Análise matricial de estruturas não-lineares usando o Método de Newton.

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1 Anáise matricia de estruturas não-ineares usando o Método de Newton. Exercício Computaciona - MAP Primeiro probema 1.1 Descrição da estrutura não-inear Considere um sistema formado por três barras prismáticas de comprimento. A m)-ésima barra tem a área ma, para m = 1, 2, 3, onde A é uma constante dada a numeração das barras está aumentando da esquerda para a direita; veja figura 1 para uma descrição da geometria). No regime não-inear, a reação entre a tensão σ m e a deformação ε m na m)-ésima barra é dada por σ m ε m ) = E m ε m )ε m = E m0 1 + βε n m)ε m, 1) onde E m ε m ) = E m0 1 + βε n m) e E m0 é o móduo de easticidade da barra m) no regime inear. O coeficiente E m0 pode depender da barra m) em gera mas para os probemas que consideramos, E m0 é independente de m). Observe que β é um coeficiente adimensiona que pode ser positivo ou negativo, e que o caso β = 0 corresponde ao caso inear. O expoente n pode ser igua a 1 ou 2. A força norma na m)-ésima barra é dada por N m ε m ) = maσ m ε m ) = mae m0 1 + βε n m)ε m. 2) O primeiro e o utimo nó do sistema, referenciados com os números 3 e 4, estão boqueados. Os demais nós, referenciados com os números 1 e 2, estão ivres. Apicamos uma força 8P no nó 1 e uma força 7P no nó 2; veja figura 1. A imposição do equiíbrio dos nós fornece quatro equações; veja figura 2. Obtemos duas equações nos dois nós ivres: e obtemos duas outras equações nos dois nós boqueados: N 2 ε 2 ) N 1 ε 1 ) 8P = 0, 3) N 3 ε 3 ) N 2 ε 2 ) + 7P = 0, 4) N 1 ε 1 ) + R 3 = 0, 5) N 3 ε 3 ) + R 4 = 0, 6) onde R 3, R 4 são as reações de apoio nos nós 3 e 4. Substituindo as expressões 2) das forças normais nas Figura 1: Estrutura unidimensiona formada por três barras prismáticas de comprimento. As barras estão numeradas de 1) a 3), de esquerda para direita. Os nós 3 e 4 estão boqueados, enquanto os nós 1 e 2 estão ivres. 1

2 Figura 2: Equiíbrio dos nós para o sistema de três barras prismáticas da Figura 1. equações 3)-6), obtemos um sistema de quatro equações: 2AE 20 ε 2 + βε2 n+1 ) AE 10 ε 1 + βε n+1 1 ) 8P = 0, 7) 3AE 30 ε 3 + βε n+1 3 ) 2AE 20 ε 2 + βε n+1 2 ) + 7P = 0, 8) AE 10 ε 1 + βε n+1 1 ) + R 3 = 0, 9) 3AE 30 ε 3 + βε n+1 3 ) + R 4 = 0. 10) As deformações ε m nas barras são uniformes e estão reacionadas aos desocamentos dos nós da seguinte maneira ε 1 = u 1 u 3 = u 1, 11) ε 2 = u 2 u 1, 12) ε 3 = u 4 u 2 = u 2, 13) onde usamos o fato que u 3 = 0 e u 4 = 0, pois os nós correspondentes estão boqueados por hipótese. Substituindo 11)-13) nas equações 7)-10), podemos obter quatro equações para os desocamentos u 1 e u 2. No entanto, apenas as duas primeiras equações 7)-8) são necessárias para obter os dois desocamentos incógnitos u 1 e u 2. De fato, uma vez u 1 e u 2 cacuados, podemos cacuar ε 1 e ε 3 usando 11) e 13), e depois as equações 9)-10) servem apenas para cacuar as reações de apoio R 3 e R 4. Assim, substituindo 11)-13) em 7)-8), obtemos um sistema de duas equações que podemos escrever na forma compacta: Φu) = F, 14) onde u := u 1, u 2 ) e Φu) := 2AE 20 u 2 u 1 u 3AE β u 2 ) n+1 ) AE 10 u 1 + β u 2 u 1 ) ) n+1 2AE 20 + β ) ) u 1 n+1 ) ) n+1 u 2 u 1 + β u 2 u 1 e com o vetor F := ) 8P. 7P 1.2 Tarefas computacionais Para esse probema, usamos os dados seguintes: A = 0.5 cm 2, E 10 = E 20 = E 30 = E = kn cm 2, P = 5.0 kn, = 50.0 cm, n = Para n = 1, trace as curvas tensão-deformação 1) para m = 1 e β = 0.2, β = 1 e β = 2 no mesmo gráfico cada vaor de β corresponde a uma curva). Para n = 2, trace as curvas tensão-deformação 1) para m = 1 e β = 5, β = 25 e β = 125 num outro gráfico. 2. Impemente a iteração de Newton para esse probema, começando com u 0 = 0, 0). Em seu código, os cácuos devem ser escritos usando os parâmetros A, E, P, β,, n, para ter a possibiidade de aterar facimente esses parâmetros para testar várias situações. Comece com um primeiro teste escohendo β = 0, que corresponde ao caso inear. Nesse caso, o agoritmo deve fornecer a soução 2

