FUNÇÕES. 1. Equação. 2. Gráfico. 3. Tabela.

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1 FUNÇÕES Em matemática, uma função é dada pela relação entre duas ou mais quantidades. A função de uma variável f(x) relaciona duas quantidades, sendo o valor de f dependente do valor de x. Existem várias formas de representar uma função. As mais comuns são: 1. Equação.. Gráfico. 3. Tabela. No Excel, essas três representações estão presentes, estando a equação e o gráfico associadas a uma tabela. As equações são sempre fórmulas e envolvem a relação de dependência entre duas células. Desse modo, para descrever uma equação no Excel é sempre necessário fazer REFERÊNCIA A UMA OUTRA CÉLULA. Por exemplo, considere a função y = 1. Para representa-la no Excel, primeiro montamos uma tabela x com alguns valores de x (colocados na coluna A), enquanto que em B é colocada a equação. Assim: Por padrão, considere sempre a 1ª coluna contendo os valores de x e a ª com os de y. Se a tabela for horizontal, a linha de cima deve conter os valores de x e a de baixo os de y. A função é y = 1/x, mas NÃO se coloca = 1/x na célula. No lugar do x deve ir o endereço da célula que abriga o valor do x. Lembre-se que cada célula corresponde a um valor diferente de x. Assim, o endereço da célula deve ser atualizada. Não esqueça do sinal de =. Como resultado, o Excel apresentará a seguinte tabela: A partir da tabela é possível plotar um gráfico do seguinte modo: 1. Selecione as colunas x e y da tabela.. No menu de opções, escolha inserir. 3. Procure na aba Gráficos por Inserir Gráfico de Dispersão

2 4. O que mais usaremos serão as opções Dispersão e Dispersão com Linhas Suaves. 5. Abaixo um exemplo do gráfico Dispersão obtida para a função y = 1 x : Considere a seguinte planilha: EXEMPLO Os valores de x são colocados na coluna A. Como deve ser preenchida a célula B (para posterior cópia para as células de baixo) tal que a coluna B corresponda às seguintes funções dadas para y? a) y = x b) y = 5x 3 c) y = x 3 d) y = cos x + sen x

3 Solução: A ideia básica é bastante simples. Basta substituir o x, que é variável independente da função pela célula A, correspondente aos valores de x. As demais operações (multiplicação, exponenciação, radiação, etc.) seguem o padrão do Excel. y = f(x) No Excel a) y = x B = *A b) y = 5x 3 B = 5*A^3 c) y = x 3 B = A^(3/) d) y = cos x + sen x B = COS(A) + SEN(A) Lembre-se que as funções do Excel sempre contêm parêntesis. Quando há somente um termo no cosseno, não precisamos colocar o parêntesis na escrita convencional, porém, no Excel, os parêntesis são obrigatórios. NUNCA coloque x (como B = *x, por exemplo), as funções sempre indicam o ENDEREÇO da célula que abriga os valores de x. Lembre-se que toda radiciação pode ser escrita como uma exponenciação cujo expoente é uma fração. No caso específico de uma raiz quadrada, há uma função RAIZ(). Assim, a função também poderia ser escrita como B=RAIZ(A^3)

4 EXERCÍCIOS FUNÇÕES Para entregar: ou mais estrelas. 1. ( ) Considere a seguinte planilha: Os valores de x são colocados na coluna A. Como deve ser preenchida a célula B (para posterior cópia para as células de baixo) tal que a coluna B corresponda às seguintes funções dadas para y? a) y = 3x b) y = x + 3 c) y = 1 x 3 d) y = e 3x e) y = ln (cos x) f) y = x 3 + x + x. ( ) Dada a mesma tabela fornecida no exercício 1, complete o quadro indicando a quais funções correspondem as fórmulas colocadas na célula B. No Excel y = f(x) exemplo B = A^3+1 y = x a) B = EXP(A/3) b) B = LN(4*A) c) B =1/A^(3/4)+1 d) B=COS(1/A+1) e) B=A^3/+RAIZ(A) f) B=SEN(3*A)^ 3. ( ) Considere uma tabela em que os valores de x são colocados na coluna A, enquanto os valores de y são colocados na coluna B, a partir da célula B. Nestas circunstâncias, complete a tabela abaixo: No Excel a) B = A^(1/3)+1 b) B = EXP(A/3)+A^5/ c) B = A^ + LN(COS(A^)) y = f(x) d) y = cos(x) + sen(x) 4 e) y = x 3 f) y = x

