Universidade Federal de Minas Gerais. Função de Weierstrass. Wesller Germano

Transcrição

1 Universidade Federal de Minas Gerais Função de Weierstrass Wesller Germano Belo Horizonte, 2010

2

3 Wesller Germano Função de Weierstrass Monografia apresentada para conclusão do curso de Pós-Graduação em Matemática (ênfase em cálculo) da Universidade Federal de Minas Gerais. Orientador: Alberto B. Sarmiento Belo Horizonte 2010

4 Germano, Wesller Função de Weierstrass 34 páginas Monografia (Especialização) - Instituto de Ciências Exatas da Universidade de Federal de Minas Gerais. Departamento de Matemática. 1. Weierstrass 2. Função 3. Contínua I. Universidade Federal de Minas Gerais. Instituto de Ciências Exatas. Departamento de Matemática.

5 Função de Weierstrass Autor: Wesller Germano Banca Examinadora: Prof. Dr. José Antônio G. Miranda Universidade Federal de Minas Gerais Departamento de Matemática Prof. Dr. Ezequiel Rodrigues Barbosa Universidade Federal de Minas Gerais Departamento de Matemática Prof. Dr. Alberto B. Sarmiento Universidade Federal de Minas Gerais Departamento de Matemática Universidade Federal de Minas Gerais, de de 2010.

6 Agradecimentos À mina esposa, Núbia, e mina família, pelo companerismo, carino e apoio à essa conquista. À todos meus colegas que fizeram o curso de Especialização em Matemática para Professores (Ênfase em Cálculo). Ao meu orientador, Alberto Sarmiento, por ter me aceito como orientando e me ajudado a realizar esse trabalo. Ao monitor do curso, Carles, que sempre nos ajudou. Enfim, à todos os professores e funcionários que conviveram comigo durante esse período. Muito Obrigado...

7 [...] nas grandes cidades de um país tão irreal Os muros e as grades nos protegem de nosso próprio mal Levamos uma vida que não nos leva a nada Levamos muito tempo pra descobrir Que não é por aí... não é por nada não Não, não pode ser... é claro que não é, será? [...] Treco da música Muros e Grades (Humberto Gessinger - Augusto Licks)

8 Sumário Lista de Figuras 2 1 Conceitos Básicos Continuidade e Diferenciabilidade de funções Sequências de Números Reais Séries Numéricas Sequência de Funções Série de Funções Função de Weierstrass Definição Continuidade Não Diferenciabilidade Gráficos da Função de Weierstrass

9 Lista de Figuras 1.1 Função descontínua em x = Função não derivável em x = Função descontínua em x = k.π k N Teorema do Valor Médio Convergência pontual Convergência uniforme n = n = 1 em [0.49,0.51] n = n = 5 em [0.49,0.51]

10 Introdução Em um curso de Cálculo na faculdade, aprendemos que para uma função ser contínua num dado ponto de seu domínio basta que ela seja derivável nele, vemos também que a recíproca não é verdadeira, porém é comum imaginarmos que esses pontos, onde a função é contínua mas não derivável sejam pontos isolados. A pergunta natural é, será que existe uma função contínua, mas não diferenciável em nenum ponto? Por um grande período acreditou-se que não existisse essas funções, apenas no século XIX apareceu o primeiro exemplo dado por Bernard Bolzano, em seguida outros matemáticos famosos como Riemann, Weierstrass e Van der Waerden deram mais exemplos de tais funções. Provaremos nesse trabalo que existem funções que são contínuas em todos os números reais mas não são deriváveis em nenum ponto, usaremos a família de funções estudada por Weierstrass que, em sua omenagem, é conecida como "Função de Weierstrass". A monografia é dividida em dois capítulos, no primeiro capítulo fazemos um apanado dos conceitos básicos e desenvolvemos a teoria de série de funções necessária para a monografia ser auto-contida. No capítulo dois apresentamos o exemplo de Weierstrass e usamos o pacote MAPLE para dar alguns esboços dessas funções

