I-8 Digitalização e Reconstrução

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1 I-8 Digitalização e Reconstrução Comunicações (15 de novembro de 2016) ISEL - ADEETC - Comunicações 1

2 Sumário 1. Enquadramento em SCD Transmissão de sinal analógico sobre SCD 2. Teorema da Amostragem Ritmo de Nyquist 3. Amostragem Ideal e Natural Análise no tempo e na frequência Reconstrução 4. Sobreposição Espetral - Aliasing 5. Quantização (uniforme) Relação sinal/ruído de quantização 6. Digitalização e Reconstrução: escolha dos parâmetros 7. Exercícios ISEL - ADEETC - Comunicações 2

3 1. Enquadramento em SCD Transmissão de sinal analógico sobre SCD ISEL - ADEETC - Comunicações 3

4 1. Enquadramento em SCD O conversor A/D realiza digitalização pela sequência de operações: 1) Amostragem, discretização do eixo dos tempos (em amostras) 2) Quantização, discretização do eixo das amplitudes (em intervalos) 3) Codificação, atribuição de códigos aos intervalos de amplitude O conversor D/A realiza a reconstrução, com as operações inversas pela ordem inversa ISEL - ADEETC - Comunicações 4

5 1. Enquadramento em SCD Os parâmetros principais destas operações: Amostragem > frequency of sampling (Fs), frequência de amostragem, é o número de amostras por segundo Quantização -> número de bit por amostra (n), define o número total de intervalos de quantização (2 n intervalos) Codificação -> o código binário, usado para a codificação dos intervalos de quantização Como escolher estes três parâmetros na digitalização de um sinal? ISEL - ADEETC - Comunicações 5

6 2. Teorema da Amostragem Sinal discreto é uma função real de variável inteira relativa O eixo dos tempos é discreto x[ n]: Z 0 Os valores de amplitude de x[n] são obtidos por amostragem ao ritmo Fs (frequency of sampling), ou seja, a cada Ts (time of sampling) é obtida nova amostra Amostra x[1] corresponde a x(ts); amostra x[2] corresponde a x(2ts)... ISEL - ADEETC - Comunicações 6

7 2. Teorema da Amostragem Seja um sinal de banda limitada ( passa baixo ) que não tenha componentes espetrais com frequências superiores a f m (Hz) Este sinal pode ser amostrado e perfeitamente reconstruído, usando um filtro passa baixo, a partir de amostras obtidas em intervalos regulares com frequência F s > 2 f m (amostras por segundo ou Hz) Ritmo de Nyquist (limite inferior para o valor da frequência de amostragem Fs) f N = 2 f m ISEL - ADEETC - Comunicações 7

8 3. Amostragem Ideal (Domínio do Tempo) Sinal Amostrador Ideal Sinal Amostrado (Discreto) ISEL - ADEETC - Comunicações 8

9 3. Amostragem Ideal (Domínio da Frequência) Sinal Amostrador Ideal Espetro do Sinal Amostrado Réplicas Espetrais ISEL - ADEETC - Comunicações 9

10 3. Amostragem Natural (Frequência) Espetro do Sinal Amostrador Real Onda quadrada com duty cycle a tender para zero A envolvente do espetro é uma função sinc Atenuação nas réplicas espetrais ISEL - ADEETC - Comunicações 10

11 3. Amostragem Natural (Tempo) Sinal Amostrador Real Onda quadrada com duty cycle a tender para zero Sinal Amostrado ISEL - ADEETC - Comunicações 11

12 3. Amostragem da sinusóide Espetro da sinusóide Sinal Amostrado Réplicas Espetrais ISEL - ADEETC - Comunicações 12

13 3. Filtro Reconstrutor Real ISEL - ADEETC - Comunicações 13

14 3. Amostragem ao ritmo de Nyquist Filtro Reconstructor deve ser ideal! ISEL - ADEETC - Comunicações 14

