Equações Diferenciais B. Prof. Paulo Cupertino de Lima Departamento de Matemática - UFMG

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1 Equações Diferenciais B Prof. Paulo Cupertino de ima Departamento de Matemática - UFMG 1

2 Conteúdo 1 Séries de Fourier Séries de Fourier de Funções Pares e Ímpares Cálculo de Algumas Séries de Fourier Exercícios Trabalhos Ressonância Filtragem Equações Diferenciais Parciais.1 A equação de Calor Condições de Fronteira Separação de Variáveis Barra com extremidades mantidas à o C Barra isolada termicamente também nas extremidades Barra com uma extremidade isolada e a outra mantida a o C Condições de fronteira não-homogêneas A Equação da Onda A Corda finita Condições de fronteira A corda vibrante com extremidades fixas A Corda infinita e a Fórmula de D Alembert Exercícios Trabalhos A Equação de aplace O Problema de Dirichlet no retângulo O Problema de Dirichlet no disco Transformada de Fourier 67 4 Apêndice - Dedução das Equações de Calor e da Onda Equação da Onda Equação de Calor

3 Introdução Este texto tem como objetivo atender à disciplina de Equações Diferenciais B, na qual são introduzidos os importantes conceitos de séries de Fourier, transformada de Fourier e equações diferenciais parciais. Na Seção 1 introduziremos as séries de Fourier e veremos como representar funções a partir das mesmas. Veremos como representar funções pares e funções ímpares através de séries de senos e de co-senos. Vários exemplos serão considerados, em particular, aqueles que serão utilizados na seção seguinte. Na Seção introduziremos as equações do calor e de onda unidimensionais para uma região finita,, definiremos diferentes condições de contorno e usaremos o método da separação de variáveis na resolução das mesmas. Também consideramos a equação da onda para uma corda infinita e obteremos a fórmula de D Alembert que nos dá explicitamente a solução em termos da forma e velocidades iniciais da onda. Ainda nesta seção introduzimos a equação de aplace e o Princípio de Máximo e consideramos o problema de Dirichlet para o retângulo e para o disco. No Apêndice, Seção 4, deduziremos as equações de calor e da onda a partir de primeiros princípios, ou seja, a partir da Segunda ei de Newton e da ei de Fourier, respectivamente. 3

4 1 Séries de Fourier x. Dizemos que uma função f : R R é periódica de período T, se f(x+t = f(x, para todo Exemplo 1.1 As seguinte funções são periódicas: (a sen x é periódica de período π. (b f(x = x [x], onde [x] representa o maior inteiro menor do que ou igual a x, é periódica de período 1. Veja o gráfico desta função na Figura Figura 1: Gráfico da função x [x]. Se T é um período de f, kt, onde k é um inteiro também é um período. Todavia, quando nos referimos ao período de uma função estaremos considerando o seu período fundamental, ou seja, o menor valor de T, tal que f(x + T = f(x, para todo x. Tal valor T é chamado de período fundamental de f. Exercício 1.1 Mostre que se f é derivável e periódica, então, f também é periódica. Dizemos que uma função é seccionalmente contínua na reta se ela tiver um número finito de descontinuidades (todas de primeira espécie em qualquer intervalo limitado. Em outras palavras, dados a < b, existem a a 1 a... a n = b, tais que f é contínua em cada intervalo aberto (a j,a j+1, j = 1,,...,n 1 e existem os limites f(a j + = lim x a + j f(x e f(a j = lim x a j f(x. Toda função contínua é seccionalmente contínua. A função 1 x, x, não é seccionalmente contínua, pois, em x = a sua descontinuidade não é de primeira espécie. A função definida como 1, se x 1, f(x = 1, se n+1 x 1 n, n = 1,,...,, se x, 4

5 não é seccionalmente contínua: apesar de todas as suas descontinuidades serem de primeira espécie, existem um número infinito das mesmas no intervalo (,1. Exemplo 1. Alguns exemplos de funções seccionalmente contínuas. (a A função sinal, definida como 1, se x >, sign x =, se x =, 1, se x <, (b f(x = x [x]. Figura : Gráfico da função sinal. (c 1, se x < π, f(x =, se π x <, f(x + π = f(x Figura 3: Gráfico da função do item (c. 5

6 (d f(x = x, se x 1 e f(x + = f(x Figura 4: Gráfico da função do item (d. Dizemos que uma função f : R R e seccionalmente diferenciável se ela e a sua derivada forem seccionalmente contínuas. Note que f não existirá onde f for descontínua. Mesmo em pontos onde f for contínua, pode ser que que f não exista. Dadas duas funções reais f e g definidas em [,], tais que os seus quadrados sejam integráveis neste intervalo, definimos o produto interno ou escalar delas como f(xg(xdx. Se o produto escalar de f e g for zero dizemos que estas duas funções são ortogonais. Exercício 1. Mostre que 1 1 ( nπx sen ( nπx sen sen cos ( mπx ( mπx dx = δ nm = 1 dx =, cos ( nπx ( mπx cos dx onde ogo o conjunto formado por, se m n δ nm = 1, se n = m. { } sen( nπx nπx cos(, é ortonormal em [,]. n N Teorema 1.1 TEOREMA DE FOURIER. Seja f : R R uma função seccionalmente diferenciável e de período. Então a série de Fourier de f definida por a o + ( a n cos nπx + b n sen nπx, 6

7 onde a n = 1 b n = 1 converge para 1 [f(x + + f(x ]. f(xcos nπx f(xsen nπx dx, n =,1,,... dx, n = 1,,... Observação 1.1 No Teorema de Fourier dizer que a série de Fourier converge para 1 [f(x + + f(x ] significa que para cada x fixo, a seqüência numérica das somas parciais S N (x = a o N + ( a n cos nπx + b n sen nπx, converge para 1 [f(x + + f(x ], quando N tende para infinito. Exercício 1.3 Se f for contínua e periódica, o que podemos dizer sobre F(x = x f(tdt, ela é também é periódica? Precisamos fazer alguma hipótese adicional em f? Qual? Sugestão. Use o Teorema de Fourier. Observação 1. Nesta e na próxima seção em várias situações teremos que calcular integrais de funções do tipo sen ax sen bx, sen ax cos bx, cos ax cos bx. Para calculá-las, usamos as seguintes identidades trigonométricas: sen ax sen bx = sen ax cos bx = cos ax cos bx = cos[(a bx] cos[(a + bx] sen [(a + bx] + sen [(a bx] cos[(a bx] + cos[(a + bx]. Exercício 1.4 Calcular a série de Fourier da função 1, se x < π, f(x =, se π x <, f(x + π = f(x. Resolução. a o = 1 π a n = 1 π b n = 1 π π π f(xdx = 1 π π π π f(xcos nxdx = 1 π π π f(xsen nxdx = 1 π dx = 1, π π π cos nxdx = 1 π sen nx π =, sen nxdx = 1 π 7 cos nx n π = 1 (1 cos nπ, nπ

