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1 CDI Comunicação Digital DeModulação em Banda Base Digital Communications Fundamentals and Applications Bernard Sklar ª edição Prentice Hall Marcio Doniak CDI 75 Comunicação Digital /8

2 . Introdução Figura : Sinal em Banda Base e Sinal em Banda Passante. Um sinal é dito ser de banda passante quando f c f m. Note que a largura de banda do sinal em banda base é f m, enquanto em banda passante é f m.. O Dilema da Largura de Banda Diversos teoremas importantes de comunicações e teoria da informação estão baseados na consideração dos canais serem estritamente limitados em banda, o que significa que nenhuma potência do sinal é permita fora da banda definida. Mas assim surge o dilema que sinais estritamente limitados em banda, conforme ilustra a Figura (b), não são realizáveis porque estes sinais tem duração infinita. Já sinais com duração finita, como o sinal x t ilustrado na Figura (c), podem ser facilmente realizáveis. Resumidamente, para todos os espectros limitados em banda, suas formas de onda não são realizáveis, e para todas as formas de onda realizáveis a largura de banda absoluta é infinita. Assim, a descrição matemática de um sinal real não permite que o sinal seja estritamente limitado no tempo e também em banda. Por isso, os modelos CDI 75 Comunicação Digital /8

3 matemáticos são abstrações; e não é de se admirar que não exista uma definição universal única de largura de banda. Figura : (a) Sinal estritamente limitado em banda no domínio do tempo. (b) Sinal estritamente limitado em banda no domínio da frequência. (c) Sinal limitado temporalmente no domínio do tempo. (d) Sinal limitado temporalmente no domínio da frequência. Todos os critérios de largura de banda tem em comum a tentativa em especificar uma medida de largura de banda, W, de um valor real não-negativo da densidade espectral definida para todas as frequências f. A Figura 4 ilustra algumas das definições de largura de banda comumente usadas, nos quais, geralmente não são intercambiáveis. A densidade espectral de potência de um lóbulo para um único pulso heterodino x t, conforme ilustrado na Figura 3, tem a seguinte forma analítica: sen f f c T GX f = T [ ] f f c T onde f c é a frequência da portadora e T é a duração do pulso. A densidade espectral de potência (PSD) também caracteriza uma sequência de pulso aleatória, considerando que o tempo CDI 75 Comunicação Digital 3/8

4 médio é grande o suficiente com relação a duração do pulso. Os critérios de definição de largura de banda ilustrados na Figura 4 são descritos como: Figura 3: Sistema heterodino. Figura 4: Largura de banda de um sinal digital. (a) Meia-potência. (b) Ruído equivalente. (c) Nulo a nulo. (d) 99% da potência. (e) Delimitado pela PSD (define atenuação fora da largura de banda) para 35 db e 5 db. a) Largura de banda de Meia-Potência: é o intervalo entre as frequências no qual a G X f cai para a metade, ou seja, cai 3 db da potência de pico. b) Equivalente retangular ou ruído equivalente: é definido pela relação entre a potência total para todas as frequências e G X f c que representa a G X f na frequência central (normalmente é o valor máximo de G X f ), W N = P X /G X f. CDI 75 Comunicação Digital 4/8

5 c) Nulo-a-nulo: é uma das mais populares medidas de largura de banda, onde é medido o tamanho do lóbulo principal, onde, normalmente, a maior parte da potência do sinal está contida. d) 99% da potência: é definida como a banda que deixa exatamente,5% da potência do sinal acima do limite de banda superior e exatamente,5% da potência do sinal abaixo do limite inferior de banda. Logo, 99% da potência do sinal fica dentro desta largura de banda. e) Delimitado pela densidade espectral de potência: este método afirma que em qualquer ponto fora da banda especificada, G X f deve cair pelo menos a um certo nível abaixo do valor encontrado no centro da banda. Este valor de atenuação normalmente é 35 db ou 5 db. f) Largura de banda absoluta: é o intervalo entre frequências cujo o qual o espectro é zero fora deste intervalo. Lembrando que para todas as formas de onda realizáveis, a largura de banda absoluta é infinita. 3. Transmissão em Banda Base Um diagrama de blocos de um sistema em banda básica é mostrado na Figura 5. Figura 5: Diagrama de blocos de um sistema em banda base. CDI 75 Comunicação Digital 5/8

