I-4 Espetro de sinais periódicos A Série de Fourier

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1 I-4 Espetro de sinais periódicos Série de Fourier Comunicações

2 Sumário 1. Sinais periódicos Sinusóide Onda quadrada. Espetro de amplitude e de fase Unilateral Bilateral 3. Série de Fourier 4. s tabelas de pares típicos 5. Cálculos de indicadores Potência e valor médio Largura de banda 6. Exemplos de aplicações 7. Exercícios

3 x T (t) 1. Sinais periódicos Sinais periódicos ou estritamente repetitivos Repetem-se a cada período fundamental T o menor valor de tempo para o qual o sinal se repete No domínio contínuo ou analógico (período T o seg) temos x( t) x( t To ) Para o domínio discreto (período N amostras) temos Exemplos: Onda Quadrada x[ n] x[ n N] Sinusóide é inteiro relativo. T T f 1 T T

4 1. Sinusóide v( t) cos( ft ) valor máximo de amplitude f o frequência fundamental (n.º de períodos por segundo) T o = 1 / f o, é o período fundamental fase inicial ( deslocamento no eixo dos tempos, em relação à origem)

5 1. Sinusóide v( t) cos( ft ) Tem valor médio nulo potência é P v apenas depende da amplitude não depende da frequência nem da fase

6 1. Sinusóide

7 1. Sinusóide plicação nas modulações: OOK FSK PSK

8 1. onda quadrada

9 1. onda quadrada

10 . Espetro de amplitude e de fase sinusóide representada por um fasor (fase + vector) Fórmula de Euler e j t cos j sin com j 1 sinusóide corresponde à cos( t ) ( ) ( ) j t j t e e real da exponencial complexa

11 . Espetro de amplitude e de fase O fasor tem comprimento Roda a fo rotações por segundo Faz um ângulo de radianos com o eixo real, para t = Para descrever o fasor no domínio da frequência precisamos de lhe associar a amplitude e a fase

12 . Espetro de amplitude e de fase Convenções na representação espetral: Variável independente é a frequência f em Hz (ciclos/seg) w=*pi*f (rad/seg) é a frequência angular Os ângulos de fase são medidos relativamente a função co-seno (origem do referencial): sen(ωt) = cos (ωt - 9º ) = cos (ωt / ) amplitude é sempre positiva. mplitudes negativas são referidas na fase cos(ωt) = cos (ωt +- 18º) = cos (ωt +- )

13 . Espetro de amplitude e de fase sinusóide v(t) = cos ( 1 t /3) Espetro de mplitude Espetro de Fase /3 corresponde a 6º

14 . Espetro de amplitude e de fase Soma de sinusóides com componente DC não nula Domínio do tempo Domínio da frequência: mplitude Fase (em graus) v( t) 7 1cos t 4sen( 6t) 3

15 . Espetro de amplitude e de fase v( t) 7 1cos t 4sen( 6t) 3 7 1cos t 4cos 6t 3 7 1cos t 4cos 6t 3 mplitude sempre positiva Co-seno indica a referência de fase

16 . Espetro de amplitude e de fase Fasores Conjugados Espetro bilateral e frequências negativas Simetria par Simetria ímpar 1 * z ( z z ) j fot j * j fot j z e e z e e j fot j j fot j cos( fot ) e e e e

17 . Espetro de amplitude e de fase Versão bilateral do espetro v( t) 7 1cos t 4sen( 6t) 3 7 1cos t 4cos 6t 3

18 . Espetro de amplitude e de fase Domínio do Tempo x( t) cos( f t ) Espetro Unilateral o cos(f ot cos(f ot ) ) cos( (f ot cos( ( f o )) ) t )) Espetro Bilateral

19 . Espetro de amplitude e fase Constituem representações gráficas de sinusóides no domínio da frequência Uma linha no espetro unilateral representa uma sinusóide Essa mesma sinusóide é representada por duas linhas no espetro bilateral O espetro de amplitude fornece indica a distribuição de potência pelas frequências O espetro de fase indica o desfasamento de cada componente de frequência (desvio para t=)

20 3. Série de Fourier Jean-Baptiste Joseph Fourier ( ) Qualquer função ou forma de onda periódica pode ser expressa pela soma de sinusóides com frequências múltiplas inteiras (designadas harmónicas) da frequência fundamental, com as amplitudes e fases apropriadas x( t) 1 cos( fot 1) cos( fot ) cos(fot 1 )...

21 3. Série de Fourier ) cos( ) ( 1 o t f t x Espetro Unilateral Espetro Bilateral ) cos( ) ( o t f c t x,,, c c c,,

22 Espetro Unilateral 3. Série de Fourier (trigonométrica) cos( a b) cos( a)cos( b) sen( a)sen( b) x( t) cos(fot 1 ) (cos( )cos( fot) sen( )sen(fot)) 1 cos( )cos(fot) sen( )sen(fot 1 1 a a cos( fot) bsen( fot) 1 1 ) a, cos( ), b sen( )

23 3. Série de Fourier (trigonométrica) ) cos( ) ( 1 o t f t x Espetro Unilateral ) sen( ) cos( 1 1 t f b t f a a o o ), cos(, a ) ( sen b b a a b atan

