Gabarito Extensivo MATEMÁTICA volume 1 Frente C

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1 Gabarito Extensivo MATEMÁTICA volume 1 Frente C 01) B Helô Bicicleta São João Regina Ônibus São Pedro Ana Moto Santo Antonio Corretas I e II 0) Basta calcular o MMC entre 1, 34 e = 40 Após 40 anos os planetas se encontrarão nas mesmas posições do momento da observação 03) Preferível transformar horas em minutos para facilitar os cálculos A: a cada h30min= 150 minutos B: a cada 4h = 40 minutos C: a cada 6h = 360 minutos MMC (150,40,360): = 3600 Portanto, depois de 3600 minutos vai ocorrer a coincidência de verificação dos sistemas de segurança: 3600 minutos = dias e 1 horas. Isto é, ocorrerá no dia 17/08/01 às h:

2 04) B 4.3 = = = 16 MDC(144,19,16) = 3.3 = 4 Total de cadernos que cada família recebeu: 144:4 = 6 extensão 05).3.5= =100 MDC(180,100) =.3.5 = = = =6.180+(180-60) 100= = (-1)100=60 (m,n)=(7,-1) O Par ordenado (m,n) é um par de número inteiros. 06) Divisores de 180: D(180) = 1,, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 1, 15, 18, 0, 30, 36, 45, 60, 90 Total: 18 divisores OBS: Podemos ainda calcular o número de divisores de outra maneira que pode ser mais eficiente na maioria das ocasiões. Decompor 180 em fatores primos

3 180= O Número possui 3 fatores primos. Os fatores e 3 possuem expoente e o fator 5 expoente 1. Para calcular o número de divisores de 180 basta somar 1 a cada expoente e efetuar a multiplicação: (+1).(+1).(1+1)=3.3.=18 divisores. 07) K = D(80) D(64) D(80): D(64): 80= = m.5 n Divisores de 80: (m+1)(n+1)=(4+1)(1+1)=10 K = D(80) D(64) K = 10-7=3 64= 6 = m Divisores de 64: m+1=7 8) B Do estudo de progressões aritméticas, utilizaremos as fórmulas: (A1 + A n )n Soma: Sn = Termo Geral: An = A 1 + (n 1)r onde, A1 = 1 A = 1, r = 1, 1 = 0, Sn = 63 (A1 + A n )n Sn = ( A1 + A 1 + (n 1)r ) n Sn = ( (n 1).0, ) n 63 = ( + 0, n 0,) n 63 =

4 16 = (1,8 + 0, n)n 0, n + 1,8n 16 = 0 ( 0, ) n 9n = n'=1 n =-30 (Não serve) portanto, n=1. 9) 100= MDC (100,60)=.5=0 Total de ramalhetes: 0 Em cada ramalhete tem-se: Brancas: = 5 Vermelhas: 60 0 = 3 10) B O mínimo múltiplo comum entre 6 e k deve ser um número múltiplo de obviamente. Agora, um múltiplo de 6 que seja maior do que 31 e menor do que 41 é somente o número 36 MMC(6,k)=36 11) N = ABCDE P = ABCDE1 Q = 1ABCDE P = 3Q ABCDE1 = 3(1ABCDE) Observe que o produto de 3 por E será um número com final 1. Nesse caso o único algarismo multiplicado por 3 que resulta num número de final 1 é o 7, pois 3.7=1. Assim, 1 possui no algarismo da dezena e no processo de multiplicação esse é acrescentado ao campo das dezenas. Então, agora 3 multiplicado por D mais resultara num número de dois dígitos com final 7. Isto é, 3D+=X7. Pelo menos motivo, qual algarismo que multiplicado por 3 e acionado com resulta num número de final 7? Observe as opções para compreender o processo: 3.1+=3+=5 3.+=6+=8 3.3+=9+= =1+= =15+= =18+=0 3.7+=1+=3 3.8+=4+=6 3.9+=7+=9