8 ou ainda, b k =, e b k 1 = Portanto, a série de Fourier de f(x é 1 + (k 1π k=1 (k 1π, k = 1,,... sen (k 1x Figura 5: A soma dos dois primeiros termos da série de Fourier de f(x. Figura 6: A soma dos três primeiros termos da série de Fourier de f(x Figura 7: A soma dos quatro termos da série de Fourier de f(x. Figura 8: A soma dos quatorze primeiros termos da série de Fourier de f(x Exercício 1.5 Use os resultados do exercício 1.4 e obtenha uma expressão em série para π. Resolução. Segue-se do Teorema de Fourier que no ponto x = π, a série de Fourier é igual a 1. ogo, ou seja, 1 = 1 + k=1 ((k (k 1π sen 1 π, π 4 = 1 ((k k 1 sen 1 π = = ( 1 k 1 k 1, k=1 k=1 que é conhecida como a série de eibniz. 8

9 Exercício 1.6 Seja f uma função periódica de período, k vezes derivável com derivada de ordem k absolutamente integrável. Mostre que existe uma constante positiva C tal que a n, b n C, n 1. nk Sugestão: Use integração por partes k vezes e use o fato que f e suas derivadas até ordem k 1 são periódicas, o que assegura que os termos de fronteira sejam nulos. Podemos tomar C = ( π k f(k (x dx. 1.1 Séries de Fourier de Funções Pares e Ímpares Seja I um subconjunto da reta que é simétrico em relação à origem, ou seja, se x I, então, x I. Seja função f : I R. Dizemos que f é uma função par se f( x = f(x para todo x I. Se f( x = f(x para todo x I, dizemos que f é uma função ímpar. Exemplo 1.3 As funções f(x = cos nπx, f(x = xn, n = 1,,..., são pares. Por outro lado, as funções f(x = sen nπx, f(x = xn 1, n = 1,,..., são ímpares. Exercício 1.7 Mostre que (i A soma ou diferença de duas funções pares é uma função par. A soma ou diferença de duas funções ímpares é uma função ímpar. (ii O produto ou razão de duas funções pares é uma função par. (iii O produto ou razão de duas funções ímpares é uma função par. (iv O produto ou razão de uma função par e uma função ímpar é uma função ímpar. (v Se f está definida num subconjunto da reta que é simétrico em relação à origem, então, podemos escrever f como a soma de uma função par e uma função ímpar. Exercício 1.8 (i Suponha que f seja uma função par, integrável em qualquer intervalo limitado. Então, f(xdx = f(xdx. (ii Suponha que f é uma função ímpar, integrável em qualquer intervalo limitado. Então, f(xdx =. 9

10 Demonstração. Basta observar que e f(xdx = f(xdx = f( ydy = f(xdx + f( ydy = f(xdx f(ydy, se f for par, f(ydy, se f for ímpar. 1. Cálculo de Algumas Séries de Fourier Seja f 1 periódica de período de definida por f 1 (x = x, para < x <. Como f 1 é ímpar, teremos uma série de senos, cujos os coeficientes são b n = Fazendo a mudança de variáveis y = nπx, obtemos Integrando por partes, ogo, nπ b n = n π xsen nπx dx. nπ y sen y dy = y cos y nπ + Portanto, a série de Fourier de f 1 é f 1 (x π ysen y dy. nπ b n = nπ ( 1n+1. ( 1 n+1 n cos ydy = nπ cos (nπ. sen nπx. Seja f periódica de período e definida por x, para x, f (x = + x, para x. Como f é uma função par, temos uma série de co-senos, cujos os coeficientes são a o = a n = ( xdx = ( xcos nπx =, dx = n π [1 ( 1n ] = 1, se n = k, 4 (k 1 π, se n = k 1,

11 k = 1,,... Portanto, a série de Fourier de f é f (x + 4 π 1 (k 1πx cos. (k 1 k=1 No presente caso, podemos substituir o símbolo por =. Usando o Teorema de Fourier para x =, obtemos ou seja, = + 4 π k=1 1 (k 1, π 8 = 1 (k 1 = k=1 Seja f 3 a função periódica de período e definida por f 3 (x = x, para x. Como f é par, teremos uma série de co-senos cujos coeficientes são e a o = x dx = 3 a n = x cos nπx Portanto, a série de Fourier de f 3 é f 3 (x π nπ dx = n 3 π 3 y cos y dy = 4 n π ( 1n. ( 1 n n cos nπx. Como a função f 3 é contínua, a sua série converge em todos os pontos para a mesma. Usando o Teorema de Fourier para x =, obtemos π 6 = = 1 n. Uma função dada num intervalo [,] pode ser representada por mais de uma série de Fourier. Em todas as séries calculadas anteriomente, a função era dada em toda a reta; de fato, dávamos uma expressão para f num intervalo fundamental (, ] e dizíamos que ela era periódica de período. Se agora dermos a função num intervalo [,], e nada dissermos sobre o período, teremos a liberdade de escolher um período qualquer, T >, e definirmos a função de jeito que nos convier no intervalo (, T. Essa liberdade de escolha será utilizada em problemas de aplicação para atingir certos objetivos. Veja exemplos a seguir. 11

12 Exemplo 1.4 Dada f(x = x, para x π, escreva f como uma série de senos. Resolução. Para obter uma série de senos, devemos definir f para outros valores de x, de modo que ela seja uma função ímpar. Portanto, faremos f(x = x, para π x π, e periódica de período π. A série de Fourier desta função já foi calculada e encontramos, ( 1 n+1 f(x n sen nx. Conseqüentemente, do Teorema de Fourier, temos ( 1 n+1 x = n sen nx, x < π. (Na verdade, para π x π, mas isso não foi pedido no problema Figura 9: A extensão periódica ímpar de período π, da função f(x = x, para x π. 1

13 Figura 1: O primeiro termo da série de Fourier de f Figura 11: A soma dos três primeiros termos da série de Fourier de f Figura 1: A soma dos cinco primeiros termos da série de Fourier de f. Figura 13: A soma dos dez primeiros termos da série de Fourier de f. Exemplo 1.5 No exemplo anterior, poderíamos ter escolhido um período maior do que π. Por exemplo, 4π. E aí teríamos também que definir f no intervalo (π,π], além de dizer que ela é ímpar. Uma opção seria definirmos f(x = π x, para x em (π, π]. Na Figura 14 esboçamos f para π x π Figura 14: Calculemos os coeficientes b n, lembrando que = π, b n = 1 π π Portanto, a série de Fourier é xsen nx dx + 1 π 8 π π π ( x + πsen nx dx = 8 nπ n sen π. 1 nπ nx sen sen n. 13

14 Em virtude do Teorema de Fourier, temos x = 8 π = 8 π k=1 1 n sen nπ sen nx, ( 1 k+1 (k 1 sen kx, x π. Exemplo 1.6 Dada f(x = x, para x π, escreva f como uma série de co-senos. Resolução. Para obter uma série co-senos, devemos definir f para outros valores de f de modo que seja uma função par. Tomemos, então, a função f(x = x para π x π e periódica de período π. (Como no exemplo anterior, se tormarmos outros períodos, por exemplo 4π, por exemplo, teremos outra série de co-senos. Portanto, b n = e a n = π π, se n =, xcos nxdx = π [( 1 n 1], se n = 1,,... n π Portanto, a série de Fourier de f é logo, do Teorema de Fourier x = π 4 π π 4 π k=1 k=1 1 cos(k 1x, (k 1 1 cos(k 1x, x π. (k 1 Exemplo 1.7 Dada f(x = x, para x π, escreva f como uma série de senos e co-senos. Resolução. Podemos definir f para outros valores de x, de modo que seja periódica de período π e f(x = para π x. Assim, a o = 1 π a n = 1 π b n = 1 π a n = 1 π Portanto, a série de Fourier de f é π 4 π k=1 π π π π xdx = π x cos nxdx = ( 1n 1 n, π xdx = π x sen nxdx = ( 1n+1. n 1 (k 1 cos (k 1x + 14 ( 1 n+1 n sen nx.

