GP-IB. Artur Palha n o Ana Vieira da Silva n o Pedro Ribeiro n o

Transcrição

1 GP-IB Artur Palha n o Ana Vieira da Silva n o Pedro Ribeiro n o Resumo Amostragem de sinais AM e FM com gerador de RF e osciloscópio comandados por GP-IB Set up da experiência Pré-determinação das frequências de Nyquist Frequência de Nyquist A regra que rege o bom sampling de um sinal, aquando da sua digitalização, é o teorema de Nyquist, que diz que a frequência de sampling tem de ser pelo menos o dobro da frequência da maior frequência presente no espectro da onda a ser estudada. Por outras palavras, têem de existir, pelo menos, duas amostras por ciclo para qualquer componente de frequência que se deseje definir. Se tal não se verificar ocorre o que se chama de aliasing. Temos então que: ω s > ω N Onde ω N espectro. é a frequência de Nyquist, que é igual ao dobro da maior frequência presente no Determinação das frequências de Nyquist e da TimeBase do osciloscópio Para se determinar a frequência de Nyquist é necessário primeiro determinar o espectro de cada um dos sinais a amostrar. Comece-se pelo sinal sinusoidal. Facilmente se verifica que o seu espectro só apresenta, no intervalo [0, + ], uma componente não nula para a frequência da sinusóide, no nosso caso 40KHz. Para o caso da modulação AM há que proceder com maior cautela. Um sinal AM é representado, matematicamente, pela expressão: v (t) = A (1 + m cos (2πf m t)) sin (2πf p t) Onde f p e f m são as frequências da portadora e da moduladora, respectivamente. A análise deste espectro é feita mediante uma transformada de Fourier. A transformada de Fourier de v (t) é, para o espectro positivo: π V (ω) = Ai 2 δ(2π(f p f)) δ(2π(f p f m f)) δ(2π(f p + f m f)) Assim, verifica-se que existem três frequências no espectro deste sinal: f p f m, f p, f p + f m. Logo, a frequência de Nyquist (f N ) é igual a (f p + f m ). A modulação FM é tratada de igual forma. Um sinal Fm é representado, matematicamente, pela expressão: v (t) = A sin 2πf p t + f m cos(2πf m t) 1

2 A sua transformada de Fourier revela um espectro contínuo pelo que a determinação da frequência de Nyquist é feita por estimativa. (...) Determinada a frequência de Nyquist resta saber como relacioná-la com a TimeBase. A frequência de sample (f s ) é dada por 250 (TB a TimeBase). Logo, dada a restrição imposta T B pelo teorema de Nyquist temos que: T B < 250 2f N Desta feita construiu-se uma tabela com os valores de TB máximo para os três sinais. Sinal Sinusóide AM FM TimeBase max s s s Montagem e ajustes iniciais A montagem utilizada consistia num PC conectado a um osciloscópio e a um gerador de sinais, por BUS GP-IB. Por sua vez, o gerador estava ligado, analogicamente, ao osciloscópio. Antes de se iniciar a aquisição dos dados procedeu-se a um set up do equipamento, para nos certificarmos de que este ser encontrava correctamente configurado. Número de pontos de aquisição: 250 p/div; Não tinha offset; Desligou-se todo o tipo de modulação (AM, FM, Pulse) Onda sinusoidal de 40KHz Começou-se por gerar uma onda sinusoidal de 40KHz de frequência e 2 V de amplitude, no gerador. Para tal executou-se a seguinte sequência de comandos endereçados ao gerador: ibwrt CTO" ibwrt W1" ibwrt FRQ 40KHZ" ibwrt AMP 200E-2V" Em seguida configurou-se o osciloscópio para adquirir dados, executando-se a seguinte sequência de comandos endereçados ao osciloscópio: ibwrt CH1:SCA100E-3" ibwrt HOR:MAI:SCA2.5E-3" ibwrt WAF?" ibrdf a:\por Todos estes comandos foram repetidos, trocando apenas o que se referia à escala temporal ibwrt HOR:MAI:SCA2.5E-3" e o que se referia ao nome do ficheiro ibrdf a:\por, ficando. ibwrt HOR:MAI:SCA1E-5" ibrdf a:\por1 ibwrt HOR:MAI:SCA1E-4" ibrdf a:\por2 ibwrt HOR:MAI:SCA5E-3" ibrdf a:\por3 ibwrt HOR:MAI:SCA5E-2" ibrdf a:\por1 2

