ERROS DE QUANTIZAÇÃO

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1 ERROS DE QUANTIZAÇÃO I) INTRODUÇÃO Neste capítulo serão analisados os erros causados por uma palavra de comprimento finito e seu comportamento no controlador digital. Como a palavra binária sempre será finita, isto irá introduzir erros no sistema, chamados de Erros de Quantização. Fontes de erros de quantização -operações aritméticas -quantização dos coeficientes -resolução dos conversores. Supondo a palavra binária com um comprimento de C bits, será possível representar 2 c números binários. O limite de resolução é dado pelo bit menos significativo (2 m, onde m é o peso do bit menos significativo). Exemplo: para 3 bits, o bit menos significativo vale 2 0 = Exemplo: palavra com 3 bits => 2 3 bytes = 8 bytes Bit 2 (2 2 ) Bit (2 ) Bit 0 (2 0 ) Os erros podem ser causados pelo truncamento ou arredondamento da palavra binária: Truncamento: são truncados os valores menos significativos, menores do que aqueles que são possíveis de armazenar. Exemplo: armazenar o número 3,5 numa representação de 3bits,número inteiro => o resultado será (0) 2 Arredondamento: o arredondamento é feito usando um critério de arredondamento, como, por exemplo, x 0,5 => x= e x < 0,5=>x=0. Exemplo: armazenar o número 3,5 em 3bits, numa representação de números inteiros, => resulta (00) 2. Outra fonte de erro são os conversores A/D e D/A. Por exemplo: um conversor A/D de 8 bits, cuja faixa de tensão esteja entre 0V a 5V, terá resolução de 5/255= 9 mv. Byte Tensão equivalente V mv mv

2 0,375 0,25 0,25 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO II) QUANTIZAÇÃO EM OPERAÇÕES ARITMÉTICAS As operações aritméticas podem ser realizadas em ponto fixo ou ponto flutuante. As operações em ponto fixo são detalhadas a seguir, podendo ser truncadas ou arredondadas. A) Truncamento em operações de ponto fixo No truncamento, todos os bits menores que o menos significativo serão descartados. A relação entre os valores truncados (Q[x]) e não truncados (x) é mostrada a seguir: Número binário - [D 3 D 2 D D 0 ] Q T é o valor truncado Q=2 0 = --- peso do bit menos significativo O erro de truncamento é definido como E T =Q T [x]-x 0 E T -2 m O erro de truncamento é mostrado na figura abaixo. Erro x -q Exemplo: C=3 bits q=2-3 =/8=0,25 Q T [x] 0,0 0,375 0,00 0,25 0,00 0,25 [x]

3 B) Arredondamento em operações de ponto fixo O arredondamento é efetuado pela escolha de um número representado em C bits, o mais próximo da quantidade real. A relação entre os valores arredondados (Q[x]) e não arredondados (x) é mostrada a seguir: Critério: x 0,5 x= x< 0,5 x=0 Q=2 -m E R =Q R [x]-x O erro de arredondamento é mostrado na figura abaixo. Erro q/2 x -q/2 III. m m 2 2 ER 2 2 Onde: Q R [x] é o valor arredondado X é o valor da variável Resumo: Fontes de erros numéricos Os erros numérico podem aparecer em diversas partes do sistema digital: a) Erros em conversores A/D Exemplo: A/D de 8 bits 255 Supondo tensão de 5v Resolução= 5/255=9,6 mv b) Erros em operações aritméticas Multiplicação de dois números representados em frações binárias

4 c) Erros de armazenagem de parâmetros e coeficientes O tamanho da palavra binária limita a resolução do valor Exemplo: guardar o valor 0,4 em C=3 (registro de 3 bits) 0,0 = 0,375 e não 0,4 como era esperado. IV. VISUALIZAÇÃO DOS ERROS NUMÉRICOS Considere uma função de transferência, mostrada a seguir: E( K b z [ b z ] KE( U ( K E( b z O diagrama de simulação é: e k K b z - Os erros numéricos aparecem da seguinte forma: e m e k K +k e a Erro de armazenagem -b-b z - e m V. ILUSTRAÇÃO DO PROBLEMA ) Considere o sistema: E( 0,9z u ( k) e( k) 0,9u ( k ) Supondo condição inicial: u(-)=3 e degrau unitário na entrada teremos: Resolução Será calculada a tabela de usando aritmética decimal.

5 k ek Arredondamento Truncamento ,7 4 3,7 3 4,6 5 3, ,5 5 3, ,5 5 3,7 3 Critério: >0,5 < igual a 0,5 0 Para o sistema sem limitação a solução é igual a u= 0. Existe uma banda morta que não pode ser atravessada. 2) Considere um filtro de primeira ordem, definido por: E( 0,9z Supondo como entrada um impulso em K=, de amplitude e(k)=0. e k 0,9 z - Condição inicial u(k=0)=0; u ( k) e( k) 0,9u ( k ) O valor em regime para o sistema ideal é: u( ) limz ( z ) 0 0 0,9z Pode-se montar uma tabela considerando apenas números inteiros. Critério: 0,5 < igual a 0,5 0 K e k truncado arredondado , 8 8, ,2-7 -7, ,3 6 7, ,4-5 -6, ,5 5 6, ,5-5 -5,4-6 5,4 5

6 O valor arredondado está com um ciclo limite entre ±5. -4,5-5 4,5 4-3,6-4 TRUNCAMENTO Forma binária Valor truncado,5 000, 000 (+),75 000, 000 (+) -,5 0, 0 (-2) -,75 0,0 0 (-2) Exemplo: dado o sistema amostrado, com limitação da palavra binária (ocasionada pelo bloco Quantizador), mostrado na figura abaixo: Para este sistema, vamos fazer a simulação, primeiramente, com um intervalo de quantização q=0,0. Com este intervalo, o mínimo valor que podemos representar é 0,0. Isto é, a resolução é de 0,0. Faremos, também, uma simulação para um intervalo de quantização de 0,5. Neste caso o menor valor que será possível representar será 0,5. Nas figuras abaixo, é possível ver os sinais relativos ao degrau unitário e a resposta do sistema. Note que para q=0,0 o sistema tende para o valor correto. Mas para a situação em que q=0,5 o sistema tende para um valor múltiplo de q.

7 ESCOLHA DO PERÍODO DE AMOSTRAGEM A escolha do período de amostragem depende de diversos fatores. Um período de amostragem longo tornará impossível reconstruir o sinal no tempo. Um período muito curto irá sobrecarregar o microcomputador. Normalmente o elemento que impede diminuir o período de amostragem é o conversor A/D, já que hoje em dia os processadores estão cada vez mais velozes. Para sistemas oscilatórios pode-se escolher de 8 a 6 amostras por período. Para sistemas não oscilatórios, o tempo de subida é o fator utilizado na escolha do período de amostragem. Para sistemas de primeira ordem, pode-se escolher de 2 a 4 amostras por tempo de subida. Pode-se também escolher o período de amostragem em função da largura de faixa. Taxas de 6 a 0 vezes a largura de faixa podem ser utilizadas.