Exercícios para Processamento Digital de Sinal - Folha

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1 Exercícios para Processamento Digital de Sinal - Folha 1 Interpolação Exercício 1 Suponha que uma sinusóide de frequência angular π/4 foi aplicada na entrada de um bloco expansor que aumenta a frequência de amostragem por um factor de. Responda às seguintes questões: a) Obtenha as amostras do sinal à saída do expansor b) Esboce o espectro do sinal à saída do expansor c) Indique no mesmo gráfico o filtro ideal a colocar na saída do expansor que realize a interpolação do sinal. Exercício Um sinal x(t) com uma largura de banda de 40Hz foi amostrado a uma frequência de 100Hz obtendo-se o sinal discreto x(n). A partir deste sinal pretende-se obter uma versão com uma frequência de amostragem 3 vezes superior, ou seja, obter uma versão interpolada por um factor de 3. Esboce o diagrama de blocos capaz de realizar esta tarefa e projecte o filtro deste sistema. Admita um filtro não ideal e indique a largura máxima para a banda de transição. Exercício 3 Uma das formas possíveis de realizar uma modulação em frequência consiste em aumentar a frequência de amostragem por um factor L seguido-se um filtro passa-banda. Projecte um sistema que realize a modulação de um sinal de música com uma largura de banda de 16kHz para um sinal modulado em amplitude com uma portadora de 400kHz. Indique uma frequência de amostragem adequada e especifique as bandas de rejeição e passagem do filtro. Exercício 4 Obtenha a expressão da transformada de Z de um sinal x(n) cuja frequência de amostragem foi expandida por um factor inteiro L. A partir desta expressão obtenha a transformada de Fourier de tempo discreto do sinal expandido. Decimação Exercício 5 Considere os seguintes sinais: x(n) = cos(πn) y(n) = sin(πn) Responda às seguintes questões: a) Obtenha as primeiras 6 amostras de cada uma das sequências 1

2 b) Obtenha de seguida as amostras de cada uma das sequências decimadas por c) Mostre que a operação de decimação não é invariante no tempo Exercício 6 A seguinte expressão Y(z) = 1 M 1 X ( z 1/M e j π k) M (1) M k=0 representa a transformada de Z de um sinal x(n) decimado por um factor M. Com base nesta fórmula obtenha a transformada de Z e a transformada de Fourier de tempo discreto de um sinal x(n) decimado por. Exercício 7 Suponha que uma sinusóide de 30 Hz amostrada a 100Hz é decimada por 4. Qual seria a frequência da sinusóide decimada? Utilize a equação (1) para realizar a sua demonstração. 3 Sistemas Multicadência a) z - b) z -1 Exercício 8 Na figura representada em cima podemos ver o diagrama de blocos de dois sistemas multicadência. Responda às seguintes questões: a) Calcule a resposta de cada um dos sistemas ao seguinte sinal x(n) = {1, 0, 0, 0} b) Calcule a resposta de cada um dos sistemas ao seguinte sinal x(n) = {0, 1, 0, 0} c) Admitindo que na entrada se tem o sinal X(z) obtenha a transformada Y(z) do sinal na saída de cada um dos sistemas d) Calcule o atraso temporal de cada um dos sistemas e) Verifique se é possível aplicar a algum dos sistemas uma das identidades nobres. Qual a sua contribuição para a compreensão do atraso provocado por cada um dos sistemas?

3 Exercício 9 Projecte um sistema discreto que realize a multiplexagem na frequência de quatro sinais com igual largura de banda e frequência de amostragem. Considere os filtros ideais e mostre como as componentes de frequência dos quatro sinais de entrada são ``arrumadas no sinal de saída. a) H 0 (z) b) H 0 (z) H 1 (z) H 1 (z) n ( 1) Exercício 10 Na figura em cima podemos observar dois sistemas multicadência que separam o sinal de entrada em dois sinais. O filtro H 0 (z) é um filtro passabaixo ideal e o filtro H 1 (z) é um filtro passa-alto ideal que dividem o espectro do sinal de entrada em duas partes iguais. Mostre a forma como as frequências do sinal de entrada são mapeadas nos sinais de saída para cada um dos sistemas. z -1 Exercício 11 Na figura em cima está representado um sistema multicadência. Calcule a resposta do sistema ao seguinte sinal x(n) = 1,, 3, 4. Calcule igualmente a transformada de Z do sinal de saída em função da transformada do sinal de entrada. 3

4 Figura 1: Equivalência para a representação simplificada do banco de análise e do banco de síntese de dois canais Figura : Banco de filtros Exercício 1 Na figura 1 define-se uma representação simplificada para o banco de análise (BA) de dois canais e o banco de síntese (BS) de dois canais. Utilizando esta representação construiu-se um sistema de análise de um sinal digital em sub-bandas, tal como indicado na figura. Considerando que o sistema tem reconstrução perfeita, ou seja, que y(n) = x(n τ) em que τ é um inteiro positivo e que os filtros H k (z) e F k (z) têm ordem 63, responda às seguintes questões: a) Qual o atraso de um banco de filtros composto unicamente por um bloco BA seguido de um BS? b) Calcule o atraso D entre o sinal x 1 e o sinal y 1 de modo a que o atraso entre o sinal x 0 e o sinal y 0 seja idêntico. 4

5 c) Obtenha o atraso total do sistema da figura. Figura 3: Banco de filtros Exercício 13 Na figura 3 podemos observar um sistema multicadência que realiza a multiplexagem de dois canais. Este sistema utiliza filtros de Daubechies de ordem 1 e os blocos BA e BS são os descritos na figura 1. Responda às seguintes questões: a) Qual a resposta do sistema aos sinais x 0 = {1, 0, 0} e x 1 = {0, 0, 0}. b) Obtenha a fórmula geral para o atraso observado. c) Se o atraso colocado entre BS e BA passasse a ser de amostras, o sistema continuava ter cancelamento perfeito do cross-talk? Justifique com base na observação da resposta aos sinais da alínea a). 5