na útima integra utiizamos o fato de que f é ímpar e f = f em [, ]. Definição.6.. S[f p ] é dita a série dos co-senos de f; anaogamente, S[f o ] é dita a série dos senos de f.

48 48 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER 2. Como, f = f p = f o = f z em [, ], definimos a série de Fourier de f como: S[f] = S[f p ] ou S[f] = S[f o ] ou S[f] = S[f z ]. Exempo.8. [] Seja f(x) = x ta que x [, ]. Ache S[f]. Determinemos f p : { x se x f p (x) = x se x <, isto é, f p (x) = x onde x [, ]; fazendo f p periódica de período 2: Figura.44: Gráfico de f p =, então a = e: a n = 2 x cos ( n π x) dx = 2 ( ( ) n ) n 2 π 2. 4 Logo a 2n = e a 2n = e a série dos co-senos de f é: π 2 (2 n ) 2 S[f p ] = 2 4 π 2 (2 n ) cos( (2 n ) π x). 2 Determinemos f : f (x) = { x se x x se x <,

49 .5. SÉRIES DOS SENOS 49 isto é, f (x) = x onde x [, ]; fazendo f o periódica de período 2: =, então: b n = 2 Logo, a série dos senos de f é: Figura.45: Gráfico de f o S[f o ] = x sen ( n π x) dx = 2 ( )n+. n π 2 ( ) n+ sen ( n π x). n π Observe que S[f ] não é igua a f no ponto x =. Determinemos f z : f z (x) = fazendo f z periódica de período 2: { x se x se x ; Figura.46: Gráfico de f z

50 5 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER Então: a = 2 a n = b n = x cos(n π x) dx = ( )n n 2 π 2 x sen(n π x) dx = ( )n+. n π Logo, a série de Fourier é: S[f z ] = 4 + [ ] ( ) n cos(n π x) + n 2 π 2 n= [ ( ) n+ n π ] sen(n π x) Figura.47: Gráfico de f z e S [2] Seja f(x) = x 2 ta que x [, π]. Ache S[f]. Determinemos f p : f p (x) = { x 2 se x π ( x) 2 se π x <, isto é, f p (x) = x 2 onde x [ π, π]; fazendo f p periódica de período 2 π:

51 .5. SÉRIES DOS SENOS 5 Figura.48: Gráfico de f p = π, então a = 2 π2 3 e: a n 2 π π x 2 cos ( n x) dx = 4 ( )n+ n 2. Logo, a série dos co-senos de f é: S[f p ] = π2 3 4 ( ) n+ cos(n x). n Figura.49: Gráficos de f p e S 3 Determinemos f : f (x) = { x 2 se x π x 2 se π x <, onde x [ π, π]; fazendo f o periódica de período 2 π:

52 52 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER Figura.5: Gráfico de f o = π, então: b n = 2 π π x 2 sen ( x) dx = 4 + (4 2 n2 π 2 ) ( ) n. n 3 π Logo, a série dos senos de f é: S[f o ] = [ ] 4 + (4 2 n 2 π 2 ) ( ) n sen(n x). n 3 π Figura.5: Gráficos de f o e S Determinemos f z : f z (x) = { x 2 se x π se π x <, onde x [ π, π]; fazendo f z periódica de período 2 π:

53 .5. SÉRIES DOS SENOS 53 = π, então: Figura.52: Gráfico de f z a = π a n = π π π x 2 dx = π2 3 x 2 cos(n x) dx = 2 ( )n n 2 Logo, a série de f é: b n = π S[f z ] = π2 6 + π x 2 sen(n x) dx = 2 + (2 n2 π 2 ) ( ) n π n 3 [ ] [ ] 2 ( ) n 2 + (2 n 2 π 2 ) ( ) n cos(n x) + sen(n x). n 2 π n 3 Π Π Π Figura.53: Gráficos de f z e S

54 54 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER [3] Seja f(x) = e x ta que x [, ]. Ache S[f]. Determinemos f p : f p (x) = { e x se x < e x se x <. Fazendo f p periódica de período 2: Figura.54: Gráfico de f p =, então: a = 2 a n = 2 2 e x dx = 2 (e ) e x cos ( n π x) dx = 2 (e ( )n ). n 2 π 2 + Logo, a série dos co-senos de f é: S[f p ] = e + [ ] 2 (e ( ) n ) cos(n π x). n 2 π 2 +

55 .5. SÉRIES DOS SENOS 55 Figura.55: Gráficos de f p e S 3 Determinemos f : f o (x) = { e x se x < e x se x <. Fazendo f o periódica de período 2: Figura.56: Gráficos de f (vermeho) e f o =, então: b n = 2 Logo, a série dos senos de f é: exp(x) sen ( n π x) dx = 2 n π ( e ( )n ). n 2 π 2 +

56 56 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER S[f o ] = [ ] 2 n π ( e ( ) n ) sen(n π x). n 2 π 2 + Figura.57: Gráficos de f o e S Determinemos f z : f z (x) = { e x se x < se x <. Fazendo f z periódica de período 2: 2 Figura.58: Gráficos de f (vermeho) e f z =, então:

57 .5. SÉRIES DOS SENOS 57 Logo, a série de f é: S[f z ] = e 2 + a = a n = b n = e x dx = e e x cos(n π x) dx = e ( )n ) n 2 π 2 + e x sen(n π x) dx = n π ( e ( )n ). n 2 π 2 + [ ] e ( ) n cos(n π x) + n 2 π 2 + [ ] n π ( e ( ) n ) sen(n π x). n 2 π 2 + Observação.5. Figura.59: Gráficos de f z e S. Muitas vezes devemos cacuar uma série de Fourier de uma função que é apresentada peo seu gráfico. 2. Agumas vezes não é difíci observar agum tipo de simetria de modo que se transadamos a origem a convertemos em uma função ímpar, a função origina, diferirá da trasadada por uma constante. 3. Veja os exempos a seguir:

58 58 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER Exempo.9. [] Determinar a série de Fourier da função periódica de período 2 :. Definamos a função: Figura.6: Gráfico de f g(x) = f(x) A 2. Figura.6: Gráfico de g 2. A função g é ímpar e: S[f] = A 2 + S[g].

59 .5. SÉRIES DOS SENOS 59 [2] Determinar a série de Fourier da função periódica de período 2 :. Definamos a função: Figura.62: Gráfico de f g(x) = A f(x). Figura.63: Gráfico de g onde S[g] é a série do ítem. S[f] = A + S[g],

60 6 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER.6 Exercícios. Verifique que se f e g são períodicas de periódo T, então f +g e f g são períodicas de periódo T. 2. Seja F (x) = x (a) F é par se f é ímpar. (b) F é ímpar se f é par. f(t) dt. Verifique que: 3. Seja f(x) = cos(α x) + cos(β x). Verifique que f é periódica se α β Q. 4. Se f é periódica de período 2, verifique que: F (x) = x onde a R, é periódica de período 2. [ f(t) a ] dt, 2 5. Sejam P = P n (x) os poinômios de Legendre. Verifique que são ortogonais em C([, ]): se n m e P n P n = 6. Determine S[f], se: P n P m = P n (x) P m (x) dx =, 2. Utiize a fórmua de Rodrigues. 2 n + (a) f(x) = + x ; x [, ] ta que f(x) = f(x + 2) (b) f(x) = 2 x ; x [, ] ta que f(x) = f(x + 2) (c) f(x) = x 2 + x; x [ 2 π, 2 π] ta que f(x) = f(x + 4 π) (d) f(x) = e x, x [ 2, 2] ta que f(x) = f(x + 4) (e) f(x) = 2 cos 2 (x), x [ π, π] ta que f(x) = f(x + 2 π)

61 .6. EXERCÍCIOS 6 (f) f(x) = cos(3 x) + cos 2 (x), x [ π, π] ta que f(x) = f(x + 2 π) 2 + x se x < (g) f(x) =, ta que f(x) = f(x + 2) 2 x se x < { x + π se π x (h) f(x) =, ta que f(x) = f(x + 2 π) x se < x < π se 3 π x < π (i) f(x) = se π x < 2 π, ta que f(x) = f(x + 6 π) 2 se 2 π x < 3 π { se π x < (j) f(x) =, ta que f(x) = f(x + 2 π) x 2 se x < π { se π x < (k) f(x) =, ta que f(x) = f(x + 2 π) x 3 se x < π () A função que tem como gráfico: π (m) A função que tem como gráfico: π π 2π

62 62 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER (n) A função que tem como gráfico: π π π π[ 7. Determine f p, f o e f z e esboce os gráficos de f p,f o e f z das funções: (a) f(x) = + x, x [, ] (b) f(x) = e x, x [, 2] (c) f(x) = x 2 x +, x [, ] { 2 se < x < (d) f(x) = se < x 2 x se < x π (e) f(x) = 2 π π x se 2 < x < π (f) f(x) = 4 x se < x 2 x 3 se 4 2 < x 8. Determine S[f p ], S[f o ] e Sf z, onde f é dada peo ítem anterior. 9. Esboce os gráficos das somas parciais até de ordem 4, do ítem anterior.. Utiize a série de Fourier de f(x) = f(x + 2 π) para verificar que: { π 4 se π < x < π se x < π 4 ta que f(x) = ( ) n+ 2 n = π 4.

63 .6. EXERCÍCIOS 63. Utiize a série de Fourier de: f(x) = ta que f(x) = f(x + 2 π) para verificar que: { π se π x < x se x < π (2 n ) 2 = π Utiize a série de Fourier de f(x) = x 2, x [ π, π] ta que f(x) = f(x + 2 π) para verificar que: (a) (b) (c) n = π2 2 6 ( ) n+ n 2 n 4 = π4 9 = π2 2

64 64 CAPÍTULO. SÉRIES DE FOURIER

65 Capítuo 2 CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Este capítuo, como o capítuo sobre séries de funções é para ser estudado iniciamente, até a convergência pontua das séries de Fourier, deixando os outros tipos de convergências, para um estudo posterior e mais fundamentado destas séries. 2. Continuidade por Partes Definição 2.. O sato de uma função f no ponto x é denotado e definido por: onde f(x + ) = im f(x) e f(x x x + ) = sa(f)(x ) = f(x + ) f(x ), im x x f(x). sa(f)(x ) x Figura 2.: O espaço H 65

66 66 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Proposição 2.. Se f é contínua em x, então sa(f)(x ) =. Prova: Segue da definição. Definição 2.2. Uma função f é contínua por partes se:. f tem um número finito de descontinuidades em quaque intervao imitado e 2. sa(f)(x) é finito para todo x R. Observação 2.. É imediato que:. Se f é contínua, então f é contínua por partes. 2. Se f e g são contínuas por partes, então f + g e f g são contínuas por partes. 3. Se f é contínua por partes em [, ] e é ta que f(x+2 ) = f(x), então f é contínua por partes em R. 4. As funções contínuas por partes em [a, b] são imitadas e integráveis em [a, b]. Logo, satisfazem à condição de Fourier. Exempo 2.. [] Considere a função f(x) = sign(x), o sina de x: Figura 2.2: Gráfico de f(x) = sign(x)

67 2.2. DIFERENCIABILIDADE POR PARTES 67 f(x) = sign(x) é contínua por partes, pois só tem uma descontinuidade em x = e sa(f)() = 2. [2] A função f(x) =, x R {} não é contínua por partes, pois sa(f)() não existe. x Figura 2.3: Gráfico de f(x) = x [3] A função f(x) = sen ( ), x (, ) é contínua e imitada, mas não é contínua por x partes, pois f( + ) não existe. 2.2 Diferenciabiidade por Partes Definição 2.3. Uma função f é diferenciáve por partes se:. f é contínua por partes e 2. f é contínua por partes. Exempo 2.2. [] A função f(x) = x é diferenciáve por partes em x =. Pois: { f se < x (x) = se > x, é contínua por partes. [2] A função f(x) = 3 x 2, x é contínua e não é diferenciáve por partes em x =. De fato:

68 68 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER se x. Logo, f ( + ) e f ( ) não existem. f (x) = x, Figura 2.4: Gráfico de f(x) = x 2/3 Observação 2.. f não está necessariamente definida em todos os pontos; por exempo, f não pode existir onde f seja descontínua, mas f também pode não existir ainda nos pontos onde f é contínua. Veja o exempo anterior. 2.3 Convergências A seguir, apresentamos aguns tipos de convergências, as mais utiizadas no estudo das séries de Fourier. 2.4 Convergência Pontua Neste parágrafo, apresentamos um teorema fundamenta na teoria das séries de Fourier. Teorema 2.. (Dirichet) Seja f C per diferenciáve por partes; então, para cada x: S[f](x) = f(x+ ) + f(x ). 2

69 2.4. CONVERGÊNCIA PONTUAL 69 Coroário 2.. Seja f C per diferenciáve por partes; então, para cada x onde f for contínua: S[f](x) = f(x). Exempo 2.3. [] Seja: f(x) = { se x π se π x <, ta que f(x) = f(x + 2 π): (a) Esboce o gráfico da série de Fourier de f. (b) Utiize S[f] para determina a soma: ( ) n+ 2 n Figura 2.5: Gráfico de f (a) Como f é diferenciáve por partes, peo teorema de Dirichet S[f](x) = f(x) se x n π e n Z. Por outro ado, para todo x = n π ta que n Z, sa(f)(x ) = 2. Logo, o gráfico de S[f] é:

70 7 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER (b) Determinemos S[f]: Figura 2.6: Gráfico de S[f] Logo, b 2n = e: e: a = a n = π b n = π π π cos(n x) dx = ( ) ( ) n sen(n x) dx = b 2n = 2 (2 n )π n π. S[f] = (2 n )π sen( (2 n ) π x ). f é diferenciáve por partes e contínua em x = ; então, apicando o teorema, temos: 2 Utiizando que: S[f](x ) = f(x ) =. temos: sen ( (2 n ) π 2 ) ( π ) = sen n π = cos(n π) = ( ) n+, 2

71 2.4. CONVERGÊNCIA PONTUAL 7 = ( ) n+ (2 n )π = π ( ) n+ (2 n ). Isto é: ( ) n+ 2 n = π 4. [2] Utiize a série de Fourier de f(x) = x 2, x [, ] e f(x) = f(x + 2 ) para cacuar a soma da série: n Figura 2.7: Gráfico de f Como f é par b n = para todo n N. Por outro ado: a = 2 x 2 dx = Logo: a n = 2 x 2 cos ( n π x) 4 2 ( ) n dx =, n N. n 2 π 2 S[f] = ( ) n n 2 π 2 cos ( n π x). Apicando o teorema para x = :

72 72 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER 2 = π 2 n 2. Isto é: n 2 = π2 6. [3] Utiize a série de Fourier de S[f p ], onde f(x) = e [[x]], x [, 2] para cacuar a soma da série: 2 n. 2 2 Figura 2.8: Gráfico de f p Note que: se x < f(x) = e se x < 2 e 2 se x = 2. Como f p é par e = 2 :

73 2.4. CONVERGÊNCIA PONTUAL 73 a = dx + 2 e dx = + e a n = cos ( n π x 2 ) dx + 2 e cos ( n π x) dx 2 Logo: = S[f] = + e 2 2 ( e ) sen ( n π ) 2 n π + 2 ( e ) [ (n π ) sen ] 2 cos ( n π x). n π 2 Apicando o teorema para x = 2, temos que: ogo: f(2 + ) + f(2 ) 2 = e ; e = + e 2 e = + e ( e ) + 2 ( e ) [ (n π ) sen ] 2 cos(n π) n π [ (n π ) sen ] 2 ( ) n n π Como: sen ( n π ) { se n par = 2 ( ) n se n ímpar. Temos que: e = + e ( e ) π 2 n ; ogo:

74 74 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER 2 n = π Figura 2.9: Gráfico de f p e S 5 [4] Utiize a série de Fourier da extensão ímpar da função f(x) = x (π x), x [, π] para cacuar ( ) n (2 n ) 3. Figura 2.: Gráfico de f o e de f Note que f o é ímpar, ogo: Por outro ado = π : a n =, n.

75 2.4. CONVERGÊNCIA PONTUAL 75 ogo: b 2n = e: b n = 2 π π = 4 ( ( )n ) n 3 π b 2n = x (π x) sen(n x) dx 8 (2 n ) 3 π. A série de Fourier é: S[f o ] = [ 8 (2 n ) 3 π ] sen(n x). Apicando o teorema para x = π 2, temos que f(x ) = π2 4, então: π 2 4 = 8 π ( ) n (2 n ) 3 ; ogo: ( ) n (2 n ) 3 = π3 32. [5] Utiize a série de Fourier de f(x) = x sen(x), π x π, periódica de período 2 π, para cacuar:. n=2 ( ) n n n=2 n 2.

76 76 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Figura 2.: Gráfico de f Note que f é par, ogo: Por outro ado = π : b n =, n. a = 2 π π x sen(x) dx = 2 a n = 2 π π x sen(x) cos(n x) dx = 2 π π x [ sen((n + ) x) sen((n ) x) ] dx = 2 ( )n+ n 2, n >. Por outro ado: b = π π x sen(2 x) dx = 2. A série de Fourier é: S[f] = cos(x) 2 [ ] 2 ( ) n cos(n x). n 2 n=2 Apicando o teorema para x =, temos que f(x ) =, então:

77 2.4. CONVERGÊNCIA PONTUAL 77 ogo: = 2 2 n=2 ( ) n n 2 ; ( ) n n 2 = 4. Apicando o teorema para x = π, temos que f(x ) =, então: ogo: = n=2 n 2 ; n 2 = 3 4. [6] Utiize a série de Fourier de f(x) = sen ( π x ), x [, ] e ta que f(x) = f(x + 2), para cacuar: n 2. ( ) n 4 n Do capítuo anterior, sabemos que: Figura 2.2: Gráfico de f

78 78 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Peo teorema de Dirichet: S[f] = 2 π [ 4 π (4 n 2 ) ] cos ( 2 n π x ).. Se x =, temos que f(x ) = e: ogo: = 2 π 4 π (4 n 2 ) ; 4 n 2 = Se x = 2, temos que f(x ) = e: ogo: = 2 π 2.5 Convergência Uniforme 4 ( ) n π (4 n 2 ), ( ) n 4 n 2 = 2 π 4. O seguinte teorema segue diretamente do teste M de Weierstrass, temos: [ an cos(λ n x) + b n sen(λ n x) ] onde λ n = n π. Então: an cos(λ n x) + bn sen(λ n x) an + bn,

79 2.5. CONVERGÊNCIA UNIFORME 79 Teorema 2.2. A série de Fourier S[f] ta que f C per está nas condições de Fourier, converge absoutamente e uniformenente a f no intervao [, ] se: converge e, neste caso: ( an + b n ) f = S[f]. Exempo 2.4. [] Seja f(x) = x, x [, ] ta que f(x) = f(x + 2); então, para todo n =, 2,... b n =, a = e Logo: Por outro ado: S[f] = 2 4 a 2n = π 2 (2 n ). 2 ( an + b n ) = 4 cos((2 n ) π x). π 2 (2 n ) 2 4 π 2 (2 n ) 2. Como a útima série é convergente, temos que S[f] converge uniformemente a x em [, ], na verdade em R, ogo: x = 2 4 π 2 (2 n ) 2 cos( (2 n ) π x ). [2] Verifique se a série de Fourier de f(x) = e x sen(x), x [ π, π], periódica de período 2 π, converge uniformemente e determine: ( ) n (n 2 2). n 4 + 4

80 8 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Figura 2.3: Gráfico de f. Note que = π e f não é par nem ímpar. Por outro ado, não é difíci ver que: π π e x cos(n x) dx = 2 senh(π) ( )n n 2 + Logo: π π e x sen(n x) dx = 2 n senh(π) ( )n. n 2 + a = π π π e x sen(x) dx = senh(π) π a n = π π π e x sen(x) cos(n x) dx = 2 (n2 2) senh(π) ( ) n+ π (n 4 + 4) b n = π π e x sen(x) sen(n x) dx = 2 n senh(π) ( )n+. π (n 4 + 4) Peo teorema anterior, temos que examinar a convergência de: como: a n + b n = 2 senh(π) π n 2 2 n n n n2 + 2 n [ n 2 2 n n ], n n n = (n ) 2 +

81 2.6. OBSERVAÇÕES SOBRES OS COEFICIENTES DE S[F ] 8 então: (n ) 2 + converge; ogo a série de Fourier converge uniformemente. Portanto: e x sen(x) = senh(π) 2 π em particuar, para x =, temos que: + a n cos(n x) + b n sen(n x); ( ) n (n 2 2) n = Observações sobres os coeficientes de S[f] Com a hipótese de f C per e estar nas condições de Fourier, nos parágrafos anteriores, obtivemos: a n b n f(x) dx f(x) dx. Suponhamos que f C per e que f está nas condições de Fourier; então, integramos por partes: () a n = (2) b n = f(x) Ψ n (x) dx f(x) Φ n (x) dx. Logo, (): a n = n π f(x) Φ(x) n π tomando vaor absouto: f (x) Φ(x) dx = n π f (x) Φ(x) dx,

82 82 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Anaogamente: a n n π b n n π f (x) dx. f (x) dx. Suponhamos que f C per, que f é contínua e que f está nas condições de Fourier. Votando a integrar por partes, obtemos: a n n 2 π 2 f (x) dx e b n n 2 π 2 Como f está nas condições de Fourier, denotamos a constante: por M, ogo: π 2 f (x) dx f (x) dx. Então: a n M n 2 e b n M n 2. an cos(λ n x) + b n sen(λ n x) an + b n 2 M n 2 ; como a série: converge, peo teorema, a série S[f] converge uniformemente a f. Observação 2.2. As condições impostas anteriormente a f são muito restritivas e deixam de fora uma grande quantidade de exempos interessantes. O seguinte teorema nos diz com que casse de funções ainda é possíve obter convergência uniforme. n 2 Teorema 2.3. Se f C per é contínua por partes e f está nas condições de Fourier, então S[f] converge uniformemente para f em todo intervao fechado que não contenha pontos de descontinuidade de f.

83 2.6. OBSERVAÇÕES SOBRES OS COEFICIENTES DE S[F ] 83 Observação Em particuar, se f( ) f(), então S[f] não pode convergir para f. 2. Se f C per é contínua e diferenciáve por partes, então S[f] converge uniformemente para f em todo R. 3. Se f é definida em (, ) e a extensão periódica de f satisfaz às condições do teorema, então S[f] converge uniformemente para f em [, ]. Exempo 2.5. [] A função f(x) = sen(x), x [ π, π] ta que f(x) = f(x + 2 π) é contínua e diferenciáve por partes; ogo S[f] converge uniformemente a f. [2] Considere a função f(x) = x, x [, ] ta que f(x) = f(x + 2); ogo S[f] não converge uniformemente para f, pois f( ) f(). Teorema 2.4. Se f é definida em (, ) é é contínua por partes, f está nas condições de Fourier e f( ) = f( + ), então S[f] converge uniformemente para f em [, ]. Observação 2.3. Uma função periódica ímpar é contínua se f() = f( ) = f() = ; então a extensão ímpar de uma função definida em (, ) pode ter descontinuidades. As extensões pares não apresentam esta dificudade. Coroário Se f é definida em (, ) e é contínua por partes, f está nas condições de Fourier e f( ) = f( + ) =, então a série dos senos de f converge uniformemente para f em [, ]. 2. Se f é definida em (, ) e é é contínua por partes e f está nas condições de Fourier, então a série dos co-senos de f converge uniformemente para f em [, ]. Note a diferença do comportamento das somas parciais das séries de Fourier em reação à função quando S[f] converge uniformemente ou não para f:

84 84 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER. Seja f(x) = x, x [, ]. A série S[f] converge uniformemente em [, ]; desenhos de f (azu) S e S 2 (vermeho), respectivamente: - - Figura 2.4: 2. Seja f(x) = x, x [, ]. S[f] não converge uniformemente em [, ]; desenhos de f (azu) S e S 3 (vermeho), respectivamente: Figura 2.5: Teorema 2.5. Se f C per é contínua por partes e diferenciáve por partes, então a série de Fourier de f é única. 2.7 Fenômeno de Gibbs Nos parágrafos anteriores observamos que se existir um ponto de descontinuidade de f num intervao, a série de Fourier S[f] não converge uniformemente a f nesse in-

85 2.7. FENÔMENO DE GIBBS 85 tervao. Na vizinhança de um ponto de descontinuidade de f, as somas parciais de S[f] não ficam próximas de f; peo contrário, tem um comportamento osciatório. Na verdade, na vizinhança de um ponto de descontinuidade, o vaor de f e das somas parciais de S[f] diferem num vaor aproximado de 9 do vaor do sato na descontinuidade. Este comportamento é conhecido com o nome de fenômeno de Gibbs. Definindo ω n (x ), a osciação da soma parcia de ordem n de S[f], no ponto de descontinuidade x, como a diferença entre o máximo e o mínimo da soma parcia de ordem n no ponto x, Gibbs observou que o vaor desta osciação não se aproxima do sa(f)(x) se x (x ε, x + ε), não importando se ε é arbitrariamente pequeno. Vejamos o seguinte exempo. Exempo 2.6. Seja { se x π f(x) = se π x <. ta que f(x) = f(x + 2 π): Consideremos a seguinte soma parcia de S[f]: S n = n k= 4 (2 k ) π sen( (2 k ) x ). Observemos os gráficos de f e das somas: S = 4 [ ] sen(x) π S 2 = 4 [ ] sen(3 x) sen(x) + π 3 S 3 = 4 [ ] sen(3 x) sen(5 x) sen(x) + + π 3 5 S 4 = 4 [ sen(3 x) sen(5 x) sen(x) π 3 5 ] sen(7 x) 7 A seguir os gráficos de f (vermeho) e S n (azu) para n =, 2, 3, 4, no intervao [ π, π]:

86 86 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Figura 2.6: Figura 2.7: Note que nos desenhos verifica-se o teorema de Dirichet. Nos seguintes desenhos o gráfico de f e S :

87 2.7. FENÔMENO DE GIBBS Figura 2.8: O espaço H Nos seguintes desenhos um zoom dos desenhos anteriores: Figura 2.9: Note que sa() = 2 e [ f( + ) + f( ) ] =. É possíve provar que o ponto de máximo 2 mais próximo pea direita de é x = π 2 n e que: im S ( π ) 2 2n = Si(π) n + 2 n π onde: Si(x) = x sen(t) t Por outro ado f() =, ou seja excede em, aproximadamente,.8, isto é 9 do sa() = 2. dt.

