As séries de fourier tem como objetivo representar uma função periódica como uma soma de

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1 Métodos Matemáticos Séries de Fourier Pedro Henrique do Nascimento de Luzia Engenharia Elétrica da Universidade Federal Fluminense Resumo A fórmula geral para uma série de fourier é:. / para um período L, onde, e. E para números compleos:, onde e. Introdução As séries de fourier tem como objetivo representar uma função periódica como uma soma de funções periódicas, com a forma. /. O trabalho a seguir tem como objetivo ajudar o aluno a ter uma maior compreensão das séries de Fourier, e de como resolver eercício relacionados a esta.

2 Série de Fourrier 1. Funções Periódicas Uma função f( é dita periódica com um período T se f(+t = f( para qualquer. Logo para f(+nt = f(,n є N. Eemplo: Achar o período da função f(: 1 f( = tan temos que tan(+ = tan logo T =. f( = sen(n Se a função for periódica sen n(+t = sen(n sen(n cos(nt + sen(nt cos(n = sen(n cos(nt = 1 sen(nt = cos(nt = cos sen(nt = sen Logo T = /n Obs: Se as duas funções g( e h( possuem período T, então a função f( = a.g(+b.h( é periódica com período T.. Série trigonométrica É uma série de funções cujos termos são obtidos multiplicando-se os senos e cosenos dos múltiplos sucessivos da variável independente, por coeficientes que não dependem da variável, ou seja: ½ a + a 1 cos( + a cos( b 1 sen( + b sen( +... ( Sendo esta uma série de funções, sua soma S (no caso de eistir, ou seja, se a série for convergente será uma função da variável independente e como os termos da série são funções trigonométricas, funções periódicas de período. De modo que precisamos estudar a séride trigonométrica em um intercalo de comprimento, por eemplo> (-; ou (;. As funções periódicas de interesse prático podem sempre ser representadas por uma série trigonométrica.

3 ( Esta representação é possível se a f( satisfaz as condições de suficiência de Dirichlet. 3. Condições de Dirichlet Embora não sejam conhecidas as condições necessárias e suficientes para que uma função possa ser representada por um série trigonométrica, as condições de suficiência de Dirichlet, apesar de mais restritivas, asseguram a convergência da série para a função. 1ª A função f( deve ser contínua e, portanto, limitada no intervalo (-;, com eceção, talvez, de um numero infinito de pontos de descontinuidade de primeira espécie (finitas. Eemplo: { e Esta função apresenta, num período, apenas um ponto de descontinuidade finita em =. Contra eemplo: f( = (9-1 ² no intervalo (, Apresenta um ponto de descontinuidade infinita no ponto t = 3 ª Efetuando-se uma partição no intervalo (-; em um número finito de subintervalos, a função f( em cada um deles será monótona. A função f( tem somente um número finito de máimos e mínimos em um período. Podemos considerar 3 subintervalos: 1 f( é crescente f( é decrescente

4 3 f( é crescente novamente Apresenta no período um ponto de máimo e um mínimo. Contra eemplo: f( = sen(1/, - < < Figura Esta função apresenta um número infinito de máimos e mínimos na vizinhança de t =. 4. Ortogonalidade Integrais de Euler Os termos na série não ditos ortogonais com relação ao período T =, isto é, a integral em um período do produto de quaisquer dois termos diferentes é nula. Integrais de Euler Demonstrando 1. n = 1,, 3,... n = 1,, 3,... (p q inteiros p = 1,, 3,... p De fato (p q inteiros n = 1,, 3,..., -. De fato, - n = 1,, 3,..., - 3. (p q inteiros De fato I II Somando membro a membro I + II

5 , -, - 4. p = 1,, 3,... De fato I II Somando membro a membro I + II 5. (p q inteiros De fato I II Somando membro a membro I + II, -, - 6. p 7. De fato I II Somando membro a membro I + II, -

6 5. Determinação dos coeficientes de Fourier Usando propriedades elementares das funções trigonométricas podemos facilmente determinar em termos de f( de maneira que no intervalo (-; a série trigonométrica seja igual à função f(, isto é, ( I Integramos os dois membros de I entre (-; ( Se n = p Cálculo de Multipliquemos I por sen(p e integremos entre e. ( Se n = p Eemplo: Determine a série de Fourier da função f( que supomos possuir o período e fazer esboço gráfico de f( e das primeiras três somas parciais.