15 Em particular, do Teorema de Fourier, temos x = π 4 π k=1 1 (k 1 cos (k 1x + ( 1 n+1 n sen nx, x π. Exercício 1.9 Seja f(x = x para x π. (a Mostre que a série de Fourier de cossenos de f é (b Usando x = π, conclua que π ( 1 n cos(nx. n 1 n = π Figura 15: periódica par de f. Gráfico da extensão Figura 16: A soma dos sete primeiros termos da série de Fourier de cossenos de f. Exemplo 1.8 Dada uma função f : [,] R, mostre que ela possui a seguinte série de senos onde c n = c n sen n 1 f(xsen (n 1πx, (1 (n 1πx Resolução. Inicialmente, iremos estender f para uma função g definida em [, ], de modo que ela coincida com f no intervalo [,] e g(x = f( x, para x no intervalo [π,]. Isto faz com que ela seja simétrica em relação ao eixo x =. Feito isso, iremos estendê-la para todo x de forma dx. 15

16 que ela seja uma função periódica ímpar de período 4, logo, os seus coeficientes de Fourier (de senos serão dados por c n = = 1 ( = 1 ( g(xsen nπx dx f(xsen nπx dx + f(xsen nπx dx + g(xsen nπx dx f( xsen nπx dx Note que fazendo a mudança de variáveis y = x na segunda integral, temos Portanto, temos o que é o resultado desejado. f( xsen nπx dx = c n = 1 ( 1n = = = cos nπ f(y sen n( yπ dy n( yπ f(y sen dy ( f(y sen nπ nπy dy = ( 1 n f(xsen f(xsen nπx dx f(ysen nπy dy (k 1πy. dx. Exercício 1.1 Seja f(x definida como f(x = sen x, x π. (a Seja g o prolongamento periódico ímpar com período π de f. Esboce o gráfico de g. (b Calcule a série de Fourier de g. (c Qual o valor da série de Fourier de g no ponto x = π. 1.3 Exercícios 1. Nos problemas a seguir, esboce o gráfico da função e encontre a sua série de Fourier. 16

17 (a f(x = x, x <, f(x + = f(x 1, x < (b f(x = ; f(x + = f(x, x < x, x < (c f(x = ; f(x + = f(x x, x < x + 1, 1 x < (d f(x = ; f(x + = f(x x, x < 1, 1 x < (e f(x = ; f(x + = f(x x, x < 1, π x < (f f(x = ; f(x + π = f(x senx, x < π (g f(x = senx (h f(x = sen x. Nos problemas a seguir, determinar se cada função dada é par, ou ímpar, ou nem par nem ímpar. Esboce o gráfico da função em cada caso. (a x 3 (e sec x (b x 3 x (f x 3 (c x 3 x + 1 (g e x (d tan x (h e x 3. Considere a função f(x = x, x < 1. (a Faça o desenvolvimento em séries de Fourier correspondente à extensão periódica dessa função, ou seja, o desenvolvimento da função como se ela fosse periódica fora do intervalo no qual ela se encontra definida, sendo seu período igual a 1. Esboce o gráfico da função resultante no intervalo [ 4,4]. (b Faça o desenvolvimento em séries de Fourier correspondente à extensão periódica par dessa função, ou seja, o desenvolvimento utilizando apenas termos em cosseno, com período. Esboce o gráfico da função resultante no intervalo [ 4,4]. (c Faça o desenvolvimento em séries de Fourier correspondente à extensão periódica ímpar dessa função, ou seja, o desenvolvimento utilizando apenas termos em seno, com período. Esboce o gráfico da função resultante no intervalo [ 4,4]. 17

18 4. Considere as funções:, < x 1 (a f(x = x, 1 < x 3 x, < x 1 (b f(x = 1, 1 < x 3 x, < x 1 (c f(x = 1 x, 1 < x 3 1, < x 1 (d f(x = x, 1 < x 3 Para cada uma das funções acima: (i Esboce o gráfico da extensão periódica de período igual a 3 da função, no intervalo de -1 a 1. Determine a série de Fourier dessa extensão. (ii Esboce o gráfico da extensão par de período igual a 6 da função, no intervalo de -1 a 1. Determine a série de Fourier dessa extensão. (iii Esboce o gráfico da extensão ímpar de período igual a 6 da função, no intervalo de -1 a 1. Determine a série de Fourier dessa extensão. 1.4 Trabalhos Ressonância Suponha um sistema massa-mola sem atrito, com frequência natural w = 3, originalmente em repouso e submetido a uma força externa periódica com frequência w. A pergunta que queremos responder é se o sistema pode entrar em ressonância mesmo se a frequência externa w for diferente da frequência natural do sistema w. Questão 1. Suponha inicialmente que a força externa é g(t = sen t. Observe que a frequência da força externa é w = 1 w = 3. Chamando de y a distância da massa ao ponto de equilíbrio do sistema massa-mola, o problema é modelado por: y + 9y = sen t com y( = y ( =. Ache a solução e, se possível, esboce o seu gráfico. Descreva o movimento da massa. Questão. Considere o mesmo problema, mas com força externa g(t = sen 3t, ou seja, com frequência w = 3 = w. Ache a solução e, se possível, esboce o seu gráfico. Descreva o movimento da massa. O sistema entra em ressonância? Questão 3. a Seja y 1 (t uma solução particular de y + w y = g 1(t e seja y (t uma solução particular de y + w y = g (t. Mostre que y p (t = y 1 (t + y (t é uma solução particular de y + w y = 18

19 g 1 (t + g (t. b Determine a solução y + 9y = sen t + sen 3t com y( = y ( =. O sistema entra em ressonância? (observe que a força externa g(t = sen t + sen 3t tem período π e logo frequência w = 1 3 = w. Questão 4. Considere de novo o mesmo problema y + 9y = g(t com y( = y ( = mas com 1, < t < π g(t =, t =,π,π 1, π < t < π Mostre que a frequência de g(t é 1 w. O sistema entra em ressonância? Justifique sua resposta. Questão 5. Considere agora um sistema massa massa-mola sem atrito, com frequência natural w, originalmente em repouso e submetido a uma força externa periódica g(t com frequência w. O que é preciso observar para saber se o sistema entra em ressonância? 1.4. Filtragem Existem sistemas que recebem um sinal em sua entrada, e têm por objetivo fornecer em sua saída um sinal que é composto das componentes da série de Fourier do sinal de entrada que estiverem dentro de determinada faixa de freqüências. A ação desses sistemas pode ser interpretada como: deixar passar uma certa faixa de freqüências, e eliminar o restante das freqüências presentes num sinal. Esses sistemas são denominados filtros. Os filtros têm larga aplicação em diversos dispositivos tecnológicos. Por exemplo, o seletor de canais de um aparelho de rádio ou de televisão é um filtro, que deixa passar apenas a faixa de freqüências de uma determinada emissora que tiver sido selecionada, eliminando as demais freqüências (correspondentes às outras emissoras que também tiverem chegado na mesma antena receptora do aparelho. Questão: Considere um sinal de tensão elétrica v(t, que foi produzido através do processo de ligar e desligar periodicamente uma chave, com período T, assim conectando e desconectando uma bateria que fornece a tensão E, conforme mostrado na figura abaixo: 19