88 88 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER 2.8 Integração das Séries de Fourier Sabemos que se uma série de funções converge uniformemente para uma função, então, a função preserva as mesmas propriedades das funções que formam a série. Mas, as séries de Fourier pussuem a seguinte propriedade notáve: Proposição 2.2. Se f C per é contínua por partes, então:. S[f] pode ser integrada termo a termo: x a f(t) dt = a 2 (x a) + [ x an onde a, x [, ] e λ n = n π. 2. A função F (x) = x contínua por partes, e: a x cos(λ n t) dt + b n sen(λ n t) dt ], [ a ] f(t) dt é periódica de período 2, contínua e F é 2 a x [ a ] f(t) dt = 2 π b n n + π [ bn cos(λ n x) + a n sen(λ n x) ]. n Este resutado é notáve pois vae mesmo que S[f] não convirja para f. De fato, F é contínua, peo teorema fundamenta do cácuo e F (x) = f(x) se f for contínua. F é periódica de período 2, ogo: F (x) = c 2 + [ ] cn Ψ n + d n Φ n. Integrado por partes, reacionaremos os coeficientes de Fourier de F com os de f: se n >. Anaogamente: c n = [ n π F (x) Φ n d n = n π n π a n, se n >. Como F () =, da série de Fourier de F, temos: ] F (x) Φ n dx = n π b n,

89 2.8. INTEGRAÇÃO DAS SÉRIES DE FOURIER 89 = c 2 + c n, ou seja, c = 2 π b n, isto é: n π b n n = 2 F (x) dx. A série: b n n é, necessariamente, convergente. O teorema se apica da seguinte forma. Se: entâo: S[f] = a 2 + [ an cos(λ n x) + b n sen(λ n x) ], F (x) = x = 2 [ a ] f(t) 2 2 F (x) dx + π [ b n n cos(λ n x) + a n n sen(λ n x) ], Exempo 2.7. [] A série n=2 sen(n x) n(n) é uma série de Fourier? A resposta é não, pois a série: b n n = n n(n) é divergente.

90 9 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Figura 2.2: Gráfico de S 2, do exempo [] [2] Sabemos que x = 2 ( ) n+ sen(n x), n se x ( π, π). Como a n = e b n = 2 ( )n+, então: n π F (x) dx = π [ x ] t dt dx = π2 2 π 2 π 6. Logo: Integrando novamente: π x 2 2 = π2 6 + x 3 6 π2 x 6 = π 2 ( ) n cos(n x). n 2 2 ( ) n sen(n x). 2.9 Derivação das Séries de Fourier Suponhamos que a seguinte propriedade é váida: n 3 S[f ] = ( S[f] ). Isto é, a série de Fourier da derivada de f é a derivada da série de Fourier da f.

91 2.9. DERIVAÇÃO DAS SÉRIES DE FOURIER 9 Consideramos f(x) = x, x [ π, π] ta que f(x + 2 π) = f(x); então: Como f (x) =, temos: S[x] = [ ] 2 ( ) n sen(n x). n [ [ ] 2 ( ) n S[] = sen(n x)] = n 2 ( ) n cos(n x). Por outro ado, a série de Fourier da função f(x) = é ; qua é o paradoxo? Figura 2.2: Gráficos f e S 5 A verdade é que a série de Fourier S[x] não converge uniformemente para x e sim a uma extensão periódica descontinua de x, de sato 2 π. Logo, necessitamos hipóteses adicionais para derivar uma série de Fourier. Proposição 2.3. Se f C per é contínua por partes e diferenciáve por partes, então: S[f ] = ( S[f] ). Isto é, S[f] pode ser derivada termo a termo. Exempo 2.8. Sabemos que f(x) = x, x [, ] ta que f(x) = f(x + 2), é contínua por partes, diferenciáve por partes e:

92 92 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Então a série de Fourier de: é: x = 2 + S[f ] = f (x) = 4 π 2 (2 n ) 2 cos( (2 n ) π x ). { se < x < se < x < 4 ( 2 n) π sen( (2 n ) π x ). Note que a série não converge nos pontos onde f não existe. 2. Convergência em Média Uma função f : [a, b] R é dita de quadrado integráve se: b a f(x) 2 dx < +. Observação Se f for imitada e integráve sobre [a, b], então é de quadrado integravé sobre [a, b]. De fato, se f é imitada, existe k > ta que f(x) k para todo x [a, b] e: b b f(x) 2 dx k 2 dx = k 2 (b a). a a 2. Se f não for imitada, ainda assim pode ser integráve e f 2 não integráve. Como no caso de f(x) = em (, ). x Se f e g são funções de quadrado integráve em [a, b], o erro médio quadrático entre f e g é denotado e definido por: E(f, g) = b a (f(x) g(x)) 2 dx.

93 2.. CONVERGÊNCIA EM MÉDIA 93 Observação Geométricamante, E(f, g) mede o quadrado da área imitadas peos gráficos de f e g. Se E(f, g) é pequeno, os gráficos de f e g são muito próximos. 2. Lembrando que < f, g >= b a f(x) g(x) dx, temos que: f g 2 =< f g, f g >= b Logo f e g são próximas, em média quadrática, se: a (f(x) g(x)) 2 dx. f g 2. Exempo 2.9. [] As funções f(x) = x 2 x e g(x) = x x 2, x [, ] são próximas, em média: E(f, g) = = (x 2 x (x x 2 )) 2 dx (4 x 2 8 x x 4 ) dx = Figura 2.22: Gráficos f e g [2] Sejam f(x) = 2 cos(π x) e g(x) = x ta que x [ 2, 2]. Qua é em média quadrática, mais próxima da função nua:

94 94 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Cacuemos os erro médio quadrático: e: E(, f) = = 4 2 = 8, E(, g) = 2 2 [ 2 cos(π x)] 2 dx cos 2 (π x) dx = [ ( x) ] 2 dx = Logo, a função f é mais próxima, em média, da função nua. [ + cos(2 π x) ] dx (x ) 2 = Figura 2.23: Gráficos f e g Definição 2.4. Seja a sequência ( f n )n N ta que cada f n é de quadrado integráve em [a, b]. Dizemos que ( f n converge em média quadrática para uma função f de quadrado integráve, )n N se: b im n + a f(x) fn (x) 2 dx =. Observação Logo, ( f n )n N integráve, se: converge em média quadrática para uma função f de quadrado im f f n 2 =. n +

95 2.. CONVERGÊNCIA EM MÉDIA b a f(x) fn (x) 2 dx é dito erro médio quadrático de aproximação. 3. Note que: f(x) g(x) 2 dx =< f g, f g > = f 2 2 < f, g > + g 2. A seguir, verificaremos se as somas parciais de S[f], onde f é de quadrado integráve, convergem em média quadrática a f.. Primeiramente, consideremos a função: g N (x) = c + N c n Ψ n + d n Φ n, onde Φ n e Ψ n são dados por (.). Denotemos por: Então: E N = f(x) gn (x) 2 dx. 2. Por outro ado: E N = = f(x) gn (x) 2 dx f 2 (x) dx 2 f(x) g N (x) dx + g 2 N(x) dx. f(x) g N (x) dx = c f(x) dx + = c a + N c n f(x) Ψ n dx + d n f(x) Φ n dx N [ ] cn a n + d n b n.

96 96 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER 3. Anáogamente, utiizando a ortogonaidade de Ψ n e Φ n, temos: ( gn (x) ) 2 dx = 2 c 2 + N [ ] c 2 n + d 2 n. 4. Logo, podemos reescrever: E N = ( f(x) ) 2 dx 2 [ c a + N [ ] ] [ cn a n + d n b n + 2 c 2 + N [ ] ] c 2 n + d 2 n. 5. Derivando para achar os pontos críticos, temos: E N c = 2 a + 4 c = E N c = 2 a + 2 c = E N d = 2 b + 2 d =.. E N c n = 2 a n + 2 c n = E N d n = 2 b n + 2 d n = 6. Não é difíci ver que os vaores c = a 2, c n = a n e d n = b n minimizam E N ; então: g N (x) = S N, onde, S N é a N-ésima soma parcia de S[f]. Denotemos por E N o menor dos E N, utiizando os mesmos argumentos anteriores: E N = [ ( ) 2 a 2 N f(x) dx 2 + [ ] ] a 2 n + b 2 n ;

97 2.. CONVERGÊNCIA EM MÉDIA 97 como E N, temos: ( ) 2 a 2 N f(x) dx 2 + [ ] a 2 n + b 2 n ; esta desiguadade é váida para todo N; então, fazendo N +, obtemos: ( ) 2 a 2 f(x) dx 2 + [ ] a 2 n + b 2 n ; esta desiguadade é chamada de Besse. Observação 2.4. A desiguadade de Besse impica que: [ a 2 n + bn] 2 converge e o seguinte resutado, que foi fundamenta no desenvovimento da teoria das séries de Fourier: Lema (Riemann-Lebesgue) Se f C per e é contínua por partes, então: onde a n e b n são os coeficientes de S[f]. im a n = im b n =, n + n + Teorema 2.6. Se f C per e é de quadrado integráve, então S[f] converge em média para f. A seguir apresentamos um resutado fundamenta na teoria das séries de Fourier: Coroário 2.3. Se f C per e é de quadrado integráve, então: ( ) 2 a 2 f(x) dx = 2 + [ ] a 2 n + b 2 n ; esta iguadade é chamada identidade de Parseva.

98 98 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Observação Se f C per é par e de quadrado integráve, então: ( ) 2 a 2 f(x) dx = 2 + a 2 n. 2. Se f C per é ímpar e de quadrado integráve, então: ( ) 2 f(x) dx = b 2 n. 2. Apicações Normaizemos o erro médio quadrático, da seguinte forma; seja: E 2 N = 2 E N, então: EN 2 = [ ] ( ) 2 f(x) dx 2 2 [ a N [ ] ] a 2 n + b 2 n. Utiizando a identidade de Parseva: ogo: E 2 N = 2 [ a [ ] ] a 2 n + b 2 n a 2 2[ 2 + N [ ] ] a 2 n + b 2 n ; E 2 N = 2 n=n+ [ ] a 2 n + b 2 n. Exempo 2.. [] Cacue: π [ sen(x) + sen(2 x) + sen(5 x) + sen( x) ] 2 dx. π Consideremos f(x) = sen(x) + sen(2 x) + sen(5 x) + sen( x) e cacuemos:

99 2.. APLICAÇÕES 99 Por Parseva: ogo: π π π π [f(x)] 2 dx = π π π [f(x)] 2 dx. 4 b 2 n = = 4; [f(x)] 2 dx = 4 π. [2] Utiizando a série de Fourier de f(x) = x, x [, ] ta que f(x) = f(x + 2), cacue o vaor de: (2 n ) 4. Sabemos que : x = 2 4 π 2 cos ( (2 n ) π x ) (2 n ) 2. f é de quadrado integráve e temos: x 2 dx = 2. Apicando a identidade de Parseva, (2 n ) 4 π = 2 4 3, ogo: (2 n ) 4 = π4 96. [3] Seja f(x) = x x, x [, ] ta que f(x + 2) = f(x). Qua é o erro, em média quadrático, ao considerar S de S[f]? Sabemos que: e que: E N = [ ( ) 2 a 2 N f(x) dx 2 + [ ] ] a 2 n + b 2 n ;

100 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Logo: a = 2 = a 2 = a n = 4 ( )n = a 2 n 2 π 2 n = 6 n 4 π 4 b n = 4 ( )n+ n π = b 2 n = 6 n 2 π 2. E = = π 4 ( x x ) 2 2 dx 9 = n 2 π 2 n 4 6 ( + n 2 π 2 ) n 4 π 4 3 Figura 2.24: Gráficos f e S [4] Seja f(x) = x, x [, ] ta que f(x) = f(x + 2). Quantos termos deve ter S n para que S[f] convirja em média para f com um erro menor que %? Sabemos que: ogo: S[f] = 2 ( ) n+ sen ( n π x ), n π E 2 N = 2 n=n+ 4 n 2 π 2 = 2 π 2 n=n+ n 2.

101 2.. APLICAÇÕES Por outro ado: Então: ogo: n=n+ + n dx 2 N x = 2 b im dx b + N x = 2 E 2 N 2 π 2 N <.; 2 π 2 < N; [ im b + N ] = b N. donde, aproximadamente, temos N > Logo são necessários 2 termos. - - Figura 2.25: Gráficode S 2 [5] Seja f(x) = x, x [, ] ta que f(x) = f(x + 2). Quantos termos deve ter S n para que S[f] convirja em média para f com um erro menor que %? Sabemos que: ogo: S[f] = 2 4 π 2 cos ( (2 n ) π x ) (2 n ) 2, E 2 N = 2 n=n+ 6 (2 n ) 4 π 4 = 8 π 4 n=n+ (2 n ) 4. Por outro ado:

102 2 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER n=n+ + (2 n ) dx 4 N (2 x ) = 4 6 (2 N ). 3 Então: E 2 N 8 6 π 4 (2 N ) 3 <.; ogo: 2 [ ] π + < N; 4 donde, aproximadamente, N >.5. Logo são necessários 2 termos. - Figura 2.26: Gráfico de S 2 [6] Seja: 2 x se x < f(x) = 2 x se x < periódica de período 2. Quantos termos deve ter S n para que S[f] convirja em média para f com um erro menor que.?

103 2.. APLICAÇÕES 3 Figura 2.27: Gráfico de f f é uma função ímpar, ogo a n =, para todo n e: b n = 2 ( 2 x) sen(n π x) dx = [ ( ) n + ], n π então b 2n = e b 2n = n π, e: S[f] = sen(2 n π x) ; n π ogo: E 2 N = 2 n=n+ n 2 π = 2 2 π 2 n=n+ n 2. Por outro ado: n=n+ + n dx 2 N x = 2 N. Então: E 2 N 2 π 2 N <.; donde N > Logo, são necessários 5 termos.

104 4 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Figura 2.28: Gráfico de S 5 [7] Seja: { 2 se x < f(x) = se x < periódica de período 2. Quantos termos deve ter S n para que S[f] convirja em média para f com um erro menor que 8? Figura 2.29: Gráfico de f f não é par nem ímpar: a = a n = 2 b n = 2 cos(n π x) dx sen(n π x) dx cos(n π x) dx =, n > sen(n π x) dx = 3 [ ] ( ) n. n π

105 2.. APLICAÇÕES 5 Logo, b 2n = e b 2n = E: 6, para todo n. (2 n ) π ogo: S[f] = sen(2 n π x) (2 n ) π. E 2 N = 8 π 2 n=n+ (2 n ) 2. Por outro ado: n=n+ + (2 n ) dx 2 N (2 x ) = 2 2 (2 N ). Então: E 2 N 9 (2 N )π < 2 ; 8 donde N > 45595, 3. Logo são necessários termos. Figura 2.3: Gráfico de S N [8] Utiize a série de Fourier de f(x) = sen ( π x), x [, ], periódica de período 2, 2 para cacuar o vaor de: [ n ] 2. 4 n 2

106 6 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Figura 2.3: Gráfico de f f é ímpar e =, ogo a n = para todo n. Por outro ado: b n = 2 = sen ( π x) sen(n π x) dx 2 [ cos ( (n 2 ) π x) cos ( (n + 2 ) π x)] dx = 8 n ( )n+ (4 n 2 ) π. f satisfaz às hipóteses para apicar a identidade de Parseva: 64 n 2 (4 n 2 ) 2 π = 2 sen 2( π x) dx =, 2 então: [ n 4 n 2 ] 2 = π2 64.

107 2.2. EXERCÍCIOS Exercícios. Verifique que se f e g são períodicas de periódo T, então f +g e f g são períodicas de periódo T. 2. Seja F (x) = x (a) F é par se f é ímpar. (b) F é ímpar se f é par. f(t) dt. Verifique que: 3. Seja f(x) = cos(α x) + cos(β x). Verifique que f é periódica se α β Q. 4. Se f é periódica de período 2, verifique que: F (x) = x onde a R, é periódica de período 2. [ f(t) a ] dt, 2 5. Sejam P = P n (x) os poinômios de Legendre. Verifique que são ortogonais em C([, ]): se n m e P n P n = 6. Determine S[f], se: P n P m = P n (x) P m (x) dx =, 2. Utiize a fórmua de Rodrigues. 2 n + (a) f(x) = + x ; x [, ] ta que f(x) = f(x + 2) (b) f(x) = 2 x ; x [, ] ta que f(x) = f(x + 2) (c) f(x) = x 2 + x; x [ 2 π, 2 π] ta que f(x) = f(x + 4 π) (d) f(x) = e x, x [ 2, 2] ta que f(x) = f(x + 4) (e) f(x) = 2 cos 2 (x), x [ π, π] ta que f(x) = f(x + 2 π)

108 8 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER (f) f(x) = cos(3 x) + cos 2 (x), x [ π, π] ta que f(x) = f(x + 2 π) 2 + x se x < (g) f(x) =, ta que f(x) = f(x + 2) 2 x se x < { x + π se π x (h) f(x) =, ta que f(x) = f(x + 2 π) x se < x < π se 3 π x < π (i) f(x) = se π x < 2 π, ta que f(x) = f(x + 6 π) 2 se 2 π x < 3 π { se π x < (j) f(x) =, ta que f(x) = f(x + 2 π) x 2 se x < π { se π x < (k) f(x) =, ta que f(x) = f(x + 2 π) x 3 se x < π () A função que tem como gráfico: π (m) A função que tem como gráfico: π π 2π

109 2.2. EXERCÍCIOS 9 (n) A função que tem como gráfico: π π π π[ 7. Determine f p, f o e f z e esboce os gráficos de f p,f o e f z das funções: (a) f(x) = + x, x [, ] (b) f(x) = e x, x [, 2] (c) f(x) = x 2 x +, x [, ] { 2 se < x < (d) f(x) = se < x 2 x se < x π (e) f(x) = 2 π π x se 2 < x < π (f) f(x) = 4 x se < x 2 x 3 se 4 2 < x 8. Determine S[f p ], S[f o ] e Sf z, onde f é dada peo ítem anterior. 9. Esboce os gráficos das somas parciais até de ordem 4, do ítem anterior.. Utiize a série de Fourier de f(x) = f(x + 2 π) para verificar que: { π 4 se π < x < π se x < π 4 ta que f(x) = ( ) n+ 2 n = π 4.

110 CAPÍTULO 2. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER. Utiize a série de Fourier de: f(x) = ta que f(x) = f(x + 2 π) para verificar que: { π se π x < x se x < π (2 n ) 2 = π Utiize a série de Fourier de f(x) = x 2, x [ π, π] ta que f(x) = f(x + 2 π) para verificar que: (a) (b) (c) n = π2 2 6 ( ) n+ n 2 n 4 = π4 9 = π2 2

111 Capítuo 3 PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE 3. Introdução Sabemos que um sistema formado por uma e.d.o. de ordem n e n condições compementares, que determinam, em um mesmo vaor da variáve independente, o vaor da função incógnita e de suas derivadas, é chamado de probema de vaor inicia (PVI). As condições compementares são chamadas condições iniciais. Isto é, dada uma edo de segunda ordem, o sistema: y + p(x) y + q(x) y = r(x) y(x ) = y (3.) y (x ) = y tem uma única soução se as funções: p, q, r : (x ε, x + ε) R são contínuas (ε > ). Veja, ([NP]) na bibiografia. Agora, nosso interesse, é estudar a possibiidade de determinar a soução da edo de (3.), savendo que a função passa de um ponto a outro, é dizer, se o sistema: y + p(x) y + q(x) y = r(x) y(x ) = y y (x ) = y tem soução?

112 2 CAPÍTULO 3. PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE 3.2 Probemas de Contorno Definição 3... Uma condição de contorno ou bordo de uma e.d.o. são condições compementares que determinam, em dois ou mais vaores da variáve independente, os vaores da função incógnita e de suas derivadas. 2. A e.d.o. junto com as condições de bordo ou de contorno é chamado probema com vaores de contorno (PVC). Observação 3... Como no caso dos PVI, o número de condições impostas é igua à ordem da e.d.o. 2. Uma diferença essencia entre os PVI e os probemas que envovem condições de contorno é que estes podem ter uma, nenhuma ou infinitas souções. 3. Condições de bordo típicas para edo s de segunda ordem são: a y(x ) + a 2 y (x ) = α, ta que a 2 + a 2 2 a 2 y(x 2 ) + a 22 y (x 2 ) = β, ta que a a 2 22 Exempo 3.. [] O probema cássico de determinar a forma que toma um cabo fexíve, suspenso em dois pontos e sujeito a seu peso é um PVC. Este probema foi proposto por Leonardo da Vinci e resovido corretamente, após anos por Leibniz e J. Bernoui; foi Leibniz que deu o nome de catenária à curva soução do probema. Para mais detahes veja ([NP]). [2] O exempo seguinte é de um PVC: y + y =, y() = y(π) = 2. < x < π

113 3.3. PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE Probemas de Sturm-Liouvie Nosso interesse é uma casse especia de PVC, que passaremos a estudar. Definição 3.2. O PVC: (s y ) q y + λ p y =, < x < r α y() + α 2 y () = β y(r) + β 2 y (r) =, (3.2) onde s = s(x), q = q(x), p = p(x) são definidas em (, r) e λ R, é chamado de probema de Sturm-Liouvie (PSL). Observação 3... Os possíveis vaores de λ ta que (3.2) possui souções não triviais são chamados autovaores e as souções correspondentes autofunções. 2. O PSL sempre tem soução y =. Nós estamos interessados num tipo especia de PSL. Exempo 3.2. [] O seguinte é um PSL: y + λy =, y() = y(π) = 2. < x < π [2] O seguinte é um PSL: x 2 y + x y + λ y =, y() = y(e) =. < x < e de fato: x 2 y + x y + λ y = (x y ) + x λ y =. Definição 3.3. O PVC (3.2) é dito de Sturm-Liouvie reguar se:

114 4 CAPÍTULO 3. PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE. s = s(x), s = s (x), q = q(x) e p = p(x) são contínuas em [r, ]. 2. s(x) > e p(x) > para todo x [r, ]. 3. α 2 + α2 2 > e β 2 + β2 2 >. Caso contrário, é dito singuar. Exempo 3.3. [] O seguinte é um PSL reguar: y + λy =, y() = y(π) = 2. < x < π [2] O seguinte é um PSL singuar: x 2 y + x y + λ y =, y() = y(e) =. < x < e de fato, s(x) = x e s() =. [3] A edo de Besse x 2 y + x y + (x 2 ν 2 ) y = pose ser escrita como um PSL reguar, em quaquer intervao [a, b], onde < a < b. De fato x 2 y + x y + (x 2 ν 2 ) y = (x y ) ν2 x y + x y =, x [a, b]. Logo, podemos escrever: (x y ) ν2 x y + x y =, y(a) = y(b) =. a < x < b Teorema 3.. Todo PSL reguar possui uma sequência de autofunções ( φ n )n N com a correspondente sequência de autovaores ( λ n ta que: )n N. λ < λ 2 < λ 3 <....

115 3.4. PROBLEMAS DE STURM - LIOUVILLE REGULARES 5 2. Se i j, então as autofunções satisfazem: r p(x) φ i (x) φ j (x) dx =. 3. im n + λ n =. 4. Se q(x) e α, α 2, β, β 2, então λ j, para todo j. 5. Se p(x) >, os autovaores são reias. Observação 3.2. As autofunções de um PSL são únicas, savo constantes. Todo mútipo de uma autofunção é uma autofunção. 3.4 Probemas de Sturm - Liouvie Reguares Nós estamos particuarmente interessados nos seguintes tipos de PSL reguares: y + λ 2 y =, < x < r α y() + α 2 y () = β y(r) + β 2 y (r) =. (3.3) Nestes tipos de PSL temos que as autofunções são ortogonais, em reação ao produto interno definido no capítuo de Séries de Fourier: < f, g >= r f(x) g(x) dx De fato, sejam y i e y j autofunções de (3.3) com autovaores correspondentes λ i e λ j ; então: { y i + λ 2 i y i = () y j + λ 2 j y j = (2) ogo, mutipicando () por y j e (2) por y i e subtraindo, obtemos: Consideremos a integra: y i y j y j y i = (λ 2 j λ 2 i ) y i y j =.

116 6 CAPÍTULO 3. PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE integrando por partes I: I = r ( y i y j y j y i ) dx, i j; ogo: I = ( y i(x) y j (x) y j(x) y i (x) ) r r = ( y i(x) y j (x) y j(x) y i (x) ) r, (λ 2 j λ 2 i ) r ( ) y i y j y j y i dx y i y j dx = [ y i(x) y j (x) y j(x) y i (x) ] r. As condições de contorno do PSL, em x = r são satisfeitas peas autofunções: { β y j (r) + β 2 y j(r) = () β y i (r) + β 2 y i(r) =. (2) Suponha que β 2 ; mutipiquemos () por y i (r) e (2) por y j (r); subtraindo obtemos: β 2 [ y i (r) y j (r) y j(r) y i (r) ] =. Anaogamente, verificamos que se β, então: β [ y i () y j () y j() y i () ] =, isto é: [ y i (x) y j (x) y j(x) y i (x) ] r = ; então: r y i (x) y j (x) dx =, i j. Logo, as autofunções são ortogonais.