5 Temos que D=5, pois 3 multiplicado por 5 mais resultará num número (17) com final 7. Um cuidado especial é perceber que até agora, E=7, D=5 mas que o produto de 3 pela dezena D mais resultará num número de final 7 e 1 deverá ser acrescentado ao campo das centenas. Agora, 3 multiplicado por C mais 1 resultará num número de final 5. Observe as opções: 3C+1=_ =3+1=4 3.+1=6+1= =9+1= =1+1= =15+1= =18+1= =1+1= 3.8+1=4+1= =7+1=8 Assim, constatamos que C=8, isto é, o algarismo das centenas é 8. 1) a.b=5760 MDC(a,b)=8 Aplicando a fórmula que relaciona MMC com MDC obtemos: MMC(a, b).mdc(a, b) = a.b a.b 5760 MMC(a, b) = = MDC(a, b) 8 MMC(a, b) = 70 13) MMC(1,18,0)=.3 3.5=180 Os múltiplos de 180 são divisíveis pelos números 1, 18 e 0 simultaneamente que são: 180, 360, 540, 70,... sendo que apenas 360 e 540 estão entre 00 e 600 requerido no exercício. 14) C MMC(8,9,18)= 3.3 =7 7 é divisível simultaneamente por 8, 9 e 18. Isto é, o resto da divisão é zero. Para que o resto seja, basta adicionar ao 7 que fica 74.

6 15) C Biologia: 4 em 4 semanas Química: 5 em 5 semanas Física: 10 em 10 semanas MMC(4,5,10)=.5=0 Após 0 semanas o laboratório será utilizado simultaneamente. 16) A MMC(45,60)=4.9.5=180 Turma A: 45 em 45 minutos Turma B: 60 em 60 minutos Tempo de permanência no local: 8 horas A cada 180 minutos as turmas irão se encontrar. Ou melhor, a cada 3 horas. Como irão ficar apenas 8 horas no local, então as duas turmas irão se encontrar duas vezes, após 3 e 6 horas respectivamente 17) D Como o MMC (15,10,96,154)= e sempre sobram 7 parafusos, logo a quantidade é = unidades. 18) A Basta considerar o sentido de cada seta equivalente: Unidade = 4 Dezena = 1 Centena = 6 Milhar = Logo,.614 kwh

7 19) D Com 900 laranjas pode-se fazer 6 sacos de 35 unidades 6x35=910 e portanto sobrará laranjas. 0) B Homens = H Mulheres = M Primeira parada: H-1 e M-5: (H-1)= M-5 H-M=19 Segunda parada: (H-1)+18=M-5+ M-H=19 M + H = 19 M H = 9 M H = 9 M 8 = H = 8 M = 37 H = 8 M=H=65 1) B MMC(4,5,6)=60 30 dias = 70 horas 70 60=1. Ela iniciou tomando os remédios e durante os trinta dias mais 1 vezes tomou-os simultaneamente. Logo, 13 vezes ) a) 5, pois 5 x 7 = 35 que é numero máximo de pontos de falta gravíssima b) Grave: 5 pontos Média: 4 pontos Total 9. Após esses 9 pontos, no máximo será possível cometer 4 faltas gravíssimas, ou seja no máximo 8 pontos oriundos de falta gravíssima. 3) Pelo teorema fundamental da divisão: Q.D+R = 450, onde Q = Quociente D = Divisor R = Resto 450 = Dividendo R = 4Q+ D=R = 8Q+4 Q(8Q+4)+4Q + = 450 8Q +4Q+4Q = 448 Q +Q 56 = 0 Pela fórmula de Báscara, Q = 7 e D= 60 R = 30