6 4. Detecção de Sinais Binários na Presença de Ruído Gaussiano A tarefa definida para o detector é recuperar a sequência de bits da forma de onda recebida com o menor erro possível. Existem duas causas básicas que causam a degradação na performance de erro do sinal (aumento da probabilidade de erro de bit P B). A primeira é resultado da ação dos filtros no transmissor, canal e receptor. Isso ocorre porque uma função de transferência não ideal causa interferência intersimbólica (ISI). A outra causa é devido ao ruído elétrico e interferência produzida por várias fontes. Estas podem ser previnidas e assim, minimizadas. Considere que a cada T segundos seja transmitido os sinais: Figura 6: Sinais binários sendo transmitidos. Devido ao ruído o sinal recebido, r t, será: r t = si t n t, i =, t T onde n t é um processo estocástico AWGN de média nula. A Figura 6 ilustra um receptor digital com funções típicas de demodulação e detecção. Os blocos hachurados são opcionais no circuito e, portanto, não serão considerados na análise de detecção do sinal. O bloco frequency down-convertion realiza a mudança de frequência do sinal para a banda básica. O bloco equalizing filter somente é necessário quando o canal pode levar a interferência intersimbólica (ISI). Assim, o processo de demodulação e amostragem é composto por dois blocos essenciais, o primeiro é o bloco receiving filter (filtro linear receptor), h t, que é responsável por recuperar o pulso em banda base com a melhor relação sinal-ruído (SNR) possível. O segundo é o amostrador, que ao final da duração de cada símbolo T, produz uma amostra z T, que possui um valor de tensão diretamente proporcional a energia do símbolo recebido e inversamente proporcional ao ruído. Na saída do filtro linear, h(t), temos: z t = r t h t = s i t h t n t h t si t h t = ai t CDI 75 Comunicação Digital e n t h t = n t 6/8

7 z t = a i t n t Logo, na saída do amostrador teremos: z T = a i T n T onde a i t é componente desejada do sinal e n t é a componente de ruído, que pode ser chamado de ruído colorido. Figura 6: Dois passos para realizar a demodulação/detecção dos sinais digitais. É importante ficar claro que n e n T são variáveis aleatórias Gaussianas com média zero e descorrelacionadas entre si. Logo, elas são independentes uma da outra. Simplicando a notação após a amostragem: z T = z, a i T = a i, n T = n, assim temos: z = ai n z G ai,, é uma variável aleatória Gaussiana com média a i e variância do ruído. Relembrando a função densidade de probabilidade (pdf) do ruído aleatório Gaussiano n: CDI 75 Comunicação Digital 7/8

8 Assim, conseguimos expressar a probabilidade (pdf) condicional com relação aos sinais s e s : e A Figura 7 ilustra as pdfs condicionais para os sinais s e s. A curva mais a direita nesta figura é a probabilidade condicional p z / s, chamada de probabilidade de s. Ela ilustra a pdf da variável aleatória z T, dado que o símbolo s foi transmitido. Figura 7: Função densidade de probabilidade condicional: p z / s e p z / s. Após a forma de onda recebida ter sido transformada em uma amostra, o formato da forma de onda não é mais importante; todos os tipos de formas de onda transformadas para o mesmo valor z T são identicas para a detecção. Mais adiante vamos ver o filtro casado que mapeia todos os sinais de mesma energia para o mesmo ponto z T. Assim, como z T é um sinal de tensão que é proporcional a energia do símbolo recebido, então, quanto maior for a magnitude de z T, menor será o erro no processo de decisão. A detecção é realizada escolhendo entre uma das possíveis hipóteses relacionadas a um CDI 75 Comunicação Digital 8/8