7 {, - [ ],, -, -, -, - { í ( As somas parciais são:

8 , - Vimos que para { a série que Fourier representa é ( Vamos determinar a série de Fourier para

9 { { A função é a deslocada ½ unidade para baio, logo ( A função é a mesma, eceto por uma alteração na escala do tempo (. / Verificamos que alterar a escala de tempo, altera as freqüências angulares dos termos individuais, mas não altera seus coeficientes. Assim, para calcular os coeficientes, o período pode ser arbitrariamente mudado se isto parecer conveniente. Eercícios Verificar se as funções abaio satisfazem as condições de Dirichlet 1..

10 3. 4. { 5. Desenvolver em série de Fourier as funções supostas periódicas de período. 6. { {, onde é constante. Para conferir 1. Sim, pois no ponto onde temos uma indeterminação, a descontinuidade é de primeira espécie. Para,. Não, pois temos descontinuidade infinita para. 3. Não, pois temos descontinuidade infinita na vizinhança de. 4. Sim, as duas condições são satisfeitas. 5. Não, pois na vizinhança de temos um número infinito de máimos { A satisfaz as condições de Dirichlet

11 Calculo dos coeficientes de Fourier ( Fazendo a integração por partes, - * + Fazendo integração por partes: [ ] [ ] ( ( { [ ] Fazendo integral por partes:

12 [ ] [ ] * + * + * A satisfaz as condições de Dirichlet. Fazendo integral por partes:

13 * + Multiplicando por n²: Mas, De modo análogo calculamos (

14 [ ] Ou [ ( ] f(t = 1.8 Funções pares e ímpares Sejam g( e h( funções definidas no intervalo (- Diz se que: g( é par se g( - = g(, para todo h( é ímpar se h(- = - h(, para todo O valor da função ímpar no ponto zero : h( = Para calcular os coeficientes de Fourier de uma função par e de uma função ímpar verifiquemos que: I De fato:

15 II De fato: ( III O produto de uma função par g( por uma função ímpar h(, é ímpar. q( = g(. h( q(- = g(-. h(- q(- = g(. -h( q(- = -g(h( q(- = - q(

16 V O produto de uma função ípmar par é função par q( = h(.h( q( = h(-.h(- q(- = -h(.-h( q(- = h(.h( q(- = q( CONCLUSÂO: se f( é par, f(sen n é uma função ímpar e Se f(é uma função ímpar, f( cos n é ímpar e TEOREMA I A série de Fourier de uma função periódica par f(, que possui período, é uma série de fourier em cossenos. f( = + com coeficientes: A série de fourier de uma função periódica ímpar f( que possui período fourier em senos. série de f(= com coeficientes: Consideremos f( par. f(= (1 f(-= ( Mas como f é par f(- = f( f( = ( (1 + (

17 f( = ou f( = Por outro lado, Como f( e cos n são funções pares, temos: * + * + * +, - Consideremos f( ímpar: f(= f(-= ( Como f é ímpar, f(- = - f( ( (1 - (: f( Por outro lado, Como f( e sen n são funções ímpares = 1 = 1 =, -, -, - 1 = [ ]

18 Logo, ao calcular os coeficientes na série de Fourier para funções que tenham simetria, é conveniente integrar de a, ao invés de a. Algumas vezes é interessante deslocar temporariamente ou o eio vertical ou o horizontal ouambos. De maneira a criar uma função par ou ímpar e usar as simplificações para formas de onda simétricas. 1 Determinar a Série de Fourier da função: f( = { } Como f( é uma função que apresenta simetria, é conveniente integrá-la no intervalo (- Cálculo dos coeficientes: Como f( é par; = Integral que foi calculada anteriormente. { Portanto f(=. / Determine a Série de Fourier para f(t

19 Embora pudéssemos determinar a série de f(t diretamente vamos relocalizar os eios a fim de usar as relações de simetria, pois a f(t não é nem par nem ímpar. 1º caso: A subtração de uma constante de produz uma função ímpar (t Logo, ( { º Caso: Vamos mudar o eio vertical para obter uma função par f(t Logo bn = [ ]. / [ ]. / {

