Sist. Lin. I. Sistemas Lineares Introdução Definições Geometria Resolução Equivalência Eliminação de Gauss Após Escalonamento. Sist. Lin.

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1 Motivação - 1 o Exempo 1 a Parte Pauo Godfed Marco Cabra Probema: há dois tipos de moeda, indistinguíveis exceto peo peso As de materia X pesam 10 g cada e as de materia Y, 0 g cada Se um conjunto de 100 moedas pesa 15 Kg, quantas são do materia X? { x + y = x + 0y = 150 Departamento de Matemática Apicada Universidade Federa do Rio de Janeiro Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 1 / 0 Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ / 0 Motivação - o Exempo Motivação - 3 o Exempo Probema: a combustão do propano produz dióxido de carbono e água Encontre a, b, c e d de forma a baancear a equação da reação: a C 3 H 8 + b O c CO + d H O baanço de C: baanço de H: baanço de O: 3a = c 8a = d b = c + d 3a +0b 1c +0d = 0 8a +0b +0c d = 0 0a +b c 1d = 0 Probema: existe uma paráboa γ da forma y = ax + bx + c passando peos pontos (0, 1), (1, 3), (, ) e (3, 9)? (0, 1) γ 1 = a(0 ) + b(0) + c (1, 3) γ 3 = a(1 ) + b(1) + c (, ) γ = a( ) + b() + c (3, 9) γ 9 = a(3 ) + b(3) + c 0a +0b +1c = 1 1a +1b +1c = 3 a +b +1c = 9a +3b +1c = 9 Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 3 / 0 Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ / 0 Motivação - o Exempo Motivação Probema: o vetor (0, 6, 10) é combinação inear de (1,, 3), (, 1, 1) e (, 1, 3)? α(1,, 3) + β(, 1, 1) + γ(, 1, 3) = (α, α, 3α) + (β, β, β) + (γ, γ, 3γ) = (α + β + γ, α + β γ, 3α + β 3γ) = (0, 6, 10) 1α +β +γ = 0 α +1β 1γ = 6 3α +1β 3γ = 10 1 α β = γ 10 Quase todos os probemas da Ágebra Linear recaem na resoução de sistemas ineares As técnicas para resovê-os nos acompanharão por todo o curso A resoução de sistemas ineares está no coração de quase todos os softwares de computação científica Neste caso, os sistemas podem ter centenas de mihões de incógnitas Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 5 / 0 Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 6 / 0 Sistema m n (m equações em n incógnitas) Matriz m n (m inhas, n counas) a 11 x 1 +a 1 x +a 1n x n = b 1 a 1 x 1 +a x +a n x n = b a m1 x 1 +a m x +a mn x n = b m matriz aumentada {}}{ a 11 a 1 a 1n b 1 a 1 a a n b a m1 a m a mn b m } {{ }}{{} matriz de coeficientes ado direito A m n = = a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a m1 a m a mn a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a m1 a m a mn m inhas n counas Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 7 / 0 Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 8 / 0

2 Exempo 1: { 1x +1y = 1x 1y = 0 { 1x +1y = 1x 1y = Exempo : { 1x +1y = x +y = { 1x +1y = x +y = (0, ) (0, ) (0, 1) (, 0) (1, 0) (, 0) Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 9 / 0 Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 10 / 0 Conjunto-Soução Exempo Soução { 3: única Conjunto-soução: { {} 1x +1y = 1x +1y = x +y = x +y = Um sistema inear de equações tem sempre: Sem soução Conjunto-soução: { } = ou uma única soução; ou nenhuma soução; ou infinitas souções Compare com o caso não-inear: (0, ) Infinitas souções Conjunto-soução: {(x, y) x + y = } = {(t, t) t R} (, 0) Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 11 / 0 Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 1 / 0 Fáceis Fáceis Matriz de coeficientes diagona Conjunto-soução: Definição (matriz diagona) 3x 1 = 5 x = x 3 = {( )} 5,, 3 Matriz de coeficientes trianguar x 1 +x +3x 3 = x +x 3 = x 3 = Substituição para trás: x 3 = x 3 = 1 x +( 1) = 5 x = 3x 1 +() +3( 1) = x 1 = 1 A é diagona se a ij = 0 i j Definição (matriz trianguar superior) A é trianguar superior se a ij = 0 i > j Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 13 / 0 Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 1 / 0 Equivaentes Estratégia para Soução de Definição (sistemas equivaentes) Dois sistemas (nas mesmas variáveis) são equivaentes se têm o mesmo conjunto-soução Buscar sistema equivaente fáci : na forma escaonada ( tipo trianguar) ou na forma totamente escaonada ( tipo diagona) (0, ) ( 0, 3 ) (, 0) ( ) 3, 0 (3, 0) Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 15 / 0 Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 16 / 0

3 Operações Fundamentais 1 Trocar a ordem das inhas b b Mutipicar uma inha por um escaar não-nuo b α αb 3 Substituir inha por sua soma com mútipo de outra b + α 1 b + αb 1 Descartar inhas só de zeros ( 1 ) Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 17 / 0 Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 18 / Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 19 / 0 Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 0 / Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 1 / 0 Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ / x 1 = x = x 3 = 1 Conjunto-soução: {(,, 1)} Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 3 / 0 Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ / 0

