Roteiro da aula. MA091 Matemática básica. Aula 11 Equações e sistemas lineares. Francisco A. M. Gomes. Março de 2015
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- Lorena Garrido Vilarinho
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1 Roteiro da aula MA091 Matemática básica Aula 11 Equações e sistemas lineares 1 Francisco A. M. Gomes 2 UNICAMP - IMECC Março de Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26 Equação linear Definição Uma equação é dita linear ou de primeiro grau se é equivalente a ax = b, em que a e b são constantes reais, com a 0. têm uma, e apenas uma, solução. Quando a equação está na forma ax = b, essa solução é x = b/a. 1 3x = 0 3x = 1 6 = x x 2 = 4 3(x 5) = 2(4 6x) 15x = 23 Roteiro para a solução de equações Roteiro 1. Compreenda o enunciado. Extraia os dados fornecidos pelo enunciado. Defina uma variável e atribua a ela um nome ou letra. Se necessário, monte uma tabela ou faça um desenho. 2. Relacione os dados do enunciado à variável. Traduza as palavras em expressões que envolvam a variável. Defina uma equação que relacione essas expressões. 3. Encontre o valor da variável. Resolva a equação. Escreva a resposta na unidade apropriada. 4. Confira o resultado. Confira se o valor obtido para a variável resolve a equação. Verifique se a resposta faz sentido. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26
2 Exemplo 1 Exemplo 1 Aluguel de um carro Para alugar um carro pequeno, a locadora Saturno cobra uma taxa fixa de R$ 40,00 por dia, além de R$ 0,75 por quilômetro rodado. Lucas alugou um carro e devolveu-o após dois dias, pagando R$185,00. Quantos quilômetros ele percorreu com o carro? 1 Dados do problema. Taxa fixa: R$ 40,00 por dia Taxa variável: R$ 0,75 por dia Duração do aluguel: 2 dias Custo do aluguel: R$ 185,00 incógnita: x = distância percorrida por Lucas (em km). 2 Relacionando os dados à variável. Parcela fixa do aluguel: Parcela variável do aluguel: Equação. 40 (R$/dia) 2 (dias) = R$ 80. 0, 75 (R$/km) x (km) , 75x = } {{ } 185 custo fixo custo variável valor pago Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26 Exemplo 1 Exemplo 2 3 Resolvendo a equação , 75x = 185 0, 75x = 105 x = 105/0, 75 x = Conferindo o resultado , = = 185 (Ok!) Divisão de uma conta Três amigos levaram suas respectivas famílias para almoçar em um restaurante. Na hora de pagar a conta de R$ 192,00, Marta decidiu contribuir com R$ 10,00 a mais que Vítor, já que havia pedido uma sobremesa. Além disso, por ter uma família menor, Taís pagou apenas um terço do valor devido por Vítor. Quanto cada amigo desembolsou no almoço? 1 Identificando a incógnita. x = valor gasto por Vítor (em reais). Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26
3 Exemplo 2 Exemplo 2 3 Resolvendo a equação. 2 Relacionando os dados à variável e montando a equação. Valor gasto por Marta (em reais): Valor gasto por Taís (em reais): Total da conta: R$ 192. Equação: x + x + 10 } {{ } Vítor Marta x + 10 x/3 + x/3 Taís = 192 total 2x + x = 192 7x 3 = 182 x = x = 78. Vítor gastou R$ 78,00. Marta desembolsou = R$ 88,00. Taís gastou 78/3 = R$ 26,00. 4 Conferindo o resultado = 192 (Ok!) Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26 Equação linear em duas variáveis Equação linear em duas variáveis Definição Uma equação nas variáveis x e y é dita linear se é equivalente a ax + by = c, em que a, b e c são constantes reais, com a 0 ou b 0. 2x = y 12 8y + 5x = 0 x 2 5y 3 = 4 y = 6x 9 4 Uma equação em duas variáveis tem infinitas soluções. Ex: x + y = 120 ( x = 120 y ) Para que x e y sejam únicos, é preciso definir outra equação. Ex: Obtemos, assim, um sistema de duas equações lineares: Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26