3 Figura 3: Estrutura unidimensiona. Figura 4: Equiíbrio dos nós. em exatamente uma iteração. Para β = 0, cacue também as reações de apoio R 3, R 4, as forças normais N m, as deformações ε m e as tensões σ m, m = 1, 2, 3. Observe que quando β = 0, o vaor de n não importa. 3. Em seguida, resova o sistema não-inear 14) usando o método de Newton para n = 1 e β = 0.2. Em cada iteração k) do método de Newton, cacue os desocamentos u k) 1, uk) 2, as forças normais N m k), m = 1, 2, 3, e o resíduo Rk) := Φu k) ) F. Organize esses resutados em uma tabea com 6 counas. As inhas dessa tabea correspondem as iterações k). Verifique se a matriz de rigidez DΦu k) ) é simétrica. Verifique se o método de Newton está convergindo quadraticamente. Depois da convergência, cacue também as reações de apoio R 3, R 4, as deformações ε m e as tensões σ m, m = 1, 2, Execute a mesma tarefa que a anterior para β = 1 e β = 2 para n = 1). 5. Execute a mesma tarefa que a anterior, mas agora com o expoente de não-inearidade n = 2 e os vaores β = 5, β = 25 e β = 125. Discuta as diferenças/semehanças com o caso n = 1. 2 Segundo probema Consideramos a estrutura com 5 barras da Figura 3, onde a m)-ésima barra tem a aera ma, para m = 1, 2, 3, 4, 5. Nesse probema, a barra 1) tem o comprimento 2, enquanto o comprimento das outras barras é. Os graus de iberdade 4 e 5 são boqueados, enquanto os graus de iberdade 1, 2, 3 são ivres. Usamos os dados seguintes: A = 0.1 cm 2, = 20.0 cm, P = 2.0 kn, e E m0 = E = kn cm 2 para m = 1,..., 5. As tarefas para esse probema são: 1. Efetue as mesmas tarefas que as tarefas 2,3,4,5 do primeiro probema para os dois casos seguintes: n = 1, β = 5; e n = 2, β = 125. Observe que temos agora m = 1,..., 5, e três desocamentos u k) 1, uk) 2, uk) 2 que não são zeros, então os vetores Φu) e F têm três entradas, e a matriz de rigidez DΦu) é uma matriz Trace os gráficos das curvas das tensões e das deformações em função da carga P, nas barras com as maiores tensões de tração e de compressão, correspondendo aos maiores aongamentos e encurtamentos. Os gráficos devem ser traçados apenas para os dois casos seguintes: n = 1, β = 5 para P = 0,..., 1.6 kn); e n = 2, β = 125 para P = 0,..., 4.0 kn). 3

