Sistemas e Sinais (LEE & LETI)

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1 Sistemas e Sinais (LEE & LETI) 2º semestre 2013/2014 Laboratório nº 4 Série de Fourier e amostragem. Isabel Lourtie Maio 2014 pfpfpf Grupo nº Turno Nº Nome: Nº Nome: Nº Nome: Data: / / 1. Introdução pfpfpf Este trabalho de laboratório aborda a representação de sinais no domínio da frequência e a amostragem de sinais contínuos. Este trabalho de laboratório utiliza para além deste guia/relatório os ficheiros serie_fourier.m e espectro_sinal_amostrado.m que deverão ser copiados para a directoria de trabalho do Matlab. O trabalho é constituído por questões a serem resolvidas antes da aula de laboratório (P) e questões a realizar durante a aula de laboratório (L). Todas as questões devem ser respondidas nos espaços reservados para o efeito no guia de laboratório. Caso o espaço seja insuficiente, poderão ser acrescentadas folhas adicionais. As figuras solicitadas nas questões (L) deverão ser guardadas em formato jpg. No final da aula de laboratório os alunos devem: 1. entregar o relatório ao docente; 2. submeter, através do sistema Fénix, um ficheiro.zip com todas as figuras solicitadas no trabalho. 1

2 2. Série de Fourier Ex 1. Seja a onda quadrada de tempo contínuo representada na Figura seguinte: a) (P) (2 valores) Determine a sua frequência fundamental,, e mostre que os coeficientes da sua expansão em série de Fourier são sin 2 ; 0 = 2. 0 ; =0 2

3 b) (P) (2 valores) A representação em série de Fourier de também pode ser expressa na forma Mostre que os coeficientes =cos. sin 2 ; 0 = 4. 0 ; =0 3

4 c) (L) (2 valores) Considere a aproximação de dada pela soma parcial com um número finito de termos dada por = = cos Para =1,3,7,29,99, utilize a função serie_fourier fornecida em anexo para representar graficamente um período dos seguintes sinais: termos individuais de índice,, da soma anterior; sinal. (Figura: ). O que é que acontece à medida que aumenta? d) (L) (2 valores) Repare que a aproximação da série de Fourier por uma soma parcial, mesmo para valores elevados de, exibe uma pequena oscilação indesejada de cada lado das descontinuidades do sinal. Esta oscilação designa-se por fenómeno de Gibbs. Com base nos gráficos de obtidos na alínea anterior descreva, em função de, a evolução deste sinal em torno das descontinuidades de, nomeadamente no que se refere a: valor de nos instantes correspondentes às descontinuidades; valor máximo das oscilações e sua localização temporal relativamente aos instantes das descontinuidades. 4

5 3. Amostragem Ex 2. Considere o sinal contínuo =cos a) (L) (1 valor) Represente graficamente em função de para 0 5 utilizando um incremento =0.01 (Figura: ). b) (P) ( 2 valores) A energia do sinal contida no intervalo de tempo, é / =. Para o sinal dado, mostre que = cos 1 2 sin. Notas: 1. cos = 1+cos2 2. cos = cos+ sin 5

6 c) (P) (1 valor) A energia total do sinal é Determine a energia do sinal dado. = lim. d) (L) (2 valores) Para 0 10, e um incremento =0.5, represente graficamente o quociente (Figura ). A partir de que valor de se observa que a energia do sinal contida no intervalo de tempo, é superior a 99% da energia total? 6

7 Para o sinal dado, que percentagem da energia total do sinal está contida no intervalo de tempo 0 5? e) (P) (2 valores) Determine o espectro de frequência,, do sinal. f) (L) (1 valor) Represente graficamente em função de para 20 (Figura: ). Deverá calcular para um número elevado de valores de g) (L) (1 valor) Considere o sinal que resulta da amostragem do sinal com um intervalo de amostragem. O espectro do sinal amostrado é = A função espectro_sinal_amostrado fornecida em anexo determina a aproximação a obtida pela soma parcial com um número finito de termos 7

8 = O valor de deve ser seleccionado de modo a garantir que a maior parte da energia do sinal está contida no cálculo do somatório anterior sem que o número de operações a realizar seja excessivamente elevado. Na função espectro_sinal_amostrado o valor de é determinado definindo o limite superior do intervalo de tempo 0, em que está concentrada a maior parte da energia do sinal. Tendo em conta os resultados da alínea d), que valor sugere para? Porquê?. h) (L) (2 valores) Para =0.1,0.5,1,1.5, e o valor de definido na alínea anterior, utilize a função espectro_sinal_amostrado para obter e represente graficamente a sua amplitude (Figura: ). De modo a obter apenas uma figura para todos os casos, utilize subplot e para cada gráfico indique o valor de com title. Coloque todos os gráficos na mesma escala. Explique os resultados obtidos tendo em conta a relação entre os espectros dos sinais analógico e amostrado e o Teorema da Amostragem. 8