Roteiro da aula. MA091 Matemática básica. Cálculo do mmc usando o mdc. Mínimo múltiplo comum. Aula 5 MMC e frações. Horas.

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Aurélio Cordeiro Sequeira
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1 Roteiro da aula MA091 Matemática básica Aula 5 MMC e frações. Horas. Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Março de Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25 Mínimo múltiplo comum MMC O mínimo múltiplo comum entre dois números naturais a e b é o menor número natural c que é múltiplo tanto de a quanto de b. Cálculo do mmc de 6 e 8: Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72,... Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96,... Múltiplos comuns a 6 e 8: 24, 48, 72, 96, 120, 144,... Mínimo múltiplo comum de 6 e 8: 24. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25 Cálculo do mmc usando o mdc mmc Dados dois números naturais a e b, dizemos que Cálculo do mmc de 42 e 105: mmc(a, b) = 42 = a b mdc(a, b). 105 = mdc(42, 105) = 3 7 = 21 mmc(42, 105) = = = 210. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25

tanto de a quanto de b. Cálculo do mmc de 6 e 8: Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72,... Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96,.

2 Cálculo prático do mmc O uso do mmc na soma de frações Cálculo do mmc entre 120 e 700: 120, e 700 são divisíveis por 2. 60, e 350 são divisíveis por ainda é divisível por 2. O valor 175 permanece inalterado. 30, , é divisível por 3. O valor 175 permanece inalterado. 5, e 175 são divisíveis por 5. 1, ainda é divisível por 5. 1, é divisível por 7. 1, 1 Os números restantes são iguais a 1. Paramos. Calculando : mmc(6, 8) = = = 6 4 e 24 = = = = O mmc entre 120 e 700 é igual a = Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25 O uso do mmc na subtração de frações Medidas de tempo Calculando : mmc(30, 84) = = /30 = 14 e 420/84 = = = = = Horas minutos e segundos No sistema internacional de unidades, medidas de comprimento e massa estão relacionadas através de múltiplos de 10. Já as medidas de tempo estão relacionadas através de múltiplos de minuto = 60 segundos 1 metro = 100 centímetros 1 hora = 60 minutos 1 centímetro = 10 milímetros Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25

1, 7 7 7 é divisível por 7. 1, 1 Os números restantes são iguais a 1. Paramos.

3 Soma de medidas de tempo com conversão de unidades Horário de chegada do ônibus O ônibus de João saiu da rodoviária de Campinas às 9 h 48 min. Se a viagem ao Rio de Janeiro tem duração prevista de 7 h 18 min, a que horas o ônibus deve chegar a seu destino? Horário de saída: Tempo de viagem: Horário de chegada: 9 h + 48 min = 9 h h + 18 min = 7 h h = 9 h + 0, 8 h = 9, 8 h h = 7 h + 0, 3 h = 7, 3 h. 60 9, 8 h + 7, 3 h = 17, 1 h = 17 h + 0, 1 60 min = 17 h 6 min. Soma direta Calcule 9 h 48 min + 7 h 18 min. 9 h 48 min + 7 h 18 min 16 h 66 min Como o número de minutos é superior a 60, fazemos a conversão Dessa forma, obtemos 66 min = 1 h 06 min. 16 h + 1 h + 6 min = 17 h 06 min. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25 Diferença de medidas de tempo com conversão de unidades Diferença do tempo de corrida Nas olimpíadas de 2012, Mo Farah correu 1000 m em 27 min 30,42 s. Já Christopher Thompson correu a mesma distância em 29 min 06,14 s. Qual a diferença de tempo entre os atletas? Tempo de Mo Farah: Tempo de Christopher Thompson: Diferença dos tempos: 27 min + 30, 42 s = s + 30, 42 s = 1650, 42 s. 29 min + 6, 14 s = s + 6, 14 s = 1746, 14 s. Diferença direta Calcule 29 min 06,14 s 27 min 30,42 s. Como 6,14 é menor que 30,42, fazemos a conversão Assim, obtemos 29 min 6, 14 s = 28 min + 60 s + 6, 14 s = 28 min 66, 14 s. 28 min 66, 14 s 27 min 30, 42 s 1 min 35, 72 s 1746, , 42 = 95, 72 s. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25

Horário de saída: Tempo de viagem: Horário de chegada: 9 h + 48 min = 9 h + 48 7 h + 18 min = 7 h + 18 1 h = 9 h + 0, 8 h = 9, 8 h. 60 1 h = 7 h + 0, 3 h = 7, 3 h.

