I-2 Sinais: classificação, propriedades e operações

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1 I-2 Sinais: classificação, propriedades e operações Comunicações (24 de março de 2017) ISEL - ADEETC - Comunicações 1

2 Sumário 1. Classificação de sinais 2. Sinais contínuos e discretos 3. Sinais não periódicos e periódicos Pulso retangular e sinc A onda quadrada e a sinusóide Pulso sinusoidal 4. Sinais de energia e potência 5. Sinais de simetria par e simetria ímpar 6. Operações sobre sinais Conceito de sistema Sobre a amplitude (variável dependente) Sobre o eixo dos tempos (variável independente) 7. Exemplos de aplicação de sinais 8. Exercícios ISEL - ADEETC - Comunicações 2

3 1. Classificação de Sinais 1. Suporte Analógico/Contínuo Discreto Digital 2. Periodicidade Periódico Não periódico 3. Energia/Potência Energia (não periódico) Potência (periódico) 4. Simetria Par Ímpar Sem simetria ISEL - ADEETC - Comunicações 3

4 2. Sinais Contínuos e Discretos Sinal contínuo x(t) É uma função real de variável real x(t): Em termos gerais, um sinal é algo que codifica informação Em termos físicos, representa uma corrente ou tensão elétrica Utilizados nos processos de comunicação digital ISEL - ADEETC - Comunicações 4

5 2. Sinais Contínuos e Discretos Exemplos de sinais contínuos ISEL - ADEETC - Comunicações 5

6 2. Sinais Contínuos e Discretos Exemplos de sinais contínuos ISEL - ADEETC - Comunicações 6

7 2. Sinais Contínuos e Discretos Sinal discreto é uma função real de variável inteira relativa O eixo dos tempos é discreto Os valores de amplitude de x[n] são obtidos por amostragem ao ritmo Fs (frequency of sampling) a cada Ts (time of sampling) é obtida nova amostra x[ n]: Z 0 Amostra x[1] corresponde a x(ts); amostra x[2] corresponde a x(2ts)... ISEL - ADEETC - Comunicações 7

8 2. Sinais Contínuos, Discretos e Digitais Sinal digital é uma função com: valores inteiros relativos (um subconjunto de 2 n valores) com variável inteira relativa O eixo dos tempos é discreto x[ n]: Z Z O eixo das amplitudes é discreto (cada amostra é um inteiro com n bits) 0 0 ISEL - ADEETC - Comunicações 8

9 3. Sinais não periódicos e periódicos ISEL - ADEETC - Comunicações 9 Sinais aperiódicos ou não periódicos Não se repetem ao longo do tempo Exemplo de um sinal comum: Pulso Retangular (Amplitude A e duração T) 2 0, 2, outros t 0, 2 2, rect ) ( T t T t A T t T A T t A T t A t x

10 3. Sinais não periódicos e periódicos Sinal não periódico comum: sinc sinc( t) sen(p t) pt ISEL - ADEETC - Comunicações 10

11 3. Sinais não periódicos e periódicos Sinal não periódico comum: sinc sinc( t) sen(p t) pt ISEL - ADEETC - Comunicações 11

12 3. Sinais não periódicos e periódicos Sinais periódicos ou estritamente repetitivos Repetem-se a cada período fundamental T o menor valor de tempo para o qual o sinal se repete No domínio contínuo ou analógico (período T o seg) temos x( t) x( t kto Para o domínio discreto (período de N amostras) temos São exemplos: a sinusóide a onda quadrada a onda triangular a onda dente de serra x[ n] x[ n kn ) ] k é inteiro relativo. ISEL - ADEETC - Comunicações 12

13 3. Sinais não periódicos e periódicos Sinais típicos ISEL - ADEETC - Comunicações 13

14 3. Sinais não periódicos e periódicos Sinal periódico comum: sinusóide ISEL - ADEETC - Comunicações 14

15 3. Sinais não periódicos e periódicos Sinal periódico comum: onda quadrada ISEL - ADEETC - Comunicações 15

16 3. Sinais não periódicos e periódicos Sinal periódico comum: onda quadrada ISEL - ADEETC - Comunicações 16