9 limiar de decisão : onde H e H são duas hipóteses possíveis. A relação de desigualdade indica, por exemplo, que a hipótese H será escolhida se z T. Decidir por H é o mesmo que definir que o sinal s foi transmitido, ou seja, decidir pelo bit. 5. Critérios de Decisão 5. MAP (Maximum A Posteriori) Seja P s i / z a probabilidade de si ter sido transmitido dado que z foi observado. Dentro deste critério fazemos o seguinte teste de hipóteses: Note que estas probabilidades implicam em observar o que foi transmitido dado o valor recebido. Mas é mais fácil observarmos a probabilidade do sinal ser recebido dado que um determinado sinal foi transmitido. Para isso, aplicamos a regra de Bayes no critério MAP. A regra de Bayes diz o seguinte: P A/ B = P A, B P A, B ou P B / A = P B P A P si / z = P si, z P z P si / z = P z, si P s i P z P z / si = P z, si P si, z = P s i P si Assim aplicando o critério MAP: onde p z / s i função de verosimilhança (likelihood function) CDI 75 Comunicação Digital 9/8

10 5. Receptor de Máxima Verosimilhança No caso em que a fonte é uniformemente distribuída, ou seja, p s = P s = /, o critério MAP se reduz ao ML (Maximum Likelihood) critério de Máxima Verosimilhança: O limiar de decisão (threshold) é: Ao tomar a decisão com base no ML, o receptor pode errar. Qual é essa probabilidade de erro? Primeiramente, vamos supor que s t foi transmitido: P e/ s = P H / s = P z / s P e/ s = P z / s dz Da mesma forma, podemos considerar que s t foi transmitido: P e/ s = P H / s = P z / s P e/ s = P z / s dz De maneira geral, a probabilidade de erro é: P B = P e / s. P s P e/ s. P s ou de forma equivalente, P B = P H / s. P s P H / s. P s Para o caso onde as probabilidades a priori (probabilidade da fonte) são iguais, ou seja, P s = P s = /. CDI 75 Comunicação Digital /8

11 [ P e/ s P e/ s ] = [ P H / s P H / s ] PB = E como as funções densidade de probabilidade são simétricas: P B = [ P H / s = P H / s ] Assim, revendo a Figura 7, podemos calcular a probabilidade de erro da seguinte forma: a a limiar de decisão = PB z a = exp [ ] dz PB z a = exp [ ]dz Onde é a variância do ruído na saída do filtro, h(t). Agora considere a seguinte mudança de variável: u = z a du dz = du = dz = du. dz Verificando os limites de integração: Para z, então, u. Para z = a a a a a a [ a ] =, então, u = Substituindo tudo na função PB: PB = a a u exp[ ] du Assim, podemos experessar a probabilidade de erro de bit pela função Q, chamada de função de erro complementar. E, Q x, é o símbolo comumente usado para representar a probabilidade de erro da pdf Gaussiana. CDI 75 Comunicação Digital /8

12 u Qx = exp du x x Q(x) + / x Q(x) Se x Q x ~ Como x = x e a a, temos: PB = Q a a Neste caso, quanto mais afastados os sinais a e a estiverem um do outro, menor será o ruído. 6. Filtro Casado O filtro casado é um filtro linear projetado para maximizar a relação sinal-ruído (SNR) na sua saída para uma dada forma de onda do símbolo transmitido. Conforme foi apresentado na Figura 6, o sinal na entrada do filtro linear, invariante no tempo é r t = si t n t. E o sinal na saída do amostrador é z T = a i T n T, que consiste da componente do sinal a i e da componente de ruído n. A potência média do ruído é dada pela sua variância ( ). Logo, a relação sinal-ruído (SNR) no instante de tempo t = T, na saída do amostrador: SNR T = a i Nós desejamos encontrar a função de transferência do filtro, H f, que maximize a relação sinal-ruído. a i t = s i t h t Ai f = S i f. H f S i f transformada de Fourier do sinal de entrada, s i t. CDI 75 Comunicação Digital /8

13 Usando a transformada inversa de Fourier: Ai f.e a i t = j ft df = S i f. H f. e j ft df A potência do ruído na saída do filtro casado é: = G n f df G n f = G n f. H f G n f densidade espectral de potência do ruído colorido G n f densidade espectral de potência do ruído branco, N / N = H f df Assim, no instante t = T, teremos: SNR T = i a T S i f. H f.e j ft. df = N H f. df Recorrendo a desigualdade de Schwarz: f t. f t. dt f t. dt. f t. dt Considerando o limite, ou seja, a igualdade: onde k é uma constante, e * indica a operação de complexo conjugado. Aplicando a desigualdade de Schwarz: f f = H f CDI 75 Comunicação Digital f f = S i f. e j ft 3/8