11 Capítulo 1. Conceitos Básicos 4 Capítulo 1 Conceitos Básicos Neste capítulo iremos dar algumas definições e enunciar alguns teoremas sobre diferenciabilidade e continuidade de funções (1.2), sequências de números reais (1.3), séries numéricas (1.4), sequências de funções (1.5) e séries de funções (1.6) onde listaremos alguns resultados e daremos alguns exemplos. 1.1 Continuidade e Diferenciabilidade de funções Intuitivamente dizemos que uma função f : I R, onde I é um subconjunto de R, é contínua num ponto x 0 I quando é possível tornar f(x) arbitrariamente próximo de f(x 0 ) desde que se tome x suficientemente próximo de x 0. Formalmente podemos enunciar da seguinte maneira: Definição 1. Uma função f : I R, com I R é dita contínua em x 0 I se: ǫ > 0 δ > 0 tal que, se x I e x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ǫ. Caso f seja contínua em todos os pontos do seu domínio dizemos que f : I R é uma função contínua. Caso a função não seja contínua num ponto x 0 dizemos que ela é descontínua nesse ponto ou que x 0 é um ponto de descontinuidade.

12 Continuidade e Diferenciabilidade de funções Temos também que se duas funções f,g : I R são contínuas num ponto x 0 do seu domínio então as funções f + g,f.g e a função f/g ( caso g(x 0 ) 0) são contínuas nesse ponto. Os polinômios, quociente de polinômios p(x)/q(x) e as funções trigonométricas são exemplos de funções contínuas em todo seu domínio. Vamos dar alguns exemplos de funções que possuem alguns pontos de descontinuidade. Exemplo 1. A função f(x) = { x se x > 2 5 se x 2 Não é contínua em x = 2 já que não é possível encontrar um intervalo em torno desse ponto de maneira que todas as imagens estejam próximas de f(2). Figura 1.1: Função descontínua em x = 2 Exemplo 2. A função f(x) = { 1 se x é racional 0 se x é irracional Não é contínua em nenum ponto de seu domínio já que qualquer intervalo em torno de um ponto x 0 R contém números racionais e irracionais, logo f não

13 Capítulo 1. Conceitos Básicos 6 é contínua em nenum ponto, pois em qualquer intervalo existirão pontos com imagem 1 e outros com imagem 0. Definição 2. Uma função f : (a,b) R, com (a,b) R é derivável em x 0 (a,b) f(x se existe o limite lim 0 +) f(x 0 ) 0, neste caso denotamos por: f (x 0 ) = lim 0 f(x 0 +) f(x 0 ) Caso a função f seja derivável em todos os pontos contidos no intervalo aberto (a,b) dizemos que f é derivável neste intervalo. Geometricamente podemos interpretar a derivada de uma função num determinado ponto como a inclinação da reta tangente ao gráfico da função nesse mesmo ponto. Abaixo enunciaremos um resultado que relaciona a continuidade de uma função num ponto com o fato dela ser derivável nele. Teorema 1. Se uma função f : I R, com I R, é derivável num ponto x 0 I então ela também é contínua nesse ponto. Demonstração: Como f(x) é derivável no ponto x 0 temos que existe o limite, f (x 0 ) = lim 0 f(x+) f(x) fazendo a mudança de variável = x x 0 podemos reescrever esse limite da seguinte maneira: Logo temos a seguinte relação: f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0. [f(x) f(x 0 )] lim[f(x) f(x 0 )] = lim.(x x 0 ) = x x 0 x x0 x x 0 f(x) f(x 0 ) = lim. lim(x x 0 ) = f (x 0 ). lim(x x 0 ) = f (x 0 ).0 = 0 x x0 x x 0 x x0 x x0

14 Continuidade e Diferenciabilidade de funções Podemos escrever f(x) = [f(x) f(x 0 )+f(x 0 )] então: lim f(x) = lim[f(x) f(x 0 )+f(x 0 )] = x x 0 x x0 = lim x x0 [f(x) f(x 0 )]+ lim x x0 f(x 0 ) = 0+f(x 0 ) = f(x 0 ) Portanto temos que f(x) é contínua no ponto x 0 Exemplo 3. A função f : R R dada por f(x) = x 2 é contínua em todo seu domínio pois é um polinômio, também temos que: x 0 R f (x 0 ) = lim 0 f(x 0 +) f(x 0 ) = lim 0 (2x 0 +) logo f(x) é derivável em todo seu domínio. = lim 0 2x 0 + = 2x 0 = lim 0 (x 0 +) 2 x 2 0 = Observe que a recíproca nem sempre é verdadeira como exemplos temos: Exemplo 4. A função f : R R definida por f(x) = x é contínua em todo o seu domínio porém não é derivável em x = 0 pois, f(0+) f(0) lim 0 + = lim 0 + = 1 e lim f(0+) f(0) 0 = lim 0 = 1 logo não existe lim 0 f(x 0 +) f(x 0 ). Exemplo 5. A função f : R R definida por f(x) = cos(x) é contínua em todo o seu domínio porém não é derivável em todos os pontos onde cos(x) = 0, pelo gráfico abaixo podemos ter uma ideia já que não é possível ter uma reta tangente ao gráfico nesses pontos.