15 3. Sistema de Amostragem e Reconstrução ISEL - ADEETC - Comunicações 15

16 4. Sobreposição Espetral - Aliasing Quando não se cumpre o ritmo de Nyquist, as réplicas espetrais sobrepõem-se O espetro fica distorcido devido ao aparecimento de novas frequências, designadas de alias Assim, é impossível reconstruir o sinal original ISEL - ADEETC - Comunicações 16

17 4. Sobreposição Espetral - Aliasing Sinusóide de 4 khz amostrada à frequência de 6 khz Frequência alias de 2 khz = 6 4 k Hz ISEL - ADEETC - Comunicações 17

18 4. Sobreposição Espetral - Aliasing A componente alias é inferior à frequência original Esta componente aparece na banda do filtro reconstructor ISEL - ADEETC - Comunicações 18

19 4. Sobreposição Espetral - Aliasing ISEL - ADEETC - Comunicações 19

20 4. Sobreposição Espetral - Aliasing Filtro anti-aliasing idealmente, é um filtro passa-baixo com frequência de corte F s /2 Remove as componentes acima do Ritmo de Nyquist ISEL - ADEETC - Comunicações 20

21 5. Quantização (uniforme) Representação das amplitudes do sinal amostrado através de palavras binárias com n bit ( usando 2 n intervalos de igual dimensão uniforme ) Após a amostragem, realiza-se a quantização (discretização das amplitudes) Com n bit por amostra temos 2 n intervalos Erro de quantização ISEL - ADEETC - Comunicações 21

22 5. Quantização Aproximação à SNR Signal to Noise Ratio de quantização Gama dinâmica do sinal: 2V Gama dinâmica do ruído/erro de quantização: SNR 20 db log log 10 2V 20 log 2V 2V n 2 n 2 n 20 log 2 6,02 n com n o número de bits por amostra V a amplitude máxima quantificável (valores possíveis do sinal entre +V e V) ISEL - ADEETC - Comunicações 22

23 5. Quantização Ganho de amplitude em db e SNR de quantização uniforme g G 0, ,5-6 G A 1 20 log 20 log 10 A o g [ ] 10 db SNR 6n db , ,5 Por cada bit que se acrescenta ao conversor incrementase 6 db na SNR Cada bit a mais por amostra conduz à duplicação do número de intervalos A duplicação do número de intervalos reduz para metade o erro de quantização subida de 6 db! ISEL - ADEETC - Comunicações 23

24 5. Quantização Erro de quantização na conversão Analógico/Digital e ( t) x ( t) x ( t) q a q No máximo, o valor absoluto do erro de quantização é metade da largura do intervalo Considerando que o erro de quantização tem distribuição uniforme no intervalo de quantização, temos q 2 q q 0 P e ( t) dt e ( t) dt e ( ) ( / 2 ) q t t t ISEL - ADEETC - Comunicações 24

25 5. Quantização SNR Signal to Noise Ratio de Quantização Mede o erro de quantização Menor erro conduz a SNR mais elevada SNR 10 db 6,02 log n log 2 n log log n 10 P V x 2 3 P V x 2 SNR P V x n com n o número de bits por amostra P x a potência do sinal quantificado V a amplitude máxima quantificável (valores possíveis do sinal entre +V e V) ISEL - ADEETC - Comunicações 25 2 P V x 2

26 5. Quantização Por cada bit que se acrescenta ao conversor incrementa-se 6 db na SNR. Cada bit a mais por amostra conduz à duplicação do número de intervalos A duplicação do número de intervalos reduz para metade o erro de quantização No formato CD Áudio: 16 bits => SNR6*1696 db (gama dinâmica do ouvido humano é aproximadamente 100 db) Exemplos CD Áudio: Digitalização de Fala: Fs=44100 Hz e n=16 bit/amostra Fs=8000 Hz e n=8 bit/amostra (Nota: Digitalização de Fala usa Quantização não Uniforme) ISEL - ADEETC - Comunicações 26