117 3.5. EXEMPLOS Exempos [] Considere o PSL reguar: y λ y =, y() = y() =. < x < A soução gera da e.d.o. depende do sina de λ:. Se λ =, a soução é: y(x) = A x + B. Utiizando as condições de contorno, temos que A = B = ; ogo a soução do PSL é nua. 2. Se λ >, a soução é: y(x) = A exp( λ x) + B exp( λ x). Utiizando as condições de contorno, temos que: = y() = A + B; ogo: = y() = A + B, ogo A = B, e: = y() = A ( exp( λ ) exp( λ ) ) = 2 A senh( λ ), então, A = e a soução do PSL é nua. 3. Se λ <, mudamos λ por λ 2 na equação; ogo, a soução é: y(x) = A cos(λ x) + B sen(λ x). Utiizando as condições de contorno, temos que: = y() = A = y() = B sen(λ ); se B =, novamente temos souções nuas; se B, então sen(λ ) =, isto é:

118 8 CAPÍTULO 3. PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE ogo os autovaores dependem de n: Os autovaores e as autofunções são: λ = n π ; λ n = n π, n Z. Como sen( α) = sen(α), então: Note que : y n (x) = sen(λ n x). { λn = n π y n (x) = sen(λ n x), n N. para todo n m. sen(λ n x) sen(λ m x) dx =, Figura 3.: Agumas autofunções do exempo [] [2] Considere o PSL reguar: x 2 y + x y + λ y =, y() = y(e) =. < x < e

119 3.5. EXEMPLOS 9 O PVC é um PSL reguar. De fato, no intervao (, e): x 2 y + x y + λ y = (x y ) + x λ y =.. Se λ, temos a soução nua. 2. Se λ >, soução gera da e.d.o. (Euer) é: y(x) = A cos ( λ n(x) ) + B sen ( λ n(x) ). Como = y() = A, da segunda condição = y(e) = B sen( λ), sendo B ; então, os autovaores e as autofunções são: λ n = n 2 π 2 y n (x) = sen ( n π n(x) ). [3] Considere o PSL reguar: y λ y =, y() = y () =. < x < A soução gera da e.d.o. depende do sina de λ:. Se λ =, a soução é constante. 2. Se λ >, a soução é nua. 3. Se λ <, mudamos λ por λ 2 na equação; ogo, a soução é: y(x) = A cos(λ x) + B sen(λ x). Utiizando as condições de contorno, temos que: = y () = B = y () = A λ sen(λ );

120 2 CAPÍTULO 3. PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE se A =, novamente temos souções nuas; se A, então sen(λ ) =, isto é, λ = n π ; ogo os autovaores dependem de n: As autofunções são: λ n = n π, n Z. y n (x) = cos(λ n x). Logo: λ n = n π y n (x) = cos(λ n x), n N. Note que : cos(λ n x) cos(λ m x) dx =, para todo n m. 3 - Figura 3.2: Agumas autofunções do exempo [3] [4] A edo de Hermite pode ser reescrita da forma: d [ e x 2 y ] + 2 λ e x2 y =, x R. dx Se adicionamos a condição de λ n = n N {}, temos um PSL ta que o conjuntos dos autovaores e autofunções correspondentes, são:

121 3.5. EXEMPLOS 2 {n / n N} {}, {H n (x) / n N {}, x R}. [5] A edo de Legendre pode ser reescrita da forma: d [ (x 2 ) y ] + λ y =, x (, ). dx Se adicionamos que λ n = n (n + ), n N e a condição de contorno: y(±) é imitada, temos um PSL singuar ta que o conjuntos dos autovaores e autofunções correspondentes, são: {n (n + ) / n N}, {P n (x) / n N, x (, )}. [6] Considere o PSL singuar: { t 2 y + t y + λ t 2 y =, < x < y () =. Se adicionamos a condição de contorno: y() é imitada. Fazendo a mudança x = λ t, (λ > ); obtemos a edo de Besse de ordem zero: x 2 y + x y + x 2 y =, que tem soução y(x) = c J (x) + c 2 Y (x). A condição de contorno de y() é imitada, impica c 2 =. Da outra condição, temos: J ( λ) =, ogo, os autovaores são os λ < λ 2 <..., os (infinitos) zeros de J, que são conhecidos: λ n π (n + 2 ). As autofunções são: {J ( λ n t) / n N}.

122 22 CAPÍTULO 3. PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE Figura 3.3: Gráficos de J ( λ t) e J ( λ 2 t) Em gera, se consideramos a edo de Besse de ordem n N, temos que as autofunções são: {J n ( λ n t) / n N} Figura 3.4: Gráficos de J 2 ( λ 2 t) e J 5 ( λ 9 t) Definição 3.4. Um PSL reguar com condições periódicas, do tipo: é chamado PSL periódico. { y() = y(r) y () = y (r) Exempo 3.4. [] Considere:

123 3.5. EXEMPLOS 23 y λ y =, y( ) = y() y ( ) = y (). < x < O PVC é um PSL periódico.. Se λ =, a soução é y(x) = A x + B. Utiizando as condições de contorno temos A = ; ogo: y(x) =. 2. Se λ >, as condições de contorno não são satisfeitas. 3. Se λ <, mudamos λ por λ 2 na equação; ogo, a soução é: y(x) = A cos ( λ x) + B sen ( λ x); utiizando as condições de contorno, obtemos: [ A cos ( λ ) + B sen ( λ ) ] [ A cos ( λ ) B sen ( λ ) ] = [ A λ sen ( λ ) + B λ cos ( λ ) ] [ A λ sen ( λ ) + B λ cos ( λ ) ] = ; ogo: { 2 B sen ( λ ) = 2 λ A sen ( λ ) = ; então, sen ( λ ) = para A e B arbitrários. Obtemos: λ n = n π. Como sen ( λ ) = é satisfeita para A e B arbitrários, obtemos as autofunções sen(λ n x) e cos(λ n x). Logo o conjuntos dos autovaores e autofunções correspondentes, são: { n π / n N {}} e {, cos(λ n x), sen(λ n x) / n N}.

124 24 CAPÍTULO 3. PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE

125 Capítuo 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 4. Introdução A diferença entre as equações diferenciais ordinárias e as equações diferenciais parciais não é apenas a quantidade de variáveis independentes envovidas. Muitos conceitos reativos às equações diferenciais ordinárias não tem extensões para equações diferenciais parciais. Por exempo, não existe uma teoria gera das equações diferenciais parciais; o que existe são teorias gerais para "tipos"de equações diferenciais parciais. Neste parágrafo estudaremos aguns tipos especiais de equações diferenciais parciais, a saber, as de segunda ordem e de coeficientes constantes. Não pretendemos fazer um estudo profundo das equações diferenciais parciais de segunda ordem. Em gera, muitos conceitos importantes, como por exempo, as curvas características associadas a uma equação diferencia parcia, não serão abordados. Para este parágrafo recomendamos ([IV]) e ([FD]) na bibiografia. 4.2 Equações Diferenciais Parciais Lineares de Segunda Ordem Todo o capítuo será destinado ao estudo das equações do caor, da onda e de Lapace, respectivamente, que são ineares de segunda ordem e de coeficientes constantes. Estas equações são representantes típicos de uma cassificação gera das equações diferenciais parciais de segunda ordem ineares. Uma característica comum das equações diferenciais parciais e das edo s é que as equações diferenciais parciais também podem ser cassificadas pea ordem e pea inearidade. A ordem de uma equação diferencia parcia é a ordem da maior derivada parcia presente na equação. 25

126 26 CAPÍTULO 4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Notações. Sejam Ω R n um conjunto aberto e (x, x 2,... x n ) Ω. 2. Seja u : Ω R uma função ta que admita, peo menos, as derivadas parciais até a segunda ordem. 3. u xi = u, u xi x x i = 2 u, u xi x j = 2 u, etc. i x i y j x 2 i Definição 4.. Uma equação diferencia parcia (edp) de segunda ordem nas variáveis independentes x, x 2,... x n é uma equação da forma: F ( x, x 2,... x n, u, u x,..., u xn, u x x,..., u xi x j... u xnx n ) =, (4.) onde U R (n+)2 é aberto e F : U R é contínua. Definição 4.2. Uma edp inear de segunda ordem nas variáveis independentes x, x 2,... x n é da forma: n A ij (x) u xi x j + i,j= n B i (x) u xi + D(x) u = H(x), (4.2) i= onde x = (x, x 2,... x n ) Ω, A ij, B j, D e H são funções contínuas definidas em Ω e as funções A ij não são todas nuas. Observação 4.. A função u = u(x, x 2,... x n ) é a incognita da equação (6.). Se H =, a edp (6.) é dita homogênea. Denotamos e definimos o Lapaciano de u como: u(x) = u x x + u x2 x u xnxn, onde x Ω. Note que: u(x) = div ( u(x) ), isto é o divergente do gradiente de u.

127 4.3. EXEMPLOS DE EDP S LINEARES DE SEGUNDA ORDEM Exempos de Edp s Lineares de Segunda Ordem 4.3. Edp do caor ou de difusão Seja (x, x 2,..., x n, t) R n [, + ): α 2 u(x) + h = u t, onde x = (x, x 2,..., x n ), h = h(x) e α é uma constante positiva, chamada difusividade térmica. Esta edp está associada a fenômenos de difusão; por exempo, descreve a evoução do caor em sóidos. Em particuar, se u = u(x, t) e h =, temos: u t = α 2 u xx Edp da onda Seja (x, x 2,..., x n, t) R n [, + ): c 2 u(x) + h = u tt, onde x = (x, x 2,..., x n ), h = h(x) e c é uma constante positiva, chamada a veocidade de propagação da onda. Esta edp aparece em fenômenos diversos como:. das ondas eásticas em sóidos, incuindo cordas vibrantes, barras e membranas; 2. em acústica 3. em ondas eetromagnéticas. Em particuar, se u = u(x, t) e h =, temos a edp unidimensiona da onda: u tt = c 2 u xx.

128 28 CAPÍTULO 4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Edp de Poisson Seja x = (x, x 2,..., x n ) R n : u(x) = h(x), onde h = h(x). A edp de Poisson está associada a fenômenos estacionários, isto é, que não dependem do tempo, como os potenciais eetrostáticos gerados por distribuições fixas de cargas. No caso em que h = : u(x) = u xx + u yy =. Esta edp é conhecida como de Lapace, e apareceu, pea primeira vez, associada à hidrodinâmica, num trabaho de Euer. Posteriormente foi exaustivamente estudada por Lapace, associada à atração gravitaciona entre corpos no espaço. A energia potencia de uma partícua onde agem forças gravitacionais é soução da edp de Lapace; por isso, agumas vezes também é chamada edp do potencia. A edp de Lapace aparece no estudo de:. fenomênos eetromagnéticos, incuindo eetrostáticos, dieétricos, correntes estacionárias e magnetoscopia; 2. hidrodinâmica (fuxo irrotaciona de íquidos perfeitos e superfícies de ondas), 3. fuxo do caor 4. gravitação Edp de Schrödinger Seja x = (x, y, z, t) R 3 (, + ): i Ψ t = ħ Ψ + V Ψ, 2 m onde i =, Ψ = Ψ(x) e V = V (x, y, z) é uma função diferenciáve, m > e ħ é a constante de Pank. Esta edp descreve a iteração de uma partícua quântica de massa m com um potencia V.

129 4.4. EDP S LINEARES DE SEGUNDA ORDEM EM R Edp s Lineares de Segunda Ordem em R 2 O conceito de soução de uma edp é muito deicado. Na verdade, o estudo deste conceito impusionou notavemente a teoria gera das edp. Para estas notas utiizaremos a seguinte definição de soução para edp s em duas variáveis independentes: Definição 4.3. Seja Ω um conjunto aberto em R 2. Uma função φ : Ω R é uma soução cássica de (4.) em Ω, se:. φ C 2( Ω ). 2. Para todo (x, y) Ω, o vetor ( x, y, φ, φx, φ y, φ xy, φ yx, φ xx, φ yy ) pertence ao domínio da função F. 3. Para todo (x, y) Ω, a função φ(x) satisfaz identicamente a edp (4.), isto é: F ( x, y, φ, φ x, φ y, φ xy, φ yx, φ xx, φ yy ) =. Como u C 2( Ω ) a edp inear de segunda ordem nas variáveis independentes x e y é da forma: A(x, y) u xx + B(x, y) u xy + C(x, y) u yy = f ( x, y, u, u x, u y ), (4.3) onde A, B, C : Ω R são funções contínuas, não simutaneamente nuas e f é uma função inear Cassificação das Edp s Lineares de Segunda Ordem em R 2 Existe uma cassificação para as edp ineares de segunda ordem que é inspirada na cassificação da equação gera de segundo grau em Geometria Anaítica. Esta cassificação é baseada na possibiidade da edp (4.3), através de uma mudança de coordenadas adequada, poder ser transformada numa das formas canônicas. Definamos o discriminante de (4.3): ta que δ(x, y) = B 2 (x, y) A(x, y) C(x, y). δ : Ω R,

130 3 CAPÍTULO 4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Definição 4.4. Seja δ o discriminante de (4.3):. Se δ(x, y) >, então dizemos que a edp (4.3) é hiperbóica no ponto (x, y) Ω. 2. Se δ(x, y) =, então dizemos que a edp (4.3) é parabóica no ponto (x, y) Ω. 3. Se δ(x, y) <, então dizemos que a edp (4.3) é eítica no ponto (x, y) Ω. Quando a edp é hiperbóica em todos os pontos de Ω, é dita hiperbóica em Ω. Anaogamante, para parabóica e eítica. A natureza da edp (4.3) não muda por mudanças de coordenadas. De fato, sejam ψ = ψ(x, y) e η = η(x, y) uma mudança de coordenadas de casse C 2 numa vizinhança do ponto (x, y ) Ω; como o determinante Jacobiano J é não nuo nesta vizinhança, não é difíci verificar que: δ(ψ, η) = δ(x, y) J 2 (x, y); ogo, o sina de δ não muda, na vizinhança do ponto (x, y ). Exempo 4.. [] A edp de Tricomi: y u xx + u yy =. Note que δ(x, y) = y; ogo, a edp é hiperbóica no semi-pano y <, eítica no semipano y > e é parabóica no eixo dos x. [2] A edp do caor é parabóica em R 2. [3] A edp da onda é hiperbóica em R 2. [4] A edp de Poisson é eítica em R 2. É possíve mostrar que para as edp s ineares de segunda ordem existe uma mudança de variáve ta que permite escrevê-as nas seguintes formas:. Se a edp é eítica: u = f(x, y, u, u x, u y ).

131 4.5. ÁLGEBRA LINEAR 3 2. Se a edp é parabóica: u yy = f(x, y, u, u x, u y ). 3. Se a edp é hiperbóica: u xy = f(x, y, u, u x, u y ) ou u xx u yy = f(x, y, u, u x, u y ). Esta formas são chamadas canônicas. 4.5 Ágebra Linear Definamos por L : C 2( Ω ) C ( Ω ), o seguinte operador inear: n L[u] = A ij (x) u xi x j + i,j= n B i (x) u xi + D(x) u. i= Podemos escrever a edp homogênea associada a (4.3) como: L[u] =. Logo, se u, u 2,... u m são souções da edp homogênea e α i R, então u = m α i u i, i= é soução da edp homogênea. Portanto, as souções da edp homogênea formam um subespaço vetoria de C 2( Ω ). Sabemos que as edo s ineares de segunda ordem homogêneas formam um subespaço vetoria de dimensão finita (dois). Isto mostra outra diferença entre edp s e edo s. Em muitas edp s simpes temos que o subespaço das souções da edp homogênea L[u] = pode ser de dimensão infinita. Isto nos conduz novamente aos probemas de convergências de séries de funções, que é a soução da edp. Exempo 4.2. Considere a edp: Como: u xy =, (x, y) R 2.

132 32 CAPÍTULO 4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS u xy = y ( ux ) =, u x não depende de y, isto é: u x = F (x), onde F C ( R 2). Integrando em reação a x: u(x, y) = f(x) + g(y), onde f C 2( R 2) é uma primitiva de F, arbitrária e g C 2( R 2) também é arbitrária. Logo, o conjunto das souções cássicas da edp é infinito. Observação 4.2. Sabemos do capítuo sobre convergência uniforme das séries de funções que não é trivia afirmar que uma combinação inear infinita de souções cássicas de uma edp seja uma soução cássica da edp. Isto nos eva à seguinte propriedade, conhecida como Princípio de Superposição: Proposição 4.. Princípio de Superposição Seja a sequência ( u i de funções tais que )i N L[u i ] =, onde u i C k( Ω ), e ( λ i é uma sequência numérica ta que: )i N λ i u i (x), i= converge para a função u e é k vezes diferenciáve termo a termo em Ω; então, L[u] =. 4.6 Condições de Fronteira e Iniciais para Edp s Outra diferença entre edo s e edp s é a informação adiciona que precisamos para obter unicidade das souções. Tanto nos PVI para edo s como nos probemas de Sturm- Liouvie, as condições adicionais são impostas em intervaos finitos e nos extremos destes intervaos. Como nas edp s as variáveis independentes pertencem a um conjunto aberto Ω R n, é natura considerar Ω (a fronteira de Ω). Definição 4.5. Quando impomos condições sobre o vaor da soução e de suas derivadas em Ω numa edp, temos o chamado probema de vaores de fronteira.

133 4.6. CONDIÇÕES DE FRONTEIRA E INICIAIS PARA EDP S 33 A maioria das condições de fronteira das edp s que estudaremos nestas notas aparecem de forma natura na descrição de fenômenos físicos estacionários. Por exempo: α u(x, y) + β u (x, y) = f(x, y), (x, y) Ω, (4.4) n onde α, β R, f : Ω R e u é a derivada direciona de u na direção norma a Ω. n Observação 4... Se β =, então (4.4) é chamada de Dirichet. 2. Se α =, então (4.4) é chamada de Neumann. No caso das condições iniciais, como nas edp s temos mais de uma variáve independente, podemos fixar uma das variáveis, (por exempo, y = ), e impor o vaor da soução e das derivadas parciais em reação à variáve fixada como função das outras variavéis, (por exempo, u y (x, ) = k(x)). Agora generaizaremos o conceito de condição inicia para n = 2, da seguinte maneira: impomos o vaor da soução e de suas derivadas direcionais ao ongo de uma curva. O probema correspondente é um probema de Cauchy, o de vaor inicia. As edp s junto com às condições de fronteira e de vaor inicia, são chamadas probemas mistos. Exempo 4.3. [] Seja (x, t) Ω = (, ) (, + ) e: u t = α 2 u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, ]. É um probema misto. Observe que: Ω = [, ] [, + ) e Ω = {(, t) / t } {(, t) / t } {(x, ), x [, ]}.

134 34 CAPÍTULO 4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS t Ω x Figura 4.: Ω e Ω em azu A condição u(, t) = u(, t) =, (x, t) Ω é uma condição de contorno e a condição u(x, ) = f(x), (x, ) Ω é uma condição inicia. A função f é dada e α é uma constante positiva. A soução que procuramos deve satisfazer u C ( Ω ) C 2( Ω), isto é, contínua em Ω e de casse C 2 em Ω, f C ( [, ] ) e é ta que f() = f() =. [2] Seja (x, t) Ω = (, ) (, + ) e: u tt = c 2 u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, ] u t (x, ) = g(x), se x [, ]. É um probema misto. Observe que: Ω = [, ] [, + ) e Ω = {(, t) / t } {(, t) / t } {(x, ), x [, ]}. A condição u(, t) = u(, t) =, (x, t) Ω é uma condição de contorno e as condições u(x, ) = f(x) e u t (x, ) = g(x), (x, ) Ω são condições iniciais. A função f é dada e c >. A soução que procuramos deve satisfazer u C ( Ω ) C 2( Ω), isto é, contínua em Ω e de casse C 2 em Ω. Por outro ado, devemos ter f C 2( [, ] ) ta que f() = f() = f () = f () = e g C ( [, ] ) ta que g() = g() =. [3] Seja Ω R 2 um retânguo ou um disco:

135 4.6. CONDIÇÕES DE FRONTEIRA E INICIAIS PARA EDP S 35 u =, em Ω u Ω = f. É um probema de Dirichet. [4] Seja Ω R 2 um retânguo ou um disco: É um probema de Neumann. u =, em Ω u = f, n em Ω. Observação 4.2. Dada uma edp juntamente com as condições de fronteira e/ou iniciais, existem três questões fundamentais:. Quando existem souções? 2. Se existem, são únicas? 3. Que tipo de dependência existe entre a soução e as condições de fronteira e/ou iniciais? Agumas respostas destas questões ficam fora do contexto destas notas. Nós faremos apenas aguns comentários. Para mais detahes veja ([IV]). Quando se discute a existência das souções, aém de especificar a casse de diferenciabiidade da soução se deve precisar o sentido das condições de fronteira e/ou iniciais que são satisfeitas. Como nos dois primeiros exempos. É natura perguntar se pequenas variações das condições de fronteira e/ou iniciais acarretam variações nas souções. No caso afirmativo, dizemos que a soução depende continuamante dos dados de fronteira e/ou iniciais. O probema onde vaem a existência, unicidade e dependência contínua dos dados de fronteira e/ou iniciais, é dito probema bem posto (no sentido de Hadamard).

136 36 CAPÍTULO 4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 4.7 Método de Separação das Variáveis O método também é conhecido como de Fourier e é o mais cássico dos métodos para determinar souções particuares de edp s ineares. Basicamente permite reduzir o probema da procura de souções de certos tipos de edp s a probemas de resoução de edo s. Na verdade é o mais básico dos métodos de desenvovimento em autofunções. O método é utiizado para edp s ineares homogêneas com condições de contorno homogêneas e regiões do tipo Ω = I J, onde I, J R são intervaos abertos. Observação 4.3. A estratégia para apicar o método nestas notas, é a seguinte:. Se Ω = (a, b) (c, d) e (x, y) Ω, então procuraremos souções cássicas u = u(x, y), não nuas do tipo: u(x, y) = X(x) Y (y) ta que X : (a, b) R e Y : (c, d) R são funções com a mesma casse de diferenciabiidade que a edp requer. 2. A seguir faremos uma série de raciocínios sem tentar justificar rigorosamente cada passo. Estaremos somente procupados em determinar as funções X e Y. 3. Após determinar as funções X e Y, justificaremos, com as hipóteses necessárias para obter uma soução cássica para a edp. 4. O método pode ser apicado independente do número de variáveis independentes envovidas. Exempo 4.4. [] Apique o método de separação das variáveis à edp: x u x y u y =, x, y >. Procuramos souções não nuas, do tipo : u(x, y) = X(x) Y (y),

137 4.7. MÉTODO DE SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 37 Como u = u(x, y) é soução da edp, então deve satisfazer: x X (x) Y (y) y X(x) Y (y) =, Como X = X(x) e Y = Y (x) são não nuas: x X (x) Y (y) y X(x) Y (y) X(x) Y (y) =, equivaentemente: x X (x) X(x) = y Y (y) Y (y) = p R; donde obtemos: { x X (x) p X(x) = y Y (x) p Y (y) =. Ambas edo s são do mesmo tipo.. Se p = temos a souções X(x) = a e Y (y) = b ; ogo: u(x, y) = X(x) Y (y) = c. c R. 2. Se p, temos: X(x) = a x p Y (y) = b y p. ogo, temos a soução: u(x, y) = X(x) Y (y) = c x p y p. Então a soução da edp é: u(x, y) = c x p y p, c p R. [2] Apique o método de separação das variáveis à edp:

138 38 CAPÍTULO 4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS u xx u yy =. Procuramos souções não nuas, do tipo : u(x, y) = X(x) Y (y), Como u = u(x, y) é soução da edp, então deve satisfazer: X (x) Y (y) X(x) Y (y) =, Como X = X(x) e Y = Y (x) são não nuas: X (x) Y (y) X(x) Y (y) X(x) Y (y) =, equivaentemente: X (x) X(x) = Y (y) Y (y) = p R; donde obtemos: { X (x) p X(x) = Y (x) p Y (y) =.. Se p = temos a souções X(x) = a x + b e Y (y) = a y + b ; ogo: u(x, y) = X(x) Y (y) = [ a x + b ] [ a y + b ] = a x y + b x + c y + d onde, a, b, c, d R. 2. Se p >, fazendo p = λ 2, temos que: X(x) = c e k x + c 2 e k x Y (y) = d e k y + d 2 e k y, ogo, temos a soução:

139 4.7. MÉTODO DE SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 39 u(x, y) = X(x) Y (y) = [ c e k x + c 2 e k x] [ d e k y k + d 2 e y] = a e k(x+y) + b e k(x y) + c e k(x y) + d e k(x+y) onde, a, b, c, d R. 3. Se p <, fazendo p = λ 2, temos que: X(x) = c cos(k x) + c 2 sen(k x) Y (y) = d cos(k y) + d 2 sen(k y), ogo, temos a soução: onde, a, b, c, d R. u(x, y) = X(x) Y (y) = [ c cos(k x) + c 2 sen(k x) ] [ d cos(k y) + d 2 sen(k y) ] = a cos(k x) cos(k y) + b cos(k x) sen(k y)+ Então a soução da edp é: a x y + b x + c y + d a, b, c, d R. + c sen(k x) cos(k y) + d sen(k x) sen(k y). a e k(x+y) + b e k(x y) + c e k(x y) + d e k(x+y) u(x, y) = a cos(k x) cos(k y) + b cos(k x) sen(k y)+ +c sen(k x) cos(k y) + d sen(k x) sen(k y), [3] Apique o método de separação das variáveis à edp: Procuramos souções não nuas, do tipo : u xx + u xt + u tt =.