15 Capítulo 1. Conceitos Básicos K4 K3 K2 K x Figura 1.2: Função não derivável em x = 0 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 K6 K4 K Figura 1.3: Função descontínua em x = k.π k N Vimos alguns exemplos de funções que são contínuas no seu domínio e possuem finitos ou mesmo infinitos pontos sem derivdada. Podemos pensar se é possível existir uma função que seja contínua em todo seu domínio porém não seja derivável em nenum deles, veremos mais adiante que existem funções que satisfazem essa propriedade. Abaixo enunciaremos o Teorema do Valor Médio, que será utilizado no decorrer

16 Sequências de Números Reais desse trabalo, cuja demonstração não faremos. Teorema 2 (Teorema do Valor Médio). Se f : [a,b] R, com [a,b] R, é contínua em [a,b] e derivável em (a,b) então: c (a,b) tal que f (c) = f(b) f(a). b a Podemos visualizar esse teorema geometricamente como sendo a existência de uma reta com mesma inclinação da reta que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) como ilustrado na figura abaixo. Figura 1.4: Teorema do Valor Médio 1.2 Sequências de Números Reais Uma sequência de números reais é uma função u : N R, denotaremos as imagens da função u(1),u(2),...,u(n),... por u 1,u 2,...,u n,... ou simplesmente (u n ) n N. Definição 3 (Convergência de Sequências). Uma sequência (u n ) n N converge para uma número real L (lim n u n = L) se: ǫ > 0 n 0 N tal que u n L < ǫ n > n 0.

17 Capítulo 1. Conceitos Básicos 10 Caso contrário dizemos que ela é divergente. Dizemos que uma sequência (u n ) n N é limitada superiormente quando exite β R tal que u n β n N, e que ela é limitada inferiormente quando existe α R tal que u n α n N. Quando uma sequência é limitada superiormente e inferiormente dizemos que ela é limitada. Exemplo 6. A sequência definida por u n = 1 n é limitada já que 0 u n 1 n N. Exemplo 7. Já sequência definida por u n = ( 1) n n não é limitada inferiormente nem superiormente pois para qualquer A R + conseguimos encontrar n N tal que u n A e u n A. Abaixo enunciaremos um teorema que dá uma condição necessária para que uma sequência seja convergente. Teorema 3. Toda sequência convergente é limitada. Temos que a recíproca já não é verdadeira como exemplo temos: Exemplo 8. A sequência {1,0,1,0,1,...} é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1 mas não é convergente pois quando n ela oscila entre 0 e 1. Definição 4. Uma sequência (u n ) n N é dita monótona quando u n u n+1, n N (monótona não decrescente) ou então u n+1 u n n N (monótona não crescente). Caso considerarmos a desigualdade estrita, dizemos que a sequência será, respectivamente, crescente ou decrescente. É fácil perceber que toda sequência monótona é limitada superiormente ou inferiormente, abaixo enunciamos um teorema que relaciona a monotonicidade de uma sequência com sua convergência e uma consequência dele.

