SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS Álgebra III MATEMÁTICA DCET UESC Humberto José Bortolossi. Grupos e Subgrupos H H

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1 SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS Ágebra III MATEMÁTICA DCET UESC Humberto José Bortoossi Grupos e Subgrupos (Entregar todos os exercícios até o dia 14/04/2004 [01] Sejam (G, um grupo, a um eemento de G e H = {H G H<Ge a H} afamíia dos subgrupos de G contém a Mostre <a>= H, H H isto é, o subgrupo gerado peo eemento a é a interseção de todos os subgrupos de G contém o eemento a Concua <a>éo menor subgrupo de G contém a [02] Sejam n um número natura n>0ed = {k Z mdc(k, n =1} (o conjunto dos números inteiros reativamente primos com n Considere areação: r s em D se, e somente se, r s mod n (a Mostre é uma reação de equivaência em D (b Cacue U(1, U(2, U(3 e U(12, onde U(n representa o conjunto das casses de equivaência de D por (c Mostre a operação : U(n U(n U(n (r, s r s = r s está bem definida e (U(n, é um grupo (d A função de Euer é definida por Φ: N {0} N {0} n Φ(n =#U(n =número de eementos de U(n Cacue Φ(1, Φ(2, Φ(3 e Φ(12 1

2 (e Verifi se H = {1, 4, 11, 14, 16, 19, 26, 29, 31, 34, 41, 44} é subgrupo de (U(45, [03] Vimos em saa de aua o grupo (Z n, écícico, pois 1é um eemento gerador do grupo: < 1 >= Z n (a Mostre 3é outro gerador de Z 20 mas não é gerador de Z 24 (b Encontre todos os eementos geradores de Z 1, Z 2, Z 3, Z 12, Z 20 e Z 24 (c Mais geramente, mostre k é um eemento gerador de (Z n, se, e somente se, mdc(k, n = 1 Concua (Z n, temφ(n geradores, onde Φ é a função de Euer definida no exercício anterior [04] Considere a função de Euer Φ: N {0} N {0} n Φ(n =#U(n =número de eementos de U(n (a Mostre Φ(n =n 1 se, e somente se, n éumnúmero primo (b Mostre se p>0éumnúmero primo e n éumnúmero natura positivo, então Φ(p n =p n 1 (p 1 Soução Observe mdc(k, p n = 1 se, e somente se, p não divide k, istoé, k não émútipo de p Agora, os mútipos inteiros não-negativos de p são da forma m = k p, comk 0 A fim de 0 p =0 m p n 1=p n 1 p 1, devemos ter 0 k p n 1 1 Sendo assim, existem p n 1 mútipos inteiros não-negativos de p entre 0 e p n 1 Como existem p n números entre 0 e p n 1, concuímos Φ(p n =p n p n 1 = p n 1 (p 1 (c Mais geramente, se n>0 é um número natura e n = p e 1 1 pe 2 2 pe é a decomposição em fatores primos de n, mostre Φ(n =(p 1 1 p e (p 2 1 p e (p 1 p e 1 2

3 Soução Basta contar o número de números m entre 0 e n 1e subtrair do número tota de números entre 0 e n 1 (no caso, n Observe se m tem um fator comum com n, então m tem um primo comum com n Existem exatamente n/p i números entre 0 e n 1 são divisíveis por p i,poisosmútipos de p i neste intervao são 0, p i,2 p i,, (n/p i 1 p i Somos então tentados a concuir o número de números sem fatores em comum com n no intervao de 0 a n 1 seria n n p 1 n p 2 n p Contudo, isto não está correto em gera, pois contamos os números divisíveis por dois primos diferentes duas vezes e, assim, devemos adicionar todos os termos da forma n/(p i1 p i2, com i 1 i 2 Mas, fazendo isto, coocamos de vota parceas demais: devemos subtrair todas as expressões da forma N/(p i1 p i2 p i3, com i 1, i 2 e i 3 índices dois a dois distintos Prosseguindo com este raciocínio, concuímos Φ(n = n n + n n p i i1 p i1 p i2 p i1 p i2 p i3 1 i 1 i 2 i 1,i 2,i 3 distintos = n (1 1p1 (1 1p2 (1 1p = p e 1 1 (1 1p1 p e 2 2 (1 1p1 p e (1 1p1 = (p 1 1 p e (p 2 1 p e (p 1 p e 1, como ríamos (d Mostre se r>0es>0são inteiros primos entre si, isto é, se mdc(r, s =1,então Φ(r s =Φ(r Φ(s [05] (Tabea de Cayey Dado um grupo (G = {g 1,,g n }, comn eementos a tabea de Cayey do grupo é definida por g 1 g 2 g n g 1 g 1 g 1 g 1 g 2 g 1 g n g 2 g 2 g 1 g 2 g 2 g 2 g n g n g n g 1 g n g 2 g n g n 3

4 (a Cacue a tabea de Cayey dos grupos (Z 3,, (Z 3 {0}, e (S 3, (b Mostre o grupo é abeiano se, e somente se, sua tabea de Cayey ésimétrica (isto é, o eemento na i-ésima inha e j-ésima couna é igua ao eemento na j-ésima inha e i-ésima couna na tabea, para todo i, j =1,,n [06] Mostre (S 1, e(s 2, são os únicosgruposdepermutações abeianos [07] (Centro de um grupo Seja (G, um grupo O conjunto é denominado centro de G Z(G ={x G x g = g x, g G} (a Mostre Z(G é um subgrupo de G (b Cacue os centros de (Z, + e (S 3, (c Mostre (G, é abeiano se, e somente se, Z(G = G [08] (Subgrupo dos comutadores Seja (G, um grupo O conjunto G = {x y x 1 y 1 G x, y G} é denominado subgrupo dos comutadores de G (a Mostre, de fato, G é um subgrupo de G (b Cacue os subgrupos dos comutadores de (Z, + e (S 3, (c Mostre (G, é abeiano se, e somente se, G = {e} [09] Sejam (G, um grupo e H e K subconjuntos de G Mostre, através de um exempo, pode acontecer de HK = {h k G h H e k K} não ser um subgrupo de G mesmo quando H e K são subgrupos de G [10] Sejam (G, um grupo, S um subconjunto de G e H = {H G H<Ge S H} 4

5 afamíia dos subgrupos de G contém S Mostre <S>= H, H H isto é, o subgrupo gerado peo conjunto S é a interseção de todos os subgrupos de G contém o conjunto S Concua <S>éo menor subgrupo de G contém S Texto composto em L A TEX2e, HJB, 04/04/2004 5

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