20 ,. / - Podemos reescrever f(t, - Como no resultado anterior. 1.9 FUNÇÕES COM PERÍODO ARBITRÁRIO Até agora consideramos funções periódicas de período Por uma simples mudança de variável podemos encontrar a Série de Fourier de uma função f(t de período T qualquer. Esta mudança de variável é feita pela seguinte transformação linear: Seja f(t definida no intervalo t = a + b - - e Somando membro a membro (1 e ( : Substituindo em (1 Então Vamos, pois, trocar a variável t por, onde, logo: f Assim, f(t = f Onde:. /. / e. /

21 Para simplificar os cálculos, façamos = Onde: = = = O intervalo de integração pode ser substituido por qualquer intervalo de comprimento T, por eemplo,. O Teorema I se verifica para funções para funções pares e ímpares, periódicas de período T qualquer. EXEMPLO: Determinar a Série de Fourier da função f(t, periódica de período T = 4 f(t = { Temos que: = Como f(t é par, bn = e an = a = an = an = { í (

22 1.1 SÉRIE EM SENOS E SÉRIE EM COSSENOS Desenvolvimento de meio período Seja f(t de período T = L Se f(t for par a série de Fourier fica:. / ou. / (1 Com coeficientes: Se f(t for ímpar:. / (3 Com coeficientes: (4 (,L. Obs.: Constatamos que ( e (4 empregam unicamente os valores de f(t do intervalo Para uma função definida somente neste intervalo podemos formar as séries (1 e (3. Se a função satisfaz as condições de Dirichlet, ambas as séries representam a função no intervalo (,L. Fora deste intervalo, a série (1 representará o prolongamento periódico par da f(t, tendo período L; e a (3 o prolongamento periódico ímpar da f(t EXEMPLO: Encontrar a Série de Fourier em cossenos da função f(t definida no intervalo (,L e fazer o gráfico do prolongamento periódico correspondente. {

23 [ ] [ ] { Logo,, - EXERCÍCIOS: 1.11 Verificar se as funções são pares, ímpares ou nem pares nem ímapres Desenvolver em Série de Fourier as funções, supostas periódicas de período :

24 1.13 Determinar a Série de Fourier das funções periódicas de período T: Representar por meio da Série de Fourier em cossenos as funções 1. e. e por meio da Série de Fourier em senos as funções 3. e 4. e fazer o prolongamento correspondente: SOLUÇÃO:

25 Como f( é par, bn = a = an = Ou Fazendo a= an = ( bn = ( { : Como f(t é par, bn =.

26 { Portanto, Como é par, bn =. an=, - { Como f(t é ímpar, a=an= bn = ou ( {

27 ( [ ] Logo. /

28 , - { { Logo, f(t = n1 bnsent T f(t = ( sen t sen3 t sen5 t f(t = (cos t cos t cos t cos t f( = (, T = a = T T f ( d = d = a n = cos( n d = sen( n n sen( n d n

29 a n = sen( n n + cos( n n² ² a n = b n = sen( n d = cos( n n + cos( n d n b n = cos( n + n sen( n n² ² b n = n Logo, f( = 1 + sen( n n n f( = cos cos3... ² 9 f( = n n an cos bnsen T T n1 1 + sen sen f( =,, 4 * + { }, -,. /. / - Cálculo da integral:. /. /. /

30 . /. /. /. /. / Fazendo o mesmo para. /, obtemos: {*. /. /+ *. /. /+ [. /] } [. /], -. / ( ( [ ] ( cos, f b n cos. sen( n d ; sen( acos( b sen( a b sen( a b 1 b n b n sen[( n 1 ] sen[( n 1 ] d cos[( n 1 ] cos[( n 1 ] n 1 n cos[( n 1 ] 1 cos[( n 1 ] n 1 n 1 1 cos[( n 1 ] 1, se, se n 1 n

