EEE 335 Eletromagnetismo II

Transcrição

1 0.6 J 0 J 0.4 J 2 J Universidade Federal do Rio de Janeiro EEE 335 Eletromagnetismo II Prof. Antonio Carlos Siqueira de Lima

2 Domínio da Frequência & Fasores Transformadas de Fourier & Laplace! Frequência real ou frequência complexa!!

3 Matemática para Engenheiros Sem grandes perturbações: lema, teorema, caveat, etc e tal, não nos interessa... sad but true! Lidamos com sistemas físicos, convergências e problemas de existência, também vão para segundo plano! Se funciona não importa muito ser aproximado! Infinito já não é abstração.0

4 Ferramentas para Análise Soluções de equações diferenciais ordinárias a partir do Domínio das Transformadas! Laplace, Fourier! Soluções de equações parciais diferencias a partir de transformadas multi-dimensionais! uso de funções especiais! cálculo numérico

5 Série de Fourier Jean Baptiste Joseph Fourier! Foi aluno de Lagrange, ganhou prêmio em 8 com citação sobre falta de generalidade e rigor. Estudou na École Normale Supérieure e mais tarde atuou na ENS e na École Polytechnique! Desenvolveu a série e transformada a partir de uma idéia de Bernoulli! Não apresentou prova formal anos mais tarde Dirichlet o fez!! f(t) f(t) X n=0 X n=0 a0p cos! n t + ' np C n exp (j! n t + n ) + a 0i sin (! n t + ' ni )

6 Série de Fourier Função periódica! limites reais! pode ser complexa ou real c n = 2 Z 2 0 f(t + T )=f(t) T =2 a n = b n = Z 2 0 Z 2 0 f(t) cos(nt) dt f(t)sin(nt) dt f(t)exp( jnt) dt n =0, ±, ±2,... c n = T Z T/2 T/2 f(t)exp( j n2 T t) dt n =0, ±, ±2,...

7 Série de Fourier Função aperiódica - T torna-se infinito! da Série chegamos à Transformada 2 T!! f(t) = T = 2 = 2 = 2 X k= X k= Z Z exp(jk!t)! Z exp(j!t)d! " Z T/2 T/2 f(t)exp( f( )exp(jk!(t Z F (!)exp(j!t) d! f( )exp( j n2 T )) d j! ) d t) dt #

8 Transformada de Fourier Surge ao se aplicar a série de Fourier para funções aperiódicas! Z F (!) = f(t) = 2 f(t)exp( j!t)dt Z F (!)exp(j!t)d! Definições clássicas! usadas na engenharia F (!) = p 2 Z f(t)exp( j!t)dt f(t) = p 2 Z F (!)exp(j!t)d! Definições usadas na física

9 Transformada de Fourier - Propriedades Z f(t) 2 dt = Z F (!) 2 d! A mesma quantidade de energia para o sinal existe no domínio do tempo e no domínio da frequência F [af(t)+bg(t)] = af (!)+bg(!) Linearidade F [f(t + a)] = exp(j!a)f (!) F [f(at)] = a F (!/a) apple df (t) F = j!f(!) F dt applez f(t) dt = F (!) j!

10 Discrete Fourier Transform Na maioria dos casos só é possível obter uma aproximação numérica! No mundo digital - tempo discreto e frequência discreta! Considere uma janela de amostragem T com passo t = T N N = # de amostras t k = k t k =0,,...,N f k = f(t k )! n =2 n T! 0 = 2 T

11 Discrete Fourier Transform As integrais são transformadas em somatórios! Para resolver as funções são necessários uma grande quantidade de amostras! Lenta convergência era um desafio para aplicação da DFT! Se N=2^n FFT pode ser usada F (! n )= N X k=0 f(t k )= N f(t k )exp( j! n t k ) n =0,,...,N N X k=0 F (! n )exp(j! n t k ) k =0,, 2,...,N

12 Fast Fourier Transform - FFT Algoritmo da borboleta - 965! eficiente para o cálculo da DFT! reduz o tempo de computação para N pontos de N^2 para N*log2(N)! no caso de N diferente de 2^n - programas adicionam zeros no vetor de entrada até atingir 2^n! matlab - fft e ifft! Mathematica - Fourier e InverseFourier

13 DFT x FFT - Exemplo Considere o sinal x(t) =sin(.5 t)+0.5sin(3 t) Para 32 amostras! Cálculo da DFT = s! Cálculo da FFT = s! DFT-FFT = 9.2e-5! Para 52 amostras! FFT = s 32 52

14 DFT x FFT - Exemplo Efeito do zero-padding

15 Algumas Transformadas impulso - delta de Dirac! degrau! seno! cosseno! (t) ) Z u(t) = sin(! 0 t) ) cos(! 0 t) ) (t) dt )! 0 j! (j!) 2 +! 0 j! (j!) 2 +! 0 cosseno*degrau! dupla exponencial exp( at) exp( bt) ) j! + a j! + b

16 Algumas Transformadas u(t) ) j! u(t)exp( t/2) ) 2 + j!

17 Algumas Transformadas k (exp( at) exp( bt)) ) j! + a j! + b

18 Problemas da Discretização Banda de frequência finita! problemas nos pontos de descontinuidade! Efeito Gibbs - necessidade de filtros (janelamento)! Impulso & Degrau ef (!) = ef = Z Z f(t)exp( j!t) dt ef (!)exp(j!t) d!

19 Efeito Gibbs

20 Problemas da Discretização - Exemplo Considere o sinal x(t) =x 0 (t)+x (t)+x 2 (t) x 0 (t) = sin(45 t)exp( 45 t 0.2 ) x (t) = sin(45 t) cos(80 t)exp( 50 t 0.2 ) x 2 (t) = sin(80 t)exp( 45 t 0.8 )

21 Problemas da Discretização - Exemplo Transformando obtemos uma expressão gigante, aqui vai apenas um parte e a resposta gráfica do conjunto X 2 (!) = e 36.+(0. 0.8i)!! 2 e ( i)! +( i)!e ( i)! ( i)! ( ( i)!! )(( i)!! )

22 Problemas da Discretização - Exemplo Amostrando a resposta temporal entre 0 e s com 024 pontos e aplicando a FFT no sinal temporal

23 Laplace & Fourier Laplace é uma versão extendida de Fourier usando uma frequência complexa! Obtenção da resposta numérica empregando exponenciais e FFT