14 H f. S i f. e j ft. df H f. df. S i f. df H f. df. S i f. df SNR T N H f. df S i f. df SNR T N E = S i f. df é a energia do sinal SNR T E N max SNR T = E N Note que a relação sinal-ruído depende apenas da energia do sinal si t, e não da sua forma particular. A função de transferência que maximiza a SNR é: Para achar a resposta ao impulso, h(t), do filtro, usa-se a transformada inversa de Fourier. h t = k.s i T t, para t T. Diz-se que h t é o filtro casado ao sinal si t. A Figura 8 ilustra a propriedade básica do filtro casado: a resposta ao impulso do filtro é uma versão atrasada da forma de onda do sinal espelhada (rotacionada no eixo t =). Desta forma, seja o sinal s(t), sua forma de onda espelhada é s(-t), e sua versão atrasada em T segundos é s(t t). CDI 75 Comunicação Digital 4/8

15 Figura 8: Forma de onda de um sinal e a resposta ao impulso do filtro casado a este sinal. 7. O Correlator Seja h(t) a resposta ao impulso do filtro casado e r(t) o sinal recebido, o sinal na saída do filtro, z(t), será: t z t = r t h t = r h t d Substituindo a resposta ao impulso de h(t), considerando k =, temos: t z t = t r si {T t }d = r s i T t d E quando, t = T: T z T = r si d Essa operação descrita acima, correspondente a integral do produto do sinal recebido pela réplica do sinal transmitido dentro do intervalo de duração de um símbolo, é chamado de correlação do sinal r(t) com s(t). Por exemplo, considere que o sinal recebido r(t), é correlacionado com cada componente do sinal si t, i =,,3,, M, usando um banco de M correlatores. Logo, o sinal si t cuja correlação maximiza a saída z i T é o sinal que melhor casa com o sinal recebido r t comparando com todas os outros M- sinais. Qual a diferença entre correlação x t, y t e a convolução x t y t? T Já vimos que: z T = r si d CDI 75 Comunicação Digital 5/8

16 T E sabemos que: x t, y t = x y d Logo, em t = T a saída do filtro casado é identica a saída do correlator. Por exemplo, seja um sinal de entrada dada por uma função seno, a saída do correlator, z(t), é aproximadamente a uma rampa linear com duração t T. Porém, a saída do filtro casado é aproximadamente uma função seno modulada por uma rampa linear com a mesa duração. Essa comparação está ilustrada na Figura 9. Como o resultado desejado no processo de detecção é maximizar a SNR, falar de convolução e correlação usando um filtro casado são termos similares. Figura 9: Comparação entre convolução e correlação de um sinal em um filtro casado. A Figura apresenta a equivalência entre um filtro casado e um correlator. 8. Probabilidade de Erro com Filtro Casado Já vimos que: PB = Q a a Conforme pode ser observado na Figura 7, quanto mais afastados estiverem os sinais a e a menor será a probabilidade de erro. Desta forma, desejamos maximizar a distância entre estes sinais, ou seja, queremos maximizar CDI 75 Comunicação Digital a a. Ou de forma equivalente, desejamos 6/8

17 a i a a =, para minimizar a PB. Então, se maximizarmos, maximizar a SNR, SNR T estaremos maximizando a SNR e minimizando a probabilidade de erro de bit. Figura : Equivalência entre filtro casado e correlator. (a) Filtro Casado. (b) Correlator. Para fazermos isso, devemos usar um filtro casado ao sinal diferença: d t = s t s t, logo h t = s T t s T t resposta ao impulso do filtro casado ao sinal diferença. SNR T = a a = Ed N E d é a energia do sinal diferença d t. T Ed = s t s t dt Para analisar a probabilidade de erro, devemos relacionar as equações já obtidas: P B = Q a a e SNR T = a a Ed a a =, logo teremos: = N Ed. N Portanto: CDI 75 Comunicação Digital 7/8

18 PB = Q Ed Ed. = Q N N 8. Sinal Unipolar Considere o sinal unipolar: s t = A, t T, s t =, t T, bit bit Seja a sequência binária transmitida,, como ilustra a Figura. Figura : Sinal unipolar. O sinal diferença será: d t = s t s t = A = A, t T E a energia do sinal diferença será: T Ed = A dt = A T A probabilidade de erro é: PB A T = Q N Vamos verificar a probabilidade de erro de bit em função da energia de bit. Analisando a energia média de cada bit E b, temos: E b = E s. P sinal E s. P sinal CDI 75 Comunicação Digital 8/8