20 T E v(t O sinal v(t resultante possui o formato mostrado na figura abaixo: v(t E t a b Observe que o intervalo de tempo θ, dentro de um período de duração T, no qual a chave fica ligada, não necessariamente é igual ao intervalo no qual a chave fica desligada, ou seja, o sinal não possui simetria entre a parte ligada e a parte desligada. Suponha que encontra-se disponível um filtro que deixa passar sinais na faixa de Hz a 1 Hz, e que elimina senóides com freqüências fora dessa faixa, assim produzindo o sinal y(t, conforme mostrado na figura abaixo. T E f y (a Calcule a série de Fourier do sinal v(t.

21 (b Explique como esse esquema pode ser utilizado para gerar sinais de tensão y(t constantes, a partir de uma correta seleção do período T de chaveamento. (c Explique como o valor da tensão y(t pode ser modificado a partir de uma correta seleção do intervalo θ. Observação: Esse é o esquema básico de funcionamento das fontes de tensão chaveadas, existentes por exemplo em equipamentos eletrônicos como os computadores ou as televisões. Este circuito denomina-se circuito com modulação PWM (Pulse Width Modulation, ou Modulação por argura de Pulso. 1

22 Equações Diferenciais Parciais.1 A equação de Calor A equação de calor em uma dimensão espacial modela o fluxo de calor num fio que é isolado em toda parte, exceto, nas duas extremidades. Matematicamente, temos o seguinte problema: seja R a região do plano (x,t determinada por < x < e t >, e R a união de R com sua fronteira que é formada pelas semi-retas {x =, t > } e {x =, t > } e pelo segmento { x, t = }. O problema da condução do calor consiste em determinar uma função real u(x,t definida em R que satisfaça à equação do calor u t = Ku xx, em R, ( que satisfaça à condição inicial u(x, = f(x, x, (3 onde f : [,] R é uma função dada e, finalmente, que satisfaça às condições de fronteira que vamos descrever abaixo. A constante K é chamada de difusividade térmica, depende apenas do material de que é feita a barra, por exemplo, se o material for cobre, então, K = 1.14cm /s..1.1 Condições de Fronteira Tipo I. Suponhamos que, por algum processo, as extremidades da barra sejam mantidas a temperaturas conhecidas. Por exemplo, constante em cada extremidade, u(,t = T 1 e u(,t = T, onde T 1 e T são temperaturas dadas. Um caso mais complexo seria aquele em que se conhece a variação de temperatura em um das extremidades (ou em ambas, isto é u(,t = h o (t e u(,t = h 1 (t, onde h o (t e h 1 (t, para t, são as temperaturas em cada uma das extremidades. Tipo II. Suponhamos que as extremidades estejam isoladas termicamente. Isto quer dizer que os fluxos de calor através de x = e x = são nulos, ou seja, u x (,t = u x (,t =.

23 Tipo III. Suponhamos que meio ambiente tenha uma temperatura u o e que haja transferência de calor, entre a barra e o meio ambiente, regidas pela lei ku x (,t = e(u(,t u o, ku x (,t = e(u(,t u o, onde e é uma constante, dita emissividade, característica do material da barra do meio ambiente. Tipo IV. Uma combinação de duas quaisquer das condições acima, como, por exemplo, u(,t = e u x (,t =..1. Separação de Variáveis O método de sepação de variáveis reduz o problema de resolver uma equação diferencial parcial linear ao de resolver equações diferenciais ordinárias. Se u for uma função de duas variáveis, a idéia do método consiste em assumirmos que u(x,t = F(xG(t. (4 Substituindo (4 em (1, temos F(xG (t = KF (xg(t (5 ou 1 G (t K G(t = F (x F(x. (6 Como o lado esquerdo de (5 depende apenas de t e o direito depende apenas de x, ambos devem ser iguais a uma constante σ. Isto nos leva as equações Em particular, temos 1 G (t K G(t = σ e F (x = σ. (7 F(x F (x σf(x =, para < x <. (8 3

24 .1.3 Barra com extremidades mantidas à o C Vamos assumir que a condição de contorno seja do Tipo I, com u(,t = u(,t =. Então devemos ter F( = F( =, (9 pois, como u(,t = F(G(t =, para todo t >, segue-se que se F(, então, G(t e, portanto, u, o que não tão tem a chance de satisfazer à condição inicial u(x, = f(x, a menos que f(x. Há três possibilidades para σ. i Se σ >, então a solução geral é da forma F(x = c 1 e σx + c e σx. Portanto, se tal F satisfizer (9, o par (c 1,c de constantes deverá satisfazer c 1 + c =, c 1 e σ + c e σ =. Mas a única solução desse sistema é c 1 = c =. Isto implica F, o que não interessa. ii Se σ =, a solução geral de (8 é F(x = c 1 x + c, e, para satisfazer (9 deveremos ter c = e c 1 + c =, o que implica c 1 = c = e, portanto, F. iii Se σ <, fazemos σ = λ e a solução geral é F(x = c 1 cos λx + c sen λx. Para que tal função satisfaça (9, deveremos ter c 1 = e c sen senλ =, como não queremos c =, devemos ter sen λ =, 4

25 o que implica λ = nπ, onde n é um inteiro não-nulo (n = ±1, ±,... Portanto, λ n = n π, chamados de autovalores do problema e as funções F n (x = sen nπx, são chamadas de autofunções associadas. Para cada n a solução da segunda equação diferencial de (7 é proporcional a G n (t = e n π Kt. ogo, para cada n = 1,,..., temos uma função u n (x,t = e n π Kt sen nπx, que satisfaz a equação a equação de calor e as condições de fronteira dadas. Exercício.1 (A equação de calor é linear Mostre que se u 1 (x,t e u ( x,t são soluções da equação de calor, o mesmo acontecerá com u(x,t = c 1 u 1 (x,t + c u (x,t. Portanto, qualquer combinação linear finita de soluções da equação de calor também será solução da mesma. Segue-se do exercício acima que toda expressão da forma N c n u n (x,t, onde c n são constantes é solução da equação de calor. Claramente ela satisfaz as equações de fronteira dadas. Conseqüentemente, se a condição inicial f(x for da forma f(x = então, nesse caso, a solução do problema é u(x,t = N Se a distribuição inicial de temperatura for f(x = N c n sen nπx, c n e n π Kt sen nπx. c n sen nπx, 5