140 4 CAPÍTULO 4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS u(x, y) = X(x) T (t), Como u = u(x, t) é soução da edp, então deve satisfazer: X (x) T (t) + X (x) T (t) + X(x) T (t) =, Como X = X(x) e Y = Y (x) são não nuas: X (x) T (t) + X (x) T (t) + X(x) T (t) X(x) T (t) =, equivaentemente: X (x) X(x) + X (x) T (t) X(x) T (t) + T (t) T (t) = ; ogo, não é possíve apicar o método de separação das variáveis.

141 4.8. EXERCÍCIOS Exercícios. Cassifique como hiperbóica, parabóica ou eiticas as seguintes edp s: (a) u xx + 4 u xy u yy = u (b) u xx + 4 u xy + 2 u yy = (c) u xx 4 u xy = (d) u xx + u tt u t = u xt u x (e) u xy u x + u y = 6 (f) 5 u xx y y yy = (g) y u xx + x 2 u yy = u (h) x 2 u xx + y u yy + u x = u y 2. Apique o método de separação das variáveis às seguintes edp s: (a) k 2 u xx u t = ; k (b) u xx = c 2 u tt ; c (c) u xx + u yy = (d) u xx + u yy = u (e) x 2 u xx + u yy = (f) u tt + u t u = c 2 u xx ; c (g) u tt + a u t = c 2 u xx ; a, c (h) u xxxx + u tt = (i) r ( ) r ur + uθθ = r 3. Se u(x, y, z) = X(x) Y (y) Z(z), apique o método de separação das variáveis à edp: u xx + u yy + u zz =.

142 42 CAPÍTULO 4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

143 Capítuo 5 EQUAÇÃO DO CALOR 5. Introdução Sejam: Ω = (, ) (, + ), Ω = [, ] [, + ) e Ω = {(, t) / t } {(, t) / t } {(x, ), x [, ]}. A edp do caor (unidimensiona) homogênea, é: u t = α 2 u xx, (x, t) Ω, onde a variáve x representa a posição e t a variáve tempora. A dedução desta edp não é difíci e pode ser vista em ([FD]). Esta edp é um modeo da evoução da temperatura devido ao fenômeno da condução do caor ao ongo de uma barra, ta que a distribuição da temperatura seja essenciamente unidimensiona, isto é, quando é possíve desprezar a variação da temperatura em todas as direções menos em uma. Não é difíci ver que a função u : R (, + ) R, definida por: u(x, t) = 4 π α t exp( x2 4 α t ) é uma soução da edp do caor, em particuar, u = u(x, t) é uma soução em Ω. 43

144 44 CAPÍTULO 5. EQUAÇÃO DO CALOR Figura 5.: Gráfico de u = u(x, t), para diversos t Considere uma barra feita de materia homogêneo, de comprimento, de secção reta uniforme e com constante de difusividade termica α 2 que depende apenas do materia. A função u = u(x, t) representa a temperatura da barra no ponto x no instante t. x Figura 5.2: 5.2 Condição Inicia No instante inicia existe uma distribuição de temperatura que varia ao ongo da posição: u(x, ) = f(x), x [, ]. 5.3 Condições de Fronteira. Condição de Dirichet: (ou de temperatura prescrita): { u(, t) = T (t), t u(, t) = T 2 (t), t.

145 5.4. PROBLEMA DE DIRICHLET HOMOGÊNEO Condição de Neumann: (ou de fuxo do caor prescrita): { u x (, t) = H (t), t u x (, t) = H 2 (t), t. 3. Condição de Robin: { u x (, t) = k 2 (u(, t) c), t u x (, t) = k 2 (u(, t) c), t. 5.4 Probema de Dirichet Homogêneo Considere: u t = α 2 u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, ]. (5.) O sistema (5.) é um probema de Dirichet-Cauchy para a edp do caor, ao considerar a evoução da temperatura u ao ongo de uma barra feita de materia homogêneo, de comprimento e de secção reta uniforme, isoada, exceto nos extremos que se mantem a uma temperatura constante igua a zero. Note que Ω possui uma parte que corresponde aos extremos da barra em x = e x =, sobre os quais se tem fixado a condição u = e na parte em que t = prescrevemos a condição inicia u(x, ) = f(x), que é a distribuição inicia de temperatura. u(x,)=f(x) Figura 5.3: A soução que procuramos deve satisfazer: u C ( Ω ) C 2( Ω), isto é, deve ser contínua em Ω e de casse C 2 em Ω; f C ( [, ] ) e é ta que f() = f() =. A exigência da continuidade de u no instante t = é uma forma de vincuar a condição inicia ao comportamento posterior da soução.

146 46 CAPÍTULO 5. EQUAÇÃO DO CALOR 5.5 Separação das Variáveis Procuramos souções não nuas do tipo: u(x, t) = X(x) T (t). A seguir, nos cácuos, omitiremos a variavé independente das funções.. Primeiramente observamos que X, T. 2. Como u deve ser soução do probema: u t = X T, 3. A edp do caor pode ser reescrita como: Por que? 4. Do ítem anterior obtemos: u xx = X T. X T = α X T X 2 X = T α 2 T { X p X =, < x < T p α 2 T =, t >. = p, p R. 5. Por outro ado: = u(, t) = X() T (t), para todo t > X() = = u(, t) = X() T (t), para todo t > X() =. 6. Dos ítens anteriores obtemos um PSL reguar: e a edo: { X p X =, X() = X() =, < x < T p α 2 T =.

147 5.5. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS O PSL possui somente souções (autofunções) não nuas se p = λ 2, λ,então: onde λ n = n π, n N. X n (x) = A n sen ( λ n x), 8. A edo T λ 2 n α 2 T = tem soução para cada n N: T n (t) = B n exp ( α 2 λ 2 n t ). 9. Logo, obtemos para cada n N: u n (x, t) = X n (x) T n (t) = b n sen ( λ n x ) exp ( α 2 λ 2 n t ).. É imediato que u n = u n (x, t) são de casse C 2 e são souções da edp do caor em Ω para cada n N. De fato: (u n ) t = α 2 λ 2 n b n sen ( λ n x ) exp ( α 2 λ 2 n t ) (u n ) x = λ n b n cos ( λ n x ) exp ( α 2 λ 2 n t ) (u n ) xx = λ 2 n b n sen ( λ n x ) exp ( α 2 λ 2 n t ) Peo princípio de superposição das souções, a soução forma do probema é: isto é: u(x, t) = u(x, t) = u n (x, t), b n sen ( n π x [ ] ) ( 2 α n π exp t ). (5.2) Consideramos como soução forma quando ainda não temos hipóteses caras para determinar se (5.2) é reamente uma soução cássica do probema.

148 48 CAPÍTULO 5. EQUAÇÃO DO CALOR 5.6 Anáise da Soução A candidata à soução do probema (5.) é: onde λ n = n π. u(x, t) = b n sen ( λ n x ) exp ( α 2 λ 2 n t ), As condições de contorno são satisfeitas, isto é, u(, t) = u(, t) = para todo t [, + ). Por outro ado, observemos que: f(x) = u(x, ) = b n sen ( λ n x ), x [, ], (5.3) isto é, f deve possuir série de senos; se a série anterior converge em [, ], então converge em todo R para a extensão ímpar, periódica de período 2 de f; então: b n = 2 f(x) sen ( λ n x ) dx, n N. Logo, se f C([, ]) e é diferenciáve por partes, f está nas condições de convergência das séries de Fourier. Peo teorema de Weierstrass, devemos imitar: para (5.2) convergir. bn sen ( λ n x ) exp ( α 2 λ n t ) bn exp ( α 2 λ n t ) Proposição 5.. As seguintes séries: b n sen ( k n x ) exp ( n 2 k 2 t ), n b n sen ( k n x ) exp ( n 2 k 2 t ) n 2 b n sen ( k n x ) exp ( n 2 k 2 t ) e onde k >, convergem uniformemente em quaquer sub-retânguo de Ω. Prova: De fato:

149 5.6. ANÁLISE DA SOLUÇÃO 49 bn sen ( k n x ) exp ( n 2 k 2 t ) bn exp ( n 2 k 2 t ) t t. Por outro ado, as séries numéricas (teste 3): C exp ( n 2 k 2 t ), exp ( ) n 2 k 2 t, n exp ( ) n 2 k 2 t n 2 exp ( ) n 2 k 2 t e são convergentes. Então, peo teste M de Weierstrass, (5.2), converge uniformente em [, ] [t, + ), para todo t. De forma anáoga, as outras séries também convergem uniformemente. Da convergência uniforme da primeira série da propiedade anterior, temos que (5.2) define uma função contínua en [, ] [t, + ), t >. Por outro ado, derivando (5.2): u t = k 2 α 2 u x = k onde k = π. Note que: n 2 b n sen ( k n x ) exp ( α 2 n 2 k 2 t ), n b n cos ( k n x ) exp ( α 2 n 2 k 2 t ), u xx = k 2 n 2 b n sen ( k n x ) exp ( α 2 n 2 k 2 t ), n 2 b n sen ( k n x ) exp ( α 2 n 2 k 2 t ) C n 2 exp ( α 2 n 2 k 2 t ), n bn cos ( k n x ) exp ( α 2 n 2 k 2 t ) C n exp ( α 2 n 2 k 2 t ), t t. Então, peo teste M de Weierstrass u t e u xx convergem uniformente em [, ] [t, + ); ogo (5.2) é uma soução cássica do probema do caor em [, ] [t, + ). Somente fata verificar que (5.2) define uma função contínua se t. Integremos por partes o coeficiente de Fourier de f:

150 5 CAPÍTULO 5. EQUAÇÃO DO CALOR b n = 2 f(x) sen(λ n x) dx = 2 n π f(x) cos(λ n x) + 2 n π = n π d n, f (x) cos(λ n x) dx onde d n são os coeficientes de Fourier da extensão par periódica de período 2 de f ; [ ] 2 utiizando que n π d n, isto é: n π [ ] 2 2 π 2 n + 2 d2 n, temos: b n 2 2 π 2 n d 2 n <, pea desiguadade de Besse; ogo, para t =, a série (5.2) converge uniformemente. Logo, verificamos o seguinte teorema: Teorema 5.. Seja f C([, ]) diferenciáve por partes em [, ] e ta que f() = f() =. Então (5.2) converge uniformemente em Ω para a função u C(Ω) C(Ω) que é a soução de (5.). Na verdade, o probema (5.) é bem posto. (Veja o próximo parágrafo). Nas hipóteses do teorema, o probema de Dirichet-Cauchy: u t = α 2 u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, ], tem uma única soução: ta que: u(x, t) = b n sen ( n π x [ ] ) ( 2 α n π exp t ) b n = 2 f(x) sen ( n π x) dx, n N.

151 5.6. ANÁLISE DA SOLUÇÃO 5 Note que: im u(x, t) =, t + o que coincide com a intuição, pois após um tempo ongo, a barra tende a resfriar-se. A soução converge rapidamente, exceto para t muito pequeno. Se t é grande, então: Reescrevendo a soução: u(x, t) = u (x, t). onde u(x, t) = = = = b n sen ( λ n x ) exp ( α 2 λ 2 n t ) [ 2 [ 2 f(y) f(y) sen(λ n y ) ] dy sen(λ n x ) exp ( α 2 λ 2 n t ) sen ( λ n y ) sen ( λ n x ) exp ( α 2 λ 2 n t )] dy f(y) k(x, y, t) dy, k(x, y, t) = 2 sen ( n π y ) sen (n π x [ ] ) ( 2 α n π exp t ). A função k = k(x, y, t) é chamado núceo do caor para (5.) e converge uniformemente em R R (, + ) e satisfaz à edp do caor, isto é: k t = α 2 k xx. Observação 5... A exigência de que f seja contínua e de que f() = f() =, é um pouco restritiva, pois existem situações físicas em que isto não ocorre; por exempo, uma barra que iniciamente tem temperatura constante f(x) = 2 o C. 2. Para tratar estes tipos de probemas, observamos que não podemos ter a iguadade (5.3). Mesmo assim podemos cacuar os coeficientes b n utiizando ortogonaidade das autofunções do PSL. De fato, fazendo o produto escaar com λ m fixado, arbitrário:

152 52 CAPÍTULO 5. EQUAÇÃO DO CALOR f(x) sen ( λ m x ) dx = b m sen 2( λ n x ) dx = b m 2. Como m é arbitrário, mudamos m por n: b n = 2 f(x) sen ( λ m x ) dx. Exempo 5.. [] Ache a soução do probema: u t = u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t u(x, ) = x ( x), se x [, ]. Observe que a função f(x) = x ( x) está nas condições do teorema; então: b n = 2 x ( x) sen ( n π x ) dx = 4( ( ) n) π 3 n 3, ogo: b 2n =, b 2n = n N 8 π 3 (2 n ), n N. 3 e a soução é: u(x, t) = 8 π 3 [ ] sen ( (2 n ) π x ) exp ( (2 n ) 2 π 2 t ). (2 n ) 3

153 5.6. ANÁLISE DA SOLUÇÃO Figura 5.4: Gráfico de f e de u, para diferentes t [2] Considere que uma barra de 5 cm de comprimento é imersa em vapor até atingir o C. No instante t = suas superfícies aterais são isoadas e suas duas extremidades merguhadas em geo a o C. Determine a temperatura no ponto médio da barra após 3 min, se a barra é feita de:. prata: α 2 =.7, 2. ferro: α 2 =.25, 3. cimento: α 2 =.5. Devemos resover o sistema: u t = α 2 u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(5, t) =, t u(x, ) =, se x [, 5]. A soução é: u(x, t) = b n sen ( n π x 5 [ ] ) ( 2 α n π exp t ) 5 ta que: ogo: b n = 25 5 sen ( n π x) 2 ( ( ) n) dx = 5 n π ogo:;

154 54 CAPÍTULO 5. EQUAÇÃO DO CALOR b 2n =, b 2n = n N 4 (2 n ) π, n N. Logo: u(x, t) = [ 4 ] (2 n ) π sen ( (2 n ) π x 5 [ ] ) ( 2 α (2 n ) π exp t ) 5 Mas como t = 8 seg (grande), utiizamos: u(x, t) = u (x, t) = 4 π sen( π x) ( α 2 π 2 exp 5 25 t). 5 Figura 5.5: Gráfico de f e de u, para diferentes t (α 2 =.7) Logo: u(25, 8) = 4 π exp ( 8 α2 π 2 ). 25. Se α 2 =.7, então: u(25, 8) = Se α 2 =.25, então: restr u(25, 8) =.866.

155 5.6. ANÁLISE DA SOLUÇÃO Se α 2 =.5, então: u(25, 8) =.273. [3] Ache a soução do probema: u t = u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(π, t) =, t u(x, ) = sen(3 x), se x [, π]. A função f(x) = sen(3 x) está nas condições do teorema; então: b n = 2 π π sen(3 x) sen ( n x ) dx =, n 3. ogo: b 3 = 2 π π sen 2 (3 x) dx =, e a soução é: u(x, t) = sen(3 x) exp( 9 t). Figura 5.6: Gráfico de f e de u, para diferentes t

156 56 CAPÍTULO 5. EQUAÇÃO DO CALOR 5.7 Princípio do Máximo do Caor Seja T > arbitrário e denotemos por Ω T = (, ) (, T ) e por Γ T Ω, onde: Γ T = Ω T Ω T. Teorema 5.2. (Princípio do máximo) Se u : Ω T R é contínua e satisfaz à edo do caor em Ω T, então u atinge seu vaor máximo e seu vaor mínimo em Γ T. Isto é, existem (x, y ), (x 2, y 2 ) Γ T ta que: para todo (x, y) Ω T. u(x, y ) u(x, y) u(x 2, y 2 ), Prova: Note que Ω T e Γ T são fechados e imitados. Suponha que u atinge o vaor mínimo no ponto (x, t ) Ω T. Denotemos por m = u(x, t ) e por M o vaor mínimo de u em Γ T, ta que M > m. Definamos v : Ω T R, ta que : v(x, t) = u(x, t) + M m 2 T (t t ), ta que t t T. Se (x, t) Γ T, então u(x, t) M; ogo: v(x, t) M M m 2 = M + m 2 > m. Por outro ado v(x, t ) = u(x, t ) = m. Portanto, v atinge seu vaor mínimo em agum ponto (x, t ) Ω T, ogo v xx (x, t ) e v t (x, t ) (se t < T, v t (x, t ) = e negativo se t = T ). Note que em Ω T : v t α 2 v xx = u t α 2 u xx + M m 2 T = M m 2 T o que é uma contradição, ogo u atinge seu vaor mínimo em Γ T. Considerando u verificamos que u atinge seu vaor máximo em Γ T. >, Coroário 5.. O probema (5.) tem uma única soução. Prova: Suponha que u e u 2 são souções de (5.), com correspondentes distribuições iniciais de temperatura f e g, respectivamente; então, u = u u 2 é soução de (5.), com distribuição inicia de temperatura f g. Então, u(x, ) = ; como u(, t) = u(, t) =, peo princípio do máximo, temos u =, para todo (x, t) Ω, pois T é arbitrário. O probema é bem posto.

157 5.8. PROBLEMA DE DIRICHLET NÃO HOMOGÊNEO Probema de Dirichet Não Homogêneo Considere: u t = α 2 u xx, se (x, t) Ω u(, t) = T, t u(, t) = T, t u(x, ) = f(x), se x [, ], (5.4) onde T, T constantes e f() = T e f() = T. O probema consiste em estudar a evoução do caor de uma barra nas mesmas condições do probema de Dirichet Homogêneo, savo que os extremos da barra estão em uma temperatura constante, não necessariamente zero graus. u=t u=t u(x,) = f(x) Figura 5.7: robema de Dirichet não Homogêneo Observação 5.. Não é possíve apicar o método de separação das variáveis pois as condições de contorno não são homogêneas. Para contornar este probema, estudaremos as souções de equiíbrio do sistema. 5.9 Soução de Equiíbrio Fisicamente, a experiência nos indica que após um tempo ongo, sob as mesmas condições, a variação da temperatura fica estacionária, isto é não depende do tempo. Se u = u(x, t) representa a temperatura da barra, então: im t + im t + u(x, t) = U(x) u t =. A função U = U(x) é chamada soução de equiibrio do sistema. Como é uma soução do probema, deve satisfazer o PSL:

158 58 CAPÍTULO 5. EQUAÇÃO DO CALOR U =, x (, ) U() = T U() = T ; ogo, U(x) = A x + B. Utiizando as condições de contorno, obtemos: ( ) T T x U(x) = T +. T T Figura 5.8: Gráfico de U = U(x) 5. Determinação da Soução Seja U = U(x) a soução de equiibrio de (5.4) e consideremos a seguinte mudança: w(x, t) = u(x, y) U(x).. A função w satisfaz a edp do caor, isto é, w t = α 2 w xx, e: w(, t) = u(, t) U() = T T =, t > w(, t) = u(, t) U() = T T =, t > w(x, ) = u(x, ) U(x) = g(x), x [, ] 2. Logo, obtemos um probema do tipo (5.) para w = w(x, t): w t = α 2 w xx, se (x, t) Ω w(, t) = u(, t) =, t w(x, ) = g(x), se x [, ],

159 5.. DETERMINAÇÃO DA SOLUÇÃO 59 o qua tem soução: ta que: w(x, t) = b n sen ( n π x [ ] ) ( 2 α n π exp t ), (x, t) Ω, b n = 2 g(x) sen ( n π x) dx, n N. Logo, o probema (5.4): u t = α 2 u xx, se (x, t) Ω u(, t) = T, t u(, t) = T, t u(x, ) = f(x), se x [, ], tem soução:: u(x, t) = U(x) + w(x, t); isto é: (x, t) Ω e ta que: ( ) T T x u(x, t) = T + + b n sen ( n π x [ ] ) ( 2 α n π exp t ), b n = 2 ( ) (n π x) f(x) U(x) sen dx, n N. Com as mesmas hipóteses da do probema de Dirichet Homogêneo, segue que u C ( Ω ) C 2( Ω) é soução cássica do probema (5.4). Em resumo: Coroário 5.2. Com as mesmas hipóteses da edp do probema de Dirichet Homogêneo, o probema: u t = α 2 u xx, se (x, t) Ω u(, t) = T, t u(, t) = T, t u(x, ) = f(x), se x [, ],

160 6 CAPÍTULO 5. EQUAÇÃO DO CALOR tem uma única soução cássica: ( ) T T x u(x, t) = T + + b n sen ( n π x [ ] ) ( 2 α n π exp t ), (x, t) Ω e ta que: b n = 2 ( ) (n π x) f(x) U(x) sen dx, n N. Exempo 5.2. [] Ache a soução de u t = u xx, se (x, t) Ω u(, t) =, t u(, t) = 7, t u(x, ) = 25 x 2 8 x +, se x [, ], Primeiramente, a soução de equiíbrio é U(x) = 7 x +. Por outro ado: b n = 5 [x 2 x] sen(n π x) dx = ( ( )n ) π 3 n 3 ; ogo: b 2n =, n N 2 b 2n = (2 n ) 3 π, 3 n N. e a soução é: u(x, t) = + 7 x [ 2 (2 n ) 3 π 3 ] sen ( (2 n ) π x ) exp ( (2 n ) 2 π 2 t ).

161 5.. DETERMINAÇÃO DA SOLUÇÃO 6 Figura 5.9: Gráfico de u = u(x, t), para difrentes t [2] Ache a soução de u t = u xx, se (x, t) Ω u(, t) = 4, t u(, t) =, t u(x, ) = 8 x x + 4, se x [, ], Primeiramente, a soução de equiíbrio é U(x) = 4 3 x. Por outro ado: b n = 2 [ ] 8 x 8 x 3 96 ( )n sen(n π x) dx = ; π 3 n 3 ogo, a soução é: u(x, t) = 4 3 x 96 ( ) n π 3 n 3 sen(n π x) exp( n 2 π 2 t).

162 62 CAPÍTULO 5. EQUAÇÃO DO CALOR 4 Figura 5.: Gráfico de u = u(x, t), para difrentes t 5. Probema de Neumann Considere: u t = α 2 u xx, se (x, t) Ω u x (, t) = u x (, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, ]. (5.5) Este probema é para estudar a evoução do caor de uma barra nas mesmas condições da edp do probema de Dirichet Homogêneo, mas de modo que não existe passagem de caor, isto é, na ausência do fuxo do caor. u(x,) = f(x) Figura 5.: Probema de Neumann 5.2 Separação das Variáveis Procuramos souções não nuas do tipo: u(x, t) = X(x) T (t).

163 5.2. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 63 Como antes, omitiremos a variáve independente das funções.. Como u deve ser soução do probema: u t = X T, u xx = X T. 2. A edp do caor pode ser reescrita como: X T = α X T X 2 X = T α 2 T = p, p R. 3. Do ítem anterior obtemos: { X p X =, < x < T p α 2 T =, t >. 4. Por outro ado: = u x (, t) = X () T (t), para todo t > X () = = u x (, t) = X () T (t), para todo t > X () =. 5. Dos ítens anteriores obtemos um PSL reguar: { X p X =, X () = X () =, < x < e a edo: T p α 2 T =. 6. O PSL possui souções não nuas e: Se λ =, então obtemos X(x) =. Se λ >, então obtemos souções triviais.

164 64 CAPÍTULO 5. EQUAÇÃO DO CALOR Se λ <, então, considerando λ 2, obtemos: Por outro ado: X(x) = A cos ( λ x ) + B sen ( λ x ). Então λ n = n π, n N e: X (x) = A λ sen ( λ x ) + B λ cos ( λ x ) = X () = B λ B = = X () = B λ sen ( λ ) λ = n π. X n (x) = A n cos ( λ x ). 7. A edo T λ n α 2 T = tem soução, para cada n N: T n (t) = B n exp ( α 2 λ n t ). 8. Para p =, X e T são constantes; denotemos esta soução por: 9. Logo, obtemos para cada n N: u (x, t) = a 2. u n (x, t) = a 2 + X n(x) T n (t) = a 2 + a n cos ( λ n x ) exp ( α 2 λ 2 n t ).. As funções u n = u n (x, t) são de casse C 2 e são souções da edp do caor em Ω para cada n N. Anaogamente ao feito na edp do probema de Dirichet Homogêneo e com as mesmas hipóteses, temos que a soução cássica de (5.5) é: u(x, t) = a 2 + a n cos ( n π x [ ] ) ( 2 α n π exp t ). Primeiramente note que u x (, t) = u x (, t) = para todo t (, + ). Por outro ado, observemos que:

165 5.2. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 65 Então: f(x) = u(x, ) = a 2 + a n cos ( n π x), x [, ]. a n = 2 f(x) cos ( n π x) dx, n. Note que: im u(x, t) = a 2 t + 2 = f(x) dx. Observação O fato de que a temperatura seja constante quando t é grande é totamente coerente com a experiência, pois o processo da difusão do caor irá graduamente uniformizando a distribuição inicia da temperatura na barra, desde que não exista fuxo de caor para o exterior. Logo, o termo constante é a média da distribuição inicia da temperatura. 2. De forma totamente anáoga ao desenvovimento estudado para a edp do caor Homogêneo é possíve verificar que u C 2( Ω ) C ( Ω ). Coroário 5.3. O probema: u t = α 2 u xx, se (x, t) Ω u x (, t) = u x (, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, ], tem a única soução cássica: onde: u(x, t) = a 2 + a n cos ( n π x [ ] ) ( 2 α n π exp t ), a n = 2 f(x) cos ( n π x) dx, n.