3 Onda AM com portadora de 40KHz e modulada de 1KHz Comandou-se o gerador por forma a criar uma onda AM. A modulação, provinha de um sinal exterior ao gerador. Neste caso um outro gerador sinusoidal, regulado para uma frequência de 1KHz. Para tal executou-se a seguinte sequência de comandos: ibwrt CT2" Em seguida configurou-se o osciloscópio para adquirir dados, executando-se a seguinte sequência de comandos endereçados ao osciloscópio: ibwrt HOR:MAI:SCA5E-3" ibwrt WAF?" ibrdf a:\am Todos estes comandos foram repetidos, trocando apenas o que se referia à escala temporal ibwrt HOR:MAI:SCA5E-3" e o que se referia ao nome do ficheiro ibrdf a:\am, ficando. ibwrt HOR:MAI:SCA5E-4" ibrdf a:\am1 ibwrt HOR:MAI:SCA1E-2" ibrdf a:\am2 ibwrt HOR:MAI:SCA5E-2" ibrdf a:\am3 Onda FM com portadora de 40KHz e modulada de 1KHz Comandou-se o gerador por forma a criar uma onda FM. A modulação, provinha de um sinal exterior ao gerador. Neste caso um outro gerador sinusoidal, regulado para uma frequência de 1KHz. Para tal executou-se a seguinte sequência de comandos: ibwrt CT1" Em seguida configurou-se o osciloscópio para adquirir dados, executando-se a seguinte sequência de comandos endereçados ao osciloscópio: ibwrt HOR:MAI:SCA5E-4" ibwrt WAF?" ibrdf a:\fm Todos estes comandos foram repetidos, trocando apenas o que se referia à escala temporal ibwrt HOR:MAI:SCA5E-4" e o que se referia ao nome do ficheiro ibrdf a:\fm, ficando. ibwrt HOR:MAI:SCA5E-6" ibrdf a:\fm1 Apresentação e tratamento de dados Sinusoide de 40KHZ Apresentam-se de seguida os dados obtidos para a sinusóide, para as diferentes TimeBase. Os gráficos seguintes são, pois, o sinal visto numa janela de 2048 pontos (parte do osciloscópio), transformadas discretas de Fourier calculadas com o método FFT de dois programas diferentes: Mathematica e Origin. 3

4 (b) Janela de 30 pontos (c) FFT do Mathematica (d) FFT do Origin Figura 1: Sinusoidef sample = 100KHz 4

5 (b) FFT do Mathematica (c) FFT do Origin Figura 2: Sinusoidef sample = 2.5MHz 5

6 (b) FFT do Mathematica (c) FFT do Origin Figura 3: Sinusoidef sample = 25MHz 6

9 Sinal AM com portadora de 40KHZ Apresentam-se de seguida os dados obtidos para o sinal AM, para as diferentes TimeBase. Os gráficos seguintes são, pois, o sinal visto numa janela de 2048 pontos (parte do osciloscópio), transformadas discretas de Fourier calculadas com o método FFT de dois programas diferentes: Mathematica e Origin. (a) Janela de 2048 pontos (b) FFT do Mathematica (c) FFT do Origin Figura 6: AMf sample = 25KHz u Sinal FM com portadora de 40KHZ Apresentam-se de seguida os dados obtidos para o sinal FM, para as diferentes TimeBase. Os gráficos seguintes são, pois, o sinal visto numa janela de 2048 pontos (parte do osciloscópio), transformadas discretas de Fourier calculadas com o método FFT de dois programas diferentes: Mathematica e Origin. Análise dos dados Com base nos espectros fornecidos pelas FFT, construiu-se uma tabela que resume os resultados obtidos acima. A tabela contém o valor das abcissas dos picos dos espectros para as diferentes frequências de sample. 9

10 (b) FFT do Mathematica (c) FFT do Origin Figura 7: AMf sample = 500KHz 10

11 (b) FFT do Mathematica (c) FFT do Origin Figura 8: AMf sample = 50KHz 11

12 (b) Janela de 300 pontos (c) FFT do Mathematica pormenor direita (d) FFT do Mathematica pormenor esquerda (e) FFT do Mathematica global (f) FFT do Origin (g) FFT do Origin (h) FFT do Origin Figura 9: AMf sample = 5KHz 12

13 (b) FFT do Mathematica Figura 10: F Mf sample = 500KHz (a) Janela de 2048 pontos (b) FFT do Mathematica Figura 11: F Mf sample = 50MHz 13

