I-11 Digitalização e Reconstrução

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1 I-11 Digitalização e Reconstrução Comunicações ( de novembro de 017) ISEL - ADEETC - Comunicações 1

2 Sumário 1. Enquadramento em SCD Transmissão de sinal analógico sobre SCD. Teorema da Amostragem Ritmo de Nyquist 3. Amostragem Ideal e Natural Análise no tempo e na frequência Reconstrução 4. Sobreposição Espetral - Aliasing 5. Quantização (uniforme) Relação sinal/ruído de quantização 6. Digitalização e Reconstrução: escolha dos parâmetros 7. Exercícios ISEL - ADEETC - Comunicações

3 1. Enquadramento em SCD Transmissão de sinal analógico sobre SCD ISEL - ADEETC - Comunicações 3

4 1. Enquadramento em SCD O conversor A/D realiza digitalização pela sequência de operações: 1) Amostragem, discretização do eixo dos tempos (em amostras) ) Quantização, discretização do eixo das amplitudes (em intervalos) 3) Codificação, atribuição de códigos aos intervalos de amplitude O conversor D/A realiza a reconstrução, com as operações inversas pela ordem inversa ISEL - ADEETC - Comunicações 4

5 1. Enquadramento em SCD Os parâmetros principais destas operações: Amostragem > frequency of sampling (Fs), frequência de amostragem, é o número de amostras por segundo Quantização -> número de bit por amostra (n), define o número total de intervalos de quantização ( n intervalos) e a largura de cada intervalo de quantização Codificação -> o código binário, usado para a codificação dos intervalos de quantização Como escolher estes três parâmetros na digitalização de um sinal? ISEL - ADEETC - Comunicações 5

6 1. Enquadramento em SCD Amostragem Quantização ISEL - ADEETC - Comunicações 6

7 . Teorema da Amostragem Sinal discreto é uma função real de variável inteira relativa O eixo dos tempos é discreto x[ n]: Z 0 Os valores de amplitude de x[n] são obtidos por amostragem ao ritmo Fs (frequency of sampling), ou seja, a cada Ts (time of sampling) é obtida nova amostra Amostra x[1] corresponde a x(ts); amostra x[] corresponde a x(ts)... ISEL - ADEETC - Comunicações 7

8 . Teorema da Amostragem Também designado por Teorema de Nyquist Harry Nyquist ( ) Seja um sinal de banda limitada ( passa baixo ) que não tenha componentes espetrais com frequências superiores a f m (Hz) Este sinal pode ser amostrado e perfeitamente reconstruído, usando um filtro passa baixo, a partir de amostras obtidas em intervalos regulares com frequência F s > f m (amostras por segundo ou Hz) Ritmo de Nyquist (limite inferior para o valor da frequência de amostragem Fs) f N = f m ISEL - ADEETC - Comunicações 8

9 3. Amostragem Ideal (Domínio do Tempo) Sinal Amostrador Ideal Sinal Amostrado (Discreto) ISEL - ADEETC - Comunicações 9

10 3. Amostragem Ideal (Domínio da Frequência) Sinal Amostrador Ideal Espetro do Sinal Amostrado Réplicas Espetrais ISEL - ADEETC - Comunicações 10

11 3. Amostragem Natural (Frequência) Espetro do Sinal Amostrador Real Onda quadrada com duty cycle a tender para zero A envolvente do espetro é uma função sinc Atenuação nas réplicas espetrais ISEL - ADEETC - Comunicações 11

12 3. Amostragem Natural (Tempo) Sinal Amostrador Real Onda quadrada com duty cycle a tender para zero Sinal Amostrado ISEL - ADEETC - Comunicações 1

13 3. Amostragem da sinusóide Espetro da sinusóide Sinal Amostrado Réplicas Espetrais ISEL - ADEETC - Comunicações 13

14 3. Filtro Reconstrutor Real ISEL - ADEETC - Comunicações 14

15 3. Amostragem ao ritmo de Nyquist Filtro Reconstructor deve ser ideal! ISEL - ADEETC - Comunicações 15