26 então, o candidato a ser a solução do problema é u(x,t = c n e n π Kt sen nπx. Os coeficientes c n devem ser escolhidos de modo que f(x = u(x, = n a n sen ( nπx els são os coeficientes da série de Fourier de senos da função f. Assim, c n = Exercício. Resolva o seguinte problema f(xsen nπx dx. ; ou seja, u t = u xx, em R, u(,t = u(π,t =, para t > u(x, = sen 3 x, para x π. Exercício.3 Resolva o seguinte problema u t = 4u xx + 4u, em R, u(,t = u(π,t =, para t > u(x, = 1, para x π. Sugestão. Escreva u(x,t = e 4t v(x,t e mostre que v(x,t satisfaz a equação de calor já estudada. Quanto vale lim t + u(x,t?.1.4 Barra isolada termicamente também nas extremidades Procedendo como no caso anterior, podemos estudar o problema u t = Ku xx, em R, u x (,t = u x (,t =, para t > u(x, = f(x, para < x <. Do método de separação de variáveis, temos G (t = σg(t, t, F (x σf(x =, x, 6

27 onde σ é determinado pela condição de fronteira F ( = F ( =. Os autovalores são σ n = n π e as autofunções correspondentes são F n (x = cos nπx. Para a segunda equação temos G n (t = e n π Kt. Note que para cada n, a função u n (x,t = e n π Kt cos nπx satisfaz a equação de calor e as condições de fronteira dadas e o mesmo vale para qualquer combinção finita destas funções. Vamos tomar a solução da forma u(x,t = c o + c n e n π Kt cos nπx, onde os coeficientes c n deverão ser tomadas de modo que f(x = u(x, = co + c n cos nπx ; ou seja, c n = Exemplo.1 Resolva o seguinte problema f(xcos nπx dx, n =,1,,.... u t = u xx, em R, u x (,t = u x (π,t =, para t > u(x, = cos x + cos 5x, para < x < π. Solução. Vimos que a solução do problema acima é da forma u(x,t = a + a n e nt cos nx, onde cos x + cos 5x = u(x, = a + a n cos nx, por outro lado, como cos x = 1 (1 + cos x, temos que cos x + cos 5x = a + a n cos nx, logo, a = 1, a = 1, a 5 = 1 e os demais coeficientes são nulos, portanto a solução do problema é u(x,t = e 4t cos x + e 5t cos 5x. 7

28 Alternativamente, tendo em vista que cos axcos bx = 1 (cos(a bx + cos(a + bx, poderíamos ter calculado os coeficientes acima usando as relações a n = π = π = π = 1 π π π π π π ( cos x + cos 5x cos nxdx cos xcos nx + π cos xcos nx + π π π (1 + cos xcos nx + π π = 1 cos nxdx + 1 π π = 1 π cos nxdx + 1 π π, se n,,5 1, se n = = 1, se n = 1, se n = 5, π o que nos dá o mesmo resultado. cos 5xcos nxdx cos 5xcos nxdx π cos 5xcos nxdx cos nxcos xdx + π π cos 5xcos nxdx (cos(n x + cos(n + x dx + 1 π π (cos(n 5 + cos(n + 5x dx Exemplo. Considere o seguinte problema de condução de calor num fio com as extremidades isoladas. u t = u xx, < x < π, t >, u x (,t =, u x (π,t =, t >, u(x, = sen 3 x, < x < π. (a Encontre a solução do problema acima. (b Qual é a temperatura de equilíbrio do fio? Solução. A solução do problema acima é da forma u(x,t = a + a ne nt cos nx, onde a n = π π sen 3 xcos nxdx, n =,1,,.... 8

29 Note que temos a seguinte identidade trigonométrica sen 3 θ = = ( e iθ e iθ 3 i ( e i3θ 3e iθ + 3e iθ e i3θ 8i ( e i3θ e i3θ ( e iθ e iθ = 1 4 i i = 1 4 sen 3θ sen θ. Portanto, lembrando que sen axcos bx = 1 (sen (a + bx + sen (a bx, temos a n = π ( 14 π sen 3x + 34 sen x cos nxdx = 1 π sen 3x cos nxdx + 3 π sen xcos nxdx π π = 1 4π π (sen (n + 3x sen (n 3x dx + 3 4π π (sen (n + 1x sen (n 1x dx. Deixamos para o leitor o cálculo das integrais acima. A temperatura de equilíbrio é a = 4 3π..1.5 Barra com uma extremidade isolada e a outra mantida a o C Temos o seguinte problema u t = Ku xx, em R, u(,t = u x (,t =, para t > u(x, = f(x, para x. Pelo método de separação de variáveis temos F (x σf(x =, x, F( = F ( =, o que nos leva a σ n = (n 1π 4, n = 1,,..., e as respectivas autofunções F n (x = sen (n 1πx. ogo, a solução do problema de valor inicial é u(x,t = c n e (n 1 π Kt 4 9 sen (n 1πx,

30 onde os coeficientes c n devem ser tais que (veja Exemplo 1.8 (n 1πx f(x = c n sen, ou seja, Exercício.4 c n = Exercício.5 Mostre que a solução de é onde u(x,t = f(xsen (n 1πx u t = 4u xx, em R, dx. u(,t = u x (π,t =, para t > u(x, = x, para x π. u t = α u xx, em R, u x (,t = u(,t =, para t > u(x, = f(x, para x c n = Sugestão. Temos duas alternativas: c n e (n 1πα f(x cos t cos ( (n 1πx (n 1πx (i Repetir o que foi feito para o caso em que u(,t = u x (,t =, neste caso, precisaremos representar uma função f definida no intervalo [,] em termos de uma série de cossenos da forma ( c n cos (n 1πx, o que corresponde fazermos uma extensão de f para uma função g definida no intervalo [,] de modo que g(x = f( x para x no intervalo de (,], ou seja, g é anti-simétrica em relação à reta x =, consideramos o prolongamento periódico para de g com período 4; ou ainda, (ii Podemos escrever v(x,t = u( x,t e mostrar que v(x,t é solução do problema que já conhecemos: v t = α v xx, em R, dx. v(,t = v x (,t =, para t > v(x, = f( x, para x., 3

31 .1.6 Condições de fronteira não-homogêneas Considere o seguinte problema u t = Ku xx, em R, u(,t = h o (t, u(,t = h 1 (t, para t >, u(x, = f(x, para < x <. (1 A idéia é transformar este problema num de condições de fronteira homogêneas, através de uma mudança da variável dependente u. Assim, suponha que seja possível achar uma função v(x,t tal que v(,t = h o (t, v(,t = h 1 (t e que u seja a solução do problema de valor inicial (1, segue-se que a função w = u v satisfaz ao seguinte problema w t = Kw xx + g(x,t em R, w(,t = w(,t =, para t >, w(x, = f(x v(x,, para < x <, (11 onde g(x,t = Kv xx v t. Se for possível determinar v tal que ela seja solução equação de calor em R, então, g. Em muitos problemas, tomaremos v(x, t = U(x, portanto, U(x = ax + b, onde a e b são determinados pelas condições de contorno. Exemplo.3 Se h o (t = α e h 1 (t = β, onde α e β são constantes. Neste caso, basta tomar v(x,t = α + (β αx. Uma tal v é solução do calor. Portanto, w é solução do problema w t = Kw xx em R, cuja solução é w(,t = w(,t =, para t >, (β αx w(x, = f(x α, para < x <, w(x,t = c n e n π K t sen nπx, 31