166 66 CAPÍTULO 5. EQUAÇÃO DO CALOR Exempo 5.3. Ache a soução de: u t = u xx, se (x, t) Ω u x (, t) = u x (, t) =, t u(x, ) = cos 2 (5 π x), se x [, ], Como cos 2 (5 π x) = 2 ( + cos( π x) ), temos: Por outro ado: a n = 2 = cos 2 (5 π x) cos(n π x) dx [ + cos( π x) ] cos(n π x) dx =, n a = [ + cos( π x) ] dx =, ogo: a = [ + cos( π x) ] cos(n π x) dx = 2 ; u(x, t) = cos( π x) exp ( π 2 t). Figura 5.2: O espaço H

167 5.3. PROBLEMA DE ROBIN Probema de Robin Considere: u t = α 2 u xx, se (x, t) Ω u(, t) =, t u x (, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, ]. (5.6) Este probema misto é para estudar a evoução do caor de uma barra nas mesmas condições da edp do probema de Dirichet Homogêneo, de modo que a temperatura numa extremidade é zero graus e não existe passagem de caor na outra extremidade. Note que f() = f () =. u(x,)=f(x) Figura 5.3: Probema de Robin 5.4 Separação das Variáveis De forma totamente anáoga às anteriores, procuramos souções não nuas do tipo: u(x, t) = X(x) T (t). Obtendo (os detahes ficam como exercício): λ n = (2 n ) π, X n (x) = A n sen(λ n x) e T n (t) = B n exp( λ 2 n c 2 t) 2 Logo, a soução que obtemos é: Por outro ado: u(x, t) = b n sen ( λ n x ) exp ( λ 2 n c 2 t ). f(x) = u(x, ) = b n sen ( λ n x ).

168 68 CAPÍTULO 5. EQUAÇÃO DO CALOR Como λ n / Z, então o membro à direita não é a série dos senos de f em (, ). Novamente não podemos apicar diretamente os argumentos da edp do probema de Dirichet Homogêneo Determinação de b n. Estendemos f ao intervao [, 2 ] da seguinte forma: f(x) = { f(x) se x [, ] f(2 x) se < x < f é contínua e f é contínua por partes. Portanto, se u = u(x, t) é a soução do probema: u t = α 2 u xx, se (x, t) (, 2 ) (, + ) u(, t) =, t u(2, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, 2 ]. (5.7) Então, esta soução satisfaz u x (, t) = para todo t, pois não existe fuxo através da seção estendida em x =. Logo, é a soução do probema origina. Por outro ado, sabemos que a soução de (5.7) é: u(x, t) = b n sen ( n π x 2 [ ] ) ( 2 α n π exp t ) 2 ta que: b n = f(x) sen ( n π x) dx Denotando λ n = n π 2, temos:

169 5.4. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 69 b n = = = = 2 f(x) sen ( λn x ) dx f(x) sen ( λn x ) dx + f(x) sen ( λn x ) dx f(x) sen ( λn x ) dx + 2 f(2 x) sen ( λn x ) dx f(s) sen ( λn (2 s) ) ds ( ) n+ f(s) sen ( λn s ) ds. Logo: b n = se n = 2 k f(x) sen ( λn x ) dx se n = 2 k. 4. A soução do probema (5.7) é: u(x, t) = b 2n sen ( λ n x ) exp ( α 2 λ 2 n t ) ta que λ n = (2 n ) π 2 e: b 2n = 2 f(x) sen ( λ n x ) dx. 5. Fica como exercício verificar que esta soução é a cássica. Em resumo: Coroário 5.4. O probema: u t = α 2 u xx, se (x, t) Ω u(, t) =, t u x (, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, ]. tem a única soução cássica:

170 7 CAPÍTULO 5. EQUAÇÃO DO CALOR u(x, t) = b 2n sen ( λ n x ) exp ( α 2 λ 2 n t ) ta que λ n = (2 n ) π 2 e: b 2n = 2 f(x) sen ( λ n x ) dx. Exempo 5.4. Considere: u t = u xx, se (x, t) Ω u(, t) =, t u x (, t) =, t u(x, ) = cos(π x), se x [, ]. (5.8) A soução do probema (5.7) é: u(x, t) = b 2n sen ( λ n x ) exp ( λ 2 n t ) ta que λ n = (2 n ) π 2 e: b 2n = 2 ( cos(π x)) sen ( (2 n ) π x) dx 2 [ ( = 2 sen λn x ) sen ( λ n x ) sen ( (2 n + 3) π x)] dx 2 6 = π (2 n 3) (2 n + ) (2 n ). Logo: onde λ n = (2 n ) π. 2 u(x, t) = 6 sen ( λ n x ) exp ( λ 2 n t ) π (2 n 3) (2 n + ) (2 n ),

171 5.5. CALOR NUM ANEL 7 2 Figura 5.4: Gráficos da u = u(x, t, para diferentes t 5.5 Caor num Ane Considere Ω = (, ) (, + ) e: u t = α 2 u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t), t u x (, t) = u x (, t), t u(x, ) = f(x), se x [, ], (5.9) ta que f( ) = f(). Este probema misto é para estudar a evoução do caor num ane formado de um arame de comprimento 2, nas mesmas condições do probema de Dirichet Homogêneo, savo que nos extremos. Note que o raio do ane é /π. Figura 5.5: Arame em forma de ane

172 72 CAPÍTULO 5. EQUAÇÃO DO CALOR 5.6 Separação das Variáveis Procuramos souções não nuas do tipo: u(x, t) = X(x) T (t). Como antes, omitiremos a variáve independente das funções.. Como u deve ser soução do probema: u t = X T, 2. A edp do caor pode ser reescrita como: 3. Do ítem anterior obtemos: u xx = X T. X T = α X T X 2 X = T α 2 T { X p X =, < x < T p α 2 T =, t >. = p, p R. 4. Obtemos um PSL reguar periódico: X p X =, X( ) = X() X () = X (), < x < e a edo: T p α 2 T =. 5. O PSL possui souções não nuas se: λ =, então obtemos X(x) = e se λ <, então, considerando λ 2, obtemos: onde λ n = n π, n N. X n (x) = A n cos ( λ n x ) + B n sen ( λ n x ),

173 5.6. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS A edo T λ n α 2 T = tem soução, para cada n N: T n (t) = B n exp ( α 2 λ n t ). 7. Para λ =, X e T são constantes; denotemos esta soução por: u (x, t) = a Logo, obtemos para cada n N: u n (x, t) = a 2 + X n(x) T n (t) = a 2 + [ a n cos ( λ n x ) + b n sen(λ n x) ] exp ( α 2 λ 2 n t ). 9. As funções u n = u n (x, t) são de casse C 2 e são souções da edp do caor em Ω para cada n N. Anaogamente ao feito nos outros probemas do caor, temos que a soução cássica de (5.), é: Coroário 5.5. Considere Ω = (, ) (, + ) e: u t = α 2 u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t), t u x (, t) = u x (, t), t u(x, ) = f(x), se x [, ], (5.) ta que f( ) = f(). u(x, t) = a 2 + Por outro ado, observemos que: Então: [ a n cos ( n π x ) + bn sen ( n π x ) ] exp ( [ ] 2 α n π t ). f(x) = u(x, ) = a 2 + a n cos ( n π x) + bn sen ( n π x), x [, ].

174 74 CAPÍTULO 5. EQUAÇÃO DO CALOR a = f(x) dx a n = f(x) cos ( n π x) dx, n b n = f(x) sen ( n π x) dx, n. Exempo 5.5. [] Seja u t = α 2 u xx, se π < x < π, t > o u( π, t) = u(π, t), t u x ( π, t) = u x (π, t), t u(x, ) = sen(2 x), se x [ π, π]. Então, a = a n =, para todo n N e b n =, para todo n 2 e b 2 =. Logo, a soução é: u(x, t) = sen(2 x) exp( 4 t). -π π - Figura 5.6: Gráficos da u = u(x, t),para diferentes t

175 5.7. EXERCÍCIOS Exercícios. Considere α = na edp do caor e ache a soução forma dos seguintes probemas: a) { u(, t) = u(, t) =, t u(x, ) = 3 sen ( π x ) 5 sen ( 4 π x ), x [, ] u(, t) = u(π, { t) =, t b) x x < π/2 u(x, ) = π x π/2 x < π u(, t) =, t c) u(, t) =, t u(x, ) = x, x [, ] u(, t) =, t d) u(, t) = 4, t u(x, ) = (x ) 2, x [, ] { u(, t) = u(, t) = T, t e) u(x, ) = T + x (x ), x [, ] u(, t) = T, t f) u(, t) = T, t u(x, ) = T + ( ) x T T, x [, ] 2. Considere o probema do caor numa barra de cm de comprimento ta que oos extremos são mantidos a zero graus. Determine a evoução da temperatura na barra, se a barra é feita de prata (α 2 =.7), de auminio (α 2 =.85) e: a) u(x, ) = { x x < 5 π 5 x b) u(x, ) = x ( x), x

176 76 CAPÍTULO 5. EQUAÇÃO DO CALOR 3. No ítem anterior, determine a temperatura da barra após hora. (Utiize a aproximação de u para t grande). 4. Ache a soução do seguinte probema do caor: u t = 7 u xx, (x, t) Ω u(, t) =, t u x (5, t) = 4, t u(x, ) = e x, < x < Ache a soução do seguinte probema do caor: ta que f(x) = u t = 7 u xx, (x, t) Ω u(, t) =, t u x (5, t) = 4, t u(x, ) = f(x), { 3 x, < x < 3 (x 3), 3 < x < Ache a soução do seguinte probema do caor. Suponha uma barra nas hipóteses do probema de Dirichet Homogêneo: u t = α 2 u xx, (x, t) Ω u(, t) =, t u x (, t) =, t u(x, ) = f(x), x [, ] 7. Ache a soução do seguinte probema do caor. Suponha uma barra nas hipóteses do probema de Dirichet Homogêneo: u t = α 2 u xx, (x, t) Ω u x (, t) =, t u(, t) =, t u(x, ) = f(x), x [, ]

177 5.7. EXERCÍCIOS Ache a soução do seguinte probema do caor: u t = α 2 u xx, < x <, t > Ω u x (, t) = u(, t), t u x (, t) = u x (, t), t u(x, ) = f(x), x [, ] 9. Ache a soução do seguinte probema do caor: u t = k [ u xx 3 u x + 2 u ], u(, t) =, t u(, t) =, t u(x, ) = f(x), < x <. (x, t) Ω. Seja (probema de Stefan): u t = u xx, < x < f(t), t > u(, t) = T, t u x (f(t), t) = f (t), t > u(f(t), ) =, t > onde f é uma função diferenciáve, T R. Verifique que: B, C R, é soução do probema, onde: é a função erro. ( ) x u(x, t) = B + C erf 2, < x < f(t) t erf(x) = 2 x e s2 ds π

178 78 CAPÍTULO 5. EQUAÇÃO DO CALOR

179 Capítuo 6 EQUAÇÃO DA ONDA Sejam: Ω = (, ) (, + ), Ω = [, ] [, + ) e Ω = {(, t) / t } {(, t) / t } {(x, ), x [, ]}. A edp da onda (unidimensiona) é: u tt = c 2 u xx, (x, t) Ω, onde a variáve x representa a posição e a variáve t, tempo. A dedução desta edp não é difíci e pode ser vista em ([FD]). Não é difíci ver que a função u : R R R, definida por: u(x, t) = sen(x + c t) + sen(x c t) é uma soução da edp da onda, em particuar, u = u(x, t) é uma soução em Ω. Figura 6.: Gráfico de u = u(x, t) 79

180 8 CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DA ONDA Considere uma corda feita de materia homogêneo, com densidade σ e comprimento ; a corda se desoca apenas no pano vertica e a ampitude da vibração é suficientemente pequena de modo que podemos supor que um ponto da corda somente se desoca na vertica e a tensão ψ na corda não varia apreciavemente; a constante de propagação é dada por c = ψ/σ. Seja: u tt = c 2 u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, ] u t (x, ) = g(x), se x [, ]. (6.) O sistema descreve o desocamento vertica de uma corda de comprimento e que vibra com extremos fixos (u(, t) = u(, t) =, t ), com configuração inicia f e veocidade inicia g. Figura 6.2: Configuração inicia (t = ) A soução deve satisfazer à condição u C ( Ω ) C 2( Ω), isto é, deve ser contínua em Ω e de casse C 2 em Ω, f C 2( [, ] ) e ta que: e g C ( [, ) ta que g() = g() =. f() = f() = f () = f () = 6. Separação das Variáveis Procuramos souções não nuas do tipo: u(x, t) = X(x) T (t).

181 6.. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 8 Como antes omitiremos a variáve independente das funções.. Como u deve ser soução do probema: u tt = X T, u xx = X T. 2. A edp da onda pode ser reescrita como: c 2 X T = X T X X = c 2 T T. 3. Logo: X X = T c 2 T = p, p R. 4. Do ítem anterior obtemos: { X p X =, < x < T p c 2 T =, t >. 5. Por outro ado: = u(, t) = X() T (t), para todo t > X() = = u(, t) = X() T (t), para todo t > X() =. 6. Dos ítens anteriores obtemos um PSL reguar: { X p X =, X() = X() =, < x < e a edo T p c 2 T =.

182 82 CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DA ONDA 7. O PSL possui somente souções não nuas se p = λ 2, λ,então: onde λ n = n π, para cada n N. X n (x) = sen ( λ n x ), 8. A edo T λ 2 n c 2 T =, para cada n N, tem soução: T n (t) = A n cos(c λ n t) + B n sen(c λ n t), 9. Logo, obtemos para cada n N: u n (x, y) = X n (x) T n (t) = [ a n cos ( c λ n t ) + b n sen ( c λ n t )] sen ( λ n x ).. É imediato que as funções u n = u n (x, t) são de casse C 2 e são souções da edp da onda em Ω para cada n N. De fato: [ (u n ) tt = c 2 λ 2 n an cos ( c λ n t ) + b n sen ( c λ n t )] sen ( λ n x ) [ (u n ) xx = λ 2 n an cos ( c λ n t ) + b n sen ( c λ n t )] sen ( λ n x ). Peo princípio de superposição das souções, a soução forma do probema é: u(x, t) = u n (x, t), isto é: u(x, t) = [ a n cos ( c n π t ) + bn sen ( c n π t ) ] sen ( n π x). (6.2) 6.2 Anáise da Soução O anáise da candidata à soução cássica do probema (6.2) é anáoga à feita para a edp do Caor I. Teorema 6.. Se f, g, f, f, g C ( [, ] ) tais que g() = g() =, f() = f() =, f () = f () =, f (3) e g contínuas por partes, então (6.2) define uma soução cássica de (6.).

183 6.2. ANÁLISE DA SOLUÇÃO 83 Consideremos a soução forma (6.2): u(x, t) = [ a n cos ( c n π t ) + bn sen ( c n π t ) ] sen ( n π x). Primeiramente note que u(, t) = u(, t) = para todo t (, + ). Por outro ado, como f, g C ( [, ] ), então: f(x) = u(x, ) = a n sen ( n π x), x [, ], isto é, f deve possuir série dos senos; se a série anterior converge em [, ], então converge em R para a extensão periódica de período 2 ímpar de f; ogo: a n = 2 f(x) sen ( n π x) dx, n N. Determinemos b n ; como f, g C ( [, ] ), derivemos formamente u = u(x, t): u t (x, t) = u t (x, ) = [ an λ n c sen ( c λ n t ) + b n λ n c cos ( c λ n t )] sen ( λ n x ) b n λ n c sen ( λ n x ). Como u t (x, ) = g(x), x [, ], temos: Por outro ado: [ an cos ( c n π t Logo, basta mostrar que a série b n = 2 n π c ) + bn sen ( c n π t g(x) sen( n π x ) dx. a n + b n converge. )] (n π x) sen < a n + b n, Considerando que f() = f() = f () = f () =, e, como antes, integrando por partes sucessivamente, temos: a n = 2 2 f (3) (x) cos(λ n 3 π 3 n x) dx n π c b n = 2 n 2 π 2 g (x) sen(λ n x) dx

184 84 CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DA ONDA Logo, existem constantes C e C 2 tais que: a n C n 3 e b n C 2 n 3, Por outro ado, se c n e d n são os coeficientes de Fourier de f (3) e g, respectivamente, como na edp do caor, podemos verificar que: k, k 2 > ; então: a n k n 3 c n e b n k 2 n 3 d n, n 2 a n k 2 n 2 b n k 2 2 ( n + c n 2) 2 ( n + d n 2), 2 donde: [ n 2 a n + n 2 b n ] [ ] K n + c n 2 + d 2 n 2 <, pea desiguadade de Besse; ogo, u C ( Ω ) C 2( Ω). 6.3 Vaidade da Soução Considere a soução de (6.): ta que: u(x, t) = [ a n cos ( c n π t ) + bn sen ( n π t ) ] sen ( n π x), a n = 2 f(x) sen( n π x ) dx b n = 2 n π c g(x) sen( n π x ) dx. Por outro ado, pea inearidade, podemos considerar u = u + u 2 ta que:

185 6.4. PRIMEIRO CASO 85 u (x, t) = u 2 (x, t) = 6.4 Primeiro Caso Não é difíci ver que u = u é soução de: a n cos ( c n π t b n sen ( c n π t ) (n π x) sen u tt = c 2 u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t ) (n π x) sen. u(x, ) = f(x), se x [, ] u t (x, ) =, se x [, ]. Este probema descreve uma corda que vibra ivremente e tem soução: u (x, t) = Utiizando a identidade sen(a) cos(b) = 2 (6.3) como: onde: u (x, t) = 2 F (x) = a n cos ( c n π t ) (n π x) sen. (6.3) [ sen(a + b) + sen(a b) ], podemos reescrever [ F (x + c t) + F (x c t) ], a n sen ( n π x). Proposição 6.. F é a extensão ímpar, periódica de período 2 de f. Prova: De fato, como f C ( [, ] ) e f() = f() = ; então:. u (x, ) = 2 [ F (x) + F (x) ] = F (x) = f(x) se x [, ].

186 86 CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DA ONDA 2. De fato, = u (, t) = 2 [ F (c t) + F ( c t) ], para todo t ; ogo F ( y) = F (y), para todo y R. 3. Por outro ado = u (, t) = 2 [ F ( + c t) + F ( c t) ], para todo t ; ogo F ( y) = F ( y), para todo y R. 4. Se y R, temos F (y + 2 ) = F ( + (y + )) = F ( (y + )) = F ( y) e: F (y + 2 ) = F (y), para todo y R. 5. Se f C ( [, ] ), então F C ( R ) ; ogo: 6. Logo, (6.3) é uma soução do probema. u t = c [ F (x + c t) F (x c t) ] 2 u t =. t= Exempo 6.. [] Ache a soução de u tt = u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(2, t) =, t u(x, ) = sen(π x), se x [, 2] u t (x, ) =, se x [, 2]. Como c = e f(x) = sen(π x), caramente a extensão ímpar, periódica de período 2 é F (x) = sen(π x), então: u(x, t) = 2[ sen(π (x + t)) + sen(π (x t)) ] = sen(π x) cos(π t).

187 6.5. SEGUNDO CASO 87 - Figura 6.3: Gráfico de u(x, t) para diferentes t e de u = u(x, t), respectivamente 6.5 Segundo Caso Não é difíci ver que u = u 2 é soução de: Este probema tem soução: u tt = c 2 u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t u(x, ) =, se x [, ] u t (x, ) = g(x), se x [, ]. u 2 (x, t) = Fazendo c n = n π c b n, então: u 2 (x, t) = π c. Derivemos u 2 em reação a t: b n sen ( c n π t c n n sen( c n π t ) (n π x) sen. ) (n π x) sen. u 2 t = c n cos ( c n π t = 2 ) (n π x) sen [ c n sen ( n π ( ) (n π ( ) ] x + c t) + sen x c t),

188 88 CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DA ONDA série que converge uniformemente. 2. Seja: G(x) = c n sen ( n π x). 3. G é a extensão periódica de período 2, ímpar de g. 4. Logo: 5. Do ítem anterior, integrando: Então, u 2 t = [ ] G(x + c t) + G(x c t). 2 u 2 (x, t) = [ t G(x + c τ) dτ + 2 = 2 c x+ct x ct G(τ) dτ. u 2 (x, t) = 2 c x+ct x ct t ] G(x c τ) dτ G(τ) dτ. (6.4) 6. Logo, u 2 (x, ) =, e: u 2 (x, ) = G(x) = g(x), t x [, ]. 7. As condições de contorno são: u 2 (, t) = [ t G(c τ) dτ + 2 = [ t G(c τ) dτ 2 =. t t ] G( c τ) dτ ] G(c τ) dτ

189 6.5. SEGUNDO CASO 89 u 2 (, t) = [ t G( + c τ) dτ + 2 = [ t G( + c τ) dτ 2 = 8. (6.4) é uma soução do probema. t t ] G( c τ) dτ ] G( + c τ) dτ Teorema 6.2. Existe uma única soução u C 2( Ω ) C ( Ω ) ta que: u(x, t) = 2 [ F (x + c t) + F (x c t) ] + 2 c x+ct x ct G(τ) dτ, (6.5) (x, t) Ω; onde F, G : R R são extensões periódicas de período 2, ímpares de f e g respectivamente tais que f() = f() = g() = g() = f () = f () =. Então, (6.5) é soução do probema (6.). Esta soução é chamada de Bernoui. Exempo 6.2. [] Ache a soução de: u tt = u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(π, t) =, t u(x, ) = sen(x), se x [, π] u t (x, ) = sen(x) cos(x), se x [, π]. Como f(x) = sen(x), então 2 g(τ) = sen(τ) cos(τ), então: 2 x+t x t Logo, a soução do probema é: [ f(x + t) + f(x t) ] = sen(x) cos(t); por outro ado g(τ) τ = sen(2 x) sen(2 t). 4 u(x, t) = sen(x) cos(t) + sen(2 x) sen(2 t). 4

190 9 CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DA ONDA π - Figura 6.4: Gráfico de u(x, t), para diversos t Figura 6.5: Gráfico de u(x, t) Como na edp do caor, muitas apicações não tem a reguaridade requerida peos teoremas. É possíve introduzir hipóteses mais fracas para a obtenção de souções para a edp da ondas. [2] A corda dedihada: Considere o probema: onde: u tt = c 2 u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, ] u t (x, ) =, se x [, ],

191 6.6. HARMÔNICOS E NODOS 9 a x, se x f(x) = 2 a ( x) se 2 x. a/2 /2 Figura 6.6: A função f não é deriváve em 2 ; então u não é deriváve em. Para estes tipos de 2 probemas, cacuamos u = u(x, t) utiizando (6.2): A soução é: [ /2 ] a n = 2 a x sen(n π x) dx + ( x) sen(n π x) dx /2 = 4 a n 2 π sen( n π 2 2 ) = 4 a ( ) 3n n 2 π 2. 4 a ( ) 3n u(x, t) = cos(n c π t) sen(n π x). n 2 π Harmônicos e Nodos A soução: [ u(x, t) = an cos ( c λ n t ) + b n sen ( c λ n t )] sen ( λ n x ), onde λ n = n π, representa o movimento da corda como superposição de um número infinito de vibrações com freqüências diferentes.

192 92 CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DA ONDA As funções: u n (x, y) = [ a n cos ( c λ n t ) + b n sen ( c λ n t )] sen ( λ n x ), representam vibrações com freqüências: ν n = c λ n 2 π = n 2 ψ σ. As souções u n = u n (x, t) também são ditas ondas estacionárias ou n-ésimo harmônico ou n-ésima tônica; a primeira tônica é chamada fundamenta e tem freqüência ν que, em gera, é a que predomina no som. Note que a freqüência fundamenta não depende das condições iniciais; é uma propriedade intrínseca da corda. Por outro, ado se: e consequentemente u n =. x = k n, k =,, 2,... = sen( λ n x ) = Estes pontos são os únicos pontos que permanecem fixos na corda, enquanto ea vibra, e são chamados nodos da onda estacionária, dependendo apenas de n. π - Figura 6.7: O dobro da distância entre dois nodos consecutivos é o comprimento de onda da onda estacionária; isto é, 2 n. Fazendo a mudança α n = a 2 n + b 2 n e θ n = arctg ( a n b n ), temos que: u n (x, t) = α n sen ( λ n c t + θ n ) sen(λn x); θ n é chamada fase da onda. Para os t, tais que λ n c t + θ n = k π, k =,,..., a corda passa pea posição de equiíbrio; nesse momento a derivada (u n ) t é máxima.

193 6.7. SOLUÇÃO DE D ALEMBERT Soução de d Aembert A edp da onda é uma das poucas edp s que possuem uma soução gera: Proposição 6.2. Se u é uma soução da edp da onda, então existem F, G : R R de casse C 2( R ) tais que u(x, t) = F (x + c t) + G(x c t). Prova: Considere a seguinte mudança de variáveis: { ξ = x + c t η = x c t. Fazendo v(ξ, η) = u(x, t), temos: Logo, a edp da onda fica: u x = v ξ + v η, u t = c v ξ c v η u tt = c 2 [ v ξξ 2 v ξη + v ηη ] u xx = v ξξ 2 v ηξ + v ηη. v ξη =. Isto é, não depende de ξ, ogo: v η = g(η). Integrando diretamente obtemos v(ξ, η) = F (ξ) + G(η); votando às variáveis originais: u(x, t) = F (x + c t) + G(x c t). Esta soução é chamada de d Aembert. Observação 6.. Caramente a recíproca é verdadeira. De fato, se u(x, t) = F (x + c t) + G(x c t), então u xx = F (x + c t) + G (x c t), temos que u tt = c 2 [ F (x + c t) + G (x c t) ] = c 2 u xx.