4 Desigualdades Desigualdade Uma expressão com um dos símbolos <,, ou > é chamada desigualdade. Os números reais são ordenados, o que nos permite compará-los. Os reais podem ser representados como pontos sobre uma reta orientada, chamada reta real. Na reta real, o número 0 (zero) serve como referência, sendo denominado origem. Os números positivos são apresentados à direita da origem. Os números negativos aparecem à esquerda da origem. 1 a > b: a é maior que b se (a b) é um número positivo. 2 a b: a é maior ou igual a b se (a b) é positivo ou zero. 3 a < b: a é menor que b se (a b) é um número negativo. 4 a b: a é menor ou igual a b se (a b) é negativo ou zero. Se a > b, então a está à direita de b na reta real. Se a < b, então a está à esquerda de b na reta real. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25 Desigualdades duplas valor absoluto Exemplos 3 > 2 1 < , 73 12, 1 8 < 5 1 > , 2 7 8, 2 > 7 > 6, 5 3, 2 x < 1, 5 Observações Se a b c, então a c. Não se pode escrever 2 1 < 6, pois 2 6 não é correto. Não se pode escrever 5 a 3, pois 5 3 não é válido. Módulo A distância de um ponto x (sobre a reta real) à origem é denominada valor absoluto ou módulo do número x, e é representada por x. Assim, 3 = 3 e 3 = 3. a = a. Exemplos: 10 = 10, 5, 4 = 5, 4, π = π, 0 = 0. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25

Os números positivos são apresentados à direita da origem. Os números negativos aparecem à esquerda da origem. 1 a > b: a é maior que b se (a b) é um número positivo.

5 Exercício 1 Exercício 2 Calcule as expressões e simplifique o resultado quando possível. Determine o mínimo múltiplo comum entre 8, 12 e Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25 Exercício 3 Exercício 4 Dois ônibus chegaram a um ponto no mesmo horário. Se o primeiro passa a cada 18 minutos, e o segundo a cada 30 minutos, depois de quantos minutos eles voltarão a chegar no ponto no mesmo instante? 90 minutos João gastou 1/3 do dinheiro que possuía com um ingresso de cinema. Do dinheiro que restou, João gastou 1/4 comprando pipoca. Que fração do dinheiro total que João possuía foi gasta com a pipoca? Que fração do dinheiro sobrou depois desses gastos? A) Gastou 1/6 com pipoca e sobrou 1/2. B) Gastou 1/12 com pipoca e sobrou 1/6 C) Gastou 1/6 com pipoca e sobrou 1/6 D) Gastou 1/2 com pipoca e sobrou 1/2 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25

Se o primeiro passa a cada 18 minutos, e o segundo a cada 30 minutos, depois de quantos minutos eles voltarão a chegar no ponto no mesmo instante?

6 Exercício 5 Exercício 6 Converta 3,75 h para horas e minutos. Converta 2 h 24 min para horas. 3 h e 45 min 2,4 h Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25 Exercício 7 Exercício 8 Efetue as operações abaixo. 1 2 h 40 min 30 s + 2 h 22 min 35 s 2 2 h 12 min 1 h 40 min 1 5 h 3 min 5 s 2 32 min Quais desigualdades abaixo são verdadeiras? < > < < < 4 3 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25

1 2 h 40 min 30 s + 2 h 22 min 35 s 2 2 h 12 min 1 h 40 min 1 5 h 3 min 5 s 2 32 min Quais desigualdades abaixo são verdadeiras?

7 Exercício 9 Escreva os números abaixo em ordem crescente e marque-os na reta real. 2; 5; 2, 5; 8; 1, 5; π; 0; 4 5 e 3 4 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 25

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