Equações Diferenciais Parciais.

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Henrique Lopes Valgueiro
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1 EDP p.1/23 Equações Diferenciais Parciais. Margarete Oliveira Domingues PGMET/INPE

2 Definições Básicas EDP p.2/23

3 EDP p.3/23 EDP Uma equação de derivadas parciais ou EDP é uma equação envolvendo duas ou mais variáveis independentes e derivadas parciais de uma função (variável dependente) Forma geral em que de, é a função a ser determinada. é uma função e, é um subconjunto aberto

4 EDP p.4/23 Ordem & Linearidade Ordem: é dada pela derivada parcial de maior ordem que ocorre na EDP Linear: Apenas se é de primeiro grau em suas derivadas parciais e em todas as

5 EDP linear de 1a. ordem Forma geral de uma EDP linear de 1a. ordem são não nulos. em que alguns Exemplo: EDP p.5/23

6 EDP linear de 2a. ordem Forma geral de uma EDP linear de 2a. ordem são não nulos. em que alguns Exemplo: é contínua e diferenciável se EDP p.6/23

7 No caso de EDP s ocorrem situações muito mais gerais do que no caso de EDO s EDP p.7/23

8 EDP p.8/23 Condições de contorno: Dirichet & Newman Condições de Dirichet Condição de Newman em que em e são constantes e é a derivada de é uma função dada na direção normal a.

9 EDP p.9/23 Condições iniciais: Cauchy Pode se generalizar o conceito de condições iniciais impondo o valor da solução e suas derivadas normais ao longo de uma curva (se ) ou superfície (se ) inicial; o problema correpondente é um problema de Cauchy ou de valor inicial.

10 EDP semilineares EDP p.10/23

11 EDP p.11/23 Parte principal da EDP A parte da EDP que contém as derivadas de maior ordem denomina-se a parte principal A parte principal está relacionada com as propriedades das soluções

12 Equações semi lineares Dentre as equações não lineares, as que têm parte principal linear são chamadas semi lineares Exemplos: EDP de 1a. ordem semi linear EDP de 2a. ordem semi linear EDP p.12/23

13 EDP de 2a. ordem semi linear (Exemplos) Equação de Korteweg e de Vreis (KDV) EDP semilinear de 3a. ordem modela solitons, ou ondas solitárias, é usada em diversas aplicações como o fenômeno atmosférico morning glory. Equação de Burgers são uma EDP semilinear de 3a. ordem modelam ondas de shock, caso linear associado é a equação de advecção. EDP p.13/23

14 Classificação EDP 2a. ordem semi-lineares EDP p.14/23

15 Analogia com as cônicas Uma EDP semi-linear de segunda ordem com duas variáveis independentes é da forma A parte principal é o operador EDP p.15/23

16 Analogia com as cônicas Uma EDP semi-linear de segunda ordem com duas variáveis independentes é da forma A parte principal é o operador são contínuas em um Supondo que e que não se anulam simultaneamente. aberto em EDP p.15/23

17 Analogia com as cônicas Uma EDP semi-linear de segunda ordem com duas variáveis independentes é da forma A parte principal é o operador do aberto no Discriminate EDP p.15/23

18 Analogia com as cônicas Uma EDP semi-linear de segunda ordem com duas variáveis independentes é da forma A parte principal é o operador O operador é a EDP são ditos do aberto se parabólico em do aberto se hiperbólico em do aberto se EDP p.15/23 elíptico em

19 Equação do Calor (EDP parabólica) é uma constante. é o Laplaciano em equação de 2a. ordem linear Exemplo em 1D EDP p.16/23

20 EDP p.17/23 Equação da Onda (EDP hiperbólica) é uma constante que representa a velocidade de propagação da onda é o Laplaciano em equação de 2a. ordem linear Exemplo em 1D.

21 EDP p.18/23 Equação de Poisson (EDP Elíptica) equação linear de 2a. ordem Se h(x,y)=0 tem -se a Equação de Laplace

22 EDP p.19/23 Método de separação de variáveis

23 Separação de variáveis Equação do calor cond. inicial cond. contorno EDP p.20/23

24 Separação de variáveis Equação do calor cond. inicial cond. contorno Considerando constante EDP p.20/23

25 Separação de variáveis Equação do calor cond. inicial cond. contorno Então, basta solucionar. e calcular EDP p.20/23

26 Princípio da superposição EDP p.21/23

27 EDP p.22/23 EDP lineares 1a. e 2a. ordem Seja um operador diferencial parcial linear de ordem k cujos coeficientes estão definidos em um aberto contido no

28 EDP p.22/23 EDP lineares 1a. e 2a. ordem Seja um operador diferencial parcial linear de ordem k cujos coeficientes estão definidos em um aberto contido no Exemplo: ordem 2

29 EDP p.22/23 EDP lineares 1a. e 2a. ordem Suponha que nesse aberto satisfazendo a EDP linear homogenea é um conjunto de funções de classe Então, se a série é uma seqüência de escalares tal que é convergente e aberto, u satisfaz vezes diferenciável termo a termo nesse

30 Fim do Tomo EDP p.23/23

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