Processamento Digital de Sinais. Conversão A/D e D/A. Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti

Transcrição

1 Processamento Digital de Sinais Conversão A/D e D/A Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti

2 Introdução A maioria dos sinais encontrados na natureza é contínua Para processá-los digitalmente, devemos: Converter o sinal analógico para a forma digital (conversão A/D) Processar o sinal digitalmente Converter o sinal digital processado de volta à forma analógica (conversão D/A)

3 Digitalização de um sinal analógico Diferenças entre o sinal digital e o sinal analógico: amostragem e quantização. Ambos os processos restringem a quantidade de informação presente no sinal digital Questão fundamental: qual informação é necessária, e qual pode ser descartada, para uma dada aplicação?

4 Digitalização de um sinal analógico Sinal analógico Amostragem Quantização Sinal digital

5 Perda de informação devido a: Intervalo entre os instantes de amostragem (amostragem). Passo de quantização (quantização). Vamos agora ver cada um destes efeitos com mais detalhes.

6 Amostragem É o processo no qual são armazenados os valores de um sinal contínuo apenas em instantes discretos de tempo. Este processo é similar ao que acontece nos filmes de cinema: tiram-se fotos das cenas a intervalos regulares de tempo. Estas fotos, quando apresentadas em progressão, nos dão a sensação de movimento.

7 Produto de dois sinais o produto de um sinal com outro, é realizado ponto a ponto

8 Amostragem ideal A multiplicação do sinal contínuo com um trem de impulsos gera um sinal amostrado.

9 Amostragem na prática Sinal analógico Sample & Hold Sinal amostrado sinal original sinal amostrado O Sample&Hold segura a tensão por um tempo para que o quantizador tenha tempo para medir a tensão da amostra.

10 Amostragem adequada Se for possível reconstruir exatamente o sinal analógico a partir das amostras, então a amostragem foi realizada de forma adequada.

11 Teorema da Amostragem Harry Nyquist ( ) Claude E. Shannon ( ) Um sinal contínuo pode ser apropriadamente amostrado somente se ele não contiver componentes em frequência acima de metade da frequência de amostragem. f max f s 2

12 Problemas devido à amostragem Um evento que ocorre entre os instantes de amostragem não aparece no sinal reconstituído.

13 Mais problemas Um sinal de alta frequência amostrado a uma taxa muito baixa é reconstituído como... um sinal de baixa frequência.

14 Em forma gráfica um sinal amostrado duas vezes por período tem informação suficiente para ser reconstruído

15 Aliasing Alias: adv também chamado // n outro nome, pseudônimo. Ocorre quando amostramos um sinal a uma taxa inferior à de Nyquist. sinal original sinal amostrado sinal reconstruído (com aliasing)

16 Exemplos: Aplicação fmax fs Geofísica 500 Hz 1 khz Biomédica 1 khz 2 khz Mecânica 2 khz 4 khz Voz 4 khz 8 khz Áudio 20 khz 40 khz Vídeo 4 MHz 8 MHz

17 Efeitos na frequência devido ao aliasing Ponto chave: um sinal digital não pode conter frequências acima da frequência de Nyquist (metade da frequência de amostragem). Quando o sinal analógico tem somente componentes no intervalo (0,fs/2), não ocorre aliasing. Caso contrário, toda frequência acima de fs/2 será mapeada para alguma frequência no intervalo (0,fs/2).

18 Efeitos na frequência devido ao aliasing Quando o sinal analógico tem somente componentes no intervalo (0,fs/2), não ocorre aliasing. Caso contrário, toda frequência acima de fs/2 será mapeada para alguma frequência no intervalo (0,fs/2). X(f) X(f) 0,5 fs 0,5 fs

19 Correspondência de frequências no aliasing Cada frequência contínua acima da taxa de Nyquist tem uma frequência digital correspondente no intervalo (0, fs/2). Se já houver uma senóide nesta frequência, este sinal irá se somar a ela, corrompendo o sinal reconstruído. fs OK com aliasing frequência digital 0,5 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 fs frequência contínua

20 Efeitos na fase devido ao aliasing O aliasing provoca também uma mudança de fase. Somente dois deslocamentos de fase são observados: 0 o e 180 o fase digital (graus) 180 o OK com aliasing 0 o 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 fs frequência contínua Octave: aliasing.m & voz

21 Checando sua compreensão 1) Seja um sinal de voz, limitado em banda a 3400 Hz, e contaminado com um ruído de 60 Hz. Esboce o espectro deste sinal, supondo uma frequência de amostragem de 8 khz. 2) Seja um sinal composto de 3 tons senoidais de frequências f 1 = 3 khz, f 2 = 4 khz e f 3 = 8 khz, todos de fase nula. Esboce o espectro deste sinal (magnitude e fase) supondo: a) fs = 20 khz b) fs = 10 khz c) fs = 5 khz

22 Análise no domínio da frequência No tempo (multiplicação) Na frequência (convolução) x t * 0 f = 1/fs t = -2fs -fs 0 fs 2fs f t -2fs -fs 0 fs 2fs f

23 Aliasing no domínio da frequência Quando um sinal possui componentes acima de fs/2, estas irão interferir em outras componentes do sinal. * = -2fs - fs 0 0 fs 2fs f f -2fs -fs 0 fs 2fs f

24 Checando sua compreensão Seja um sinal limitado em banda conforme a figura abaixo: f (khz) Mostre graficamente o que acontece com este sinal quando o amostramos a: a) 50 khz b) 10 khz

25 Para evitar o aliasing devemos: Remover todas as componentes do sinal acima de fs/2 antes da amostragem, através de um filtro analógico passa-baixas. Amostrar o sinal a uma taxa ligeiramente superior à taxa de Nyquist. Assim, tanto o filtro anti-aliasing no transmissor como o filtro de reconstrução no receptor podem ter uma banda de transição que vai de fmax a fsfmax. Exemplo: em telefonia, os sinais de voz são passados por um filtro passa-baixas com freqüência de corte igual a 3400 Hz, e a seguir amostrados à taxa de 8 khz.

