UNIDADE I Aula 6 Taxas de Transmissão Máxima em um Canal: Teorema de Nyquist e Teorema de Shannon. Fonte: Rodrigo Semente

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1 UNIDADE I Aula 6 Taxas de Transmissão Máxima em um Canal: Teorema de Nyquist e Teorema de Shannon Fonte: Rodrigo Semente

2 Sabemos que, quanto maior a banda passante de um meio físico, maior o número de harmônicos que podem ser recuperados na conversão A/D. Pergunta-se... Qual a Banda Passante mínima para que um sinal digital, convertido para analógico (D/A), com taxa de transmissão X seja recuperado (A/D) sem sofrer alterações que comprometam a recuperação deste?

3 Cálculo da taxa de transmissão máxima em um canal: Teorema de Nyquist Em 1928, Harry Nyquist, formulou uma equação matemática que define a taxa de transmissão máxima de um canal de banda passante limitada e imune a ruídos. A equação pode ser escrita da seguinte forma: C = 2*W*Mm bps, onde: C = capacidade do canal na ausência de ruído; W = frequência do sinal (largura de banda); Mm = a modulação multinível (2 bits, 4 bits, 8 bits, 16 bits...).

4 Ex: Dado um canal com uma largura de banda igual a 4 KHz e supondo-se que este canal esteja utilizando uma codificação A/D de 2 bits, qual a taxa de transmissão máxima desse canal na ausência de ruídos? R: A partir do Teorema de Nyquist temos, logo, g, C=2*W*Mm C=2*4k*2 C = 16 Kbps, portanto, A taxa de transmissão máxima desse canal na ausência de ruídos é de 16 Kbps

5 Cálculo da taxa de transmissão máxima em um canal: Teorema de Shannon Em 1948, Claude Shannon, a partir de uma série de estudos, como base no teorema de Nyquist, provou matematicamente que um canal possui uma capacidade de transmissão limitada. No entanto, suas pesquisas consideram a atuação de um ruído branco (ruído térmico ).Aequação pode ser escrita da seguinte forma: C = W*log2(1 + S/N) bps, onde: C = capacidade do canal na presença de ruído; W = frequência do sinal (largura de banda); S/N =relaçãosinal/ruído, l/ em Watts

6 Ex: Dado uma linha telefônica com um canal com largura de banda de 3000 Hz e cuja razão sinal-ruído vale 30 db. Pergunta-se: Qual a taxa de transmissão máxima desse canal na presença de ruído branco? Passo1: Temos a relação (razão) sinal ruído (S/N) expressa em db, mas não em Watts. Desta forma, recorreremos a equação que mede o ruído em decibel (db), para encontrarmos a relação sinal/ruído em Watts (slide 5, aula 5). Assim, para um SNR de 30 db, temos: X db = 10*log10(S/N) 30dB = 10*log10(S/N) Log10(S/N) = 3dB Eliminando o Log10 da equação,por simplificação, temos: 10^log10(S/N) = 10 ^3 => S/N = 1000 w

7 Teorema de Shannon, Ex (continuação) Aplicando, agora, a SNR (S/N), em Watts, na equação de Shannon: C=W*log2(1 + S/N) C = 3000*log2( ) C = 2,9902 *10 4 bps bps, portanto: A taxa de transmissão máxima em um canal com a presença de ruído branco é de 30 Kbps OBS: Esse mesmo cálculo pode ser obtido diretamente através do Matlab. Experimente e pratique!

8 Prática no Matlab 1. Dado um canal com uma largura de banda igual a 10KHz e supondo-se que este canal esteja utilizando uma codificação A/D de 8 bits, qual a taxa de transmissão máxima desse canal na ausência de ruídos? 2. Dado um canal de transmissão de TV em VHF com largura de banda de 20 KHz e cuja razão sinal-ruído vale 20 db. Pergunta-se: Qual a taxa de transmissão máxima desse canal na presença de ruído branco? 3. Dado um canal com uma largura de banda igual a 200 KHz e supondo-sese que este canal esteja utilizando uma codificação A/D de 16 bits, qual a taxa de transmissão máxima desse canal na ausência de ruídos? 4. Dado um canal de transmissão de Rádio AM com largura de banda de KHz e cuja razão sinal-ruído vale 15 db. Pergunta-se: Qual a taxa de transmissão máxima desse canal na presença de ruído branco?

9 Prática no Matlab - Respostas 1. Dado um canal com uma largura de banda igual a 10KHz e supondo-se que este canal esteja utilizando uma codificação A/D de 8 bits, qual a taxa de transmissão máxima desse canal na ausência de ruídos? R: C = 2*W*Mm => C = 2 * * 8 => C = = > C = 160 Kbps 2. Dado um canal de transmissão de TV em VHF com largura de banda de 20 KHz e cuja razão sinal-ruído vale 20 db. Pergunta-se: Qual a taxa de transmissão máxima desse canal na presença de ruído branco? R: Passo 1:achando S/N: X db = 10*log10(S/N) => 10*log10(S/N) = 20dB => log10(s/n) = 2dB => 10^log10(S/N) = 10^2 => S/N = 100W Passo 2: Aplicando S/N em Shannon: C = W*log2(1 + S/N) => C = 20000*log2(1+100) => C = bps => C 133 Kbps

10 Prática no Matlab - Respostas 3. Dado um canal com uma largura de banda igual a 200 KHz e supondo-se que este canal esteja utilizando uma codificação A/D de 16 bits, qual a taxa de transmissão máxima desse canal na ausência de ruídos? R: C = 2*W*Mm => C = 2 * * 16 => C = 6400Kbps = > C 6 Mbps 4. Dado um canal de transmissão de Rádio AM com largura de banda de KHz e cuja razão sinal-ruído vale 15 db. Pergunta-se: Qual a taxa de transmissão máxima desse canal na presença de ruído branco? R: Passo 1:achando S/N: X db = 10*log10(S/N) => 10*log10(S/N) = 15dB => log10(s/n) = 1,5dB => 10^log10(S/N) = 10^1,5 => S/N = 31,62W Passo 2: Aplicando S/N em Shannon: C = W*log2(1 + S/N) => C = *log2( ) =>C=754,2 Kbps => C 1Mps

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