17 3. Sinais não periódicos e periódicos O inverso do período fundamental T o designa-se de frequência fundamental f o A frequência fundamental define a repetição do sinal (este pode ter várias componentes de frequência) e é expressa em Hertz [Hz] Por exemplo com x(t) = cos(2pi 1000 t ) T o = 1 ms f o =1000 Hz = 1 khz Com x(t) = cos(2pi 2000 t ) + cos(2pi 4000 t ) T o = 0,5 ms f o = 2000 Hz = 2 khz Heinrich Hertz ( ) ISEL - ADEETC - Comunicações 17

18 3. Sinais não periódicos e periódicos Sinais x(t) = cos(2pi 1000 t ) e y(t) = cos(2pi 2000 t ) + cos(2pi 4000 t ) ISEL - ADEETC - Comunicações 18

19 3. Sinais não periódicos e periódicos Periodicidade e sua ausência ISEL - ADEETC - Comunicações 19

20 3. Sinais não periódicos e periódicos O Pulso Sinusoidal sinal não periódico Resulta do produto de uma sinusóide por um pulso rectangular Energia do Pulso Tempo E V 2 2 T s Frequência ISEL - ADEETC - Comunicações 20

21 4. Sinais de Energia e de Potência A lei de Joule indica a potência instantânea p(t) dissipada numa resistência R, percorrida pela corrente i(t), desencadeada pela tensão v(t) p( t) Ri ( t) Considerando R=1 (normalização) temos 2 v ( t) R 2 p( t) i 2 ( t) v 2 ( t) Dado que sinais representam tensões ou correntes eléctricas, temos assim a definição de potência instantânea para sinais p( t) x 2 ( t) ISEL - ADEETC - Comunicações 21

22 4. Sinais de Energia e de Potência A energia é o somatório de todas as potências instantâneas No domínio contínuo ou analógico temos Para sinais discretos temos Verifica-se que 2 Ex p( t) dt x ( t) dt Ex p[ n] x 2 [ n] 0 E ISEL - ADEETC - Comunicações 22

23 4. Sinais de Energia e de Potência A potência é dada pela energia média numa dada janela temporal de duração T P x 1 lim T T T T / 2 x / 2 2 ( t) dt 1 lim T T Tipicamente, sinais não periódicos são caraterizados pela energia: energia finita; potência nula E x Tipicamente, sinais periódicos são caraterizados pela potência: energia infinita; potência finita Sinais limitados à esquerda e à direita são sempre de energia ISEL - ADEETC - Comunicações 23

24 4. Sinais de Energia e de Potência Sinal de energia: pulso retangular T representa a duração do pulso Sinal de potência: sinusóide T representa uma janela temporal genérica ISEL - ADEETC - Comunicações 24

25 4. Sinais de Energia e de Potência Unidades do SI: A energia é expressa em Joule [J] A potência é expressa em Watt [W] James Joule ( ) James Watt ( ) ISEL - ADEETC - Comunicações 25

26 4. Sinais de energia (não periódicos) Exercício Considere o sinal não periódico da figura a) Classifique o sinal quanto ao suporte b) Calcule a energia Ex, em função de A e T c) Com A=2 e T=10, qual o valor da energia? ISEL - ADEETC - Comunicações 26

27 4. Sinais de energia (não periódicos) Solução a) Sinal de suporte contínuo (eixo dos tempos é contínuo) b) Ex = 5. A 2. T c) Com A=2 e T=10, Ex = = 200 J ISEL - ADEETC - Comunicações 27

28 4. Sinais de Energia e de Potência A potência para sinais periódicos de período fundamental T o é dada pela energia média num período (janela de duração T o ) No domínio contínuo ou analógico (período T o ) temos T o Px x ( t ) dt x 2 ( t ) dt T T o T 2 o Para sinais discretos (período N amostras) temos N Px x [ n ] x 2 [ n ] N N n 0 o T o N Um sinal periódico tem energia infinita e potência finita 0 P ISEL - ADEETC - Comunicações 28