26 Reconstrução analógica Objetivo: recuperar o sinal analógico digital a partir das amostras. Amostragem: gera uma replicação do espectro original do sinal a intevalos de fs. Para recuperar o sinal original, basta eliminar as réplicas. Isto pode ser feito através de um filtro passa baixas com frequência de corte fs/2. -2fs -fs -fs/2 0 fs/2 fs 2fs f

27 Checando sua compreensão Qual a frequência de corte que o filtro analógico de reconstrução deve ter para recuperar o sinal abaixo, sabendo-se que fs = 100 khz? -2fs -fs -fs/2 0 fs/2 fs 2fs f

28 Quantização Depois de amostrados, os sinais mudam de valor apenas em instantes discretos de tempo, mas assumem valores em uma faixa contínua. De modo a poder representá-los em um computador digital, é necessário também discretizar o sinal em amplitude. Este processo é realizado pelo quantizador.

29 Exemplo Imagine que um sinal contínuo assuma valores na faixa de 0 a 4095 volts. Se quantizarmos este sinal com 12 bits, teremos 4096 valores possíveis para as tensões. Desta forma, os valores 2.2 e 2.1 serão quantizados como 2 volts. O processo de quantização leva a uma perda de informação. A questão passa a ser: quanto da informação pode ser descartada?

30 Conceitos básicos sinal LSB (Least Significant Bit): distância entre dois níveis de quantização adjacentes. LSB LSB/2 LSB Todos os pontos do sinal que estiverem no intervalo do segmento em vermelho serão quantizados pelo nível representado pela bola verde. Níveis de quantização Limiares de deteção Podemos ver que o erro de quantização máximo neste cenário será LSB/2.

31 Checando sua compreensão Se tenho um sinal que excursiona de 0 a 1 V, quantizado com 8 bits, qual o valor de LSB? Solução: Um quantizador de 8 bits divide o intervalo de excusão do sinal em 256 pedaços. Desta forma, LSB = 1 V /256 = 1/256 V

32 Erro de quantização sinal original sinal quantizado erro de quantização

33 Análise do erro de quantização O erro de quantização se parece muito com um ruído aleatório. De fato, ele pode ser modelado como um ruído aleatório com distribuição uniforme entre -1/2LSB e +1/2LSB. Desta forma, podemos ver o efeito da quantização sobre o sinal original como a adição de uma certa quantidade de ruído aleatório ao mesmo. Este modelo é extremamente poderoso pois o ruído aleatório gerado pela quantização pode simplesmente ser adicionado ao ruído já presente no sinal analógico.

34 Distribuição Uniforme f Q (q) 1 b a a b q 1 f Q b a (q)={, a q b 0, caso contrário E [Q ]= a+b 2 Var [Q ]= (b a)2 12

35 Soma de Variáveis Aleatórias Independentes Se X e Y são variáveis aleatórias estatisticamente independentes então para a v.a. Z = X+Y temos: E [Z ]=E [ X ]+E [Y ] Var [Z ]=Var [ X ]+Var[Y ]

36 Exemplo 1 Calcule o valor RMS do ruído de quantização adicionado por um quantizador de 8 bits. Solução: 1) Vimos que o efeito do quantizador é adicionar ruído ao sinal. Matematicamente, isto pode ser escrito como: Var[T] = Var[X] + Var[Q] ou seja, a variância total do ruído do sinal (Var[T]) é dada pela soma da variância do ruído que já existia no sinal analógico (Var[X]) com a variância do ruído gerado pelo quantizador (Var[Q]).

37 Exemplo 1 2) O ruído de quantização é modelado por uma distribuição uniforme. Assim, podemos calcular Var[Q] a partir de: Var [Q ]= (b a)2 12 = [LSB /2 ( LSB/ 2)]2 12 = LSB ) Finalmente, como queremos o valor RMS do ruído de quantização, temos: σ Q = Var[Q]= LSB 12

38 Checando sua compreensão Tenho um sinal que excursiona de 0 a 1 V. Determine o valor RMS do ruído de quantização adicionado a este sinal por um quantizador de 10 bits.

39 Em resumo: Amostragem: O sinal analógico deve ser filtrado de modo a não conter componentes acima de fmax = fs/2. devemos amostrar o sinal a uma frequência fs maior ou igual a 2fmax. Quantização: Modelada como um ruído com distribuição uniforme entre -1/2 LSB e 1/2 LSB. Número de bits para a quantização sinal depende da: a) quantidade de ruído já presente no sinal analógico. b) quantidade de ruído que pode ser tolerada no sinal digital.

40 Exercícios Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme entre -1/2LSB e 1/2LSB. Calcule a média e a variância de X. Verifique o ruído adicionado a um sinal analógico por um quantizador de 8 bits. Seja um sinal analógico com amplitude máxima de 1 V, e um ruído aleatório de 1mV rms. Analise o que acontece a este sinal quando o quantizamos com 8 bits.