8 4) x=7q+5 38q=5x+11 38q=5(7q+5)+11 38q=35q q=36 q=1 x=7q+5 x=7.1+5 x=89 5) Sendo x o número de folhas e y o número de selos, O número de folhas (x) menos que sobraram, multiplicando pelo número de selos de cada página deve ser igual ao número total de selos do álbum, ou seja, 0(x-)=y (1) O número de folhas (x) multiplicado por 15 selos mais 60 selos (que sobraram) é igual ao número de selos do álbum, ou seja, 15x+60=y () Isolando (1) e () temos: 0(x-)= 15x+60 0x-40=15x+60 0x-15x=60+40 x=0 folhas Aplicando x=0 na equação (), y=15x+60 y= y=360 selos 6) C, sendo com D=d.Q+R y=1.6+9 y=81 x= x=735 Logo, x tem que ser divisível por 7. 7) D tem que ser par, logo resta (1); 3 soma dos algarismos tem que ser divisível por 3, logo ( ) 3=6 3 resto ; 5 para ser divisível tem que terminar em 0 ou 5, logo resta 3; 9 soma dos algarismos tem que ser divisível por 9, logo ( ) 9=6 9 resta 8; 10 só é divisível uando terminar em zero. Assim, resta 3 Resposta (1,,3,8,3)

9 8) E D=dQ+R, onde D = 153-d; Q=1 e R=d d=d.1+(d-1) 153-d=1d+d-1 13d+d= d=154 D=11 Portanto, como R=d-1 R=11-1 R=10 9) C n= n=10(10 6-1) n=10( ) n=10(999999) = Das opções observe que 1=.3 indicando que 1 não é múltiplo de n, pois não é um dos fatores de n 30) d+q=8 Q=3d=(3.7)=1 R=(d-1) D=? Sendo d+q=8, d+3d=8 4d=8 d=8 4 d=7 31) x=1 e y=0 3x84y 3 (3++x+8+4+y) 3 5 y=0 ou y=5 y=0 3++x+8+4+0=x+17 (x+17) 3 para x = 1 (1+17) 3=18 3=6 y=5 3++x+8+4+5=x+ (x+) 5 para x =3 (3+) 5=5 5=5 Logo, os menores valores para x e y são x=1 e y=0 3) O resto da divisão de 50 por 7 é igual a 3. Sendo o resto da divisão de n por 7 igual a 7. Ao somarmos (3+7)=30, o resto da divisão de 30 por 7 é 3. Sendo n dividido por 7 sobra 7, onde para obtermos um número próximo divisível por 7 teríamos que acrescentar 0, e foi acrescentado 50: 0+7+3=50 Conclui-se que ao acrescentar 0 o número continua divisível por 7, sendo também 7. Logo ao acrescentar o número 3, este passou a ser o resto da divisão n+50 por 7. 33) x=? 5 o final tem que ser 0 ou 5 x=; x=7; x=17 9 soma dos algarismos divisível por 9. x= é divisível por 5. Mas =4 não é divisível por 9.

10 x=7 é divisível por 5. Mas =19 não é divisível por 9. x=17 é divisível por 5 e =8 é divisível por 9 logo x=17 34) As despesas do condomínio são divididas igualmente para todos os condôminos. Nessas condições, N = Número de condôminos V = Valor unitário de cada condômino = 36000/N Então é óbvio que NV = 36000, significando que o valor foi dividido igualmente a todos os envolvidos e cada um pagou devidamente. Ocorre que 5 condôminos deixam de pagar acarretando aumento de 40 reais para cada um dos pagantes. Assim, os que pagaram deverão quitar o débito de R$ 36000,00 ou seja, (N-5)(V+40)36000: NV = ` (N 5)(V + 40) = NV = V = N (N 5)(V + 40) = (N 5) + 40 = N (N 5)( N) = 36000N 36000N + 40N N = 36000N N 750 5N = 0 N ' = 30 N '' = 5 Como N=-5 não serve, temos que: N=30 35) Numa divisão D = Dividendo d = divisor q = quociente R = Resto D = d.q+r Com q = 5 D = 5d+R Para que a divisão tenha o maior resto possível, então o Resto deve ser igual ao divisor menos 1. Isto é, R = d - 1 D = 5d+R D = 5d+d 1 D = 6d 1 Mas, D + d = 6 D = 6 d Portanto,