29 4. Sinais de Energia e de Potência Se o sinal tem energia finita e não nula diz-se sinal de energia (O pulso retangular e a sinc, por exemplo) 0 E Os sinais de energia têm potência nula Se o sinal tem potência finita e não nula diz-se sinal de potência (A sinusóide e a onda quadrada, por exemplo) 0 Os sinais de potência têm energia infinita P ISEL - ADEETC - Comunicações 29

30 4. Sinais de potência (periódicos) Valor médio ou componente DC-Direct Current ou DC-offset Para um sinal periódico de período T (ou N) corresponde ao valor médio da amplitude num período completo No domínio contínuo ou analógico (período T segundos) temos T m x x ( t ) dt x ( t ) dt T T T 2 Para sinais discretos (período de N amostras) temos N m x x[ n ] x[ n ] N N n 0 T N ISEL - ADEETC - Comunicações 30

31 4. Sinais de potência (periódicos) Exercício Considere a onda quadrada x(t) apresentada na figura a) Indique o período fundamental b) Indique a frequência fundamental c) Calcule a energia, potência e valor médio ISEL - ADEETC - Comunicações 31

32 4. Sinais de potência (periódicos) Solução a) Período fundamental T o = 1 ms b) Frequência fundamental f o = 1 khz c) Energia infinita (sinal periódico) Ex = Potência P x = 12,5 W Valor médio m x = 2,5 V ISEL - ADEETC - Comunicações 32

33 Exercício 4. Sinais de potência (periódicos) Considere o sinal periódico da figura a) Indique o período fundamental b) Indique a frequência fundamental c) Calcule a energia, potência e valor médio ISEL - ADEETC - Comunicações 33

34 Solução 4. Sinais de potência (periódicos) a) Período fundamental T o = 2 ms b) Frequência fundamental f o = 0,5 khz = 500 Hz c) Tem-se y(t) = 7 + 2cos (2 p 500 t) Energia infinita (sinal periódico) Ex = Potência P x = 51 W Valor médio m x = 7 V ISEL - ADEETC - Comunicações 34

35 5. Sinais de simetria par e simetria ímpar ISEL - ADEETC - Comunicações 35 Sinal de simetria par verifica x(t) = x( -t) Sinal de simetria ímpar verifica x(t) = - x( -t) Qualquer sinal pode ser decomposto na soma das suas componentes par e ímpar, x e (t) e x o (t), respetivamente Exemplo: x(t) = A cos(2pi1000t ) + Bsen(2pi2000t) 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t x t x t x t x t x t x t x o e Componente Par Componente Ímpar

36 5. Sinais de simetria par e simetria ímpar Sinais com simetria par x(t) = t x(t) = t 2 x(t) = cos(2 pi 100t) Sinais com simetria ímpar x( t) x(t) = t x(t) = t 3 t T x(t) = sen(2 pi 100t) 0 ISEL - ADEETC - Comunicações 36

37 5. Sinais de simetria par e simetria ímpar Exemplo de decomposição em componentes par e ímpar x(t), sinal sem simetria; x(t) = x e (t) + x o (t) X e (t), sinal de simetria par; x o (t), sinal de simetria ímpar ISEL - ADEETC - Comunicações 37

38 Exercício 5. Sinais de simetria par e simetria ímpar Determine as componentes par e ímpar dos seguintes sinais x( t) t y(t) = 2cos(2 p 1000t + p/4) Nota: cos (a+b) =cos(a)cos(b) sen(a)sen(b ) cos (a-b) = cos(a)cos(b) +sen(a)sen(b ) ISEL - ADEETC - Comunicações 38

39 5. Sinais de simetria par e simetria ímpar Solução t 10 Para x( t) 20 ISEL - ADEETC - Comunicações 39

40 5. Sinais de simetria par e simetria ímpar Solução Para y(t) = 2cos(2 p 1000t + p/4) = 2(cos(2 p 1000t) cos(p/4) sen(2 p 1000t) sen(p/4)) = 2 cos(2 p 1000t) 2 sen(2 p 1000t) y e (t) = 2 cos(2 p 1000t) y o (t) = - 2 sen(2 p 1000t) ISEL - ADEETC - Comunicações 40