194 94 CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DA ONDA O gráfico da função F (x + c t) descreve uma onda movendo-se para a esquerda com veocidade c. Note que x + c t é uma transação do sistema de coordenadas à esquerda com veocidade c t. Anaogamente, o gráfico da função G(x c t) descreve uma onda movendo-se para a direita com veocidade c; ogo a soução u descreve a superposição de duas ondas movendo-se com veocidade c. Por exempo, seja u(x, t) = sen(x + t) + sen(x t), sen(x + t) (vermeho) e sen(x t) (verde): - - Figura 6.8: A soução de d Aembert impica em que a soução da edp da onda depende apenas dos pontos do intervao [x c t, x + c t]. 6.8 A Onda Infinita Vamos estudar a vibração de uma corda de comprimento infinito. Neste caso, não existem condições de fronteira. Sejam: Ω = R (, + ); Ω = R [, + ). u tt = c 2 u xx, se (x, t) Ω u(x, ) = f(x), se x R u t (x, ) = g(x), se x R. (6.6) O sistema descreve o movimento de uma corda nas mesmas hipóteses anteriores, savo, que o comprimento é infinito. Note que as funções envovidas não são necessáriamente periódicas. Por tanto, para os casos não periódicos não podemos utiizar Fourier.

195 6.8. A ONDA INFINITA 95 Figura 6.9: Peo teorema, sabemos que u(x, t) = F (x + c t) + G(x c t). Por outro ado:. f(x) = u(x, ) = F (x) + G(x), 2. u t (x, t) = c F (x + c t) c G (x c t); ogo: g(x) = u t (x, ) = c F (x) c G (x). Obtemos: () F (x) + G(x) = f(x) (2) F (x) G (x) = c g(x), integrando (2), temos: F (x) G(x) = c x g(s) ds, ogo: () F (x) + G(x) = f(x) (2 ) F (x) G(x) = c x g(s) ds, somando () + (2 ), temos: F (x) = 2 [ f(x) + c Por outro ado, substraindo () (2 ), temos: x ] g(s) ds.

196 96 CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DA ONDA Então: u(x, t) = 2 G(x) = 2 Compare este resutado com (6.5). [ f(x) c x ] g(s) ds. [ f(x + c t) + f(x c t) ] + 2 c x+ct x ct g(s) ds. (6.7) Exempo 6.3. [] Considere o probema: u tt = u xx, se (x, t) Ω u(x, ) = exp( x ), se x R u t (x, ) =, se x R.. A soução de d Aembert é: u(x, t) = [ ] [ f(x + t) + f(x t) = exp( (x + t) 2 ) + exp( (x t) 2 ) ] 2 2 = exp( (x 2 + t 2 )) [ ] exp(2 xt) + exp( 2 x t) 2 = exp( (x 2 + t 2 )) cosh(2 x t). A seguir o comportamento da onda, para diferentes t: Figura 6.:

197 6.8. A ONDA INFINITA 97 Figura 6.: Figura 6.2: Figura 6.3: [2] Considere o probema:

198 98 CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DA ONDA u tt = u xx, se (x, t) Ω u(x, ) = exp( x 2 ), se x R u t (x, ) = x, se x R.. A soução de d Aembert é: u(x, t) = 2 [ f(x + t) + f(x t) ] + 2 x+t x t = exp( (x 2 + t 2 )) cosh(2 x t) x t. A seguir o comportamento da onda, para diferentes t: s ds Figura 6.4: Figura 6.5:

199 6.8. A ONDA INFINITA 99 Figura 6.6: Figura 6.7: Como antes, novamente insistimos em que é possíve introduzir condições mais fracas para obter souções para a edp da onda. [3] Considere o probema da onda infinita ta que c =, g = e: f(x) = { se x > 2 x + 2 se x. f não é de casse C 2 e a função u = u(x, t) definida em (6.5) é contínua: u(x, t) = 2 x t x + t. Mas as derivadas tem descontinuidades ao ongo das retas x t =, x t =, x + t = e x + t =. A seguir o comportamento da onda, para diferentes t:

200 2 CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DA ONDA Figura 6.8: Figura 6.9: Figura 6.2:

201 6.9. REVERSIBILIDADE DA EDP DA ONDA Figura 6.2: 6.9 Reversibiidade da edp da onda A soução (6.7) é também váida para todo (x, t) R R. O conhecimento da configuração inicia da corda também determina sua configuração em tempos anteriores. Logo, o estado da corda no tempo t = pode ser obtido deixando evouir a corda a partir de condições iniciais adequadas. Por exempo, fixando condições u(x, ) e u t (x, ) e deixando evouir a corda a partir desta condição, verificaremos que após uma unidade de tempo, a corda acança o estado u(x, ) com veocidade u t (x, ). A edp da onda é invariante por mudanças do tipo t t, que invertem o sentido do tempo e mudam o "passado"peo "futuro"da corda. 6. Equação de Euer - Bernoui: Vibração de uma Viga Consideramos uma viga que não se deforma, como composta de infinitos feixes ongitudinais de comprimento. Quanto a viga sofre fexão, as fibras próximas à superfície côncava se contraem e as fibras próximas à superfície convexa devem se distender. A superfície que separa a região de compressão da região de distensão (onde o comprimento permanece inaterado) é chamada de superfície neutra. A intersecção entre superfície neutra e o pano de simetria é chamada de inha neutra. Escohemos um sistema de coordenadas cartesiano de ta forma que a inha neutra da viga não deformada repouse sobre o eixo dos x entre os pontos x = e x =. Supomos que a viga assume vibrações transversais, isto é, suas partícuas podem se mover apenas da direção vertica. Desta forma a inha neutra pode se deocar. Por outro ado, os vaores na fronteira podem modear pontos de apoio, pontos de carga, momentos, entre outros.

202 22 CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DA ONDA Denotemos por u = u(x, t) a função que modea a atura da inha neutra no instante t, na posição x e Ω = (, ) (, t). Figura 6.22: Configuração inicia (t = ) Considere o sistema: u tt + c 2 u xxxx =, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t u xx (, t) = u xx (, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, ] u t (x, ) = g(x), se x [, ]. ta que u C 4( Ω ), f () = f () =. O sistema descreve o desocamento vertica de uma viga de comprimento e que vibra com extremos fixos, com configuração inicia f e veocidade inicia g. 6. Separação das Variáveis A separação das variáveis deste probema é totamente anáoga aos caso da edp da onda unidimensiona. Procuramos souções não nuas do tipo: u(x, t) = X(x) T (t). Como antes omitiremos a variáve independente das funções.

203 6.. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 23. u = u(x, t) deve ser soução do probema: 2. A edp pode ser reescrita como: 3. Logo: 4. Do ítem anterior obtemos: u tt = X T, u xxxx = X (4) T. c 2 X (4) T + X T = X(4) X = c 2 T T. X (4) X = T c 2 T { X (4) p X =, = p, p R. < x < T p c 2 T =, t >. 5. Por outro ado: = u(, t) = X() T (t), para todo t > X() = = u(, t) = X() T (t), para todo t > X() = = u xx (, t) = X () T (t), para todo t > X () = = u xx (, t) = X () T (t), para todo t > X () =. 6. Dos ítens anteriores obtemos um PSL reguar: X (4) p X =, < x < X() = X() = X () = X () =, e a edo: T p c 2 T =.

204 24 CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DA ONDA 7. Não é difíci ver que PSL, possui somente souções não nuas se p = λ 4, λ ; então: X(x) = c e λx + c 2 e λx + c 3 cos(λ x) + c 4 sen(λ x). 8. Da condição, X() = X () =, obtemos: { c + c 4 = c c 4 = = c = c 4 =. 9. Da condição, X() = X () =, obtemos: { c 2 e λ + c 3 sen(λ ) = c 2 e λ c 3 sen(λ ) = = c 2 =. Donde, sen(λ ) =, ogo a soução do PSL é: onde λ n = n π, para cada n N. X n (x) = sen ( λ n x ),. A edo T + λ 4 n c 2 T =, para cada n N, tem soução: T n (t) = A n cos(c λ 2 n t) + B n sen(c λ 2 n t),. Logo, obtemos para cada n N: u n (x, y) = X n (x) T n (t) = [ a n cos ( c λ 2 n t ) + b n sen ( c λ 2 n t )] sen ( λ n x ). 2. É imediato que as funções u n = u n (x, t) são de casse C e são souções da edp em Ω, para cada n N. 3. Peo princípio de superposição das souções, a soução forma do probema é: u(x, t) = u n (x, t),

205 6.. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 25 isto é: u(x, t) = [ a n cos ( c [ n π ] 2 t ) + bn sen ( c [ n π ] 2 ) ] t sen ( n π x). 4. De forma anáoga à separação das variáveis da Edp da onda, temos que: f(x) = u(x, ) = a n sen ( n π x), x [, ], isto é, f deve possuir série dos senos; se a série anterior converge em [, ], então converge em R para a extensão periódica de período 2 ímpar de f; ogo: a n = 2 f(x) sen ( n π x) dx, n N. 5. Como u t (x, ) = g(x), x [, ], temos: b n = 2 n 2 π 2 c g(x) sen( n π x ) dx. 6. Os detahes sobre a vaidade da soução ficam como exercícios. Coroário 6.. O probema de vibrações transversais de uma viga: u tt + c 2 u xxxx =, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t u xx (, t) = u xx (, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, ] u t (x, ) = g(x), se x [, ]. ta que u C 4( Ω ), f () = f () =, tem soução forma: onde: u(x, t) = [ a n cos ( c [ n π ] 2 t ) + bn sen ( c [ n π ] 2 ) ] t sen ( n π x),

206 26 CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DA ONDA a n = 2 f(x) sen ( n π x) dx b n = 2 n 2 π 2 c g(x) sen( n π x ) dx. Exempo 6.4. [] Determine a soução dos sistema: u tt + u xxxx =, < x < π, < t < + u(, t) = u(π, t) =, t u xx (, t) = u xx (π, t) =, t u(x, ) =, se x [, π] u t (x, ) = sen(2 x), se x [, π]. Note que c =, = π e a n =, para todo n N. Por outro ado: Assim: b n = 2 n 2 π π sen(2 x) sen(n x) dx = 4 sen(n π) π n 2 (n 2 4) =, se n 2. b 2 = 2 π π sen 2 (2 x) dx = 4 π π [ cos(4 x) ] dx = 4. Logo, a soução é: u(x, t) = sen(2 x) sen(4 t). 4 As curvas de níveis de u = u(x, t):

207 6.. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 27 π Figura 6.23: Gráfico de u = u(x, t), para aguns t Figura 6.24: Gráfico de u = u(x, t)

208 28 CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DA ONDA 6.2 Exercícios. Considere c = na edp de onda e ache a soução forma dos seguintes probemas: u(, t) = u(, t) =, t (a) u(x, ) =, x [, ] u t (x, ) = c, x [, ] u(, t) = u(, t) =, t (b) u(x, ) = x (x ), x [, ] u t (x, ) =, x [, ] u(, t) = u(π, t) =, t (c) u(x, ) = 3 sen(x), x [, π] u t (x, ) =, x [, π] u(, t) = u(π, t) =, t (d) u(x, ) =, x [, π] u t (x, ) = 8 sen 2 (x), x [, π] u(, t) = u(π, t) =, t (e) u(x, ) =, x [, π] u t (x, ) = x sen(x), x [, π] u(, t) = u(π, t) =, t (f) u(x, ) = sen(x), x [, π] u t (x, ) = x 2 π x, x [, π] u(, t) = u(3, t) =, t (g) u(x, ) = sen(x), x [, 3] 4 u t (x, ) = sen(2 πx), x [, 3] 2. Ache a soução forma dos seguintes probemas de onda: u tt = c 2 u xx, (x, t) Ω u(, t) =, t (a) u x (π, t) =, t u(x, ) = x + cos(x), x [, π] u t (x, ) = sen(x/2), x [, π]

209 6.2. EXERCÍCIOS 29 u tt = c 2 u xx, (x, t) Ω u(, t) =, t (b) u x (π, t) =, t u(x, ) = cos(x), x [, π] u t (x, ) =, x [, π] u tt = c 2 u xx, (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t (c) u(x, ) = f(x), x [, ] u t (x, ) =, x [, ], e o gráfico de f é h a Figura 6.25: 3. Determine a soução de d Lembert para o probema da corda de comprimento infinito: { u(x, ) =, x R (a) u t (x, ) = c, x R (b) (c) (d) (e) { u(x, ) = sen(x), u t (x, ) = x 2, { u(x, ) = cos(x), u t (x, ) = e, x R x R x R x R { u(x, ) = n( + x 2 ), u t (x, ) = 2, { u(x, ) = x, x R x R u t (x, ) = sen(x), x R x R

210 2 CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DA ONDA (f) (g) { u(x, ) = sen(x), u t (x, ) = sen(x), { u(x, ) =, u t (x, ) = x e x2, x R x R x R x R 4. Verifique que: u(x, t) = 2 c t x+c(t s) x c(t s) f(q, s) dq ds, é soução do probema: u tt = c 2 u xx + f(x, t), x R, t > u(, t) =, t > u t (x, ) =, x R 5. A energia no tempo t de uma corda, de comrimento que vibra é: E(t) = 2 (u 2 t + c 2 u 2 x) dx. Verifique que: E (t) = c 2 [u x u t ] x dx.

211 Capítuo 7 EQUAÇÃO DE LAPLACE 7. Funções Harmônicas e Princípio do Máximo Consideremos a edp de Lapace: u =, em Ω Uma função contínua em Ω que é soução da edp de Lapace é dita harmônica. Exempo 7.. Caramente as funções: u(x, y) = a x + b y + c; a, b, c R, u(x, y) = x 2 y 2, u(x, y) = [ a cos(k x) + b sen(k x) ] exp(k y), k R são harmônicas em R 2. Figura 7.: Curvas de níveis de sen(.3 x) exp(.3 y) 2

212 22 CAPÍTULO 7. EQUAÇÃO DE LAPLACE Teorema 7.. (Princípio do Máximo) Seja Ω um aberto imitado em R 2. Se u : Ω R é contínua e harmônica em Ω, então u acança seu máximo e seu mínimo em Ω. Isto é, existem (x, y ), (x 2, y 2 ) Ω tais que: para todo (x, y) Ω. u(x, y ) u(x, y) u(x 2, y 2 ), Prova: De fato, como Ω e Ω são fechados e imitados, então u atinge o vaor máximo M em Ω e o vaor máximo m em Ω. Suponhamos que m < M. Seja d o diamêtro de um disco que contenha Ω e definamos v : Ω R por: v(x, y) = u(x, y) + M m 2 d 2 [ (x x ) 2 + (y y ) 2], onde (x, y ) Ω é ta que M = u(x, y ).. Para todo (x, y) Ω: v(x, y) m + M m d 2 = M + m 2 d 2 2 < M, 2. Note que v(x, y ) = u(x, y ) = M. Logo, v deve atingir seu vaor máximo em Ω e não em Ω; então v xx e v yy, no ponto onde atinge o máximo. 3. Por outro ado, em Ω: v = u + M m d 2 = M m d 2 >, para todos (x, y) Ω, o que é uma contradição. Logo o máximo deve ser atingido em Ω. Para o vaor mínimo consideramos u(x, y). Considere o probema de Dirichet: { u =, em Ω u = f, em Ω. Coroário 7.. (Unicidade) O probema de Dirichet, possui uma única soução.

213 7.. FUNÇÕES HARMÔNICAS E PRINCÍPIO DO MÁXIMO 23 Observação 7.. Se u e u 2 são souções do probema de Dirichet, então u = u u 2 é harmônica em Ω, e u(x, y) =, para todo (x, y) Ω. Peo princípio do máximo u(x, y) =, para todo (x, y) Ω; ogo u = u 2. Não é difíci verificar que, em coordenadas poares, a edp de Lapace fica: r 2 v rr + r v r + v θθ =, onde v(r, θ) = u(x, y). De fato, seja (r, θ) Ω = (, + ) (, 2 π): { x = r cos(θ) então: y = r sen(θ), r xx = sen2 (θ) r ogo:, r yy = cos2 (θ), θ xx = r 2 sen(θ) cos(θ) 2 sen(θ) cos(θ) e θ r 2 yy =, r 2 u xx = r 2 x v rr + r xx v r + 2 r x θ x v rθ + θ 2 x v θθ + θ xx v θ u yy = r 2 y v rr + r yy v r + 2 r y θ y v rθ + θ 2 y v θθ + θ yy v θ e: u xx + u yy = r 2 v rr + r v r + v θθ =. Esta edp tem coeficientes variáveis que se anuam em r =. No caso em que v(r, θ) = h(r), isto é, v só depende de r, a edp de Lapace fica: r 2 h + r h =, r (, ρ), a qua tem souções.i. h (r) = e h 2 (r) = n(r); ogo: v(r, θ) = n(r) é harmônica em R {(, )}. Esta soução é dita fundamenta da edp de Lapace, pois é utiizada para construir outras funções harmônicas.

214 24 CAPÍTULO 7. EQUAÇÃO DE LAPLACE 7.2 Probema de Dirichet em Retânguos A soução deste probema para Ω arbitrário é muito difíci. Consideraremos apenas o probema quando Ω é um retânguo. Sejam: onde: Ω = (, a) (, b); a, b >, Ω = [, a] [, b] e Ω = Ω Ω 2 Ω 3 Ω 4, Ω = {(, y) / y b} Ω 2 = {(a, y) / y b} Ω 3 = {(x, ), x a} Ω 4 = {(x, b), x a}. b f 2 g u= g 2 f Figura 7.2: A região Ω a O probema de Dirichet em Ω é: u xx + u yy =, se (x, y) Ω u(x, ) = f (x), se x [, a] u(x, b) = f 2 (x), se x [, a] u(, y) = g (y), se y [, b] u(a, y) = g 2 (y), se y [, b], (7.) ta que g () = f (), f (a) = g 2 (), f 2 (a) = g 2 (a) e f 2 () = g (b). Pea inearidade, a idéia inicia para achar a soução de (7.) é separá-o em dois probemas de Dirichet; cada um dees é obtido fazendo dois das funções na fronteira iguais

215 7.3. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 25 a zero. Obtendo as souções u e u 2 de cada um destes probemas, consideramos a soução de (7.): u(x, y) = u (x, y) + u 2 (x, y). f 2 u = g u = g 2 f Nós resoveremos o seguinte probema: Figura 7.3: u xx + u yy =, se (x, y) Ω u(x, ) = f (x), se x [, a] u(x, b) = f 2 (x), se x [, a] u(, y) =, se y [, b] u(a, y) =, se y [, b]. (7.2) f 2 u = f Figura 7.4: A região Ω 7.3 Separação das Variáveis Procuramos souções não nuas do tipo:

216 26 CAPÍTULO 7. EQUAÇÃO DE LAPLACE u(x, y) = X(x) Y (y).. Primeiramente observamos que X, Y. 2. Como u deve ser soução do probema: u xx = X Y, u yy = X Y. 3. A edp de Lapace pode ser reescrita como: X Y + X Y X X = Y Y. 4. Logo: X X = Y Y = p, p R. 5. Do ítem anterior obtemos: { X p X =, < x < a Y + p Y =, < y < b. 6. Por outro ado: = u(, y) = X() Y (y), para todo y > X() = = u(a, y) = X(a) Y (y), para todo y > X(a) =. 7. Dos ítens anteriores obtemos o PSL reguar: () { X p X =, X() = X(a) =, < x < a, E a edo: (2) Y + p Y =, < y < b

217 7.3. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS O PSL () possui somente souções não nuas se p = λ 2, λ, então: onde λ n = n π, para cada n N. a 9. A edo (2) só tem souções do tipo: X n (x) = A n sen ( λ n x ), Y n (y) = B n cosh(λ n y) + C n senh(λ n y),. Para cada n N, temos: u n = u n (x, y) é harmônica. u n (x, y) = [ a n cosh(λ n y) + c n senh(λ n y) ] sen ( λ n x ).. Peo princípio de superposição, a candidata à soução cássica do probema de Dirichet é: u(x, y) = [ a n cosh ( n π a y) + c n senh ( ] n π a y) sen ( n π a x). (7.3) 2. Utiizando as condições iniciais: e como antes: f (x) = u(x, ) = a n sen ( n π a x), a n = 2 a a f (x) sen ( n π a x) dx. Por outro ado: f 2 (x) = u(x, b) = Denotemos por λ n = n π a e por: [ a n cosh ( n π a b) + c n senh ( ] n π a b) sen ( n π a x).

218 28 CAPÍTULO 7. EQUAÇÃO DE LAPLACE b n = 2 a a f 2 (x) sen(λ n x) dx então: a n cosh(λ n b) + c n senh(λ n b) = b n, n N; ogo: c n = b n a n cosh(λ n b), n N senh(λ n b) 3. Finamente, utiizando agumas identidades hiperbóicas: u(x, y) = senh(λ n b) [ an senh(λ n (b y)) + b n senh(λ n y) ] sen(λ n x). 4. Como a função y = senh(x) é estritamente crescente: senh( λ n y ) senh ( ), para todo n N, y [, b]. λ n b 5. Logo, (7.3) converge uniformemente se a série de Fourier de f converge. 6. A série (7.3) pode ser derivada termo a termo, mas a convergência da série das derivadas é muito mais deicada e vamos omití-a. Teorema 7.2. Se f C ( [, b] ) é diferenciáve por partes em (, b), f é contínua por partes em (, b) e f() = f(b) =, então: u xx + u yy =, se (x, y) Ω u(x, ) = f (x), se x [, a] u(x, b) = f 2 (x), se x [, a] tem uma única soução cássica: u(, y) =, se y [, b] u(a, y) =, se y [, b]

219 7.3. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 29 u(x, y) = onde λ n = n π a e ta que: senh(λ n b) [ an senh(λ n (b y)) + b n senh(λ n y) ] sen(λ n x), a n = 2 a b n = 2 a a a f (x) sen ( n π a x) dx f 2 (x) sen ( n π a x) dx. De forma anáoga o probema: u xx + u yy =, se (x, y) Ω u(x, ) =, se x [, a] u(x, b) =, se x [, a] u(, y) = g (y) se y [, b] u(a, y) = g 2 (y), se y [, b]. (7.4) g u = g 2 Figura 7.5: A região Ω Tem uma única soução cássica: u(x, y) = onde µ n = n π b e ta que: [ ] a n senh(µ n x) + b n senh(µ n (a x)) sen(µ n y), senh(µ n a)

220 22 CAPÍTULO 7. EQUAÇÃO DE LAPLACE a n = 2 b b g 2 (y) sen(µ n y)) dy b n = 2 g (y) sen(µ n y)) dy. b Exempo 7.2. [] Considere o probema: u xx + u yy =, se (x, y) (, ) (, ) u(x, ) =, se x [, ] u(x, ) = sen(π x), se x [, ] b u(, y) =, se y [, ] u(, y) =, se y [, ]. Peo teorema, a soução é: ta que: Logo, a n = 2 senh ( n π ) u(x, y) = a n senh ( n π y ) sen ( n π x ), sen(π x) sen ( n π x ) n dx = n =. senh(π) u(x, y) = sen(π x) senh(π y). senh(π) Figura 7.6: Curvas de níve de u = u(x, y)

221 7.3. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 22 [2] Considere o probema: u xx + u yy =, se (x, y) (, ) (, ) u(x, ) = sen(2 π x), se x [, ] u(x, ) = sen(π x), se x [, ] Peo teorema, a soução é: u(x, y) = u(, y) =, se y [, ] u(, y) =, se y [, ]. senh(n π) [ an senh(n π ( y)) + b n senh(n π y) ] sen(n π x), ta que: e a n = 2 b n = 2 sen(π x) sen ( n π x ) dx = sen(π x) sen ( n π x ) dx = { n 2 n = 2 { n n =. Logo, u(x, y) = senh(π) senh(π y) sen(π x) + senh(2 π ( y)) sen(2 π x). senh(2 π) [3] Considere o probema: Figura 7.7:

222 222 CAPÍTULO 7. EQUAÇÃO DE LAPLACE Peo teorema, a soução é: ta que: u(x, y) = u xx + u yy =, se (x, y) (, ) (, ) u(x, ) =, se x [, ] u(x, ) =, se x [, ] u(, y) = y ( y), se y [, ] u(, y) = y ( y), se y [, ]. [ an senh(n π x) + b n senh(n π ( x)) ] sen(n π y), senh(n π) a n = b n = 2 x ( x) sen ( n π x ) dy = 4 ( ( )n ) n 3 π 3 ; 8 Logo, a 2n = b 2n = e a 2n = b 2n =, para todo n N. Finamente: (2 n ) 3 π3 u(x, y) = K(n, x) sen((2 n ) π y). onde: K(n, x) = 8 [ senh((2 n ) π x) + senh((2 n ) π ( x)) ]. (2 n ) 3 π 3 senh((2 n ) π) Figura 7.8: Curvas de níveis de u = u(x, y)

223 7.4. PROBLEMA DE DIRICHLET EM DISCOS Probema de Dirichet em Discos Se Ω é um disco, então não podemos utiizar diretamente o método de separação das variáveis, pois Ω I J. Para poder descrever Ω como produto cartesiano de dois intervaos, utiizaremos coordenadas poares. Veja ([VC2]) na bibiografia. Em coordenadas poares a edp de Lapace fica: onde v(r, θ) = u(x, y). r 2 v rr + r v r + v θθ =, 7.5 Probema Interno a um Disco Seja: Ω = {(x, y) R / x 2 + y 2 < ρ 2 } Ω = {(x, y) R / x 2 + y 2 = ρ 2 }. Ω ρ Figura 7.9: Ω e Ω Utiizando coordenadas poares: O probema de Dirichet fica: Ω = (, ρ) (, 2 π) Ω = {(ρ, θ) / θ 2 π}.