31 b ² 1 Daí: 8 cos sen( (4² f ( t n 1.1. Mudança de intervalo 1 n (1 ( 1 n² 1 e n1 sen( nt Até aqui, tratamos eclusivamente de funções nos intervalos [-, + e *, +. Para muitas finalidades, entretanto, esta colocação é muito restritiva, e agora nos propomos generalizar nossos resultados para um intervalo arbitrário [a, b]. Mas, ao invés de começar imediatamente com o caso mais geral, será mais simples considerarmos primeiro os intervalos da forma [- p, p] e seus espaços euclidianos associados CP[-p, p]. Porque, aqui, a situação pode ser tratada com presteza. Com efeito, é óbvio que as funções: l,cos, sen,cos, sen,... p p p p são mutuamente ortogonais em CP[-p, p] (Eercício 1, abaio 1. Além disso, justamente como no caso em que p =, pode-se mostrar que essas funções formam uma base deste espaço, e, por conseguinte, que as suas séries ortogonais associadas (as quais, diga-se de passagem, denominam-se ainda séries de Fourier convergem em média. E, finalmente, levando-se na devida consideração o comprimento do intervalo, todas as nossas observações concernentes à convergência pontual são válidas neste conteto. Para obtermos as fórmulas para os coeficientes de Fourier de uma função de CP[-p, p], notemos que: p d p p p p cos ² d p p p Então, pela fórmula (8- sen² d p 1 Realmente, todo o problema consiste em fazer uma mudança de coordenadas no eio dos, substituindo-se /p por nas funções empregadas anteriormente.

32 a f ( 1 a cos b p sen p Onde a b 1 p 1 p p p p p f ( cos d, p f ( sen d p Para todo. E, com isto, encerramos. A discussão acima pode ser facilmente adaptada para tratar do espaço euclidiano CP[a, b]. Com efeito, se fizermos p=b a, de modo que [a, b] = [a, a + p], as funções de (9-5 formarão também uma base para CP[a, a + p]. Isto nos leva imediatamente às seguintes fórmulas para o cálculo do desenvolvimento em série de Fourier de uma função f em CP [a, b]: f ( a a cos b sen 1 b a b a em que a b b a b a b a b a f ( cos d, b a f ( sen d b a para todo. Eemplo 1. Determine a série de Fourier em CP [,1] da função f (=. Aqui, b a = 1, e (, 5 torna-se: a b 1 1 cos( d, sen( d A integração por partes dá, então, a 1, a,, b 1 Portanto,

33 1 ( 1 1 ( sen f Eemplo. Determine a série de Fourier da função f, mostrada na Fig... Neste caso, f ( =, 4, e as fórmulas (9-9 dão d sen d sen b d d a ( (4 ( ( cos( (4 cos( ( Embora essas integrais possam ser calculadas diretamente, os cálculos podem ser simplificados consideravelmente, mediante o seguinte raciocínio. Designemos por F a etensão periódica de f a todo o eio dos (fig.3. Então, as funções F( cos e F( sen são periódicas, com período, e temos: d sen f d sen f d f d f a a a a 4 4 ( ( ( ( cos( ( cos( ( Para qualquer número real a. [Neste ponto, nos apoiamos no fato óbvio de g ser contínua por partes em (-,, com período p. Então, d g d g p b b p a a ( ( Para qualquer par de números reais a, b]. Faremos agora a = 1 em (.6 para obter: d sen F b d F a ( ( cos( ( Mas, no intervalo [-1, 1], F coincide com a função par. Donde b = para todo, e 1 cos( d a Portanto,

34 4 a 1, a ² ² ímpar par Forma complea das series de Fourier o desenvolvimento de Fourier (. / complea. pode ser escrito sobre a forma. /. /. /. / e introduza estas epressões na serie. É conveniente definir: { Então a série de Fourier pode ser escrita em sua forma complea: Sendo : Eemplo:

35 { Conclusão O estudo do conteúdo se concretizou por dias de pesquisa e descobertas analisando todas as particularidades dos métodos de resoluções de Séries de Fourier, para ao final aplicá-la com total êito. Referências Bibliográficas Livros TYGEL, Martins. Métodos Matemáticos para Engenharia DE ASSIS, Altair Souza. Séries de Fourier. 1 Material da Internet pt.wiipedia.org/wii/série_de_fourier