18 Sequências de Números Reais Teorema 4. Toda sequência monótona limitada é convergente. Demonstração: Seja (u n ) n N monótona não decrescente e limitada. Seja α = sup{u n,n N}. Temos que, dado ǫ > 0 n 0 N tal que α ǫ < u n0 < α. Desse modo, n > n 0 α ǫ < u n0 u n < α + ǫ, ou seja, lim n u n = α. Caso a sequência seja monótona não crescente a demonstração é análoga. Exemplo 9. A sequência u n = 1 n 2 é uma sequência decrescente e 0 u n 1 n N (limitada), também temos que ela é convergente já que lim n 1 n 2 = 0. Teorema 5 (Teorema de Bolzano-Weierstrass). Toda sequência limitada de números reais possui uma subsequência convergente. Demonstração: Seja (x n ) n N uma sequência limitada de números reais, vamos mostrar que existe uma subsequência (x nk ) k N convergente. Inicialmente vamos definir x n1 = x 1. Como (x n ) n N é limitada existe um intervalo [a 1,b 1 ] tal que: x n [a 1,b 1 ], n. SejaM 1 = b 1 a 1 o ponto médio entrea 1 eb 1. Como[a 1,M 1 ] [M 1,b 1 ] = [a 1,b 1 ] 2 então pelo menos um destes intervalos tem a propriedade que: x n pertence a este intervalo para infinitos valores de n. Digamos que [a 2,b 2 ] = [a 1,M 1 ] é este intervalo. Fixamos x n2 [a 2,b 2 ] como qualquer elemento da sequência com n 2 > n 1. Seja M 2 = b 2 a 2 ( o comprimento de M 2 é b 2 a 1 ), temos que [a ,b 2 ] = [a 2,M 2 ] [M 2,b 2 ], de novo para a sequência {x n } n=n 2, temos que pelo menos um dos intervalos ([a 2,M 2 ] ou [M 1,b 2 ]) contém x n para infinitos índices, denotemos este por [a 3,b 3 ], neste intervalo fixamos x n3, com n 3 > n 2. Assim, sucessivamente, para k N construímos M k = b k a k, temos que 2 [a k,b k ] = [a k,m k ] [M k,b k ] e escolemos [a k+1,b k+1 ] como sendo [a k,m k ] ou [M k,b k ] de modo que[a k+1,b k+1 ] contémx n para infinitos índices. Fixamosx nk+1 [a k+1,b k+1 ], desta forma construímos uma subsequência {x nk } k 0 com a seguinte propriedade: k 0 x nk [a k0,b k0 ] n > k 0 e o comprimento deste intevalo é b 1 a 1. 2 k 0

19 Capítulo 1. Conceitos Básicos 12 Mas b k a k = b 1 a 1 2 k 1 0, portanto a = b. Pelo Teorema do Cantor dos intervalos encaixados com diâmetro que vai para zero a sequência {x nk } k=1 converge para k=1 [a k,b k ] = {p} com p R. Exemplo 10. Como exemplo podemos tomar novamente a sequência {1,0,1,0,1,...} nós vimos que ela é limitada mas não é convergente. Pelo teorema anterior deve existir uma subsequência convergente, de fato, tomemos uma nova sequência w n = u 2n n N. Temos que w n é da forma {0,0,0,0,...} que é uma subsequência convergente de u n. 1.3 Séries Numéricas Uma série numérica é uma soma infinita dos termos de uma sequência (a n ) n N a i = a 1 +a 2 +a a n +... i=1 Onde a n é camado de termo geral da série. Dada uma série com termo geral a n, vamos definir a sequência das somas parciais (s n ) n N da seguinte forma: s n = a 1 +a 2 +a a n Se a sequência das somas parciais (s n ) n N convergir (para L), dizemos que a série é convergente. Neste caso (Notação: n=1 a n = lim n s n = L < ), caso contrário dizemos que ela é divergente (Notação: n=1 a n = ). Exemplo 11. A série geométrica a n com a R n=1 é convergente se, e somente se a < 1. Neste caso n=1 a n = a 1 a.

20 Séries Numéricas De fato, seja a R, o termo geral da série é a n = a n, considere as somas parciais: s n = a 1 +a a n 1 +a n (1.1) Subtraindo 1.1 de 1.2: a.s n = a 2 +a a n +a n+1 (1.2) s n a.s n = a a n+1 s n.(1 a) = a a n+1 Como a 1 temos: s n = a an+1 1 a = a 1 a an+1 1 a. a n+1 Analizando lim n 1 a, se a 1 não existe o limite lim n a n+1 1 e consequentemente lim n s n, se a < 1, lim n a n+1 = 0 e então: para a < 1 lim n s n = a (1 a). Teorema 6 (Critério de comparação). Considere as séries n=1 a n e n=1 b n de termos não negativos. Se existem k > 0 e n 0 N tais que a n k.b n n n 0 então: Se, Se, b n < n=1 a n = n=1 a n < (1.3) n=1 b n = (1.4) Demonstração: Sejam s n = a 1 + a a n e S n = b 1 + b b n, como a n kb n temos que s n ks n n N. Além disso (s n ) n N e (S n ) n N são sequências monótonas não decrescentes, pois a n e b n são maiores ou iguais a 0 n N Portanto, se n=1 bn < (S n ) n N converge, logo ela é limitada e consequêntemente (s n ) n N é limitada. Pelo teorema 4 (s n ) n N também será convergente, então a série n=1 an é convergente. n=1