224 224 CAPÍTULO 7. EQUAÇÃO DE LAPLACE { r 2 v rr + r v r + v θθ =, v(ρ, θ) = f(θ), θ [, 2π], (r, θ) Ω Como v = v(r, θ) deve ser periódica de período 2 π, então, v(r, θ) = v(r, θ + 2 π) e deve ser imitada se r +. Logo o probema fica: r 2 v rr + r v r + v θθ =, (r, θ) Ω v(ρ, θ) = f(θ), θ [, 2π] (7.5) v(r, θ) = v(r, θ + 2 π), (r, θ) Ω. 7.6 Separação das Variáveis Procuramos souções não nuas do tipo: u(r, θ) = R(r) Θ(θ).. Primeiramente observamos que R, Θ. 2. Como v deve ser soução do probema, devemos ter: v r = R Θ u rr = R Θ u θθ = R Θ. 3. A edp de Lapace pode ser reescrita como: 4. Logo: r 2 R Θ + r R Θ + Θ = r 2 R R + r R R = Θ Θ. 5. Do ítem anterior obtemos: r 2 R R + r R R = Θ Θ = p, p R. { () r 2 R + r R p R =, < r < ρ (2) Θ + p Θ =, < θ < 2 π.

225 7.6. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS Se p =, de (2) temos que Θ =, ogo Θ(θ) = A θ + B. Como Θ deve ser periódica, então A =. Por outro ado, de () temos: r 2 R + r R =, que é equivaente a r ( r R ) =, ogo: ( ) r R =, então r R = C, e R = C r ; então R(r) = C n(r) + D; como v deve ser imitada, então C = e obtemos a soução: u (r, θ) = a. 7. Se p < as souções são nuas. 8. Se p >, consideremos p = λ 2 ; ogo, em (2) temos um PSL periódico: então, λ n = n e a soução é: { Θ + p Θ =, Θ(θ) = Θ(θ + 2 π); < θ < 2 π Θ n (θ) = a n cos(n θ) + b n sen(n θ). 9. De (), obtemos: r 2 R + r R n 2 R = uma edo de Euer com soução R(r) = c n r n + d n r n ; como v deve ser imitada, então d n =, para todo n N, e: R n (r) = c n r n.. Logo, obtemos para cada n N: v n (r, θ) = r n[ a n cos(n θ) + b n sen(n θ) ].

226 226 CAPÍTULO 7. EQUAÇÃO DE LAPLACE. É imediato que v n = v n (r, θ) são de casse C 2 e são souções da edp de Lapace em Ω para cada n N. 2. Peo princípio de superposição, a soução forma do probema é: 3. Por outro ado, v(r, θ) = a + r n[ a n cos(n θ) + b n sen(n θ) ]. (7.6) f(θ) = v(ρ, θ) = a 2 + ρ [ n a n cos(n θ) + b n sen(n θ) ]. 4. Se, por exempo, f for diferenciáve por partes, teremos convergência uniforme da soução (7.6). É possíve provar, com hipóteses mais fracas, a convergência da soução (7.6). 5. Nestes casos, teremos que ter: 7.7 Estudo da Soução a = 2 π a n = ρ n π b n = ρ n π 2π 2π 2π f(θ) dθ, f(θ) cos(n θ) dθ, f(θ) sen(n θ) dθ,. Note que (7.6) converge uniformemente se r < ρ, pois: e a série geométrica: converge se r < ρ. De fato: a n c ρ n e b n c ρ n n= ( ) n r ρ

227 7.7. ESTUDO DA SOLUÇÃO 227 v r n [ a n + b n ] 2 ( ) n r. ρ Peo mesmo argumento, v define uma função contínua em Ω, pois basta verificar que (7.6) converge uniformemente se r r e r < ρ e a série : converge se r r. n= ( ) n r ρ 2. Para ver que (7.6) define uma função em C 2( Ω ), devemos verificar que as séries obtidas derivando termo a termo (7.6), convergem uniformemente para r r se r < ρ. e a série correspondente converge. v n r = [ n r n a n cos(n θ) + b n sen(n θ) ] n r n [ a n + b n ] 2 c ( ) n r ρ n. ρ 3. É possíve mostrar que as séries formadas peas segundas derivadas também convergem. 4. Caramente v = v(r, θ) é harmônica em Ω. 5. Para r =, de (7.6), temos: v(, θ) = a = 2 π 2 π f(θ) dθ, isto é, uma função harmônica v definida em Ω tem o vaor no centro igua à média de v sobre Ω. Teorema 7.3. Se f for contínua e ta que f() = f(2 π), então (7.6) define uma função harmônica no disco ta que: im v(r, θ) = f(θ ). (r,θ) (ρ,θ )

228 228 CAPÍTULO 7. EQUAÇÃO DE LAPLACE Coroário 7.2. Considere probema de Dirichet: r 2 v rr + r v r + v θθ =, (r, θ) Ω v(ρ, θ) = f(θ), θ [, 2π] v(r, θ) = v(r, θ + 2 π), (r, θ) Ω. Se f for contínua em Ω, então: v(r, θ) = a + r [ n a n cos(n θ) + b n sen(n θ) ], onde a = 2 π a n = ρ n π b n = ρ n π 2π 2π 2π f(θ) dθ, f(θ) cos(n θ) dθ, f(θ) sen(n θ) dθ, O vaor de v no centro do disco é a média dos vaores de v no bordo. Como isto é váido para quaquer disco centrado na origem de raio r < ρ, temos que o vaor de uma função harmônica numa região U, num ponto arbitrário, é igua a média dos vaores da função sobre quaquer disco centrado no ponto em questão, contido em U. Exempo 7.3. Ache as soução de: r 2 v rr + r v r + v θθ =, (r, θ) Ω v(2, θ) = + 3 sen(θ), θ [, 2π] v(r, θ) = v(r, θ + 2 π), (r, θ) Ω. Temos:

229 7.8. NÚCLEO DE POISSON 229 a = 2 π a n = 2 n π b n = 2 n π b = 2 π 2π 2π 2π 2π ( + 3 sen(θ) dθ =, ( + 3 sen(θ)) cos(n θ) dθ =, para todo n ( + 3 sen(θ)) sen(n θ) dθ =, para todo n ( + 3 sen(θ)) sen(θ) dθ = 3 2. Logo: v(r, θ) = + 3 r 2 sen(θ) Figura 7.: Gráficos de v(, θ) e v(r, θ) para diversos r >, respectivamente 7.8 Núceo de Poisson Observe que:

230 23 CAPÍTULO 7. EQUAÇÃO DE LAPLACE r n[ a n cos(n θ) + b n sen(n θ) ] = [ r n 2π 2π ] f(ω) cos(n ω) dω cos(n θ) + sen(n ω) dω sen(n θ) ρ n π Logo: = π ( ) n r 2π f(ω) [ cos(n ω) cos(n θ) + sen(n ω) sen(n θ) ] dω. ρ v(r, θ) = 2 π 2π [ f(ω) + 2 ( ) n r cos(n (θ ω))] dω. ρ É possíve verificar que: v(r, θ) = 2 π 2π ρ 2 r 2 f(ω) dω. ρ 2 + r 2 2 rρ cos(θ ω) Esta forma da soução do probema é dita fórmua de Poisson. A função: P (r, θ) = [ ] ρ 2 r 2, (r, θ) [, ρ) [, 2 π]. 2 π ρ 2 + r 2 2 rρ cos(θ) é chamada núceo de Poisson. Então: A função P = P (r, θ) é par. v(r, θ) = 2π P (r, θ ω) f(ω) dω. Se f(θ) =, então de (7.6), temos que v(r, θ) =, se ρ <. Logo, do ítem anterior: 2π P (r, θ ω) dω =. f é contínua em [, 2 π]; ogo atinge seu máximo e para todo ε > existe δ = δ(ε) ta que θ ω < δ impica f(θ) f(ω) < ε. É possíve verificar que: onde M e o vaor máximo de f em [, 2 π]. u(r, θ) f(θ) ε ( + 2 M),

231 7.9. PROBLEMA EXTERNO A UM DISCO 23 Teorema 7.4. Existe uma única função harmônica v = v(r, θ), (r, θ) Ω ta que se f é contínua e v(ρ, θ) = f(θ), então: ou: v(r, θ) = 2 π 2π ρ 2 r 2 f(ω) dω ρ 2 + r 2 2 rρ cos(θ ω) v(r, θ) = a + r [ n a n cos(n θ) + b n sen(n θ) ], onde a, a n e b n são os coeficientes de Fourier de f. 7.9 Probema Externo a um Disco Considere o probema: { u =, em R 2 Ω u Ω = f. Ω Figura 7.: Região Ω Neste probema, estamos estudando a edp de Lapace numa paca infinita que possui um buraco. Note que este probema e o anterior, possuem a mesma fronteira. Como v(r, θ) = v(r, θ + 2 π) e v(r, θ) deve ser imitada quando r +, o probema fica: r 2 v rr + r v r + v θθ =, ρ < r, θ (, 2 π) v(ρ, θ) = f(θ), θ [, 2π] v(r, θ) = v(r, θ + 2 π), (r, θ) Ω. (7.7)

232 232 CAPÍTULO 7. EQUAÇÃO DE LAPLACE 7. Separação das Variáveis Lembremos que quando separamos as variáveis no disco, obtivemos: R n (r) = Θ n (θ) = { A + B n(r), se n = C r n + D r n, se n =, 2,... { H θ + E, se n = F cos(n θ) + G sen(n θ), se n =, 2,... Como v = v(r, θ) deve ser periódica, então H = e deve ser imitada quando r + ; então B = C = ; ogo, obtemos: onde v(r, θ) = a + r [ n a n cos(n θ) + b n sen(n θ) ], a = 2 π 2π f(θ) dθ, a n = ρn π 2π f(θ) cos(n θ) dθ, b n = ρn π 2π f(θ) sen(n θ) dθ, De forma anáoga a do probema interno: a n c ρ n, b n c ρ n v r n [ a n + b n ] 2 c [ ] n ρ. r E a série correspondente converge se ρ < r. As souções obtidas são cássicas. Também é possíve mostrar que: v(r, θ) = 2 π 2π ρ 2 f(ω) dω. 2 ρ cos(θ ω) + ρ2

233 7.. PROBLEMA NUM SEMI-DISCO 233 Exempo 7.4. Ache as soução de: r 2 v rr + r v r + v θθ =, 2 < r, θ (, 2 π) v(2, θ) = cos(4 θ), θ [, 2π] v(r, θ) = v(r, θ + 2 π), (r, θ) Ω. Temos: Logo: a = 2 π a n = 2n π b n = 2n π a 4 = 24 π 2π 2π 2π 2π cos(4 θ) dθ =, cos(4 θ) cos(n θ) dθ =, para todo n 4 cos(4 θ) sen(n θ) dθ =, cos 2 (4 θ) dθ = 6. para todo n v(r, θ) = 6 cos(4 θ). r Figura 7.2: Gráficos de v(r, θ) para diversos r 7. Probema num Semi-disco Seja Ω = (, ρ) (, π) e consideremos o probema de Dirichet:

234 234 CAPÍTULO 7. EQUAÇÃO DE LAPLACE { u =, em Ω u Ω = f. ρ Figura 7.3: Ω e Ω ρ Este probema é diferente dos anteriores, pois a fronteira é união de dois conjuntos: Ω = {(r, ) / r [ ρ, ρ]} {(ρ, θ) / θ [, π]}. Considere o probema de Dirichet: r 2 v rr + r v r + v θθ =, < r < ρ, θ (, π) v(ρ, θ) = f(θ), θ [, π] v(r, ) = v(r, π) =, r [, ρ]. (7.8) Note que f() = f(π) = e v(r, θ) deve ser periódica e imitada se r Separação das Variáveis Lembremos que quando separamos as variáveis, obtivemos: R n (r) = Θ n (θ) = { A + B n(r), se n = C r n + D r n, se n =, 2,... { H θ + E, se n = F cos(n θ) + G sen(n θ), se n =, 2,...

235 7.2. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 235 Como v = v(r, θ) deve ser periódica, então H =, deve ser imitada quando r + e como v(r, ) = v(r, π) =, então: ogo, obtemos: onde A = B = D = E = F = ; v(r, θ) = b n = 2 ρ n π b n r n sen(n θ), π f(θ) sen(n θ) dθ. Anaogamente aos casos anteriores, v é uma soução cássica anáoga às anteriores. Exempo 7.5. Ache as soução de: r 2 v rr + r v r + v θθ =, < r <, θ (, π) v(, θ) = sen(2 θ) cos(3 θ), θ [, π] v(r, ) = v(r, π) =, r [, ]. Como: sen(2 θ) cos(3 θ) = [ ] sen(5 θ) sen(θ), 2 temos: Logo: b n =, para todo n, 5 b = π [ ] sen(5 θ) sen(θ) sen(θ) dθ = π 2 b 5 = π [ ] sen(5 θ) sen(θ) sen(5 θ) dθ = π 2. v(r, θ) = 2[ r sen(θ) r 5 sen(5 θ) ].

236 236 CAPÍTULO 7. EQUAÇÃO DE LAPLACE Figura 7.4: Gráficos de v(., θ) e v(.9, θ), respectivamente 7.3 Probema de Dirichet para Anéis Uma extensão natura do probema de Dirichet para discos é o probema num ane: Ω ρ ρ 2 Figura 7.5: Ω e Ω Sejam Ω = (ρ, ρ 2 ) (, 2 π) Ω = {(ρ, θ), θ [, 2 π]} Ω 2 = {(ρ 2, θ), θ [, 2 π]} Ω = Ω Ω 2. Consideremos o probema de Dirichet:

237 7.4. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 237 r 2 v rr + r v r + v θθ =, (r, θ) Ω v(ρ, θ) = f(θ), θ [, 2π] v(ρ 2, θ) = g(θ), θ [, 2π] v(r, θ) = v(r, θ + 2 π), (r, θ) Ω. 7.4 Separação das Variáveis Lembremos que quando separamos as variáveis no probema no disco, obtivemos: R n (r) = Θ n (θ) = { A + B n(r), se n = C r n + D r n, se n =, 2,... { H θ + E, se n = F cos(n θ) + G sen(n θ), se n =, 2,... Como v = v(r, θ) deve ser periódica, então H = ; ogo, obtemos: [( u(r, θ) = a + b n(r) + an r n + b n r n) cos(n θ) + ( c n r n + d n r n) sen(n θ) ]. Como antes, exigimos continuidade de f e g, e obtemos:

238 238 CAPÍTULO 7. EQUAÇÃO DE LAPLACE a + b n(ρ ) = 2 π 2π f(θ) dθ, a n ρ n + b n ρ n = π 2π f(θ) cos(n θ) dθ, c n ρ n + d n ρ n = π a + b n(ρ 2 ) = 2 π 2π 2π f(θ) sen(n θ) dθ, g(θ) dθ, a n ρ n 2 + b n ρ n 2 = π 2π g(θ) cos(n θ) dθ, c n ρ n 2 + d n ρ n 2 = π 2π g(θ) sen(n θ) dθ. Exempo 7.6. Ache a soução de: r 2 v rr + r v r + v θθ =, (r, θ) Ω v(, θ) = sen 2 (θ), θ [, 2π] v(2, θ) =, θ [, 2π] v(r, θ) = v(r, θ + 2 π), (r, θ) Ω. Temos:

239 7.4. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 239 () a + b n() = 2 π (2) a + b n(2) =, 2π sen 2 (θ) dθ = 2, (3) a n + b n = π 2π sen 2 (θ) cos(n θ) dθ = n 2, n = 2 2 (4) a n 2 n + b n 2 n =, (5) c n + d n = π 2π sen 2 (θ) sen(n θ) dθ =, De () e (2), temos: (6) c n 2 n + d n 2 n =. a = e 2 b = 2 n(2) ; de (5) e (6) temos: c n = d n =, para todo n N e de (3) e (4): a n = b n =, n 2; a 2 = 3 e Então, a soução é: b 2 = 8 5. v(r, θ) = 2 2 n(2) n(r) + [ ] r r 2 cos(2 θ).

240 24 CAPÍTULO 7. EQUAÇÃO DE LAPLACE Figura 7.6: Gráficos de v(r, θ) para diversos r

241 7.5. EXERCÍCIOS Exercícios. Considere a edp de Lapace e ache a soução forma dos seguintes probemas: (a) (b) (c) (d) (e) (f) u(, y) = u(a, y) =, y [, b] u(x, ) = f (x), x [, a] u(x, b) =, x [, a] u(, y) = u(a, y) =, y [, b] u(x, ) =, x [, a] u(x, b) = f 2 (x), x [, a] u(, y) = g (y), y [, b] u(a, y) =, y [, b] u(x, ) = u(x, b) =, x [, a] { u(, y) = u(π, y) = u(x, ) =, x, y [, π] u(x, ) = x 2, x [, π] { u(, y) = u(x, ) = u(x, ) =, x, y [, ] u(, y) = y 2, y [, ] { u x (, y) = u x (, y) = u y (x, ) =, x, y [, ] u(x, ) = x 2, y [, ] Edp de Lapace em coordenadas poares 2. Verifique que a edp de Lapace em coordenadas poares é: r 2 u rr + r u r + u θθ =. 3. Considere a edp de Lapace em coordenadas poares e ache a soução forma dos seguintes probemas: (r, θ) (, { ) (, 2 π) (a) Se se θ < π u(, θ) = T se π θ < 2 π

242 242 CAPÍTULO 7. EQUAÇÃO DE LAPLACE (b) Se { (r, θ) (, ) (, 2 π) u(, θ) = θ θ < 2 π (r, θ) (, { ) (, 2 π) (c) Se se θ < π u(, θ) = se π θ < 2 π (d) (e) (f) { (r, θ) (, ) (, 2 π) u(, θ) = sen(θ) { (r, θ) (, ) (, 2 π) u(, θ) = cos(θ) { (r, θ) (, ) (, 2 π) u(, θ) = sen 2 (θ) θ < 2 π θ < 2 π θ < 2 π 4. { (r, θ) (, ) (, 2 π) u(, θ) = cos 2 (θ) θ < 2 π 5. Ache a soução forma do probema de Dirichet numa paca semi-circuar: r 2 u rr + r u r + u θθ =, (r, θ) (, ρ) (, π) u(r, ) = u(r, π) =, r [, ρ] u(ρ, θ) = f(θ), θ [, π] 6. Ache a soução forma do probema de Dirichet no compementar de um disco de raio ρ > :: { r 2 u rr + r u r + u θθ =, (r, θ) (ρ, + ) (, 2 π) u(ρ, θ) = f(θ), θ [, 2 π] 7. Ache a soução forma dos probemas do ítem anterior para: (a) ρ = e u(, θ) = θ (b) ρ = e u(, θ) = sen(θ) (c) ρ = e u(, θ) = cos(θ).

243 Capítuo 8 COMPLEMENTOS DE EDP 8. Introdução Neste capítuo trataremos aguns probemas, um pouco mais gerais, que os estudados nos capítuo anteriores. Estes probemas não somente envovem variações das edp, como também as condições de fronteira. Em agumas das apicações ficaremos um pouco onge das séries de Fourier, porém, tentaremos tratá-as de modo anáogo ao adotado nos capítuos anteriores, para permitir uma rapida comprenssão do assunto. 8.2 Equação do Caor As edp s da seguinte forma: u t α 2 u xx + β u x + γ u =, (x, t) Ω onde α, β, γ R, podem ser reduzidas à edp do caor, utiizando a seguinte mudança: u(x, t) = exp(a x + b t) v(x, t), onde v C 2, a e b são constantes a determinar. De fato: u t = exp(a x + b t) [ ] b v + v t u x = exp(a x + b t) [ ] a v + v x u xx = exp(a x + b t) [ ] a 2 v + 2 a v x + v xx. Logo, a edp: 243

244 244 CAPÍTULO 8. COMPLEMENTOS DE EDP é equivaente a: u t α 2 u xx + β u x + γ u = [ vt α 2 v xx ] + [ β 2 a α 2 ] v x + [ a β + γ + b a 2 α 2] v =. Resovendo o sistema: { 2 a α 2 β = a 2 α 2 a β γ b =, temos que: a = β 2 α 2 e b = β2 + 4 γ α 2 4 α 2. Logo, com estas escohas, achar as souções da equação: u t α 2 u xx + β u x + γ u =, é equivaente a determinar as souções da edp do caor: v t = α 2 v xx. 8.3 Apicação Por exempo, consideremos o probema do tipo Dirichet homogêneo: u t α 2 u xx + β u x + γ u =, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, ]. As condições de contorno e iniciais do probema ficam: = u(, t) = exp(b t) v(, t) = v(, t) = = u(, t) = exp(a + b t) v(, t) = v(, t) = u(x, ) = f(x) = v(x, ) = e a x f(x). Logo, obtemos o sistema: v t α 2 v xx =, se (x, t) Ω v(, t) = v(, t) =, t v(x, ) = e a x f(x), se x [, ].

245 8.3. APLICAÇÃO 245 Anaogamente com as outras condições de contorno estudadas. Exempo 8.. [] Considere o probema: u t u xx + u =, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t u(x, ) = sen(2 π x), se x [, ]. Como α =, β = e γ =, temos a = e b = e: v t v xx =, se (x, t) Ω v(, t) = v(, t) =, t v(x, ) = sen(2 π x), se x [, ]. A soução do sistema é: v(x, t) = b n sen ( n π x ) exp ( n 2 π 2 t ), onde: b n = { se n 2 se n = 2; ogo: v(x, t) = sen(2 π x) exp( 4 π 2 t). A soução do probema é: u(x, t) = e t v(x, t) = sen(2 π x) exp( (4 π 2 + ) t)

246 246 CAPÍTULO 8. COMPLEMENTOS DE EDP - Figura 8.: u = u(x, t) para diferentes t [2] Considere o probema: u t u xx + 4 u x =, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t u(x, ) = sen(π x), se x [, ]. Como α =, β = 4 e γ =, temos a = 2 e b = 4 e: v t v xx =, se (x, t) Ω v(, t) = v(, t) =, t v(x, ) = e 2 x sen(π x), se x [, ]. A soução do sistema é: onde: v(x, t) = b n sen ( n π x ) exp ( n 2 π 2 t ), b n = 2 = e 2 x sen(π x) sen(n π x) dx 8 n π 2 (( ) n + e 2 ) e 2 (6 + 8 (n 2 + ) π 2 + (n 2 ) 2 π 4 ). Logo, como u(x, t) = exp(2 x 4 t) v(x, t), temos: u(x, t) = e 2x K(n) sen(n π x) exp( (n 2 π 2 + 4) t)

247 8.4. PERTURBAÇÃO DA EQUAÇÃO DO CALOR 247 onde: K(n) = 8 (( ) n + e 2 ) n π (n 2 + ) π 2 + (n 2 ) 2 π 4 Figura 8.2: u = u(x, t) para diferentes t 8.4 Perturbação da Equação do Caor Considere o probema do caor, onde a edp foi pertubada por uma função h C (, ) : u t = α 2 u xx + h(x), se (x, t) Ω u(, t) = T, t u(, t) = T, t u(x, ) = f(x), se x [, ]. (8.) A função h = h(x), em gera, representa uma fonte ou uma perda de caor se h(x) > ou h(x) <, respectivamente. A fonte só depende do comprimento da barra. A função h = h(x) é conhecida na iteratura como steady forcing, isto é, fonte estacionária. Consideremos souções do sistema (8.) da forma: onde U C 2, então: u(x, t) = v(x, t) + U(x), v t = u t = α 2 u xx + h(x) = α 2 ( v xx + U (x) ) + h(x) = α 2 v xx + α 2 U (x) + h(x).

248 248 CAPÍTULO 8. COMPLEMENTOS DE EDP Se U = U(x), satisfaz: α 2 U (x) + h(x) =, teremos: v t = α 2 v xx. Por outro ado: u(, t) = v(, t) + U() = T u(, t) = v(, t) + U() = T u(x, ) = v(x, ) + U(x) = f(x). Se U = U(x) é soução do PSL: α 2 U (x) + h(x) =, x (, ) U() = T U() = T. Então: U(x) = T + (T T ) x + + x [ α 2 η Assim, obtemos um probema já estudado: Logo, a soução do sistema (8.) é: ] h(y) dy dη v t = α 2 v xx, se (x, t) Ω v(, t) =, t v(, t) =, t x v(x, ) = f(x) U(x), se x [, ], [ η ] h(y) dy dη. α 2 u(x, t) = v(x, t)+t + (T T ) x + + x [ η ] h(y) dy dη α 2 x [ η ] h(y) dy dη. α 2

249 8.4. PERTURBAÇÃO DA EQUAÇÃO DO CALOR 249 Exempo 8.2. [] Considere o probema: u t = α 2 u xx + r, se (x, t) Ω, r R u(, t) = T, t u(, t) = T, t u(x, ) = f(x), se x [, ]. h(x) = r é constante; ogo: e: U(x) = T + (T T ) x v t = α 2 v xx, se (x, t) Ω v(, t) =, t v(, t) =, t + r 2 α 2 ( x x 2 ). v(x, ) = f(x) U(x), se x [, ], Sabemos que este probema tem como soução: onde: v(x, t) = b n sen ( n π x [ ] ) ( 2 α n π exp t ). 2 b n = 2 A soução do probema é: [ ] (n π x) f(x) U(x) sen dx, n N. u(x, t) = T + (T T ) x + r ( ) x x α 2 + b n sen ( [ ] n π x) ( 2 α n π exp t ). Por exempo: u t = u xx +, se (x, t) Ω u(, t) =, t u(, t) =, t u(x, ) = x 2, se x [, ].

250 25 CAPÍTULO 8. COMPLEMENTOS DE EDP Temos que U(x) = 3 x x2, b 2n = e : 2 2 b 2n = (2 n ) 3 π, 3 para todo n N. A soução do probema é: u(x, t) = 3 x x2 2 2 (2 n ) 3 π 3 sen( (2 n ) π x ) exp ( (2 n ) 2 π 2 t ). Figura 8.3: u = u(x, t) para diferentes t [2] Considere u t = u xx + e x, se (x, t) Ω u(, t) =, t u(, t) =, t u(x, ) = x, se x [, ], Como T =, T =, h(x) = e x e =, temos que U(x) = e x + e x e: b n = 2 [ x + e x e x ] sen(n π x) dx = e ( )n 2 n π (n 2 π 2 + ). Logo: u(x, t) = e x + e x + [ e ( ) n 2 n π (n 2 π 2 + ) ] sen(n π x) exp( n 2 π 2 t).