11 6d 1 = 6 d 6d + d = d = d = 7 d = 9 D + d = 6 D = 6 d D = 6 9 D = 53 D d = 53 9 D d = 44 36) 04 Um número é divisível por 6 se for divisível por e por 3 ao mesmo tempo. Divisível por : Necessariamente o número n deverá ser zero ou par, ou seja: n =0, n=, n=4, n=6, n=8 Divisível por 3: A soma dos algarismos deverá ser divisível por 3 n n = 14 + n n = = 14 Não serve n = 14 + = 16 Não serve n = = é divisível por 3, logo n= n = = 0 Não serve n = = Não serve 37) x = 6; y = 1 Para ser divisível por 99, o número deverá ser divisível por 9 e 11 simultaneamenmte. Divisibilidade por 9: Algarismos de 3x45y8: 3 + x y = 8 = 0 + x + y = M(9) Múltiplo de x + y = 7 x + y = 7. Divisibilidade por 11. Soma dos algarismos de ordem impar (contando da direita para esquerda): x = 13 + x Soma dos algarismos de ordem par (contando da direita para esquerda): y = y + 7 PAR IMPAR: (13 + x) (y + 7) = 13 + x y 7 = 6 +x y. Pela divisibilidade por 11: 6 +x y = 11 x y = 5

12 Agora, da divisibilidade por 9 e 11 temos: x + y = 7 x y = 5 + x = 1 1 x = x = 6 x + y = y = 7 y = 7 6 y = 1 38) D Para ser divisível por 9 a soma dos algarismos deve ser múltiplo de 9: a + b = 16 + a + b. Para que 16 + a + b seja divisível por 9, então: 16 + a + b = 17 não serve 16 + a + b = 18 serve 16 + a + b = 19 não serve a + b = 7 serve Logo, como a soma deve ser máxima, então 16 + a + b = 7 a + b = 7 16 a + b = 11 39) B Para que o número 5x6 seja divisível por, 3 e 4 ao mesmo tempo, o número então deve ser par (divisível por ), divisível por 4 (terminar em 00 ou x6 divisível por 4) e por 3. Divisível por : OK, o número é par. Divisível por 4: x6: 16 x = 1 OK 7 x =... Como estamos procurando o menor valor, verificamos se com x = 1, o número 5x6 = 516 é divisível por 3. Observe que = 1 que é divisível por 3. Então, o número 516 é divisível por, 3 e 4 simultaneamente.

13 40)A Divisores de 56 entre 10 e 50: 16 e 3 Divisores de 160 entre 10 e 50: 10, 16, 0, 3 e 40 Divisores comuns (160,56) = 16 e 3 Cada capítulo pode ter 16 e 3 páginas, mas não temos condições de afirmação se é 16 ou 3. Logo, só é válida a opção A PODE TER 3 PÁGINAS. 41) C x multiplicado por 6: x.6 Subtrair 5: 6.x 5 Multiplicar por : (6.x 5). 6.x 5. Dividir por 7: ( ) 7 6.x 5. = 14 7 Resulta em 14: ( ) ( ) 6.x 5. = x 10 = x 10 = 98 1x = x = 1 x = 9 4) B Custo por quilômetro rodado: 1,3 0,13 10 = Total de quilômetros rodados: = 138 Custo com combustível: 138.0,13 Mas ainda existem as despesas com pedágios:,30 +,30 + 3,60 Expressão válida: 138.0,13 +,30 +,03 + 3,60 43) E 10mL = 0,1 litros Quantidade de xícaras: 331 bilhões. Como cada xícara é de 0,1 litros, então a quantidade de litros consumidos em 331 bilhões de xícaras é: 331.0,1 = 39,7 bilhões de litros. O Consumo foi aumentado em 1 5 : 39, de 39,7 = 39, ,7= 39,7 + 7,944 = 47,664 bilhões ou aproximadamente 48 bilhões 5 de litros.