21 Capítulo 1. Conceitos Básicos 14 Na segunda parte do teorema temos que se n=1 an = lim n s n = lim n S n =, pois s n ks n n N. Logo a série n=1 bn = irá divergir. Do critério de comparação podemos concluir também que a série cos(n) n=0 2 n converge, pois: 1 cos(n) <, logo 1 2n 2 n 2 con- n verge. cos(n) 2 n 1 2 n n N. e do exemplo 11 a série geométrica n= n=0 denominada série armônica é di- Exemplo 12. A série dada por por 1 n=1 n vergente. De fato, temos que a seguinte relação: n=1 1 n = [ ] + 4 [ ] que é claramente divergente pois nos termos entre colcetes teremos uma soma infinita de termos iguais à 1 2. Teorema 7. O limite do termo geral de uma série convergente é zero. Demonstração: Considere a série n=1 an e S n = a 1 + a a n. Se n=1 an < lim n S n = L R. Temos que a n = S n S n 1, logo: lim n a n = lim n (S n S n 1 ) = L L = 0

22 Sequência de Funções Logo percebemos que esta condição é necessária, porém não suficiente, para que uma série seja convergente. Como exemplo temos a série armônica que é divergente e o limite do seu termo geral é zero. Definição 5. Dizemos que uma série n=0 a n é absolutamente convergente quando n=0 a n converge. Segue da definição que toda série convergente de termos não negativos é absolutamente convergente. 1.4 Sequência de Funções Da mesma maneira que definimos uma sequência de números reais podemos também definir uma sequência de funções da seguinte maneira, seja f n : I R n N, com I R, uma família de funções definidas no mesmo domínio. Para cada x 0 I fixo, a família de funções define uma sequência de números reais f n (x 0 ) n N = f 1 (x 0 ),f 2 (x 0 ),f 3 (x 0 ),... Definição 6 (Convergência Pontual). Dizemos que uma sequência de funções (f n ) n N converge pontualmente, quando para todo ponto x 0 I a sequência f 1 (x 0 ), f 2 (x 0 ), f 3 (x 0 ),... de números reais converge, nesta situação os limites pontuais definem uma função f : I R, onde f(x) = lim n f n (x), x I. Assim temos: ǫ > 0, x I n 0 = n 0 (x) N tal que n > n 0 f n (x) f(x) < ǫ. Exemplo 13. A sequência f n : [0,1) R definida por f n (x) = x n converge pontualmente para a função f(x) = 0. De fato, x [0,1) temos que lim n x n = 0 Existe um outro tipo de convergência mais restrito, que definiremos abaixo, onde se exige que a sequência de funções converge independente do ponto do seu domínio.

23 Capítulo 1. Conceitos Básicos 16 1,0 0,8 0,6 0,4 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x Figura 1.5: Convergência pontual Definição 7 (Convergência uniforme). Dizemos que uma sequência de funções (f n ) n N converge uniformemente para uma função f : I R se: ǫ > 0 n 0 N tal que n > n 0 f n (x) f(x) < ǫ x I. Notemos que neste caso n 0 é único para todo x I. É fácil perceber que a convergência uniforme é mais forte do que a convergência pontual já que nesta o valor de n 0 depende de x e ǫ enquanto naquela depende somente do valor de ǫ. Exemplo 14. A sequência de funções f n : R R onde f n (x) = nx2 +1 converge n uniformemente para a função f(x) = x 2, pois ǫ > 0 podemos tomar n 0 > 1 ǫ e teremos que: Se n > n 0 nx2 +x n x 2 = 1 n < 1 n 0 < ǫ

24 Sequência de Funções Podemos visualizar essa convergência através do gráfico abaixo: 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 K0,6 K0,4 K0,2 0 0,2 0,4 0,6 x K0,2 Figura 1.6: Convergência uniforme No exemplo 13, a sequência converge pontualmente mas não converge uniformemente pois: fixe ǫ = 1 2, por exemplo. É fácil ver que, seja qual for o n 0 N, existem pontos x [0,1) tais que f n0 (x) f(x) 1 2, ou seja xn Basta observar que lim x 1 x n 0 = 1, logo existe δ > 0 tal que 1 δ < x < 1 x n 0 > 1 2. Vamos agora demonstrar um teorema que será útil para verificar um resultado sobre convergência de séries. Teorema 8. Se uma sequência de funções contínuas f n : I R, com I R e n N, converge uniformemente para uma função f : I R então f é contínua. Demonstração: Pela convergência uniforme temos que: dado ǫ > 0 n 0 N tal que f n (x) f(x) < ǫ x I, n n 0. (1.5) Vamos agora demonstrar que f é contínua em x 0 I Fixado n n 0 e como f n é contínua em x 0 ( por ipótese) temos pela definição de continuidade que:

25 Capítulo 1. Conceitos Básicos 18 ǫ > 0 δ > 0 tal que, se x I e x x 0 < δ f n (x) f n (x 0 ) < ǫ. (1.6) Para n > n 0 e x x 0 < δ temos que: f(x) f(x 0 ) = f(x) f n (x)+f n (x) f n (x 0 )+f n (x 0 ) f(x 0 ) f(x) f n (x) + f n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f(x 0 ) 3ǫ. Como ǫ é dado arbitrariamente temos que f(x) é contínua em x Série de Funções Da mesma maneira que definimos uma série numérica como uma soma infinita de termos de uma sequência podemos também definir uma série de funções como sendo uma soma infinita de funções n=1 f n = f 1 +f 2 +f onde (f n ) n N é uma sequência de funções reais de variáveis reais todas definidas no mesmo subconjunto de R. Definição 8. Dizemos que uma série de funções n=1 f n converge uniformemente quando a sequência de funções formada pelas somas parcias (s n ) n N converge uniformemente. Definição 9. Dizemos que uma série de funções n=1 f n é normalmente convergente em I se existe uma sequência de números reais não negativos (a n ) n N tal que n=1 a n converge e f n (x) a n n N e x I. Exemplo 15. Temos que a série ( ) 1 podemos tomar a sequência 2 n n=1 n N sen(nx) é normalmente convergente, pois 2 n e sen(nx) 2 n 1 2 n N e x R. n

26 Série de Funções Além disso 1 n=1 é uma série geométrica convergente. 2n Teorema 9 (Critério de Caucy). A fim de que a série a n seja convergente, é necessário e suficiente que, para cada ǫ > 0, exista n 0 N tal que n+p < ǫ quaisquer que sejam n > n 0 e p N. i=n+1 a n Teorema 10 (Teste de Weierstrass). Se uma série de funções é normalmente convergente em I então ela é uniformemente convergente em I. Demonstração: Como a série é normalmente convergente em I existe (a n ) n N com a n 0 n N tal que n=1 a n = L < e f n (x) a n n N e x I, então temos que: ǫ > 0 n 0 N tal que n > n 0 s n L < ǫ i=n+1 a i < ǫ. Como f i (x) < a i i N, x I e todos os termos da sequência (a i ) i N são maiores ou iguais a zero temos: ǫ > a i = a i f i (x) i=n+1 i=n+1 i=n+1 i=n+1 f i (x) Que converge pelo critério de Caucy. Como nossa escola não depende do valor de x temos a convergência uniforme. Teorema 11. Se n=1 f n converge uniformemente para uma função f : I R e (f n ) n N é uma sequência de funções contínuas em I, então f é contínua em I. Demonstração: O resultado segue diretamente do teorema 8 sobre sequências, pois dizer que n=1 f n(x) converge uniformemente para uma função f : I R é o mesmo que dizer que a sequências n = f 1 +f 2 +f converge uniformemente para f : I R e então f será contínua.

27 Capítulo 2. Função de Weierstrass 20 Capítulo 2 Função de Weierstrass Neste capítulo vamos definir a função de Weierstrass e demonstrar que ela é contínua em todos os números reais porém não possui derivada em nenum ponto. 2.1 Definição Definição 10 (Função de Weierstrass). A Função de Weierstrass é uma função W : R R, onde: W(x) = b n cos(a n πx) n=0 com 0 < b < 1 e a é um inteiro positivo ímpar, com a condição de que ab > 1+ 3π 2. Temos então uma família de funções que dependem dos valores escolidos para a e b. Podemos ver que existem pares (a,b) que satisfazem as condições acima, por exemplo (a = 15,b = 1 15 ) pois 2 2 > 1+ 3π Continuidade Teorema 12. A função de Weierstrass é contínua.