16 3. Sistema de Amostragem e Reconstrução ISEL - ADEETC - Comunicações 16

17 4. Sobreposição Espetral - Aliasing Quando não se cumpre o ritmo de Nyquist, as réplicas espetrais sobrepõem-se O espetro fica distorcido devido ao aparecimento de novas frequências, designadas de alias Assim, é impossível reconstruir o sinal original ISEL - ADEETC - Comunicações 17

18 4. Sobreposição Espetral - Aliasing Sinusóide de 4 khz amostrada à frequência de 6 khz Frequência alias de khz = 6 4 k Hz ISEL - ADEETC - Comunicações 18

19 4. Sobreposição Espetral - Aliasing A componente alias é inferior à frequência original Esta componente aparece na banda do filtro reconstrutor ISEL - ADEETC - Comunicações 19

20 4. Sobreposição Espetral - Aliasing ISEL - ADEETC - Comunicações 0

21 4. Sobreposição Espetral - Aliasing Filtro anti-aliasing idealmente, é um filtro passa-baixo com frequência de corte F s / Remove as componentes acima do ritmo de Nyquist ISEL - ADEETC - Comunicações 1

22 5. Quantização (uniforme) Após a amostragem, realiza-se a quantização (discretização das amplitudes) Realiza-se a representação das amplitudes do sinal amostrado através de palavras binárias com n bit (usando n intervalos de igual largura quantização uniforme) Com n bit por amostra temos n intervalos n=3 8 intervalos Erro de quantização ISEL - ADEETC - Comunicações

23 5. Quantização Exemplo de quantização com V= e n=3 bit/amostra Temos assim 8 intervalos de quantização A largura de cada intervalo é: x / 3 = 4 / 8 = 1 / = 0,5 Considerando que se quantiza a sequência de amostras x = { 1,; -1,; 0,18 ; 0,84 } temos a seguinte sequência de palavras binárias na saída do conversor AD: A partir desta sequência de amostras, o conversor DA, gera as amplitudes x d = { 1,5; -1,5; 0,5 ; 0,75 } O erro de quantização para cada amostra é e= x x d = { -0,05; 0,05; -0,07; -0,09 } ISEL - ADEETC - Comunicações 3

24 5. Quantização A gama de amplitudes do sinal (entre V e +V) é dividida em intervalos de igual largura A largura de cada intervalo é: V / n Número de bit por amostra: n Número de intervalos de quantização: n Gama dinâmica de amplitude do sinal: V Gama dinâmica do ruído/erro de quantização: O erro de quantização varia entre -/ e / Erro de quantização e= x x d x é o valor da amostra (amplitude) de entrada x d é o valor da amplitude de saída (centro do respetivo intervalo de quantização) ISEL - ADEETC - Comunicações 4

25 5. Quantização O erro de quantização varia entre -/ e / O valor absoluto máximo Emax do erro de quantização é / Emax = / Impondo um valor máximo de erro, definido por um Limiar temos E max V n V n 1 Limiar Limiar Limiar Fixando o valor de V e o Limiar, resolvese em ordem a n, para obter o número de bits por amostra ISEL - ADEETC - Comunicações 5

26 5. Quantização Escolha de n V n 1 Limiar V Limiar n 1 n 1 V Limiar n 1 log V Limiar n log V Limiar 1 Obtém-se assim, uma condição para a escolha de n. ISEL - ADEETC - Comunicações 6

27 5. Quantização A SNRQ Signal to Noise Ratio de quantização mede a qualidade da quantização Quanto mais elevado o valor de SNRQ, menor o erro de quantização e maior a qualidade Gama dinâmica de amplitude do sinal: V Gama dinâmica do ruído/erro de quantização: SNRQ 0 db log 10 0 log 10 V 0 log n n 0 log 6,0 n V V n com n o número de bits por amostra V a amplitude máxima quantificável (valores possíveis do sinal entre -V e +V) ISEL - ADEETC - Comunicações 7