27 6. Digitalização e Reconstrução: escolha dos parâmetros Como escolher os parâmetros principais das três operações fundamentais: Amostragem > frequency of sampling (Fs), deve ser determinada, tendo em conta o ritmo de Nyquist Quantização -> número de bit por amostra (n) é estabelecido pelo máximo erro de quantização admissível ou pela SNR de quantização desejada Codificação -> o código binário, deve ser escolhido de acordo com a aplicação e a gama de amplitudes do sinal de entrada: Apenas amplitudes não negativas -> código binário natural, por exemplo Amplitudes positivas e negativas -> código binário complementar, por exemplo Técnica PCM Pulse Code Modulation ISEL - ADEETC - Comunicações 27

28 7. Exercícios Seja x(t) = 2 cos(24000t) o sinal analógico presente na entrada de um conversor A/D. a) Indique as seguintes características do A/D: 1) gama dinâmica (variação máxima de amplitude); 2) frequência de amostragem Fs; 3) número de bits por amostra n, sabendo que o máximo erro de quantização deverá ser, em valor absoluto e =125 mv. b) Nas condições da alínea anterior, indique o ritmo de transmissão binário necessário para transmitir, em tempo real, o sinal produzido pelo conversor A/D. ISEL - ADEETC - Comunicações 28

29 7. Exercícios Suponha a existência dos conversores A/D apresentados na tabela, para os quais se indica a frequência de amostragem e o número de bits por amostra Conversor Fs [khz] n bit/amostra A/D1 44,1 16 A/D2 8 8 A/D A/D a) Sejam x(t) = 10 cos(22500t) + 5 cos(26000t) e y(t) tal que Y(f)=rect(f/16000). Indique o(s) conversor(es) adequado(s) para digitalizar x(t) e y(t). b) Suponha que se utiliza o conversor A/D2 para digitalizar um sinal com duração de 30 segundos. Quantos bits são produzidos nessa digitalização? ISEL - ADEETC - Comunicações 29

30 7. Exercícios Determinado sinal analógico passa-baixo x(t), com largura de banda 30 khz, foi amostrado com determinada frequência Fs obtendo-se uma sequência de amostras, tal que as primeiras quatro são: {0.6; 0.9; 0.3; 0.1}. a) Qual a gama de valores de Fs que possibilita recuperar x(t) a partir destas amostras? b) Suponha que estas amostras dão entrada num quantizador uniforme, com 4 intervalos, com gama dinâmica entre -1 e +1 Volt e codificação de intervalos em binário natural. i) Qual a sequência binária produzida na saída do quantizador? ii) Apresente o erro de quantização de cada uma das quatro amostras. c) Qual a relação sinal-ruído de quantização? ISEL - ADEETC - Comunicações 30

31 7. Exercícios Exercícios sugeridos (de enunciados de testes de semestres anteriores): Exercício #4, alínea i), do 2.º teste parcial, verão 2015/2016, 15 de junho de 2016 Exercício #6, do teste de época normal, verão 2015/2016, 30 de junho de 2016 Exercício #1, do 2.º teste parcial, inverno 2015/2016, 14 de janeiro de 2016 Exercício #5, do teste de época normal, inverno 2015/2016, 1 de fevereiro de 2016 ISEL - ADEETC - Comunicações 31

32 7. Exercícios Exercícios sugeridos (de enunciados de testes de semestres anteriores): Exercício #1, do 2.º teste parcial, verão 2014/2015, 18 de junho de 2015 Exercício #5, do teste de época normal, verão 2014/2015, 9 de julho de 2015 Exercício #3, alínea a), do teste de época de recurso, verão 2014/2015, 23 de julho de 2015 Exercício #1, alínea a), do 2.º teste parcial, inverno 2014/2015, 14 de janeiro de 2015 ISEL - ADEETC - Comunicações 32