28 Não Diferenciabilidade Demonstração: Consideremos a sequência de funções(f n (x)) n N definida por f n (x) = b n cos(a n πx), como a função trigonométrica cos(x) é contínua para todo valor de x temos que todos os termos da sequência são funções contínuas. Além disso b n cos(a n πx) = b n cos(a n πx) b n. e n=0 bn é convergente devido a condição de que 0 < b < 1, logo a série n=0 bn cos(a n πx) é normalmente convergente e pelo Teste de Weierstrass ela é uniformemente convergente. Então, pelo teorema 11, temos que a função de Weierstrass é contínua. 2.3 Não Diferenciabilidade Agora iremos mostrar que ela não possuí derivada em nenum ponto da reta. Teorema 13. A função de Weierstrass não é derivável em nenum ponto de seu domínio. Para demonstrar esse teorema, antes, vamos mostrar dois lemas técnicos. Fixado x R o quociente de Newton se escreve assim:: W(x+) W(x) = n=0 bn cos(a n π(x+)) n=0 bn cos(a n πx) = = m 1 n=0 = n=0 b n {cos[a n π(x+)] cos[a n πx]} fixado m N. Agora vamos definir: S m = b n {cos[a n π(x+)] cos[a n πx]} m 1 n=0 + n=m = b n {cos[a n π(x+)] cos[a n πx]} b n {cos[a n π(x+)] cos[a n πx]}

29 Capítulo 2. Função de Weierstrass 22 R m = n=m b n {cos[a n π(x+)] cos[a n πx]}. Lema 1. Nas condições acima temos que:. S m < π(ab)m ab 1 Demonstração: Analisando a função f(x) = cos(a n πx) temos que, para qualquer x R fixado, ela é contínua em [x,x+] e derivável em (x,x+). Logo pelo Teorema do Valor Médio α [x,x+] tal que como f (α) = a n πsin(a n πα) temos Dessa maneira, f (α) = cos[an π(x+)] cos(a n πx) a n πsin(a n πα) = cos[an π(x+)] cos(a n πx). cos(a n π(x+)) cos(a n πx) = a n πsin(a n πα) = a n π sin(a n πα) a n π. Da definição de S m e da desigualdade acima segue que m 1 n=0 m 1 S m = n=0 b n {cos[a n π(x+)] cos[a n πx]} m 1 n=0 b nan π b n {cos[a n π(x+)] cos[a n πx]} m 1 = n=0 m 1 = π (ab) n = π (ab)m 1 ab 1 n=0 b n cos[an π(x+)] cos[a n πx] < π (ab)m ab 1.

30 Não Diferenciabilidade No último somatório temos uma série geométrica finita. Então temos uma cota superior para S m dada por: S m < π (ab)m ab 1. (2.1) Lema 2. Nas condições acima temos que: R m > 2 3 (ab)m. Demonstração: Como qualquer número real pode ser escrito pela parte inteira mais uma parcela pertencente ao intervalo [ 1/2,1/2) podemos escrever Consideremos a m x = β m +ǫ m, onde β m Z e ǫ m [ 1/2,1/2). Como = 1 ǫ m a m. 1 2 ǫ m < ǫ m > ǫ m > ǫ m > 1 2 Dividindo ambos os termos das desigualdades acima por a m e lembrando que a > 0 temos: 1 2a m < 1 ǫ m a m < 3 2a m m N. Como = 1 ǫ m a m, segue que 3 2a m > > 1 2a m > 0. Portanto:

31 Capítulo 2. Função de Weierstrass 24 e para n m, 0 < < 3 2a m 1 > 2 3 am. (2.2) a n π(x+) = a n m a m π(x+) = a n m π(a m x+a m ) = Como a n m (β m +1) Z, = a n m π(β m +ǫ m +1 ǫ m ) = a n m (β m +1)π. cos[a n π(x+)] = cos[a n m π(β m +1)] = ( 1) an m (β m+1). Devido ao fato de a ser ímpar temos que a n m também será ímpar, logo: Também temos a seguinte igualdade: cos[a n π(x+)] = ( 1) βm+1 (2.3) cos(a n πx) = cos(a n m πa m x) = cos[a n m π(β m +ǫ m )] = cos(a n m πβ m +a n m πǫ m ) = Já que sin(nπ) = 0 para n Z e, Temos cos(x+y) = cos(x)cos(y) sin(x)sin(y) x,y R cos(a n πx) = cos(a n m πβ m )cos(a n m πǫ m ) sin(a n m πβ m )sin(a n m πǫ m ) Isto é, = cos(a n m πβ m )cos(a n m πǫ m ) = ( 1) βm cos(a n m πǫ m ). cos(a n πx) = ( 1) βm cos(a n m πǫ m ). (2.4) Finalmente, de 2.3 e 2.4, podemos escrever R m da seguinte maneira

