Pequena Introdução à Trigonometria Hiperbólica

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1 Pequena Introdução à Trigonometria Hiperbólica (Filipe Oliveira, 9) 1 Motivação Consideremos o plano euclidiano munido de um referencial ortonormado (, e 1, e ). Quando θ percorre o intervalo [; π[, o ponto M θ de coordenadas (x θ, y θ ) definidas por xθ = cos(θ) (1) y θ = sin(θ) percorre a circunferência C de equação x + y = 1. Figura 1: A circunferência C. Ao sistema de equações (1) é usual chamar-se representação paramétrica de C, de parâmetro θ. Durante o curso de Matemática, vimos uma representação paramétrica de uma outra linha plana: se R é a recta de vector director u = (u 1, u ) que contém o ponto A(a 1, a ), o ponto M λ de coordenadas (x λ, y λ ) definidas por xλ = a 1 + λu 1 y λ = a + λu () percorre R quando o parâmetro λ percorre o intervalo ], + [. A parametrização de linhas do plano e do espaço será estudada mais exaustivamente na disciplina de Análise Matemática II. Por ora, e com o objectivo de introduzir a trigonometria hiperbólica, pretende-se obter uma representação paramétrica da hipérbole H, de equação x y = 1. 1

2 A parametrização de hipérboles assume especial importância em Mecânica Celeste. De facto, parábolas e hipérboles formam conjuntamente as trajectórias ditas de escape, que correspondem às trajectórias efectuadas, por exemplo, por uma nave espacial que escapa ao campo gravitacional de um corpo central (planetas, estrelas,...etc). As restantes trajectórias, ditas orbitais, são elipticas (ou circulares) e correspondem num certo sentido à incapacidade de fuga a esse mesmo campo. Uma das dificuldades em colocar satélites em órbita é justamente a de não lhes fornecer energia suficiente para que adquiram uma trajectória de escape. Figura : As trajectórias circular, elíptica, parabólica e hiperbólica. As funções seno e co-seno hiperbólicos Consideremos as funções f : R R α eα + e α, Tem-se, para todo α R, g : R R α eα e α. f (α) g (α) = 1 4 ((eα + e α ) (e α e α ) ) = 1 4 (eα + + e α (e α + e α )) = 1, pelo que o ponto M α de coordenadas (f(α), g(α)) pertence a H. Por outro lado é fácil verificar que g é contínua, estritamente crescente, e que g(α) = ±. Como para todo α R, f(α) >, xα = f(α) y α = g(α), α R lim α ± (3)

3 é uma representação paramétrica do ramo direito da hipérbole H. Figura 3: A hipérbole H. Por analogia à parametrização da circunferência C descrita na introdução, definem-se as seguintes funções: sinh : α R eα e α (seno hiperbólico) cosh : α R eα + e α Figura 4: Gráfico de sinh. (co-seno hiperbólico) Figura 5: Gráfico de cosh (dito curva catenária ). 3

4 É possível provar que um fio infinitamente maleável assume a forma do gráfico da função co-seno hiperbólico quando suspenso pelas suas extremidades. É deste facto que deriva o termo curva catenária, por analogia à catenárias dos comboios. Os cabos suspensos da Ponte 5 de Abril, por exemplo, são também curvas catenárias. Naturalmente define-se também a função tangente hiperbólica por tanh(x) = sinh(x) cosh(x). Como o co-seno hiperbólico não se anula, tanh está definida em R. 3 Interpretação geométrica No caso da circunferência C parametrizada por xθ = cos(θ) y θ = sin(θ), θ [; π[, o parâmetro θ representa geometricamente a medida do ângulo ( e 1, OM θ ), ou, se preferirmos, o comprimento do arco OM θ. No caso da parametrização xα = cosh(α) y α = sinh(α), α R, do ramo direito de H, que sentido dar ao parâmetro α? No final da disciplina de Análise Matemática I, depois de efectuado o estudo do integral de Riemann, será possível mostrar o seguinte resultado: Para α, consideremos os pontos M(cosh(α), sinh(α)) e N(cosh(α), sinh(α)). Então a área da região do plano delimitada pelos segmentos de recta [OM], [ON] e pela hiperbole H é dada por α. Exercício: Prove este resultado. Figura 6: Interpretação geométrica do parâmetro α. 4

