Múltiplos e Divisores- MMC e MDC

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1 Múltiplos e Divisores- MMC e MDC Múltiplo de um número inteiro é o resultado desse número multiplicado por qualquer número inteiro. Definição: Para qualquer número a є Z, b є Z*, e c є Z, c é múltiplo de a se c a.b. Por ex: 12 é múltiplo de 4 pois é múltiplo de 3 também. Divisor de um número é o número que divide o outro número. Por ex: 4 é divisor de 12 porque 4 divide o 12. Números primos são números que, por definição, são divisíveis somente por 1 e por ele mesmo. Ex: 5 é um número primo porque ele só pode ser dividido por 1 e por 5. *** O número 1 não é primo nem composto porque ele só tem 1 divisor. Divisibilidade é a capacidade de ser dividido. ** Um número é par, quando é divisível por 2. Para ser um número par, basta que o último número seja par. EX: 3754 é par por causa do 4. Representação de qualquer número par: 2.n Representação de um número ímpar: 2n + 1. ** Um número é divisível por 3 e 9 se a soma dos algarismos que compõe o número for divisível por ele. EX: 132 é divisível por 3, pois (tem na tabuada de 3). 132 não é divisível por 9, porque não tem na tabuada do 9. ** Um número é divisível por 5 se o último número for 0 ou 5. Ex: 540 é divisível porque termina com 5.(Basta olhar a tabuada com atenção, notará que todos os números, ou terminam com 0 ou 5). ** Um número é divisível por 6 se tiver na tabuada de 2 e 3 ao mesmo tempo. Essa regra vale para o resto também. Por exemplo, se tiver na tabuada de 3 e 7, então é divisível por 21 também.

2 MMC Mínimo Múltiplo Comum entre vários números é o menor número que tem na tabuada de todos eles. Ex: Calcular MMC de 12, 15, e 18. O m.m.c. pode ser escrito em forma de fatores primos(porque usam números primos) como 2².3².5 ou 180 que dá na mesma. Dessa forma, 180 é o menor número que tem na tabuada de 12, 15 e 18 ao mesmo tempo M.D.C.- Máximo Divisor Comum entre vários números é o maior número que divide todos eles. Ex. Calcular M.D.C entre os números 12, 15 e 18. Observamos que a base 2 repete em todos e 3 também. O M.D.C é formado por bases que repetem em todos, com o menor expoente. Assim, m.d.c(12,15,18) 3 O M.M.C é formado por todas as Bases, se repetir, será com o maior expoente. M.M.C(12,15,18) 2².3² M.M.C. entre frações algébricas: 1º caso: Os denominadores não podem ser fatorados: 1 2x Ex: + Neste caso, m.m.c é produto desses dois denominadores, ou seja, basta x 1 x + 1 deixar indicado assim: 1( x + 1) + 2x( x 1) x x ( x 1)( x + 1) ( x 1)( x + 1) x + 1 ( x 1)( x + 1)

3 2º caso: Os denominadores podem ser fatorados: Neste caso deemos fatorar e ver o que acontece. Ex: 1 + x² x + 1 x² + 2x + 1 observamos que x² -1 (x+1)(x-1) e x²+ 2x + 1 (x+1)² Então o MMC, pega tudo e se repetir é o maior expoente: MMC (x+1)²(x-1) Resolvendo a operação: 1( x + 1) + 2( x 1)( x + 1) 1( x 1) 1 ²( x 1) ( x + ) x x + 1 ( x + 1 ) ²( x 1) ( x + 1)²( x 1) é a resposta. Problemas envolvendo M.M.C e M.D.C: Quando é M.M.C. a questão se refere em algum fato que ocorre periodicamente e a pergunta é sempre, quando acontece de todos serem ao mesmo tempo. Ex: Paulo foi ao médico por causa da forte infecção na garganta e o médico receitou os remédios para serem tomados da seguinte maneira: Antibiótico a cada 8 hs, analgésico a cada 12hs e antifebril a cada 6hs, se houver febre. Se Paulo tomou os três remédios nesse instante, daqui a quanto tempo ele tomará os três remédios no mesmo horário? Como o ato de remédio repetem de tempos em tempos, é o caso de M.M.C Fazendo os cálculos, a resposta é M.M.C(8, 12, 6) 24 horas. Exercícios: 1.A passagem conjunta de dois cometas pela terra acontece a cada anos. Se o período de um deles é de 120anos, então o período do outro cometa é: 2. Suponhamos que o Presidente de uma multinacional tenha mandato de trabalho colocado por força maior, este tempo é de 4 anos, os assessores deles também tem este mandato que é de 6 anos e os auxiliares tem o mesmo mandato de 3 anos. Se em 2001 houve eleição interna nesta empresa, por voto de todos os colaboradores, para os 03 cargos, em que ano se realizarão novamente e simultaneamente as eleições para esses cargos? 1. Um determinado soldado trabalha em escala 12/24 e outro soldado trabalha em escala 9/18. Após quantas horas os dois irão se encontrar novamente