19 T T como os sinais são equiprováveis, a sua E b = s t dt. s t dt. probabilidade de serem transmitidos são iguais, /. A T Eb = A T.. = Logo, podemos expressar a probabilidade de erro de bit em função da SNR, E b / N. PB = Q Eb N Agora precisamos definir o limiar de decisão ótimo, : = a a a = a T = s t h t, em t=t h t é o filtro casado ao sinal diferença, d t = s t s t. h t = s T t s T t Mas, como s T t =, então, a = a T = s t h t =. Assim, precisamos apenas achar o valor de a. A Figura ilustra a convolução do sinal com o filtro casado. Figura : Convolução do sinal unipolar pelo filtro casado. CDI 75 Comunicação Digital 9/8

20 O resultado desta convolução no instante t = T, que maximiza a SNR é: a = a T = s t h t = A T Agora, como já temos os valores de a e a, conseguimos definir o limiar de decisão: = a a = A T = A T O receptor ótimo para o caso unipolar está ilustrado na Figura 3. Figura 3: Receptor ótimo para um sinal unipolar. 8. Sinal Bipolar Considere o sinal bipolar: s t = A, t T, s t = A, t T, bit bit Seja a sequência binária transmitida,, como ilustra a Figura 4. Figura 4: Exemplo de um sinal bipolar. A Figura 5 ilustra os sinais s t, CDI 75 Comunicação Digital s t e d t = s t s t. /8

21 Figura 5: Representação dos sinais bipolares e seu sinal diferença. E a energia do sinal diferença será: T Ed = T s t s t. dt = A. dt = 4A T A probabilidade de erro de bit é: PB 4A T A T = Q = Q N N A energia média de bit, E b, é: E b = A T. Logo: A T. = A T PB = Q Eb N O limiar de decisão ótimo para o caso bipolar é: = a a Como, s t = s t = a = a e a = a a a = O receptor ótimo para o caso bipolar está ilustrado na Figura 6. CDI 75 Comunicação Digital /8

22 Figura 6: Receptor ótimo para o caso bipolar. Uma comparação entre as probabilidade de erro de bit dos sinais unipolar e bipolar está ilustrado na Figura 7. Note que existe uma diferença de 3 db com relação a SNR entre os dois sinais. Figura 7: Probabilidade de erro de bit para os sinais unipolar e bipolar. CDI 75 Comunicação Digital /8

23 8.3 Transmissão Multinível Uma forma de aumentar a taxa de transmissão sem causar uma expansão espectral é fazer uso da transmissão multinível. Considere uma transmissão binária bipolar com uma taxa de R símbolos (ou bits) por segundo, conforme mostra a Figura 8. Figura 8: Transmissão binária bipolar. Seja o sinal de informação definido como: si t = i, M = t T, i =,,,3,,M. k A Figura 9 mostra os sinais no formato multinível com seus símbolos representados. Figura 9: Símbolos de um sinal multinível com 3 bits sendo representado por cada nível. CDI 75 Comunicação Digital 3/8

24 Seja uma sequência binária transmitida, conforme mostra a Figura, qual é a taxa de bit do sinal transmitido, para T = ms? Figura : Sequência binária transmitida por sinais multinível. A cada T segundos temos 3 bits sendo transmitidos. Então a taxa de bit é: Rb = 3/T. Logo, se T = ms, será Rb = 3 kbps. Seja um outro exemplo, o sinal de informação definido como: si t = i, k M =, t kt, i =,,,3,, M. k =3 Neste exemplo, a duração de cada símbolo é 3 vezes maior do que no exemplo anterior. Logo, a taxa de bit será: Rb = 3 bits = kbps. 3T 9. Interferência Intersimbólica (ISI) Interferência intersimbólica (ISI) é a interferência que os símbolos provocam em símbolos adjacentes (vizinhos) devido ao alargamento temporal dos pulsos por causa das distorções introduzidas pelos filtros transmissor e receptor, e principalmente, pelo canal. A Figura ilustra um sistema digital em banda base sem a presença de ISI e com a presença de ISI. CDI 75 Comunicação Digital 4/8