32 onde os c n são os coeficientes de Fourier de seno da função f(x α (β αx, ou seja, c n = ( f(x α (β αx sen nπx dx. ogo, a solução do problema de valor inicial (1 com h o (t = α e h 1 (t = β é A temperatura u(x,t = α + (β αx + U(x = α + c n e n π K t (β αx sen nπx. é chamada de temperatura de equilíbrío. Note que quanto t tende a infinito, u(x,t tende a U(x. Por outro lado, u(x,t U(x = c ne n π K t tende a infinito, é chamada de temperatura transiente. sen nπx, a qual tende a zero quando t Exemplo.4 Considere o seguinte problema de condução de calor num fio. u t = u xx, < x < π, t >, u(,t =, u(π,t = 1, t >, u(x, = sen 5x.1sen 9x + 1 π (a Encontre a solução do problema acima. (b Qual é a temperatura de equilíbrio? x, < x < π. Solução. Note que para encontrarmos a temperatura de equilíbrio não precisamos resolver o problema. No caso considerado éla é determinada completamente a partir das condições de fronteira, não depende das condições iniciais: U(x = 1x π. Portanto a solução do problema é Da condição inicial, temos u(x,t = 1x π + c n e n t sen nx. sen 5x.1sen 9x + 1x π 1x = u(x, = π + c n sen nx. Portanto, sen 5x.1sen 9x = c n sen nx, 3

33 e concluimos que c 5 =, c 9 =.1 e dos demais coeficientes são nulos. ogo, a solução desejada é u(x,t = 1x π + e 5t sen 5x.1e 81t sen 9x. Alternativamente, poderíamos ter calculados os coeficientes c n a partir das relações c n = π = π π π o que nos dá o resultado acima. (sen 5x.1sen 9xsen nxdx (cos(n 5x cos(n + 5xdx.1 π π (cos(n 9x cos(n + 9xdx, Exercício.6 Encontre a solução do seguinte problema u t = α u xx, em R, u(,t = T, u x (,t =, para t > u(x, = f(x, para x. Sugestão. Note que a temperatura de equilíbrio é U(x = T. Faça u(x,t = T + v(x,t e mostre que v(x,t é solução do problema conhecido v t = α v xx, em R, v(,t =, v x (,t =, para t > v(x, = f(x T, para x. Exercício.7 Encontre a solução do seguinte problema (veja sugestão do exercício anterior u t = α u xx, em R, u x (,t =, u(,t = T, para t > u(x, = f(x, para x. Observação.1 A temperatura de equilíbrio é uma função de x apenas e satisfaz a equação de calor considerada; em particular, a temperatura de equilíbrio da equação u t = α u xx, satisfaz U (x =, logo ela é da forma U(x = ax + b, onde as constantes a e b são determinadas pelas condições de fronteira (e ou inicial quando as condições de fronteiras não forem suficientes para calcularmos a e b, por exemplo, quando as duas extremidades da barra estão isoladas. Para a 33

34 condição de fronteira u(,t u x (,t = e u(,t = T, devemos ter U( U ( = e U( = T, portanto, U(x = T 1+ (1+x. Já para a equação de calor u t = α u xx +bu, a temperatura de equilíbrio deve satisfazer U + b α U =, em particular, se b α = 1, = π e as extremidades foram mantidas à temperatura zero, devemos ter U( = = U(π, portanto, U(x = c 1 sen x, onde c 1 é uma constante a ser determinada pela condição inicial: c 1 = π. A Equação da Onda π o f(xsen xdx. Outra equação diferencial parcial muito importante que aparece em matemática aplicada é a equação de onda. Ela aparece na descrição de fenômenos envolvendo a propagação de ondas num meio contínuo, por exemplo, no estudo de ondas acústicas, ondas de água, ondas eletromagnéticas e ondas sísmicas. No apêndice 4 temos a dedução da equação da onda em uma dimensão espacial. Desprezando os efeitos de amortecimento, como a resitência do ar e se a amplitude do movimento não for muito grande, ela é dada por u tt = c u xx...1 A Corda finita O problema de vibrações transversais de uma corda perfeitamente flexível, de comprimento, ligeiramente esticada entre dois suportes no mesmo nível horizontal, de modo que o eixo dos x esteja ao longo da corda (veja Figura, consiste em determinar uma função real u(x,t (deslocamento da corda no ponto x no instante t definida para (x,t [,] [, que satisfaça à equação da onda u tt = c u xx, (x,t (, (,, (1 que satisfaça às condições iniciais u(x, = f(x, x, (13 u t (x, = g(x, x, (14 onde f,g : [,] R são funções dadas e, finalmente, que satisfaça às condições de fronteira que vamos descrever abaixo. Especificar as condições iniciais consiste em dizermos inicialmente qual a forma da corda, representada por u(x,, e o modo que a corda é abandonada nesta posição, o que 34

35 é traduzido pela velocidade inicial u t (x,. A constante c é a velocidade de propagação da onda no meio... Condições de fronteira I - Corda finita com extremidades fixas. Suponhamos que a corda tenha comprimento, e que, quando em sua posição de repouso, ela ocupe a porção do plano (x,u entre e. Assim, a hipótese de extremidades fixas implica que u(,t = u(,t =, para t. II - Corda finita com extremidades livres. Neste caso a corda de comprimento, tem suas extremidades forçadas a não se afastarem de trilhos colocados perpendicularmente à corda, no plano (x,u de vibração. Isso implica u x (,t = u x (,t =, para t. III - Outras condições de fronteira. Podemos ter o caso em que as extremidades se movem, transversalmente, de acordo com leis conhecidas. Por exemplo, u(,t = a(t, u(,t = b(t, para t...3 A corda vibrante com extremidades fixas Considereremos o seguinte problema u tt = c u xx, em R, u(,t = u(,t =, para t, u(x, = f(x, u t (x, = g(x, para x. Vamos fazer separação de variáveis. Assumindo que a solução do problema é da forma u(x,t = F(xG(t, ao substituirmos esta expressão na equação diferencial temos F (x F(x = G (t c G(t 35

36 o que nos leva as seguintes equações diferenciais ordinárias F σf =, (15 G = σc G. (16 As condições de fronteira implicam F( = F( =, caso contrário, G(t, o que não nos interessa. Assim, somos levados ao seguinte problema F σf =, F( = F( =, que já foi resolvido quando consideramos a equação do calor: σ n = n π, para n = 1,,..., cujas autofunções são F n (x = sen nπx. Para cada σ n, a solução geral de (15 é G n (t = a n cos nπct + b n sen nπct, onde a n e b n são constantes arbitrárias. ogo, as funções u n (x,t = a n sen nπx nπct cos + b n sen nπx sen nπct satisfazem a equação de onda e as condições de fronteira. O passo seguinte é determinar os coeficientes a n e b n, de modo que ( u(x,t = a n sen nπx nπct cos + b n sen nπx satisfaça às condições iniciais. Isto implica que e é necessário que f(x = a n = a n sen nπx, f(xsen nπx dx. nπct sen, (17 Para a determinação dos b n, derivamos (formalmente termo a termo a série que define u(x,t, em relação a t. Usando a segunda condição inicial temos, logo, devemos ter g(x = nπc b n = nπc b n sen nπx, g(xsen nπx dx, 36