4 Resposta: 1)19 2) ) 108 MDC envolve uma divisão em partes iguais, de maior quantidade possível. Ex1 (U.E Londrina-PR) Para levar os alunos de certa escola a um museu, pretende-se formar grupos que tenham quantidades iguais de alunos, de modo que em cada grupo todos sejam do mesmo sexo. Se nessa escola estudam 1350 rapazes e 1224 garotas e cada grupo deverá ser acompanhado de um único professor, o número mínimo de professores necessários para acompanhar todos os grupos nessa visita é: formar grupo significa dividir uma certa quantidade em tamanhos menores. Como a escola quer o número mínimo de professores, significa que ele tem que tomar conta de número máximo de alunos. Logo, é MDC entre 1350 e 1224 MDC(1350, 1224) 2.3² 18 Serão necessários 18 professores Exercícios: 1.Num quarteirão de 108 metros de comprimento existem 3 árvores plantadas, sendo uma em cada extremidade e a terceira a 60 metros de uma das extremidades.qual o número mínimo de árvores deverão ser plantadas neste quarteirão de modo que as distâncias entre as árvores fique sempre a mesma? 2. Um carpinteiro deve cortar três tábuas de madeira com 2,40 m; 2,70 m e 3 m respectivamente, em pedaços iguais e de maior comprimento possível. Qual deve ser o comprimento de cada parte? Respostas: 1) 12 2) 30cm

5 (Mackenzie-SP) 1. Na construção de um dique, foram utilizadas 90 toneladas de terra, acondicionadas em sacos plásticos de 5 litros. Considerando que cada cm³ de terra pesa 3 gramas, a menor quantidade necessária de sacos para a construção do dique foi de: 1litro 1000cm³ 5l 5000cm³, como 1cm³ 3g então 5000cm³ 15000g15kg 90 ton kg, essa massa deverá ser colocada em pacotes que cabem 15kg Temos : Deseja-se acondicionar 2004 bolas de tênis em caixas de mesma capacidade, de modo que cada caixa contenha o número de boas determinado por sua capacidade. Dispõe-se de vários tipos de caixas, desde o tipo com capacidade para apenas 1 bola até o tipo com capacidades para todos as bolas. Nessas condições, o número de todos os possíveis tipos de caixas para acondicionar as 2004 bolas é: Uma vez que a questão admite colocar em várias caixas, os 2004 bolas, sugere que haverá divisão. Por outro lado, diz que pode colocar desde 1 bola até todas as bolas. Então é quantidade de divisores. D(2004) {1,2,3,4,6,12,167,334,501,668,1002,2004} Resposta: (Mackenzie-SP) A soma de dois números inteiros positivos, a e b, é 43. Sabe-se que MDC(a,b).MMC(a,b) 190, o valor absoluto da diferença desses números é: a) 25 b) 33 c) 41 d) 49 e) (Mackenzie-SP) A água de um reservatório é drenada por meio de 2 encanamentos, ligados a diferentes bombas. O volume de água drenada pelo primeiro encanamento é de 30 l/min e pelo segundo encanamento é de 70l/min. A quantidade de água, em litros, drenada do reservatório por um período de 12 horas é: a) b) c) d) d) (PUC-SP) Um grupo de pessoas, entre elas Mali, está sentado em torno de uma grande mesa circular. Mali abre uma caixa com 21 bombons, se serve de um deles e em seguida, a caixa é passada para sucessivamente para as pessoas ao redor da mesa, de modo que cada uma se sirva apenas com um único bombom e passe a caixa com os bombons para a pessoa sentada a sua direita. Se a Mali pegar o

6 primeiro e o último bombons, considerando que todos podem ter se servido da caixa mais de uma vez, quantas pessoas estavam sentadas ao redor da mesa? 4. (Unicamp-sp) Sabe-se que o número natural D, quando dividido por 31, deixa resto r є IN e que o mesmo número dividido por 17, deixa resto 2r. a) qual é o maior valor possível para o número natural r? Se o primeiro quociente for igual a 4 e o segundo quociente for igual a 7, calcule o valor numérico de D. Resposta: 1) 33 2)d 3) 10 4.a) 8 b) 129

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