25 Figura : Interferência intersimbólica no processo de detecção. (a) Típico sistema digital em banda base. (b) Sistema com a presença de interferência intersimbólica. Considerando que o canal é o principal responsável pela introdução de ISI, e uma vez que se conhece as características do canal, deseja-se projetar os filtros do transmissor e do receptor de forma anular o efeito da ISI na saída do filtro recpetor, particularmente em t = kt. A proposta para resolver este problema é considerar um filtro conjunto, H(f): H f = H T f. H C f. H R f H T f filtro equivalente do transmissor H C f filtro equivalente do canal H R f filtro equivalente do receptor Nyquist investigou o problema da ISI especificando um pulso cuja sua forma não incidisse em ISI no detector. Ele demonstrou teoricamente que a largura de banda mínima que um sistema precisa para detectar R s simb /s, sem ISI, é R s / Hz. Isso ocorre quando a função de transferência do sistema, H f, é retangular, como mostra a Figura. Para sistemas em banda base, quando H(f) é um filtro com largura de banda /T (filtro de Nyquist ideal), a sua resposta ao impulso, a transformada inversa de Fourier de H(f), é h t = sinc t /T. Nyquist estabeleceu que se cada pulso de uma sequência recebida está na forma sinc t /T, então, os pulsos podem ser detectados sem ISI. CDI 75 Comunicação Digital 5/8

26 A Figura (b) ilustra dois pulsos sucessivos, h t e h t T. Note que quando a função está em seu valor máximo, as demais estão passando por zero, e isso acorre a cada período T do sinal. Assim, se outros pulsos forem introduzidos na forma h t kt, e considerando que o período de amostragem é perfeito, nenhuma degradação do sinal por ISI será introduzida. Figura : Canal sem interferência intersimbólica. (a) Função de transferência do canal H(f). (b) Pulso recebido, h t = sinc t /T.. Cosseno Levantado A configuração de um filtro é escolhida para otimizar a composição do sistema através da função de transferência, H(f). Uma função de transferência, H(f), comumente usada que pertence a classe de Nyquist, ou seja, sem ISI dentro do período de amostragem, é chamada de filtro cosseno levantado. A função de transferência, mostrada na Figura 3, é dada pela equação a seguir: onde: W largura de banda absoluta W= T largura de banda mínima de Nyquist W W excesso de faixa CDI 75 Comunicação Digital 6/8

27 r = W W fator de roll-off (decaimento) W Figura 3: Função de transferência de um filtro cosseno levantado. A resposta ao impulso do filtro cosseno levantado é ilustrado na Figura 4, e é dado por: h t = W sinc W t cos W W t 4 W W t Figura 4: Resposta ao impulso do filtro cosseno levantado. CDI 75 Comunicação Digital 7/8

28 Nós podemos apenas implementar um filtro cosseno levantado aproximado. Porque este tipo de filtro não é fisicamente realizável devido ser não-causal. Um filtro realizável precisa ter duração finita, e este não é o caso, pois, sua resposta ao impulso começa em t=. Assim, o filtro deve satisfazer dois critérios. Ele deve ter um fator de roll-off desejado, e deve ser realizável, ou seja, a resposta ao impulso deverá ser truncada para ter um tamanho finito. A faixa de frequência utilizada pode ser definida em função do fator de roll-off, conforme ilustra essa dependência a Figura 3. W = onde W = r R s em banda base R s= é taxa de símbolo. T r banda passante T Exemplo: Seja a taxa de bit Rb=4 bps de uma transmissão multinível com M =4, ou seja, bits /nível ou bits/ símbolo. A taxa de símbolo será: R s = Rb 4 bits / s = = símbolos/ s k bits / símbolo Se o excesso de faixa for r = : Em banda base teremos: W = Hz Em banda passante teremos: W = 4 Hz Como a resposta h t se aplica ao sistema completo. Se h c t for livre de distorção, então, pode-se projetar h T t = h R t sendo igual a raiz quadrada do cosseno levantado. Logo, H c f = e H f = H T f. H R f Se h c t contiver distorção, usa-se equalização. CDI 75 Comunicação Digital 8/8

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