14 44) B Pastilhas pretas P = 40 Custo P: = R$ 400,00 Pastilhas brancas B = 160 Custo de B: = R$ 1.80,00 Total de pastilhas: P +B = 00 Valor total: = R$ 1.680,00 Como foram gastos ao todo R$ 1.680,00 com o revestimento de 00 pastilhas, logo os custos unitários fica: , = 45) = = = = = = = = ) = = =

15 = + = = =. = ) 48 Primeiro herdeiro: A Segundo herdeiro: B Terceiro herdeiro: C B A = B = 3 3 C = A + B Total para A, B e C é 40, logo: A + B + C = 40 B + B + A + B = 40 3 B B + B + + B = B + 3B + B + 3B = B = B = 10 B = 7 B A = A = A = A = 48 Portanto, a parte do primeiro herdeiro é 48 reses. 48) 360 Total de refrigerantes: x Crianças: x Sobraram x x x x x = = Adultos: 1 de x = 1. x = x Sobram: 10 x x x x 6x x x x = x = 10 = x x = 10 = x = 360

16 50) 10 Tomates: x Domingo: Estragaram 1 8 de x x 8, restando x 8x x 7x x = = tomates bons Segunda: Estragaram mais 1 1 7x dos tomates bons:. = 7x Tomates estragados: Domingo + Segundo = x + 7x 8 4 Tomates bons: 70 x 7x x = x 7x x = x = x = 14 x = 10 51) C 1 x x Lúcia :. = x x Tânia :. = 3 6 As duas comeram a mesma quantidade. 5) Vinho inicial: V Bebeu V, restou V Completou com 1 V de água = + água Bebeu 1 V água 3 + Restou V água 3 + Completando com 1 3 de água: V água água = 3 V água água V + + = + água

17 Bebeu 1 V água e restou 5 V água Completando 1 5 V 1 de água água água , obtemos: 6 5V V 13 + água + água = + água Na relação 5 vinho 18 5 = = água vinho 5 = água 13 53) B x = 6000 x(serviço) = x(transporte) = Total gasto = = ) a) 4 = 0,8 = 80% Portanto, a produção de trigo do Estado A corresponde a 80% da produção de grãos 5 de A. b) Se 4 0,8 80% 5 = = = 0, 66 = 66% Logo, não podemos afirmar que a produção de trigo do Estado A é maior que a de B. 3 55) 1 p 1 p 1 p 1 p = = = = 1 1 q 3+ 4 q 7 + q 7 q p + q = = 19 56) E 150.3,5 = 55 3x + x = 55 5x = 55 x = 105 3x = 315 (homens) x = 10 (mulheres)

18 Se 40% dos candidatos aprovados: 10.0,40 = = 66 aprovados x X = 0,95% 66 Aprovados. 57) a) 80%.,00 = 1,60 b) = 50 melões antes das 10:00 hs , , 60x + 1,30(50 x) = , 60x ,30x = 461 0,30x = 36 x = 10 entre 10 e 11. Logo, após as 11h: = 130 melões. Resposta: Antes das 10h 50 melões Entre 10h 11h 10 melões Após as 11h 130 melões. 58) a) Companhia A: 10 passagens 1 grátis, logo pago 11 pelo preço de x 0,9090x 11 = Companhia B: Ganha 1 passagem a cada 9 pagas, logo pago 10 pelo preço de 9. 9 x = 0,9x 10 Resposta: A companhia B 1 Se A anda 40 menos: = x. = x x = 0, Sim, pois o preço ficará menor que a companhia B

19 59) B x 1º ) 8 3x º ) 8 x 3x 4x x + = = Resposta: B = metade do preço 60) AB = x 5 1 NB = x x x 1 8 4x 10x 3x NB = 4 11x NB = 4 61) a) = 5 = b) 1 = = ) D 0,6.17 = 10, 1 de 10,,04 litros de oxigênio 5 1 de,04 0,408 litros de oxigênio absorvido. 5 0, (uma hora) = 4,48 litros por hora. 63) a) 1 quilos 4 semanas 3q s 1kg 4 semanas q 8kg s X semanas 0,5q x s = 18kg Leva 7 semanas para perder 18kg