4 Segundo Exempo Segundo Exempo 1x 1 + 1x + 1x 3 = 3 (eq 1) 0x 1 + 1x + 1x 3 = (eq ) 1x 1 + 1x + 0x 3 = (eq 3) Mas o que deu errado? operações fundamentais = sistemas equivaentes outras operações sistemas equivaentes x 1 = 1 x 1 = x 3 x 3 = 1 Conj-soução: {(1, t, 1) t R} Isto pode ser suti Examine este exempo até entendê-o É fundamenta ser sistemático! (eq 1) 1 + t + 1 = 3 t R FALSO!!! Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 5 / 0 Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 6 / 0 Pano de Ação para a Soução de Forma Escaonada Para onde vamos? Forma escaonada e forma totamente escaonada Como vamos? Agoritmo de eiminação de Gauss O que fazer quando chegarmos á? Soução de sistemas na forma totamente escaonada Definição (forma escaonada) Diz-se que uma matriz está (na forma) escaonada se o número de zeros no início de cada inha aumenta estritamente de uma inha para outra e não há inhas só de zeros Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 7 / 0 Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 8 / 0 Pivot Forma Totamente Escaonada Definição (pivot) Definição (forma totamente escaonada) São denominados pivots os primeiros eementos não nuos de cada inha de uma matriz escaonada Uma matriz escaonada está totamente escaonada se os seus pivots são todos 1 s e são os únicos eementos não-nuos de suas counas Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 9 / 0 Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 30 / 0 Parte I Forma Escaonada Parte II Forma Totamente Escaonada Descarte inhas só de zeros p (n o de inhas) k 1 Enquanto k < p, repita: Considere apenas as inhas k, k+1,, p Identifique a couna não nua mais à esquerda Troque inhas para obter pivot não nuo Anue as entradas abaixo do pivot, subtraindo de k+1, k+,, p mútipos de k Descarte inhas só de zeros p (n o de inhas) k k + 1 Execute a Parte I do agoritmo Repita, para k = p, p 1,, 1: Divida k peo seu pivot, tornando-o 1 Anue as entradas acima do pivot, subtraindo de 1,,, k 1 mútipos de k Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 31 / 0 Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 3 / 0

5 Exempo de Existência de Soução { 0 zero não-zero Notação: 1 um quaquer quantidade o caso: sistema totamente escaonado da forma Início da Parte I: escaonamento da matriz Descarte inhas só de zeros p k 1 Início do primeiro aço Considere apenas as inhas 1,, 3 e Identifique a couna não nua mais à esquerda Troque inhas para obter pivot não nuo 0x 1 + 0x + + 0x n = 1 sistema inconsistente conjunto-soução = { } subtraindo de, 3, mútipos de 1 Descarte inhas só de zeros p k Considere apenas as inhas, 3 e Exempos Identifique a couna não nua mais à esquerda Troque inhas para obter pivot não nuo Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 33 / 0 subtraindo Exempo (sistema de 3 e de inconsistente) mútipos de Descarte inhas só de zeros p k Considere apenas as inhas 0 30 e 1 Identifique a couna não nua mais à esquerda Troque inhas para obter pivot não nuo Exempo (sistema inconsistente) subtraindo de um mútipo de 3 Descarte inhas só de1zeros Descarte inhas só de0zeros p (n o de inhas) p k Fim da Parte I: matriz já está escaonada Início da Parte II: escaonamento tota k 3 Divida 3 peo seu pivot Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 35 / 0 Anue as entradas acima do pivot, subtraindo de 1, mútipos de 3 k Divida peo seu pivot Exempos Anue as entradas acima do pivot, subtraindo Exempo (sistema de 1 mútipos com soução de única) k 1 Divida 1 peo seu pivot Anue as entradas acima 0 do1 pivot 0 0 Fim da Parte II: a matriz0 está 0 totamente 1 11 escaonada Exempo (sistema com soução única) Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 3 / 0 Soução Única o caso: sistema totamente escaonado da forma x 1 = x = x n = conjunto-soução = {(,,, )} soução única Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 36 / 0 Infinitas Souções 3 o caso: sistema totamente escaonado não se enquadra nos casos anteriores { x = r Suponha conhecidos os vaores de x e x : x = s O sistema pode ser reescrito: 1x 1 = +3r 5s 1x 3 = s 1x 5 = Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 37 / 0 Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 38 / 0 Infinitas Souções cont Infinitas Souções cont 1x 1 = + 3r 5s 1x 3 = s 1x 5 = r e s conhecidos; sistema em 3 incógnitas: x 1, x 3 e x 5 : + 3r 5s s Soução única: ( + 3r 5s, s, ) Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 39 / 0 Sistema em x 1, x 3 e x 5 : Reintroduzindo x e x : x 1 = +3 r x = r 5 s x 3 = s x = s x 5 = x 1 = +3 r 5 s x = 0 +1 r +0 s x 3 = 0 +0 r s x = 0 +0 r +1 s x 5 = +0 r +0 s x 1 = +3 r 5 s x = 0 +1 r +0 s x 3 = 0 +0 r s x = 0 +0 r +1 s x 5 = +0 r +0 s Ágebra Linear II 008/ Prof Marco Cabra & Prof Pauo Godfed DMA / IM / UFRJ 0 / 0