28 5. Quantização Ganho de amplitude em db e SNR de quantização uniforme Aproximação à SNRQ G g [ ] 0 log 10 db g G 0,5-1 V SNRQ db 0 log , 0 n 0, , ,5 SNRQ 6n db Por cada bit que se acrescenta ao conversor incrementase 6 db na SNR Cada bit a mais por amostra conduz à duplicação do número de intervalos A duplicação do número de intervalos reduz para metade o erro de quantização subida de 6 db! ISEL - ADEETC - Comunicações 8

29 5. Quantização A SNRQ Signal to Noise Ratio de quantização pode ser analisada assumindo o seguinte: o erro de quantização varia entre -/ e / o erro de quantização tem distribuição uniforme no intervalo de largura (segue uma distribuição uniforme) A potência do erro de quantização é a variância da distribuição uniforme no intervalo entre -/ e / P e 1 ISEL - ADEETC - Comunicações 9

30 5. Quantização ISEL - ADEETC - Comunicações 30 A potência do erro de quantização é a variância da distribuição uniforme no intervalo entre -/ e / n n n n n e V V V V V P

31 5. Quantização A SNRQ Signal to Noise Ratio de Quantização P x Px SNRQ db 10 log log 10 P e V 1 n ,0 log log n n 10 3 P V x n log log 3 log 10 P V x 10 3 P V 3 Px V x n com 10 log 10 n 3 P V x n o número de bits por amostra P x a potência do sinal quantificado V a amplitude máxima quantificável (valores possíveis do sinal entre +V e V) ISEL - ADEETC - Comunicações 31

32 5. Quantização SNR Signal to Noise Ratio de Quantização SNRQ db Px 6,0 n 10 log 10 3 V Considerando que x(t) é uma sinusóide de amplitude máxima V, temos que a sua potência é P x = V / Assim, temos para esta situação: SNRQ 6,0 db n 10 6,0 log n log ,0 V V n 1,76 db ISEL - ADEETC - Comunicações 3

33 5. Quantização Por cada bit que se acrescenta ao conversor incrementa-se 6 db na SNR Cada bit a mais por amostra conduz à duplicação do número de intervalos A duplicação do número de intervalos reduz para metade o erro de quantização No formato CD Áudio: 16 bits => SNR6*1696 db (gama dinâmica do ouvido humano é aproximadamente 100 db) Exemplos CD Áudio: Fs=44100 Hz e n=16 bit/amostra R b = Fs x n = x 16 = bit/s = 705,6 kbit/s Digitalização de Fala: Fs=8000 Hz e n=8 bit/amostra R b = Fs x n = 8000 x 8 = bit/s = 64 kbit/s (Nota: Digitalização de Fala usa Quantização não Uniforme) ISEL - ADEETC - Comunicações 33

34 5. Quantização A SNRQ Signal to Noise Ratio serve também para escolher o valor de n SNRQ db 6, 0 SNRQ db n P x 6,0 n 10 log 10 3 V Fixa-se a qualidade da quantização, impondo um valor de SNRQ Resolve-se em ordem a n Obtém-se assim, outra condição para a escolha de n. ISEL - ADEETC - Comunicações 34

35 6. Digitalização e Reconstrução: escolha dos parâmetros Como escolher os parâmetros principais das três operações fundamentais: Amostragem > frequency of sampling (Fs), deve ser determinada, tendo em conta o ritmo de Nyquist Quantização -> número de bit por amostra (n) é estabelecido pelo máximo erro de quantização admissível ou pela SNRQ (aproximação ou expressão completa) desejada Codificação -> o código binário, deve ser escolhido de acordo com a aplicação e a gama de amplitudes do sinal de entrada: Apenas amplitudes não negativas -> código binário natural, por exemplo Amplitudes positivas e negativas -> código binário complementar, por exemplo Técnica PCM Pulse Code Modulation ISEL - ADEETC - Comunicações 35

36 6. Digitalização e Reconstrução: escolha dos parâmetros Transmissão de sinal analógico sobre SCD R bad = Fs x n R bscd Para a transmissão ser efetuada em tempo real: R bad <= R bscd ISEL - ADEETC - Comunicações 36