24 Espetro Bilateral 3. Série de Fourier (exponencial 1/) x( t) a a cos( fot) bsen( fot) a a a 1 1 a exp( jf o 1 t) exp( jf o t) 1 b exp( jf o t) exp( jf a b a b j exp( jfot) j exp( jfot) a b a b j exp( jfot) j exp( jfot) 1 j o t)

25 3. Série de Fourier (exponencial /) Espetro Bilateral 1 1 ) exp( ) exp( ) ( o o t f j b j a t f j b j a a t x o t f j c ) exp( b a b a c ) exp( j c c,,

26 3. Série de Fourier (exponencial /) Coeficientes da Série de Fourier c c exp( j ) x( t),exp( jf t) o 1 x( t)exp( jfot) dt T T o 1 o T o T x( t)cos( f 1 t) dt j T o T o o o x( t)sen(f o t) dt

27 3. Série de Fourier Frequência fundamental fo é aquela à qual o sinal se repete T o = 1 / f o O período fundamental T o é o mínimo múltiplo comum dos períodos das várias componentes de frequência T o = mmc( T 1, T,... )

28 3. Série de Fourier Síntese de sinais periódicos através da soma de sinusóides

29 3. Série de Fourier Exemplos de soma de sinusóides

30 3. Série de Fourier x( t) 1 cos( fot 1) cos( fot )... cos(fot 1 ) x(t) é sinal periódico real com frequência fundamental f o Espetro de amplitude é dado pelos coeficientes Espetro de fase é definido pelos coeficientes é o valor médio do sinal (componente DC) f o são as componentes harmónicas do sinal f o é a primeira harmónica

31 3. Série de Fourier Sequência de pulsos rectangulares (onda quadrada) Sinal periódico de potência Síntese à custa de sinusóides

32 3. Série de Fourier Espetro da sequência de pulsos rectangulares

33 3. Série de Fourier Espetro da onda quadrada mplitude unitária Espetro de amplitude Espetro de fase

34 3. Série de Fourier Espetro da onda quadrada (amplitude unitária) s linhas do espetro ocorrem às frequências múltiplas de f (f são as harmónicas) Na frequência temos a componente DC do sinal f é a frequência fundamental d é o duty cycle s amplitudes das harmónicas são dadas por = d sinc(d)

35 3. Série de Fourier Onda quadrada: soma de sinusóides x( t) cos(fot 1 ) d, dsinc( d), Nota: nesta representação toma valores negativos

36 4. Tabela de pares típicos Espetro unilateral x( t) cos(fot 1 )

37 4. Tabela de pares típicos Espetro bilateral x( t) c cos(fot )

38 x( t) 5. Cálculos de indicadores cos(fot 1 ) x( t) c cos(fot ) potência é calculada a partir do espetro de amplitude, recorrendo ao Teorema de Parseval P x P x c 1 Espetro Unilateral Espetro Bilateral O valor médio (ou componente DC) é dado pelo coeficiente = c (contribuição da frequência )

39 5. Cálculos de indicadores largura de banda (LB) é definida como a largura da faixa de frequências ocupada pelo sinal Frequências negativas não são consideradas LB=6 Hz

40 5. Cálculos de indicadores Uso do MTLB x( t) cos( 5t )

41 5. Cálculos de indicadores Uso do MTLB x( t) cos( 5 t) 1cos( 1) t Pouco detalhe na representação do sinal Baixo número de pontos usado na representação

42 5. Cálculos de indicadores Uso do MTLB x( t) cos( 5 t) 1cos( 1) t

43 6. Exemplos de plicações Marcação DTMF Dual Tone MultiFrequency Cada tecla corresponde à soma de duas sinusóides Tabela com pares de frequências utilizadas

44 6. Exemplos de plicações Marcação telefónica DTMF Dual-Tone Multifrequency Demonstração Matlab - phone

45 6. Exemplos de plicações Notas musicais = Sinusóides organizadas em frequência (escalas) Uma oitava = duplicação de frequência

46 7. Exercícios figura apresenta o espetro unilateral de amplitude do sinal x(t). a) presente o respectivo espetro bilateral de amplitude b) Indique a potência, a largura de banda, a frequência fundamental e o valor médio do sinal c) Seja y(t)= 3 - x(4t) + x(t). Esboce os espetros unilaterais de amplitude e fase de y(t)

47 7. Exercícios Considere o sinal periódico x(t), de frequência fundamental 1 Hz, definido por x(t) 5 cos( f o t /4) 5cos( 3f t /3) a) Esboce os espetros unilaterais de amplitude e de fase de x(t). b) Indique a largura de banda do sinal e a percentagem de potência contida na banda de a 15 Hz. o Sejam z(t) -3 cos ( 1 t ) e a) Esboce o sinal z(t) b) Calcule Ez, mz e Pw c) Esboce os espetros dos sinais z(t) e w(t). w(t) -1 5sen( t - / ) z(t).

48 7. Exercícios Exercícios sugeridos (de enunciados de testes de semestres anteriores): Exercício #1, do teste de época normal, verão 14/15, 9 de julho de 15 Exercício #3, alíneas a) e b), do 1.º teste parcial, verão 14/15, 4 de maio de 15 Exercício #3, alíneas a) e b), do 1.º teste parcial, inverno 14/15, 6 de novembro de 14 Exercício # do 1.º teste parcial, verão 13/14, 9 de abril de 14 Exercício #4, do 1.º teste parcial, inverno 13/14, 13 de novembro de 13