37 de onde obtemos, b n = nπc g(xsen nπx dx. Embora não tenhamos feito nenhuma hipótese em f e g, sob a hipótese que f,f,f,g,g serem contínuas e f e g serem seccionalmente contínuas em [,] e, além disso, f( = f( = f ( = f ( = g( = g( = ; então, os coeficientes a n e b n decairão pelo menos com 1 n 3 e não teremos problemas de convergência, todo o procedimento acima é rigoroso, nos levando a solução do problema proposto. Tendo em vistas as identidades trigonométricas sen acos b = sen asen b = 1 [sen (a + b + sen (a b], 1 [cos (a b cos (a + b], a expressão (17 pode ser re-escrita como u(x,t = 1 ( nπ(x + ct a n sen + a n sen + 1 ( nπ(x ct b n cos b n cos = 1 ( nπ(x + ct a n sen b n cos + 1 ( nπ(x ct a n sen + b n cos = F(x + ct + G(x ct, nπ(x ct nπ(x + ct nπ(x + ct nπ(x ct onde F(w = 1 e G(w = 1 Portanto, podemos escrever ( a n sen nπw b n cos nπw ( a n sen nπw + b n cos nπw. u(x,t = F(x + ct + G(x ct, ou seja, a solução do problema pode ser vista como a superposição de duas ondas F(x ct e G(x + ct, que se propagam para a direita e esquerda, respectivamente, com velocidade c. 37

38 Exercício.8 Mostre que a equação de onda é linear, ou seja, se u 1 (x,t e u (x,t forem duas solução de u tt = c u xx, então, para quaisquer constantes c 1 e c, u(x,t = c 1 u 1 (x,t + c u (x,t também será solução da equação de calor. Exercício.9 Mostre que se u 1 (x,t for solução de u tt = c u xx em (, (,, u(,t = u(,t =, para t, u(x, = f(x, u t (x, =, para x, e u (x,t for solução de u tt = c u xx em (, (,, u(,t = u(,t =, para t, u(x, =, u t (x, = g(x, para x, então, u(x,t = u 1 (x,t + u (x,t é solução de u tt = c u xx em (, (,, u(,t = u(,t =, para t, u(x, = f(x, u t (x, = g(x, para x. Exercício.1 Resolva o seguinte problema: u tt = u xx, < x < π, t > u(,t = = u(π,t, t u(x, = sen x, u t (x, =, x π. Esboce os gráficos de u(x, t nos instantes t =, t = π/ e t = π. Resolução. Como g(x, segue-se que b n = para todo n. Por outro lado, a n = π π π senx sen(nx dx = 1 (cos(n 1x cos(n + 1xdx π 1, se n = 1 =,, n 1 38

39 logo, u(x,t = sen x cos t = 1 sen(x t + 1 sen(x + t, que a superposição de duas ondas que se propagam com velocidade c = 1, se propagando em direções opostas (veja Figuras 17 e 18, mostrando a solução, dada em azul, como a superposição de duas ondas, gráficos nas cores vermelho e verde, nos instantes t = π/4 e t = π/. Note que quando t = π/, as duas componentes estão completamente fora de fase e temos interferência destrutiva, u(x, π/. Note que embora em cada instante, cada uma das duas ondas componentes tenham amplitude variando nos pontos x = e x = π, nestes a interferência é sempre destrutiva e u(,t = = u(π,t, para todo t e temos dois nós nestes pontos Figura 17: O gráfico de u(x,π/4 em azul. Figura 18: O gráfico de u(x,π/ em azul. Exercício.11 Resolva o seguinte problema: u tt = u xx, < x < π, t > u(,t = = u(π,t, t u(x, = u t (x, = cos x, x π. Mostre que se t = kπ/, onde k Z, então a corda estará esticada horizontalmente, ou seja, u(x,kπ/ = para todo x. 39

40 Resolução. Como f(x, segue-se que a n =, para todo n. Por outro lado, ogo, u(x,t = π b n = nπ = 1 nπ n= = π π = 1 nπ π 1 + ( 1 n n 1 cos x sen(nxdx (sen(n + 1x + sen(n 1x dx, se n = 1 ( cos(n+1x n+1 + cos(n 1x π n 1, n 1, se n = 1 1+( 1 n n 1, n 1. sen(nx sen(nt = 4 π 1 4n 1 sen(nx sen(nt. Em particular, u(x,kπ/ =, k Z, para todo x. Além disso, a solução pode ser re-escrita como u(x,t = 1 π 4n 1 cos[n(x t] 1 π 4n cos[n(x + t] F(x t F(x + t, 1 onde F(w = π 1 cos(n w. 4n 1 Exercício.1 Resolva o seguinte problema: u tt = u xx, < x < π, t > u(,t = = u(π,t, t u(x, = sen x, u t (x, = cos x, x π. Resolução. Temos duas alternativas: (i usar o Exercicio.9 que diz que a solução do problema acima é a soma das soluções dos Exercícios.1 e.11 ou (ii calcular diretamente os coeficientes a n s e os b n s. Exercício.13 Resolva o seguinte problema: u tt = 4u xx, < x < 3, t > u(,t = = u(3,t, t x 1 u(x, =, x 1 3 x, 1 x 3 u t (x, =, x 3. 4

41 Resolução. Vimos que a solução deste problema é da forma ( ( nπx ( nπt u(x,t = a n sen cos + b n sen 3 15 ( nπx sen 3 Como u t (x, =, segue-se que b n =, para todo n. Por outro lado, Portanto, a n = 1 15 = ( 1 9 ( nπ n π sen 3 x ( nπx 1 sen 3. u(x,t = 9 π dx + sen ( nπ 3 n sen x ( nπx cos 3 Note que a solução acima pode ser re-escrita como u(x,t = 9 sen ( nπ ( 3 nπ(x t π n sen π F(x t + F(x + t, sen ( nπt. 15 ( nπt. 15 ( nπx dx 3 sen ( nπ ( 3 nπ(x + t n sen 3 onde F(w = 9 π sen ( nπ ( 3 nπw n sen. 3 Exercício.14 ( Corda com uma extremidade fixa e a outra livre. Suponha que uma corda elástica de comprimento tenha a sua extremidade x = fixa (u(,t =, t e a extremidade x = livre (u x (,t =, t e que ela seja colocada em movimento sem velocidade inicial a partir da posição inicial u(x, = f(x. Mostre que o deslocamento da corda, u(x, t, é dado ( ( (n 1πx (n 1πct u(x,t = a n sen cos, onde a n = ( (n 1πx f(x sen dx. Exercício.15 ( Corda com as extremidades fixas em alturas diferentes de zero. Resolva o seguinte problema u tt = c u xx, < x <, t > u(,t = α, u(,t = β, t u(x, = f(x, u t (x, = g(x, x. 41