5 4 Propriedades das funções trigonométricas hiperbólicas Como observámos anteriormente, tem-se que: x R, cosh (x) sinh (x) = 1. Esta identidade é análoga ao teorema dito fundamental da trigonometria : x R, cos (x) + sin (x) = 1. Muitas outras identidades de trigonometria circular possuem uma versão análoga em trigonometria hiperbólica. Eis alguns exemplos: a. x R, sinh(x) = cosh(x) sinh(x); b. x R, cosh(x) = cosh (x) + sinh (x); c. x R, 1 tanh 1 (x) = cosh (x) ; d. (x, y) R, cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y); e. (x, y) R, sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y). Vamos, por exemplo, provar a identidade b.: Para x R, cosh (x) + sinh (x) = 1 4 ((ex + e x ) + (e x e x ) ) = 1 (ex + e x ) = cosh(x). Exercício: Prove as restantes identidades. 5 Funções trigonométricas inversas As funções cosh : [; + [ [1; + [ e sinh : R R são bijectivas, consequentemente admitem funções inversas: as funções argcosh e argsinh, respectivamente. Contrariamente ao que acontece com as funções arccos e arcsin, as funções trigonométricas hiperbólicas inversas podem ser expressas em termos de funções usuais. Calculemos a função inversa de cosh: Seja x [; + [ e y [1; + [. Completando o quadrado: y = cosh(x) e x y + e x = e x ye x + 1 =. y = cosh(x) (e x y) y + 1 = (e x y) = y 1. 5

6 Obtêm-se assim duas expressões possíveis: e x = y+ y 1 1 ou e x = y y 1 1. Como e x 1 (já que x ), y = cosh(x) x = argcosh(y) := ln(y + y 1). Exercício: Calcule explicitamente a função inversa de sinh. 6 Diferenciabilidade É fácil observar que as funções cosh e sinh são de classe C (R) e que se tem, para todo x R, e cosh (x) = 1 (ex + e x ) = 1 (ex e x ) = sinh(x) sinh (x) = 1 (ex e x ) = 1 (ex + e x ) = cosh(x). Existe mais uma vez uma analogia com o caso circular, em que se tem: sin = cos e cos = sin. Este facto será de grande importância na disciplina de Análise Matemática III, em que estudaremos algumas equações diferenciais. Uma equação diferencial é uma equação que estabelece uma relação entre as derivadas de uma dada função. A incógnita é a própria função. Por exemplo f = f é uma equação diferencial. Resolver esta equação diferencial consiste em encontrar uma função igual à sua derivada. As soluções são as funções da forma em que A é uma constante real. f(x) = Ae x, Tendo em conta que cosh = cosh, sinh = sinh, cos = cos e sin = sin, tomando constantes reais A,B e c, a função definida por é solução da equação diferencial enquanto que a função é solução da equação diferencial f(x) = A cosh(cx) + B sinh(cx) f c f =, f(x) = A cos(cx) + B sin(cx) f + c f =. 6

7 Exercício: Verifique estas afirmações. Assim, as funções trigonométricas hiperbólicas têm uma grande relevância na descrição de todas as soluções de equações diferenciais do tipo af + bf + cf =, a, b, c R, ditas equações diferenciais lineares de ordem. 7 Mudanças de variável em integrais As funções trigonométricas podem também ser muito úteis ao cálculo de primitivas e integrais. Para a R, os integrais da forma I = β α a t dt prestam-se à mudança de variável t = a sin(x). Por exemplo, a a t dt = a a cos (x)dx = a a a a sin (x)a cos(x)dx = a a cos(x) cos(x)dx = De forma análoga, os integrais da forma [ 1 a a (1 + cos(x))dx = x + sin(x) J = β prestam-se à mudança de variável t = a sinh(x). 1 Exercício: Calcule + t dt. α a + t dt ] π = πa a. Figura 7: A Gateway Arch, em St-Louis, EUA: trata-se de uma catenária invertida. 7

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