5 FUNÇÃO DE 1º GRAU A função de 1º grau se caracteriza por sua forma matemática: f(x) = ax + b onde a é o coeficiente angular ou inclinação da reta e b é o coeficiente linear. Graficamente, no plano cartesiano, uma equação de 1º grau é sempre representada por uma reta. Sabendo os valores de a e b é possível fazer um esboço do gráfico com as seguintes informações: a: determina a inclinação da reta. o se a < 0, a reta é decrescente. o se a > 0 a reta é crescente b: determina a altura da reta, não alterando a sua inclinação. O valor de b é o ponto onde a reta cruza com o eixo y. A partir de um gráfico ou de uma tabela é possível extrair a equação de uma reta. São necessários dois pontos quaisquer da reta. Abaixo segue o procedimento padrão para a obtenção da equação da reta: 1. Escolha dois pares de pontos (x 1, y 1) e (x, y ) do gráfico ou da tabela.. Calcule a inclinação da reta pela fórmula: a = y y 1 x x 1 3. Usando um par de pontos conhecido (pode ser o par x 1, y 1 ou o par x, y ) da função e a inclinação da reta recém calculada, determine b. y = ax + b y 1 = ax 1 + b b = y 1 ax 1 Obs: No caso de gráficos, o b pode ser visualmente identificado. É o ponto em que a função cruza com o eixo y. Em uma tabela, o valor de b é dado pelo valor de y correspondente ao x = 0 (caso este esteja indicado na tabela). EXCEL: AJUSTE LINEAR (PARA FUNÇÕES DE 1º GRAU) 1. Faça um gráfico do tipo Dispersão.

6 . Clique com o botão direito do mouse sobre um dos pontos do gráfico. 3. Clique em Adicionar Linha de Tendência Selecione a opção Linear (que normalmente já está selecionada por padrão). Habilite a caixa Exibir Equação no Gráfico : Selecione o tipo linear Habilite a caixa Exibir Equação no gráfico

7 5. Como resultado, aparecerá uma equação que melhor se ajusta ao conjunto de dados e uma linha indicando o gráfico correspondente àquela função de 1º grau. EXEMPLOS 1. Determine a equação da reta representada pelos gráficos abaixo: a) b) Y X Solução: Para os dois itens, seguiremos os passos descritos anteriormente, ou seja, identificaremos dois pares de pontos, calcularemos a inclinação da reta a e depois o coeficiente linear b. a) No gráfico deste item, podemos escolher qualquer pares de ponto que estejam NA RETA da função. Alguns pontos são mais fáceis de determinar os valores de x e y. Por exemplo: Y X Escolhendo este como o sendo o primeiro ponto temos: x 1 = e y 1 = 16 Segundo ponto: x = - e y = 4 Executando o passo (), calculamos o coeficiente angular:

8 a = y y 1 x x 1 Cuidado para não inverter os termos. Se escolhermos y = 4, então obrigatoriamente x = -. Como a escolha dos pontos é arbitrária, poderíamos ter escolhido o par (-, 4) como sendo x 1 e y 1 que a resposta seria a mesma. O importante é NÃO INVERTER as coordenadas dos pares escolhidos. a = 4 16 ( ) a = 1 4 = 3 Repare que pelo gráfico, já podemos identificar o valor b que é o ponto de cruzamento da reta com o eixo y: Y X Ponto de cruzamento da reta com o eixo y. Valor de b = 10. Calculando pela fórmula, chegaríamos na mesma resposta: Assim, a equação da reta será: b = y 1 ax 1 b = b = 16 6 = 10 y = 3x + 10 b) O procedimento neste caso é exatamente o mesmo. Só é preciso tomar cuidado na identificação dos pares. O 6 é o valor de y quando x É IGUAL A ZERO, enquanto que o 10 é o valor de x quando y É IGUAL A ZERO. Embora parece óbvio quando é dito, é muito comum haver confusão e fazer x 1 = 10 e y 1 = 6 e depois achar que faltam dados no exercício. Assim: x 1 = 0 e y 1 = 6 x = 10 e y = 0 E o resto do procedimento é o mesmo (muito cuidado para não inverter a ordem dos pares): E a resposta será: a = y y 1 x x 1 = = 6 10 = 0,6 b = y 1 ax 1 = 6 ( 0,6). 0 = 6 y = 0,6x + 6

9 . Em um experimento de queda livre, desejava-se medir a aceleração da gravidade. O aparato experimental foi montado de acordo com o esquema: O corpo C é metálico e é mantido em suspensão até que o eletroímã seja desligado. Quando isso acontece, o corpo inicia o movimento em queda livre passando pelo primeiro sensor óptico que dispara o cronômetro. O segundo sensor encerra a contagem. Sendo y a distância percorrida pelo corpo, e t o tempo que ele leva para percorrer y, foi obtido o segundo conjunto de dados: t (s) 0,15 0, 0,8 0,33 0,43 0,47 y (cm) Sabendo que a equação da queda livre é dada por: y(t) = 1 gt Determine o valor da gravidade, utilizando os dados da tabela. Solução: A primeira coisa que podemos notar é que a função correspondente à queda livre não é uma função de 1º grau. Porém, como possui apenas um termo, podemos transformar essa equação em uma função de 1º grau, fazendo a substituição x = t. Assim, a tabela, com o termo x, pode ser refeita: Se considerarmos a substituição, a equação da queda livre ficaria: y(x) = 1 gx Assim, temos uma equação de 1º grau. Se fizermos um gráfico da ª linha da tabela (x) com a 3ª linha (y), esperamos obter uma reta, já que é uma equação de 1º grau. O gráfico de dispersão seria:

10 y (cm) ,05 0,1 0,15 0, 0,5 Podemos observar que embora os pontos estejam mais ou menos alinhados, eles não formam uma reta perfeita. Por quê? Porque em se tratando de experimentos sempre há diversos erros (de leitura, de execução, de variáveis não previstas, etc) que provocam desvios. O que fazemos então? Podemos usar somente um ponto para fazer as nossa contas? É possível, não é efetivamente errado usar somente um ponto, porém, para que servem os outros pontos então? Dados são desperdiçados e o grau de confiança do experimento se torna menor se usamos poucos pontos experimentais. O ideal nesse caso é obter uma curva média que melhor se ajuste a esses pontos. O Excel faz isso quando adicionamos uma linha de tendência: y (cm) y = 44,68x +, ,05 0,1 0,15 0, 0,5 A reta que aparece após adicionarmos a linha de tendência é a melhor reta possível para o nosso conjunto de dados. O Excel a calcula com base em alguns parâmetros estatísticos, tal que minimize ao máximo os desvios dos pontos. A equação apresentada é justamente a equação da queda livre, esperada para o nosso conjunto de dados. Assim: y(x) = 44,68 x +,6767 O coeficiente angular a é todo valor que acompanha a variável independente x. Assim a = 44,68 O coeficiente linear b é o termo que fica isolado, independente de x. Assim b =,6767 Se compararmos com a equação da queda obtida da queda livre, veremos que, na teoria: y = 1 g x Repare que a é todo valor que acompanha a variável independente x. Assim, a = 1 g. ATENÇÃO, o ½ também acompanha o x, então ele também faz parte de a. Note que nesse caso b=0, de modo que ele é omitido

11 Por fim, se sabemos pela teoria que a = 1 g e que pelo experimento a = 44,68, podemos obter o valor de g: a teoria = a experimental 1 g = 44,68 g = 44,68 g = 885,36 cm/s

12 Para entregar: 3 ou mais estrelas. EXERCÍCIOS FUNÇÃO DE 1º GRAU 1. ( ) Determine a equação da reta representada pelos gráficos abaixo: a) b) c) d). ( ) Sabendo que as tabelas abaixo foram construídas a partir de uma relação linear entre x e y, determine a equação da reta de cada uma das tabelas. a) x y b) x y -3 1,1 7 9, ,5 c) x 7,7 3,1 y -16,9-7,7 d) y 6, ,5 17 x 1 3 4

13 3. ( ) Em um experimento de plano inclinado, desejava-se medir a aceleração da gravidade. O aparato experimental foi montado de acordo com o esquema: O planador é mantido sobre um trilho de ar, ou seja, o atrito pode ser desprezado. Partindo do repouso, o planador inicia o movimento passando pelo primeiro sensor óptico que dispara o cronômetro. O segundo sensor encerra a contagem. Sendo y a distância percorrida pelo corpo (dada pela distância entre os dois sensores), e t o tempo que ele leva para percorrer y e considerando que o primeiro cronômetro é disparado tão logo o planador sai do repouso, a equação do movimento é dada por: y(t) = 1 g. sen(θ). t Determine o valor da gravidade em cm/s, sabendo que o ângulo de inclinação é igual a = 30º, para os seguintes conjuntos de dados: a) t (s ) 0,5 0,8 0,37 0,41 0,44 0,5 0,54 0,58 y (cm) b) Repare que neste item é dada a variável t e não t t (s) 0,45 0,54 0,57 0,64 0,67 0,71 0,7 0,75 y (cm) ( ) Três amigos pegaram um táxi em datas distintas de uma mesma companhia. O primeiro gastou R$ 4,90 depois de percorrer 10 km. O segundo gastou R$ 14,40 depois de rodar 5 km e o terceiro gastou R$ 8,10 para um trajeto de km. Sendo assim: a) Construa uma tabela com os dados fornecidos que relaciona os quilômetros rodados (q) com o valor cobrado (C). b) Determine a função de 1º grau que relaciona o valor cobrado (C) em função dos quilômetros rodados (q). c) Utilize o ajuste linear do Excel para confirmar a função C(q) encontrada no item b. 5. ( ) Uma operadora de telefonia tem um plano de internet que tem o seu valor cobrado da seguinte forma: um valor fixo de R$ 80,00 que independe da quantidade de banda utilizada e um valor variável de R$ 0,11 por cada megabyte (MB) que exceder os 1000 MB mensais a que o usuário tem direito. Com base nessas informações, determine a equação de 1º grau que relaciona o valor cobrado com o número de MB excedidos.

14 6. ( ) Um grupo de estudantes de engenharia obteve os seguintes dados no laboratório de TFGE no experimento de equilíbrio da barra: x = 1/d (cm -1 ) y = m (g) 0,15 0,17 0, 0,5 0,6 0, No experimento da barra, a seguinte equação é satisfeita: m = M ( L 5) 1 d M onde M é a massa da barra, L é o comprimento da barra. Lembrando que uma função linear tem a forma y = ax + b: a) Faça o gráfico correspondente à tabela. b) Usando o Excel, determine a equação da reta usando o ajuste linear. c) Identifique os coeficientes a e b na equação acima e na equação da reta fornecida pelo Excel. d) Determine os valores de M e L.

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