32 Não Diferenciabilidade Assim, R m = = = n=m b n {cos[a n π(x+)] cos[a n πx]} b n [( 1)βm+1 ( 1) βm cos(a n m πǫ m )] = n=m b n [( 1)βm+1 +( 1) β m+1 cos(a n m πǫ m )] = n=m = R m = ( 1)βm+1 b n [1+cos(a n m πǫ m )]. n=m Observando que cos(πǫ m ) 0, ǫ m [ 1/2,1/2) e que [1+cos(a n m πǫ m )] 0 ǫ m,a R podemos escrever a série n=m bn [1 + cos(a n m πǫ m )] da seguinte maneira: b n [1+cos(a n m πǫ m )] = n=m = {b m [1+cos(πǫ m )]+b m+1 [1+cos(aπǫ m )]+b m+2 [1+cos(a 2 πǫ m )]+...} denotando γ = [1 + cos(πǫ m )] e δ k = [1 + cos(a k πǫ m )] temos, da observação acima, que γ 1 e δ k 0. Portanto, b n [1+cos(a n m πǫ m )] = γb m +{δ 1 b m+1 +δ 2 b m } γb m b m n=m Devido à isso e por 2.2 temos que ( 1) βm+1 R m = b n [1+cos(a n m πǫ m )] = n=m = 1 b n [1+cos(a n m πǫ m )] > bm > 2 3 (ab)m. n=m

33 Capítulo 2. Função de Weierstrass 26 Finalmente podemos mostrar o resultado principal do Teorema 12. Demonstração: Das cotas obtidas para R m e S m nos lemas anteriores, obtemos a seguinte relação W(x+) W(x) = S m +R m R m S m > 2 3 (ab)m π (ab)m ab 1 (2.5) Portanto, ( W(x+) W(x) 2 > 3 π ) (ab) m. (2.6) ab 1 Por ipótese sabemos que ab > 1+ 3π, logo os termos entre parênteses em são positivos e de 2.2 temos que m 0. Assim, lim W(x+) W(x) 0 > lim m [ 2 3 π ] (ab) m =. ab 1 Como o limite não existe emxeele foi tomado arbitrariamente temos que a Função de Weierstras não é derivável em nenum ponto da reta. Observação: No estudo de séries de funções temos que se f(x) = i=0 f i(x) for derivável então sua derivada é dada por f (x) = i=1 f i (x). Mas não podemos dizer que se cada f i for derivável a série i=1 f i (x) será uma função, pois ela pode não convergir e isto acontece quando f não é diferenciável. A função de Weierstrass é um exemplo claro desta situação pois, f n (x) = b n cos(a n πx) são funções diferenciáveis com:. f n(x) = b n a n πsin(a n πx)

34 Não Diferenciabilidade E a série formada com estas funções, b n a n πsin(a n πx) n=0 não converge em nenum ponto como foi mostrado no teorema anterior.

35 Capítulo 2. Função de Weierstrass Gráficos da Função de Weierstrass Abaixo temos alguns esboços dos gráficos de aproximações da Função de Weierstrass para valores de a = 67 e b = 1 9. Consideramos a função W 1 (x) = 1 k=0 bk cos(a k πx) = cos(πx) cos(67πx).

36 Gráficos da Função de Weierstrass Vamos considerar a função: W 5 (x) = 5 k=0 bk cos(a k πx)

37 Capítulo 2. Função de Weierstrass 30 1,0 0,5 K2 K x K0,5 K1,0 Figura 2.1: n = 1

38 Gráficos da Função de Weierstrass 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 K0,02 0,495 0,500 0,505 0,510 x K0,04 K0,06 K0,08 Figura 2.2: n = 1 em [0.49,0.51]

39 Capítulo 2. Função de Weierstrass 32 1,0 0,5 K2 K x K0,5 K1,0 Figura 2.3: n = 5

40 Gráficos da Função de Weierstrass 0,10 0,05 0,00 0,495 0,500 0,505 0,510 x K0,05 K0,10 Figura 2.4: n = 5 em [0.49,0.51]

41 Referências Bibliográficas [1] C. B. Boyer, História da Matemática, Ed. Edgard Blücer Ltda, 408, (1974) [2] E. L. Lima, Curso de Análise, vol. I, Coleção Projeto Euclides, IMPA, (1976). [3] G. Ávila, Cálculo I, Funções de Uma Variável, L.T.C., (1981) [4] Luis Fernando de Osório Mello, O Movimento Browniano e as Curvas sem Tangente, Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 20, número 1, março (1998)