37 7. Exercícios Seja x(t) = cos(4000t) o sinal analógico presente na entrada de um conversor A/D. a) Indique as seguintes características do A/D: gama dinâmica (variação máxima de amplitude); frequência de amostragem Fs; número de bits por amostra n, sabendo que o máximo erro de quantização deverá ser, em valor absoluto e =15 mv. b) Nas condições da alínea anterior, indique o ritmo de transmissão binário necessário para transmitir, em tempo real, o sinal produzido pelo conversor A/D. ISEL - ADEETC - Comunicações 37

38 7. Exercícios Solução a) gama dinâmica - a + Volt frequência de amostragem Fs > 8000 Hz; por exemplo (Fs=9000 Hz) número de bits por amostra n = 4 ou superior b) Considerando Fs=9000 Hz, temos RbAD = 9000 x 4 = bit/s. Logo, para transmitir, em tempo real, o sinal produzido pelo conversor A/D, o SCD deverá ter um ritmo igual ou superior a RbSCD = bit/s. ISEL - ADEETC - Comunicações 38

39 7. Exercícios Suponha a existência dos conversores A/D apresentados na tabela, para os quais se indica a frequência de amostragem e o número de bits por amostra Conversor Fs [khz] n bit/amostra A/D1 44,1 16 A/D 8 8 A/D A/D a) Sejam x(t) = 10 cos(500t) + 5 cos(6000t) e y(t) tal que Y(f)=rect(f/16000). Indique o(s) conversor(es) adequado(s) para digitalizar x(t) e y(t). b) Suponha que se utiliza o conversor A/D para digitalizar um sinal com duração de 30 segundos. Quantos bits são produzidos nessa digitalização? ISEL - ADEETC - Comunicações 39

40 Solução 7. Exercícios a) Os conversores adequados para digitalizar x(t) são A/D1, A/D3 e A/D4. Os conversores adequados para digitalizar y(t) são A/D1 e A/D4. b) #bits = ISEL - ADEETC - Comunicações 40

41 7. Exercícios Determinado sinal analógico passa-baixo x(t), com largura de banda 30 khz, foi amostrado com determinada frequência Fs obtendo-se uma sequência de amostras, tal que as primeiras quatro são: {0.6; 0.9; 0.3; 0.1}. a) Qual a gama de valores de Fs que possibilita recuperar x(t) a partir destas amostras? b) Suponha que estas amostras dão entrada num quantizador uniforme, com 4 intervalos, com gama dinâmica entre -1 e +1 Volt e codificação de intervalos em binário natural. i) Qual a sequência binária produzida na saída do quantizador? ii) Apresente o erro de quantização de cada uma das quatro amostras. c) Qual a relação sinal-ruído de quantização, SNRQ? ISEL - ADEETC - Comunicações 41

42 7. Exercícios Solução a) Fs > 60 khz b) i) ii) -0,15-0,15 0,05 0,15 c) SNRQ = 1 db ISEL - ADEETC - Comunicações 4

43 7. Exercícios Exercícios sugeridos (de enunciados de testes de semestres anteriores): Exercício #1, do.º teste parcial, verão 016/017, 6 de junho de 017 Exercício #5, do teste de época normal, verão 016/017, 5 de julho de 017 ISEL - ADEETC - Comunicações 43

44 7. Exercícios Exercícios sugeridos (de enunciados de testes de semestres anteriores): Exercício #1, do.º teste parcial, inverno 016/017, 10 de janeiro de 017 Exercício #5, do teste de época normal, inverno 016/017, 30 de janeiro de 017 Exercício #6, alínea i), do teste de época de recurso, inverno 016/017, 16 de fevereiro de 017 ISEL - ADEETC - Comunicações 44

45 7. Exercícios Exercícios sugeridos (de enunciados de testes de semestres anteriores): Exercício #4, alínea i), do.º teste parcial, verão 015/016, 15 de junho de 016 Exercício #6, do teste de época normal, verão 015/016, 30 de junho de 016 Exercício #1, do.º teste parcial, inverno 015/016, 14 de janeiro de 016 Exercício #5, do teste de época normal, inverno 015/016, 1 de fevereiro de 016 ISEL - ADEETC - Comunicações 45