20 b) 7kg = = ,5x 68 = ,5x 0,5x = 5 x = 104 semanas 64) a) 3, x = 36, x = 366, x = 366, x = 36, x = x = x = 3 b), x = 3, x = 37, x = 37, x = 3,777 90x = x = x = 45 c) 1, = ) A A: ,85x B: 5 + 0,35x A > B: ,85x > 5 + 0,35 x 0,50x > 10 x > 0 A > B x < 0

21 66) Letra E = 68,001 mm 67) idem a questão 65 módulo A 68) D , , 036 0, 04 = +. = = + = = = 0, ) Se pulos do cachorro 3 pulos da lebre, logo 1 pulo do cachorro equivale à 1,5 pulos da lebre. Assim, 3 pulos do cachorro equivale a 3.1,5 = 4,5 pulos da lebre. A cada sequência de 3 pulos do cachorro ele se aproxima 4,5 4 = 0,5 pulos (da lebre). Sendo a distância entre eles igual a 50 pulos (da lebre), para vencer o cachorro deverá dar 50 = 100 sequências de 3 pulos 0,5 (do cachorro) ou seja, = 300 pulos. 70) C 1 dólar 1,8 reais 1000 dólares x x = 1800 reais 1 dólar 1,90 reais 1000 dólares x x' = 1900 reais Lucrou 100,00 71) a) 3 DVDs 0,00 cada,00 x 3 = 6, = 14,00 fixo b) y = x + 14 c) 71,00 y = x = x + 14 x = 57 Logo, consegue alugar 8 DVDs 57 x = x = 8,50 7) E x = 1, y = 0, x + y = 1, = = = = =

22 73) p q 4 11 p a) 0,44... = = = = q b b) = = = 3q ) (17, 5 1, 6 0,18) (8, 4 13, 4) (17, 5 7) (15) = 10,5 15 = 0, 7 75) 0,7 A 1,03 B,37 C 130 peças A 93, peças B 11,54 76 peças C 180,1 Total: 395,6 76) E m = 1,75n m(0) = 0 m(1) = 1,75 77) B 1 moeda 0,6 1 nota 0,17 1 moeda 0,6 x m 1000,00 x m = 3846,15 1 nota 0,17 x n 1000,00 x n = 588,35 x x 036 n m

23 78) E 9 18 = 4 x 9x = 7 x = = 10 bilhões de sacolas em 011. OBS: As sacolas diminuem proporcionalmente ano a ano. A cada ano diminui 18 = bilhões de sacolas. 9 De 007 a 011 são 4 anos, ou seja diminuirá. 4 = 8 bilhões de sacolas restando 10 bilhões. 79) B Volume Cilindro 1 V = πr h 1 V1 = π.13,5 V = 54π 1 Volume Cilindro V = V (r = h) 3 1 π r h = 54π π r.r = 54π r = 7 r = 3 Área rótulo 1 A = π..13,5 1 A = 54π 1 Área rótulo 1 A = π.3.6 A = 36π 1 A 36π = = A 54π 3 1 0,60. = 0, ) C 0,.0, ,14 0,04 0,10 = = = 1 0,5.0, 0,1 0,1 81) Uma situação seria: = = m p q m = 6 p = 3 0,001 q = 1 Para ser decimal exato, o denominador deve contar apenas fatores e 5. O número de casas decimais será determinado pelo maior expoente. Assim, q 1, m = 6 e p 3 ou q 1, m 6 e p = 3.

24 8) O número de algarismos na parte não periódica será determinado pelos fatores e 5 (o maior expoente). Assim, 5.11 m m n.17.q m = 7 n Z Menor soma natural: m + n = 0 83) 0, 50x + 1y +,50z = 0 (.) x + y + z = 10 x + y + 5z = 40 x + y + z = 10 ( ) y + 4z = 30 y = 30 4z x y z impossível impossível 1 7 Logo, fichas de R$ 1,00

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