14 Sinal f sample Mathematica (Hz) Origin (Hz) Sinusóide 100KHz Sinusóide 2.5MHz Sinusóide 25MHz Sinusóide 50KHz Sinusóide 5KHz AM 25KHz AM 500KHz AM 5KHz AM 50KHz FM 500KHz FM 50MHz Da análise dos resultados, verifica-se que existe uma certa disparidade nos valores obtidos quer por um programa quer pelo outro, parecendo-nos, em primeira análise, que os resultados do Mathematica se encontram em plena concordância com o que era esperado, logo tratam-se de uns dados mais adequados. Por forma a dissecarmos as causa desta disparidade fomos analisar o que cada programa fazia, no cálculo da FFT. A única grande diferença entre os dois programas é a seguinte: o Mathematica utiliza o número de pontos que se desejar, ao passo que o Origin utiliza apenas um número de pontos do tipo 2 n. Tal, inicialmente, não nos pareceu que levasse a grandes diferenças, erroneamente. A transformada discreta de Fourier (DFT) é definida por: onde: N 1 X d (k f) = t n=0 x(n t)e i2πk fn t N número de pontos t o intervalo de tempo entre samples, 1 f sample f o intervalo de sample das frequências n o índice de sample do tempo k o índice para o conjunto de frequências discretas calculadas x(n t) o conjunto discreto de amostragens temporais que define a onda a ser transformada X(n f) o conjunto discreto de coeficientes de Fourier, obtidos pela DFT de x(n t) Assim sendo o espaçamento no espectro de frequências é f = 1 N t 14

15 Quando a frequência dos sinais a serem analisados não é um múltiplo de f ocorre um fenómeno que se chama de leakage. As frequências de amostragem não caiem em cima das frequências do sinal a analisar. Tal faz com que, onde deveria aparecer um pico, surgem dois picos mais pequenos. A frequência do nosso sinal encontra-se no meio dessas duas. O que se passa então com os dados dos nossos dois programas? Como o Origin utiliza números do tipo 2 n, facilmente se verifica que a f nunca será um submúltiplo de nenhuma das frequências do sinal amostrado. Mostra-se de seguida uma tabela que apresenta os valores de f para os dois programas e para as diferentes f sample. Sinal f sample f Mathematica (Hz) f Origin (Hz) Sinusóide 100KHz Sinusóide 2.5MHz Sinusóide 25MHz Sinusóide 50KHz Sinusóide 5KHz AM 25KHz AM 500KHz AM 5KHz AM 50KHz FM 500KHz FM 50MHz Facilmente se conclui que nenhum dos espectros obtidos pelo programa Origin nos dá, neste caso, o resultado adequado. Intersectando os dados desta tabela com os da anterior facilmente pode-se comprovar o teorema de Nyquist. Para frequências de amostragem acima da frequência de Nyquist o sinal é recuperado na sua totalidade, não se verifica aliasing 1. Se, pelo contrário, a frequência de amostragem for inferior à frequência de Nyquist, aliasing ocorre e o sinal não pode ser recuperado na sua totalidade. Aliás, verificou-se que quanto menor fosse a frequência de amostragem, relativamente à de Nyiquist, menor ficava a frequência resultante da análise de Fourier. Olhando para o gráfico em que acontece, mais acentuadamente, aliasing vê-se mesmo que a nossa onda sinusoidal inicial do 40KHz passou a parecer ter uma frequência de 5Hz, o que é espantoso. Conclusões Os dados que merecem uma maior análise são os da FFT da onda FM, já que esta apresenta um espectro contínuo. Para a frequência de amostragem de 500KHz, pode-se localizar a frequência da portadora, apesar de que um pouco deslocada no sentido da origem. A forma dos picos é, sensivelmente, a esperada: um pacote em torno da frequência da portadora. Para a frequência de 50MHz, como se pode ver do gráfico do sinal obtido no osciloscópio, amostrou-se menos de um período, pelo que o sinal teve muito pouco tempo de mudar a sua frequência, logo é natural observar-se um gráfico da FFT como o que é apresentado: um pico único na frequência da portadora. Os aparelhos não têem precisão suficiente para discernir nesta janela, este sinal de uma sinusóide pura. O primeiro erro que se fez nesta experiência foi na determinação da TimeBase, para a onda AM. Não se amostraram dados um pouco acima da frequência de Nyquist, cometeu-se um erro de factor 2. Realizaram-se os cálculos considerando que f N era igual ao dobro da maior frequência presente no espectro e não igual à maior frequência do espectro. O segundo erro, que nós consideramos ser mais grave, foi o facto de não termos atentado ao fenómeno de leakage. Ou seja, deveríamos ter determinado as TimeBase não só em função da frequência de Nyquist mas também em função de se obter ou não uma boa janela para o caso de 2048 pontos. Felizmente o Mathematica realizava FFT com um número qualquer de pontos, pelo que todas as amostragens puderam ser utilizadas e conduziram a muito bons resultados. O pequeno contratempo do fenómeno de leakage foi facilmente ultrapassado, quando identificado. 1 isto no caso de a janela de amostragem ser um múltiplo do sinal a ser amostrado. 15

16 A título de remate considera-se que, por forma a realizar-se uma boa amostragem de sinal devem ser tomados em consideração dois fenómenos: aliasing e leakage. 16