42 Sugestão. Encontre a posição de equilíbrio da corda, ou seja, uma função U = U(x que satisfaz a equação de onda e as condições de contorno acima, ou seja, U(x = α + β α x. Escreva u(x,t = U(x + v(x,t, como u e U satisfazem a equação de onda, segue da linearidade desta equação que v(x,t também é solução da mesma; ou seja v é solução de um problema conhecido: v tt = c v xx, < x <, t > v(,t =, v(,t =, t v(x, = f(x U(x, v t (x, = g(x, x. Exercício.16 (Corda com ambas as extremidas livres. Resolva o seguinte problema u tt = c u xx, < x <, t > u x (,t =, u x (,t =, t u(x, = f(x, u t (x, = g(x, x. Sugestão. Se assumirmos que u(x,t = X(xT(t, das condições de contorno u x (,t = = u x (,t, para todo t, devemos ter X ( = = X ( e do método de separação de variáveis temos X = λx, X ( = = X (, veja solução da equação de calor para um fio com extremidades isoladas. Temos λ n = ( nπ e ( nπx X n (x = cos, n =,1,,... A equação em T fica T = ( nπ T, a qual já foi resolvida, exceto, que agora, n pode ser zero e para este valor de n temos T o (t = a o + b o t, onde a o e b o são constantes arbitrárias. Para n 1, vimos que ( ( nπct nπct T n (t = a n cos + b n sen. Portanto, a solução da corda com as duas extremidades livres é da forma u(x,t = a o + b o t + ( a n cos ( nπct + b n sen ( nπct ( nπx cos. 4

43 Observação. Note que no problema da corda com as extremidades livres, se b o = 1 g(xdx, então a corda se moverá vertical e indefinidamente para baixo ou para cima, dependendo do sinal de b o. Exercício.17 Uma corda em movimento num meio elástico satisfaz a equação c u xx α u = u tt onde α é proporcional ao coeficiente de elasticidade do meio. Supondo que a corda está fixa nas suas extremidades e seja colocada em movimento sem velocidade inicial a partir da posição inicial u(x, = f(x, < x <, encontre o deslocamento u(x,t. Sugestão. Assuma que u(x, t = X(xT(t, portanto, das condições de contorno, devemos ter X( = = X( e do método de separação de variáveis, temos T c T = X X α c = µ logo, e X = (µ + α c X λx, X( = = X( (18 T = c µt. O problema de contorno (18 já apareceu no problema de condução de calor num fio com extremidades mantidas à temperatura ; ou seja, λ n = ( nπ e ( nπx X n (x = sen, n = 1,,... ( (nπ Por outro lado, µ n = + α, portanto, c ( (nπc T = + α T, ou seja, ( (nπc ( (nπc T n (t = a n cos + α t + b n sen + α t. 43

44 ..4 A Corda infinita e a Fórmula de D Alembert Vamos agora estudar o problema de vibração de uma corda de comprimento infinito, a qual é uma idealização de uma corda muito longa. Neste caso, não há condições de fronteira a satisfazer, e, assim, o problema consiste em buscar uma função u(x,t definida no semi-plano fechado, x R e t, tal que onde f e g são condições iniciais. u tt = c u xx, x R, t >, u(x, = f(x, u t (x, = g(x, x R, Note que se F(x e G(x são duas funções com derivadas até segunda ordem contínuas, então, a função u(x,t = F(x + ct + G(x ct satisfaz a equação da onda. A pergunta natural é a seguinte será que podemos escolher estas funções de modo a satisfazer as condições iniciais, ou seja, f(x = u(x, = F(x + G(x (19 g(x = u t (x, = cf (x cg (x? ( Tomando a derivada de (19 em relação a x e multiplicando a equação resultante por c, temos cf (x + cg (x = cf (x. Esta equação juntamente com ( nos conduz ao seguinte sistema cf (x + cg (x = cf (x cf (x cg (x = g(x. Somando as duas equações do sistema acima e dividindo o resultado por c, temos, temos F (x = f (x + g(x c. (1 De maneira análoga, se subtrairmos a segunda equação da primeira no sistema acima e multiplicarmos o resultado por c, encontramos G (x = f (x Integrando as equações (1 e ( de a x, temos, respectivamente, F(x = F( f( + f(x 44 g(x c. ( + 1 c x g(sds

45 e Portanto, G(x = G( f( + f(x 1 c x g(sds. u(x,t = F(x + ct + G(x ct = F( + G( f( + = F( + G( f( + = Portanto, temos f(x + ct + f(x ct u(x,t = f(x + ct + f(x ct f(x + ct + f(x ct + 1 c x+ct x ct g(sds f(x + ct + f(x ct + 1 c + 1 c + 1 c x+ct x+ct x ct g(sds 1 c g(sds x ct g(sds (pois, F( + G( = u(, = f(. x+ct x ct g(sds, Conhecida como fórmula acima é conhecida como a fórmula de D Alembert. No caso particular em que g(x, temos u(x,t = 1 [f(x + ct + f(x ct], ou seja, a solução é a superposição de duas ondas. A função f(x + ct é chamada uma onda regressiva (se move para a esquerda e f(x ct é chamada uma onda progressiva (se move para a direita. No caso particular que f(x, temos u(x,t = 1 c h(x + ct 1 h(x ct, c onde h(w = w g(sds. Note que temos a superposição de uma onda regressiva e uma progressiva. Exercício.18 Suponha que f(x e que o gráfico de g(x é aquele mostrado na Figura 19. (a Encontre u(x, t. (b Esboce o gráfico de u(x, e u(x,1. Resolução. Da fórmula de D Alembert, temos u(x,t = h(x+ct h(x ct c, onde h(w = w g(sds. Claramente, u(x,. Note que se w <, então, h(w = w g(sds =, pois, g(s = para s. Por outro lado, se w > 1, então, h(w = w g(sds = 1 g(sds = 1. Finalmente, se < w < 1, então, h(w = w g(sds = w ds = w. ogo, o gráfico de h(w é aquele que está mostrado na Figura. O gráfico de u(x,1 é mostrado na Figura 1, cada unidade no eixo vertical vale c. 45

46 Figura 19: Gráfico de g Figura : Gráfico de h(x. Figura 1: u(x,1 = h(x+1 h(x 1, (c = 1. Exercício.19 Considere uma corda infinita inicialmente esticada horizontalmente, com velocidade inicial u t (x, dada pela função cujo gráfico aparece na Figura 4. Supondo que c = 1, mostre que u(x,t = h(x + t h(x t, onde o gráfico de h é dado na Figura Figura : Gráfico de h. Solução. Da fórmula de D Alembert, u(x,t = h(x+ct h(x ct c, onde h(w = w g(sds. Note que se w < 1, então, h(w = w g(sds = 1 g(sds = 1 (1 + sds = 1. Se w > 1, então, h(w = 1 g(sds = 1 (1 sds = 1. Se < w < 1, então, h(w = w (1 sds = w w /. 46

47 Finalmente, se 1 < w <, então, h(w = w (1 + sds = w + w /. Portanto,.5, w 1 w + w /, 1 < w h(w =. w w /, < w 1.5, w > 1 Veja o gráfico de h na Figura Figura 3: Gráfico de h. Exemplo.5 Suponha que c = 1 na equação da onda e que a forma inicial da corda seja dada na Figura 4. Esboce os gráficos de u(x, t para t =.5,.5,.75, 1 e 1.5. Resolução. Os esboços seguem imediatamente da fórmula de D Alembert e são mostrados nas Figuras 4-9. Note que no instante t = 1 uma onda acaba de passar pela outra e a partir deste instante elas se movem independentemente Figura 4: u(x, = f(x. Figura 5: u(x,.5 = f(x+.5+f(x.5. 47