4 Equação linear em duas variáveis A solução do sistema é o par (x, y) que satisfaz as 2 equações. Exemplo: o par formado por x = 64 e y = 56 é solução de Conferindo: x + y = 120 Equação = 120 Substituição de x e y. 120 = 120 Ok. A equação foi satisfeita. Equação = 8 Substituição de x e y. Passo 1 Escolha uma das equações e isole nela uma das variáveis. Isolando x na primeira equação: x + y = 120 Equação 1. x + y y = 120 y x = 120 y Subtração de y dos dois lados. x isolado. 8 = 8 Ok. A equação foi satisfeita. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26 Passo 2 Na outra equação, substitua a variável isolada pela expressão encontrada no Passo 1. { x = 120 y Escrevendo a segunda equação somente em relação a y: Equação 2. (120 y) y = y = 8 Substituição de x por 120 y. Equação que só depende de y. Passo 3 Resolva a equação resultante para encontrar a segunda variável. { x = 120 y 120 2y = 8 Resolvendo a segunda equação para encontrar y: 120 2y = 8 Equação em y y = Subtração de y = 112 2y 2 = y = 56 Equação simplificada. Divisão por 2. Solução da equação. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26
5 Passo 4 Substitua o valor encontrado no Passo 3 na expressão obtida no Passo 1, para determinar a primeira variável. { x = 120 y y = 56 Substituindo y = 56 na primeira equação para encontrar x: x = 120 y Equação com x isolada. x = Substituição de y por 56. x = 64 Solução da equação. Solução do problema: x = 64 e y = 56. Passo 5 Confira se a solução encontrada satisfaz as duas equações. Substituindo x = 64 e y = 56 nas duas equações: { = = 8 { 120 = = 8 ok! Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26 Exercício 1 Exercício 2 Corte de fio Um eletricista precisa cortar um fio de 6 m de comprimento em dois pedaços, de modo que um tenha 40 cm a menos que o triplo do outro. Qual deve ser o comprimento do pedaço menor de fio, em centímetros? 160 cm. Dimensões de um terreno A largura (l) de um terreno retangular é igual a um terço de seu comprimento (p). Se o perímetro do terreno é igual a 120 m, determine sua largura, em metros. (Lembre-se de que o perímetro do terreno é igual a 2l + 2p). 15 m. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26
6 Exercício 3 Exercício 4 Renda familiar Somando os salários, um casal recebe R$ 1760 por mês. Se a mulher ganha 20% a mais que o marido, quanto ele recebe mensalmente? R$ 800. Pontos de basquete Em uma partida de basquete, todos os 86 pontos de um time foram marcados por apenas três jogadores: Adão, Aldo e Amauri. Se Adão marcou 10 pontos a mais que Amauri e 9 pontos a menos que Aldo, quantos pontos marcou Adão? 29 pontos. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26 Exercício 5 Mesada Um pai distribuiu uma certa quantia para seus três filhos da seguinte maneira: O primeiro recebeu 1/3 da quantia. O segundo recebeu 2/3 do que restou após o primeiro receber. O terceiro recebeu R$ 200,00. Qual foi a quantia distribuída? A) R$ 800 B) R$ 900 C) R$ 1000 D) R$ 1200 E) R$ 1500 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26 Exercício 6 Sistema linear Qual o valor de x que resolve o sistema abaixo? { 5x 2y = 10 3x + 4y = 8 x = 4. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26
7 Exercício 7 Exercício 8 Produção de bolos Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa: A e B. Cada quilograma do bolo do tipo A consome 0,4 kg de açúcar e 0,2 kg de farinha. O bolo do tipo B consome 0,2 kg de açúcar e 0,3 kg de farinha para cada quilograma produzido. No momento, a confeitaria dispõe de 10 kg de açúcar e 6 kg de farinha. Se a confeitaria pretende gastar toda a farinha e todo o açúcar de que dispõe, quantos quilogramas de bolo do tipo B devem ser produzidos? Produção de doces Uma doceira vende dois tipos de bombons: o normal e o trufado. Cada bombom normal custa R$ 2,00, enquanto o trufado sai por R$ 3,00 a unidade. Ontem, a doceira vendeu 200 bombons e obteve R$ 460,00. Quantos bombons normais ela vendeu? 140 bombons normais. 5 kg. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / 26
3 Exercícios. 2 Equação que fornece o custo do aluguel: y = 80 + 0, 75x. 3 Equação que fornece o dinheiro disponível: y = 185
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