251 8.5. EDP DO CALOR: CASO GERAL Figura 8.4: u = u(x, t) para diferentes t 8.5 Edp do Caor: Caso Gera Considere: u t = α 2 u xx + H(x, t), se (x, t) Ω u(, t) = p(t), t u(, t) = q(t) t u(x, ) = F (x), se x [, ], (8.2) onde H C (Ω) e p, q C ([, + )). A função H = H(x, t) é conhecida na iteratura como transient forcing ; isto é, fonte transitória. Utiizaremos uma anaogia para achar uma soução de (8.2). Seguindo o caso homogêneo, suponha que (8.2) tem soução do tipo: u(x, t) = v(x, t) + U(x, t), onde: U(x, t) = p(t) + x [q(t) p(t)]. Note que U = U(x, t) não é, necessariamente, soução da edp do caor. Observe que,

252 252 CAPÍTULO 8. COMPLEMENTOS DE EDP U(, t) = p(t) U(, t) = q(t) U xx = v t = u t U t v xx = u xx, então: v t α 2 v xx = H(x, t) U t. Por outro ado, as condições de fronterira e iniciais: v(, t) = u(, t) U(, t) = v(, t) = u(, t) U(, t) = v(x, ) = F (x) U(x, ). Denotemos h(x, t) = H(x, t) U t (x, t) e f(x) = F (x) U(x, ). Logo, obtemos o sistema: v t = α 2 v xx + h(x, t), se (x, t) Ω v(, t) =, t v(, t) =, t v(x, ) = f(x), se x [, ]. Logo, a soução de (8.2) é do tipo: u(x, t) = p(t) + x [q(t) p(t)] + v(x, t). 8.6 Soução do Sistema Considere: u t = α 2 u xx + h(x, t), se (x, t) Ω u(, t) =, t u(, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, ], (8.3) Novamente, utiizaremos uma anaogia para achar uma soução de (8.3). Seguindo o caso homogêneo, suponha que (8.3) tem soução do tipo:

253 8.6. SOLUÇÃO DO SISTEMA 253 u(x, t) = w n (t) sen ( λ n x ), onde λ n = n π e as funções w n = w n (t) devem ser determinadas. Também vamos supor, que para cada t, a função h, tem a seguinte representação em série de funções: h(x, t) = onde as funções h n = h n (t) são tais que: h n (t) sen ( λ n x ), h n (t) = 2 h(x, t) sen ( λ n x ) dx, n N, e que a função f está nas condições de Fourier: f(x) = ta que: c n sen ( λ n x ), c n = 2 f(x) sen ( λ n x ) dx, n N. Nós também vamos supor que todas as séries de funções envovidas convergem uniformemente. Então, substituindo em (8.3), obtemos: [w n + k n w n h n ] sen ( λ n x ) = [w n () c n ] sen ( λ n x ) =, onde k n = λ 2 n α 2. Mutipicando ambos os ados por sen ( λ m x ) e integrando entre x = e x =, por ortogonaidade, obtemos o PVI inear: { w n + k 2 n w n = h n (t) que tem soução: w n () = c n, n N.

254 254 CAPÍTULO 8. COMPLEMENTOS DE EDP w n (t) = c n exp(k n t) + Logo, a soução de (8.3) é: t exp(k n (t z)) h n (z) dz. ta que: u(x, t) = c n exp(k n t) sen(λ n x)+ + [ t ] exp(k n (t z)) h n (z) dz sen(λ n x), h n (t) = 2 c n = 2 h(x, t) sen ( λ n x ) dx f(x) sen ( λ n x ) dx, n N. Se h(x, t) = para todo (x, t) Ω, temos o resutado homogêneo. Exempo 8.3. [] Considere o probema: u t = u xx + t 2 sen(x), se (x, t) Ω u(, t) =, t u(π, t) =, t u(x, ) = sen(2 x), se x [, π]. Logo, temos k n = n, = π e: { se n = 2 c n = outro caso e h n (t) = { t 2 se n = outro caso. Então: e: t z 2 exp(t z) dz = e t 2 t t 2, u(x, t) = exp(2 t) sen(2 x) + [ exp(t) 2 t t 2 ] sen(x).

255 8.6. SOLUÇÃO DO SISTEMA Figura 8.5: u = u(x, t) para diferentes t [2] Considere o probema: u t = u xx + sen(3 x) exp( t) [x + sen(π x)], u(, t) = exp( t), t se (x, t) Ω u(, t) = 2, t u(x, ) = x +, se x [, ]. Então: U(x, t) = exp( t) ( x) + 2 x U t (x, t) = exp( t) (x ) f(x) = h(x, t) = exp( t) sen(π x). A soução do probema é do tipo: u(x, t) = exp( t) ( x) + 2 x + v(x, t), onde v = v(x, t) é a soução do seguinte sistema: v t = α 2 u xx + exp( t) sen(π x), se (x, t) Ω v(, t) =, t v(, t) =, t v(x, ) =, se x [, ], Logo: k n = n π, c n = para todo n e:

256 256 CAPÍTULO 8. COMPLEMENTOS DE EDP Por outro ado: h n (t) = { exp( t) se n = outro caso. e: t exp(π (t z)) exp( z) dz = exp(3 t) t exp( 4 z) dz = [exp(π t) exp( t)], π + v(x, t) = [exp(π t) exp( t)] sen(π x). π + Finamente: u(x, t) = exp( t) ( x) + 2 x + [exp(π t) exp( t)] sen(π x). π + 2 Figura 8.6: u = u(x, t) para diferentes t 8.7 Caor numa Barra Infinita Considere o sistema: { v t = ε v xx, (x, t) Ω v(x, ) = g(x), se x R,

257 8.7. CALOR NUMA BARRA INFINITA 257 Fazendo a separação das variáveis e observando que somente temos condições iniciais; obtemos: { X + λ 2 X = ; < x < + T + ε λ 2 T = ; t > e as souções das edo s, são: { X(x, λ) = A(λ) cos(λ x) + B(λ) sen(λ x) T (t, λ) = exp ( ε λ 2 t). Como o paramêtro λ é ta que < λ < + ; então, a combinção inear da soução é do tipo: Como: v(x, t) = + [ A(λ) cos(λ x) + B(λ) sen(λ x) ] exp ( ε λ 2 t) dλ. f(x) = v(x, ) = + [ A(λ) cos(λ x) + B(λ) sen(λ x) ] dλ, peos mesmos argumentos utiizados nos capítuos anteriores, temos que: Logo: onde: v(x, t) = c π + A(λ) = π B(λ) = π + + g(x) cos(λ x) dx g(x) sen(λ x) dx [ ] Ψ (λ, ψ) cos(λ x) + Ψ 2 (λ, ψ) sen(λ x) exp ( ε λ 2 t) dλ. Ψ (λ, ψ) = + g(ψ) cos(ψ λ) dψ e Ψ 2 (λ, ψ) = + g(ψ) sen(ψ λ) dψ. Utiizando que cos(λ ψ) cos(λ x) + sen(λ ψ) sen(λ x) = cos(ψ x), temos: v(x, t) = c + [ + ] g(ψ) cos(ψ x) dψ exp ( ε λ 2 t) dλ. π Se for possíve mudar a ordem de integração, obtemos:

258 258 CAPÍTULO 8. COMPLEMENTOS DE EDP v(x, t) = c π + [ + g(ψ) cos(ψ x) exp ( ] ε λ 2 t) dλ dψ. Utiizando integração compexa, é possíve verificar que: Em resumo, o sistema: tem como soução: v(x, t) = + g(ψ) exp ( 4 π ε t { v t = ε v xx, (x, t) Ω v(x, ) = g(x), se x R, (x ψ)2 ) dψ. 4 ε t v(x, t) = + g(ψ) exp ( 4 π ε t (x ψ)2 ) dψ. 4 ε t Exempo 8.4. [] O sistema: { v t = v xx, (x, t) Ω v(x, ) = e x, se x R, tem como soução: v(x, t) = + e ψ exp ( 4 π t (x ψ)2 ) dψ = e t x. 4 t Figura 8.7: Gráfico de v = v(x, t), para diferentes t

259 8.8. EDP DE BURGERS 259 [2] O sistema: { v t = v xx, (x, t) Ω v(x, ) = x (x 2 4), se x R, tem como soução: v(x, t) = + (ψ 3 4 ψ) exp ( 4 π t (x ψ)2 ) dψ = x (x t 4). 4 t Figura 8.8: Gráfico de v = v(x, t), para diferentes t 8.8 Edp de Burgers Consideremos o modeo não inear de turbuencia, com um termo dissipativo, proposto por Burgers no ano de 948: onde ε >. Exempo 8.5. [] Caramente: u t + u u x ε u xx =, u(x, t) = 2 (5 + 2 t + x) t + x é uma soução da edp de Burgers para ε = ; note que u(x, ) = 2 (x + 5) x + 4 :

260 26 CAPÍTULO 8. COMPLEMENTOS DE EDP Figura 8.9: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t 2 [2] Também u(x, t) = + exp( (x + t)) 2 note que u(x, ) = + e : x é uma soução da edp de Burgers para ε = ; Figura 8.: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t No ano de 95, E. Hopf e J. Coe, independentemente, apresentaram a seguinte mudança de variáve, para inearizar a edp de Burgers: u(x, t) = 2 ε v x(x, t), v(x, t) se v(x, t) é imitada quando x ±. De fato:

261 8.8. EDP DE BURGERS 26 [ vxt u t = 2 ε v v ] x v t v [ 2 ] vxx u x = 2 ε v v2 x v 2 u xx = 2 ε [ vxxx v 3 v x v xx v ] v3 x v 3 Logo, a edp de Burgers fica: v x v [ ε vxx v t ] [ ε vxx v t ] x =. Se v = v(x, t) satisfaz a edp do caor, a u = u(x, t) obtida pea mudança de variáve, é soução da edp de Burgers. Seja Ω = R (, + ) e consideremos o sistema: { u t + u u x ε u xx =, u(x, ) = f(x), se x R, ta que f seja integráve em R. Fazendo a mudança: u(x, t) = 2 ε v x(x, t), v(x, t) (x, t) Ω sendo v(x, t) imitada quando x ±, consideremos a edo: que tem como soução: v x (x, ) = f(x) v(x, ), 2 ε v(x, ) = c exp ( 2 ε x f(s) ds ), onde c é um constante arbitrária. Denotando v(x, ) = c g(x), obtemos um probema de caor numa barra de comprimento infinito: { v t = ε v xx, (x, t) Ω que possui soução: v(x, ) = c g(x), se x R, v(x, t) = c + g(ψ) exp ( 4 π ε t (x ψ)2 ) dψ. 4 ε t

262 262 CAPÍTULO 8. COMPLEMENTOS DE EDP Por outro ado: v x (x, t) = c + 4 π ε t g(ψ) (x ψ) 2 ε t exp ( (x ψ)2 ) dψ. 4 ε t Finamente: u(x, t) = t + + g(ψ) (x ψ) G(x ψ, t, ε) dψ. g(ψ) G(x ψ, t, ε) dψ onde G(x, t, ε) = exp ( x2 ). Note que a soução não depende de c. 4 ε t Exempo 8.6. Considere: u t + u u x u xx =, (x, t) Ω u(x, ) = 4 x, se x R, x 2 + Como, ε =, G(x ψ, t, ) = exp ( (x ψ)2 ) e g(ψ) = ψ 2 +, temos: 4 t t + + g(ψ) (x ψ) G(x ψ, t, ε) dψ = 8 π t x g(ψ) G(x ψ, t, ε) dψ = 2 π t (x t + ). Logo: 4 x u(x, t) = x t +.

263 8.9. EQUAÇÃO DA ONDA Figura 8.: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t 8.9 Equação da Onda As edp s da seguinte forma: u tt + α u xx + β u xt =, (x, t) Ω, onde α, β R, podem ser reduzidas a edp da onda, utiizando a seguinte mudança: { ψ = x + a t η = x + b t, onde a e b são constantes a determinar. De fato: u tt = a 2 u ψψ + 2 a b u ψη + b 2 u ηη u xx = u ψψ + 2 u ψη + u ηη u xt = a u ψψ + (a + b) u ψη + b u ηη Logo, a edp u tt + α u xx + β u xt =, nas novas variáveis fica: [a 2 + β a + α] u ψψ + [b 2 + β b + α] u ηη + [2 a b + 2 α + β (a + b)] u ψη =. Se a e b são souções de: { a 2 + β a + α = b 2 + β b + α =, a edp inicia fica:

264 264 CAPÍTULO 8. COMPLEMENTOS DE EDP u ψη =, e a soução desta edp, nas novas variáveis é a soução de d Aembert. De fato: u(x, t) = F (x + a t) + G(x + b t). 8. Apicação Considere o sistema: u tt + α u xx + β u xt =, u(x, ) = f(x), x R u t (x, ) = g(x), x R. (x, t) Ω Então: { f(x) = u(x, ) = F (x) + G(x) g(x) = u t (x, ) = a F (x) + b G (x), ogo: a F (x) + b G(x) = e consideramos o seguinte sistema: x F (x) + G(x) = f(x) a F (x) + b G(x) = que tem soução: x g(s) ds, g(s) ds, F (x) = [ b f(x) + a b x ] g(s) ds e G(x) = [ a f(x) a b Como a soução procurada é do tipo: x ] g(s) ds.

265 8.. APLICAÇÃO 265 u(x, t) = F (x + a t) + G(x + b t), temos que a soução é: u(x, t) = [ a f(x + b t) b f(x + a t) + a b ta que a b. Exempo 8.7. [] Considere o sistema: u tt + 2 u xx + 3 u xt =, u(x, ) = x 2 +, x R u t (x, ) =, x R. (x, t) Ω x+at x+bt ] g(s) ds, Como α = 2, β = 3, g(x) = e f(x) =, temos que a = e b = 2, ogo: x 2 + a a f(x + b t) b f(x + a t) = (x + b t) 2 + b (x + a t) 2 + e: a=, b= 2 então: a b [a f(x + b t) b f(x + a t)] = 2 + (x t) 2 + (x 2 t), 2 u(x, t) = 2 + (x t) 2 + (x 2 t) Figura 8.2: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t

266 266 CAPÍTULO 8. COMPLEMENTOS DE EDP [2] Considere o sistema: u tt + 4 u xx 5 u xt =, (x, t) Ω u(x, ) = sen(π x), x R u t (x, ) = x 2, x R. Como α = 4, β = 5, f(x) = sen(π x) e g(x) = x 2, temos que a = 4 e b =, ogo: e: Logo: a f(x + b t) b f(x + a t) = [a sen(π (x + b t)) b sen(π (x + a t)) a=4, b= a b [a f(x + b t) b f(x + a t)] = [4 sen(π (x + t)) sen(π (x + 4 t))] 3 a b x s 2 ds = 3 (a b) [(x + a t)3 (x + b t) 3 ] = 9 [(x + t)3 (x + 4 t) 3 ] = 7 t t 2 x + t x 2. a=4, b= a=4, b= u(x, t) = 3 [4 sen(π (x + t)) sen(π (x + 4 t)) + 2 t3 + 5 t 2 x + 3 t x 2 ] Figura 8.3: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t

267 8.. PERTURBAÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA 267 Figura 8.4: Gráfico de u = u(x, t) 8. Perturbação da Equação da Onda O probema da evoução da onda quando existem forças externas que só dependem do comprimento da corda é dado por: u tt = c 2 u xx + h(x), se (x, t) Ω u(, t) = A, t u(, t) = B, t onde h C (, ). u(x, ) = f(x), se x [, ] u t (x, ) = g(x), se x [, ], Anaogamente ao que foi feito anteriormente, consideramos souções do tipo: onde U C 2, então u(x, t) = v(x, t) + U(x), v tt = u tt = c 2 u xx + h(x) = c 2 ( v xx + U ) + h(x) = c 2 v xx + c 2 U + h(x). Se U = U(x) satisfaz: teremos: c 2 U + h(x) =, v tt = c 2 v xx.

268 268 CAPÍTULO 8. COMPLEMENTOS DE EDP Por outro ado: u(, t) = v(, t) + U() = A u(, t) = v(, t) + U() = B u(x, ) = v(x, ) + U(x) = f(x) u t (x, ) = v t (x, ) + U(x) = g(x). Se U = U(x) é soução do PSL: c 2 U + h(x) =, x (, ) U() = A U() = B, novamente, temos que: U(x) = A + (B A) x + x [ c 2 η ] h(y) dy dη x [ c 2 η ] h(y) dy dη. Assim obtemos o probema conhecido: v tt = c 2 v xx, se (x, t) Ω v(, t) = v(, t) =, t v(x, ) = f(x) U(x), se x [, ] v t (x, ) = g(x), se x [, ]. Exempo 8.8. Considere o sistema: Então: e obtemos: u tt = u xx + r, se (x, t) Ω u(, t) =, t u(, t) =, t u(x, ) =, se x [, ] u t (x, ) =, se x [, ]. U(x) = r (x x2 ) 2

269 8.. PERTURBAÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA 269 v tt = v xx, se (x, t) Ω v(, t) = v(, t) =, t v(x, ) = U(x), se x [, ] v t (x, ) =, se x [, ], que tem como soução: v(x, t) = a n cos(n π t) sen(n π x), onde: a n = r (x 2 x) sen(n π x) dx = 2 (( )n ) n 3 π 3 se n é par a n = 4 outro caso (2 n ) 3 π 3 para todo n N, e: v(x, t) = r 4 cos((2 n ) π t) sen((2 n ) π x). (2 n ) 3 π3 Finamente: u(x, t) = r (x x2 ) 2 r 4 cos((2 n ) π t) sen((2 n ) π x). (2 n ) 3 π3

270 27 CAPÍTULO 8. COMPLEMENTOS DE EDP Figura 8.5: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t 8.2 Edp da Onda: Caso Gera O probema da evoução da onda, com extremos móveis, quando existem forças externas H = H(x, t), é dado por: u tt = c 2 u xx + H(x, t), se (x, t) Ω u(, t) = p(t), t u(, t) = q(t), t u(x, ) = F (x), se x [, ] u t (x, ) = G(x), se x [, ], (8.4) onde H C (Ω) e p, q C 2 ([, + )). Anaogamente ao caso do caor, consideramos souções que podem ser escritas como: onde: u(x, t) = v(x, t) + U(x, t), U(x, t) = p(t) + x [q(t) p(t)]. Note que U = U(x, t) não é necessariamente soução da edp da onda. Observe que, U(, t) = p(t), U(, t) = q(t) e U xx =, então: v t c 2 v xx = H(x, t) U t. Por outro ado, as condições de fronterira e iniciais:

271 8.3. SOLUÇÃO DO SISTEMA 27 v(, t) = u(, t) U(, t) = v(, t) = u(, t) U(, t) = v(x, ) = F (x) U(x, ) v t (x, ) = G(x) U t (x, ). Denotando por h(x, t) = H(x, t) U tt (x, t), f(x) = F (x) U(x, ) e g(x) = G(x) U t (x, ). Obtemos o sistema: v tt = c 2 u xx + h(x, t), se (x, t) Ω v(, t) =, t v(, t) =, t Logo, a soução de (8.4) é do tipo: v(x, ) = f(x), se x [, ] v t (x, ) = g(x), se x [, ]. u(x, t) = p(t) + x [q(t) p(t)] + v(x, t). 8.3 Soução do Sistema Consideremos: u tt = c 2 u xx + h(x, t), se (x, t) Ω u(, t) =, t u(, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, ] u t (x, ) = g(x), se x [, ]. (8.5) Anaogamente ao caso anterior, consideramos souções que podem ser escritas como a série de funções: onde λ n = n π supor que: u(x, t) = w n (t) sen ( λ n x ), e as funções w n = w n (t) devem ser determinadas. Também vamos h(x, t) = h n (t) sen ( λ n x ),

272 272 CAPÍTULO 8. COMPLEMENTOS DE EDP onde as funções h n = h n (t) são tais que: h n (t) = 2 e que f e g, satisfazem as condições de Fourier: h(x, t) sen ( λ n x ) dx, n N, ogo: f(x) = g(x) = a n sen ( λ n x ) b n sen ( λ n x ), a n = 2 b n = 2 n π c f(x) sen ( λ n x ) dx g(x) sen(λ n x) dx. Vamos supor que todas as séries de funções envovidas convergem uniformemente. Então, substituindo em (8.5), obtemos: [ ] w n + λ 2 n c 2 w n h n (t) sen ( k n x ) = [w n () a n ] sen ( k n x ) = [w n() b n ] sen ( k n x ) = onde k n = λ n c. Mutipicando ambos os ados por sen( k m x ) e integrando entre x = e x =, por ortogonaidade, obtemos o PVI inear: que tem soução: w n + λ 2 n w n = h n (t) w n () = a n w n() = b n, n N, w n (t) = a n cos(λ n t) + b n sen(λ n t) + t h n (z) sen(λ n (t z)) dz. λ n

273 8.3. SOLUÇÃO DO SISTEMA 273 Logo, a soução de (8.5) é: ta que: u(x, t) = [ a n cos(λ n t) + b n sen(λ n t)+ + λ n t ] h n (z) sen(λ n (t z)) dz sen(λ n x), a n = 2 b n = 2 n π c h n (t) = 2 f(x) sen ( λ n x ) dx g(x) sen ( λ n x ) dx h(x, t) sen ( λ n x ) dx, n N. Se h(x, t) = para todo (x, t) Ω, temos o resutado homogêneo. Exempo 8.9. [] Considere o probema: u tt = u xx + t sen(x), se (x, t) Ω u(, t) =, t u(π, t) =, t u(x, ) =, se x [, π] u t (x, ) =, se x [, π]. Note que a n = b n =, para todo n N e: { t se n = h n (t) = outro caso. Por outro ado: e a soução do probema é: t h (z) sen(t z) dz = t sen(t), u(x, t) = [ t sen(t) ] sen(x).

274 274 CAPÍTULO 8. COMPLEMENTOS DE EDP Figura 8.6: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t Figura 8.7: Gráfico de u = u(x, t) [2] Considere o probema: u tt = u xx + t 2 sen(π x), u(, t) =, t se (x, t) Ω u(, t) = t, t u(x, ) = sen(2 π x), se x [, ] u t (x, ) = x + 2 sen(4 π x), se x [, ]. Note que: U(x, t) = x t, h(x, t) = t 2 sen(π x), U t (x, t) = x e U tt (x, t) =, ogo, temos o sistema:

275 8.3. SOLUÇÃO DO SISTEMA 275 v tt = v xx + t 2 sen(π x), se (x, t) Ω v(, t) =, t v(, t) =, t v(x, ) = sen(2 π x), se x [, ] v t (x, ) = 2 sen(4 π x), se x [, ]. ta que: { se n = 2 a n = outro caso, { t 2 se n = h n (t) = outro caso. b n = 2 π se n = 4 outro caso e Por outro ado h (t) = t 2, e: π t h (z) sen(π(t z)) dz = π 4 [π2 t cos(π t)], e a soução é: v(x, t) = cos(2 π t) sen(2 π x)+ sen(4 πx) sen(4 π t) + 2 π + π 4 [π2 t cos(π t)] sen(π x). Finamente: u(x, t) = x t + cos(2 π t) sen(2 π x)+ sen(4 πx) sen(4 π t) + 2 π + π 4 [π2 t cos(π t)] sen(π x).

276 276 CAPÍTULO 8. COMPLEMENTOS DE EDP - Figura 8.8: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t Figura 8.9: Gráfico de u = u(x, t) 8.4 Vibrações Forçadas Considere o probema da onda infinita onde existem forças externas: Não é difíci ver que: u tt c 2 u xx = F (x, t), u(x, ) = f(x) u t (x, ) = g(x) x, t R

277 8.4. VIBRAÇÕES FORÇADAS 277 u (x, t) = 2 c t x+c(t s) x c(t s) F (p, s) ds dp satisfaz a edo da onda não homogênea e u (x, ) = u t (x, ) =. Logo, por inearidade: u(x, t) = 2 [ f(x + c t) + f(x c t) ] + 2 c x+ct x ct g(s) ds+ + 2 c t x+c(t p) x c(t p) F (p, s) ds dp. é soução do probema. Exempo 8.. [] Considere o probema: u tt u xx = x, x, t R u(x, ) = sen(x) u t (x, ) = cos(x) Como f(x) = sen(x), g(s) = cos(s) e F (x, t) = x, temos que: [ ] f(x + t) + f(x t) = cos(x) sen(t) 2 2 x+t x t g(s) ds = cos(t) sen(x) 2 t x+t p x t+p s ds dp = x t2 2. A soução é: u(x, t) = sen(x + t) + x t2 2.

278 278 CAPÍTULO 8. COMPLEMENTOS DE EDP 2 Figura 8.2: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t Figura 8.2: Gráfico de u = u(x, t) [2] Considere u tt u xx = t 2 sen(x), u(x, ) = x sen(4 π x) u t (x, ) = x x, t R Como f(x) = x sen(4 π x), g(x) = x e F (x, t) = t 2 sen(x), temos que:

279 8.4. VIBRAÇÕES FORÇADAS 279 [ ] f(x + t) + f(x t) = [(x t) sen(π (x t) + (x + t) sen(π (x + t))] x+t x t g(s) ds = x t 2 t x+t p x t+p F (p, s) ds dp = [2 cos(t) + t 2 2] sen(x). A soução é: u(x, t) = [(x t) sen(π (x t) + (x + t) sen(π (x + t))] + x t+ 2 + [2 cos(t) + t 2 2] sen(x) Figura 8.22: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t

280 28 CAPÍTULO 8. COMPLEMENTOS DE EDP Figura 8.23: Gráfico de u = u(x, t)