4 3 Método de Newton para sistemas não-ineares. Vamos descrever o método de Newton para determinação de raízes de funções F x) de R n em R n. Como no caso unidimensiona, parte-se de uma aproximação inicia x 0) para o vaor x R n ta que F x) = 0 e cacua-se a sequência x k+1) = x k) J 1 F xk) )F x k) ) onde J F x) é a matriz Jacobiana de F avaiada no ponto x. Para F de R n em R n,j F x) é dada por: f 1x) f 1x) f x 1 x x) f 2x) f 2x) f J F x) = x 1 x x) , f nx) x 2... f nx) x 1 f nx) onde f 1 x), f 2 x),..., f n x) são as componentes de F x). Na descrição da iteração do método de Newton aparece a inversa de J F x). Pode-se evitar a necessidade de inverter J F x) reescrevendo a iteração na forma: J F x k) ) x k+1) x k) ) = F x k) ). Assim, a cada passo do método de Newton resove-se o sistema inear J F x k) ) c k) = F x k) ) e cacua-se a nova aproximação como x k+1) = x k) +c k). Quando F é de casse C 2 e a matriz Jacobiana é não singuar na raiz de F ou seja, tem determinante não nuo), pode-se mostrar que o método de Newton converge quadraticamente para a raiz de F, desde que x 0) seja escohido suficientemente próximo da raiz. Você encontra mais informações sobre o método de Newton n-dimensiona nos ivros de Burden e Faires veja as informações gerais do curso) ou Isaacson e Keer Anaysis of Numerica Methods), disponíveis na Bibioteca do IME, ou mesmo através de uma busca na Internet. Programando o método de Newton A impementação do método de Newton requer rotinas para a avaiação de F x) e da matriz jacobiana J F x). Aém disso, deve-se resover um sistema inear a cada passo. Para a soução do sistema inear usaremos a decomposição LU da matriz. Descrevemos abaixo o agoritmo com pivotação parcia) para o cácuo da decomposição LU de uma matriz A eventuamente permutada), onde L é trianguar unitária ou seja, tem 1 s na diagona) inferior e U é trianguar superior. Dados n e uma matriz A n n) temos: Para k de 1 a n faça Observações: para i de k a n faça ai, k) = ai, k) k 1 j=1 ai, j) aj, k) Determine k ta que a, k) = max k i n ai, k) defina pk) = se k pk) troque inhas k e pk) da matriz A para j de k+1 a n faça ak, j) = ak, j) k 1 i=1 ak, i) ai, j) Ao fina do agoritmo a matriz L tem seus vaores abaixo da diagona principa armazenados nas posições correpondentes de A embre-se que a diagona de L é composta de 1 s). A matriz U tem seus vaores da diagona principa e acima desta armazenados nas posições correspondentes de A A decomposição LU cacuada corresponde à matriz A permutada. As permutações reaizadas estão armazenadas no vetor p definido no agoritmo. 4

5 Lembre-se que ao fina do agoritmo a matriz A foi modificada. Caso esta ainda seja necessária, uma cópia sua deve ser anteriormente sava. Somatórios de 1 a 0 e oops de n + 1 a n devem ser entendidos como vazios Voce deve impementar também um procedimento para resover um sistema Ax = b, que utiize a decomposição LU cacuada. Lembre-se que o vetor b deve ser permutado correspondentemente para ta use o vetor de permutações p). Testes Iniciais Use seu código para determinar o ponto de mínimo da função F x, y) = x 2) 2 + y 3) 2, cacuando para tanto o ponto onde seu gradiente se anua. Quantas iterações do método de Newton são necessárias para convergência?) Dada a função F x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 4x 1 x 2 + x 3 x 1 x 4, x 1 + 3x 2 2x 3 x 2 x 4, x 1 2x 2 + 3x 3 x 3 x 4, x x x 2 3 1), determine a raiz que se obtém peo método de Newton tomando x = 1, 1, 1, 1) como vaor inicia. Utiize o método de Newton para determinar soução do sistema n 1 n 1, cujas equações são x i 1 + 2x i x i+1 = exi, i = 1,..., n 1, n2 com x 0 = x n = 0, a partir da aproximação inicia nua. Teste para n = 20, 40 e 80) Instruções As anaises e resutados obtidos devem ser organizados em um reatório que deve minimamente discutir os probemas estudados e os resutados obtidos. O exercício deve ser feito em Python 3.x o mesmo usado nos cursos de MAC, veja mais detahes em O exercício pode ser feito em dupas, sempre com aguém da mesma área, não necessariamente da mesma turma. Apenas um auno deve entregar o exercício, destacando no reatório e código o nome de ambos os aunos. A entrega deve conter o reatório em.pdf), contendo a anáise do probema estudado, e o código usado para as simuações computacionais arquivos.py). A entrega pode ser feita em um arquivo compactado único. O seu código deve estar bem comentado e estruturado. A entrada e saída devem ser feitas de forma a ajudar o usuário a executar o programa e deve faciitar a anáise dos resutados. Incua quaquer arquivo adiciona necessário para o seu programa no arquivo compactado a ser entregue. Como o seu programa terá que er arquivos de entrada, considere que os mesmos encontram-se na mesma pasta executáve, ou soicite o caminho/nome do arquivo ao usuário. Você deve resover tanto os exercícios reativos à apicação, descritos na parte de Estruturas, quanto os testes descritos na seção anterior de Testes Iniciais. 5