41 6. Operações Define-se sistema como um objecto que manipula um ou mais sinais para realizar certa função, produzindo um novo sinal Sinal entrada sistema Sinal saída diz-se contínuo ou discreto conforme o tipo de sinais que manipula São exemplos: sistema de identificação por fala sistema de comunicação meio de transmissão ISEL - ADEETC - Comunicações 41

42 6. Operações Sobre a variável dependente (amplitude) Amplificação ou atenuação Adição (subtração) Multiplicação Sobre a variável independente (tempo) Escalamento compressão e expansão caso particular: reflexão Deslocamento avanço atraso Reflexão ISEL - ADEETC - Comunicações 42

43 6. Operações Sobre a variável dependente (amplitude) Amplificação ou atenuação Adição (subtração) Multiplicação ISEL - ADEETC - Comunicações 43

44 6. Operações Sobre a variável independente (eixo dos tempos) Escalamento y(t) = x(at) a > 1, compressão no tempo a < 1, expansão no tempo Deslocamento y(t) = x(t-b) b > 0, atraso temporal b < 0, avanço temporal IMPORTANTE: regra de precedência do deslocamento sobre o escalamento ISEL - ADEETC - Comunicações 44

45 6. Operações Sobre a variável independente (eixo dos tempos) Reflexão y(t) = x(-t) É um caso particular do escalamento com a = -1 ISEL - ADEETC - Comunicações 45

46 6. Operações Diagramas de blocos de sistemas comuns ISEL - ADEETC - Comunicações 46

47 7. Aplicações Sinais biométricos ISEL - ADEETC - Comunicações 47

48 7. Aplicações Códigos de linha, usam ondas quadradas ISEL - ADEETC - Comunicações 48

49 7. Aplicações Ondas Quadradas ISEL - ADEETC - Comunicações 49

50 7. Aplicações OOK On-Off Keying (caso particular de ASK Amplitude Shift Keying ) Sequência [ ] Tempo de bit 1 ms ISEL - ADEETC - Comunicações 50

51 7. Aplicações FSK - Frequency-Shift Keying Sequência [ ] Tempo de bit 1 ms ISEL - ADEETC - Comunicações 51

52 7. Aplicações PSK Phase Shift Keying Sequência [ ] Tempo de bit 1 ms ISEL - ADEETC - Comunicações 52

53 7. Aplicações: uso de sinusóide ISEL - ADEETC - Comunicações 53

54 8. Exercícios Qual a expressão que relaciona y[n] com x[n]? ISEL - ADEETC - Comunicações 54

55 8. Exercícios Solução: y[n] = 2x[n] 3x[n-2] + 5 x[n-3] ISEL - ADEETC - Comunicações 55

56 8. Exercícios Sejam x( t) 3 y(t)=x(t) + 2x(-t) e z(t)=x(t) - x(-t). t 10 5 a) Esboce os sinais b) Calcule as respetivas energias E x, E y e E z ISEL - ADEETC - Comunicações 56

57 8. Exercícios Solução a) y(t)=x(t) + 2x(-t) z(t)=x(t) - x(-t). b) E x = 45 J E y = 225 J E z = 90 J ISEL - ADEETC - Comunicações 57

58 8. Exercícios a) Exprima y(t) em função de x(t) b) Exprima w(t) em função x(t) c) Sabendo que x(t)=2 + 2cos(2pi 2000t) e v(t)=3cos(2pi 2000t), calcule a expressão de a(t) ISEL - ADEETC - Comunicações 58

59 8. Exercícios Solução a) y(t) = 4x(t) + x(t 0,5x10-3 ) b) w(t) = 2x(t) + x(t 0,5x10-3) c) a(t) = cos(2 p 2000 t) + 9 cos(2 p 4000 t) ISEL - ADEETC - Comunicações 59

60 8. Exercícios Seja z(t)=ax(t)+by(t), em que x(t) e y(t) são sinais de energia. a) Com a=b=1, obtenha a expressão de E z em função de E x e E y b) Qual a relação entre x(t) e y(t) para que E z =E x + E y? c) Atribuindo valores genéricos aos ganhos a e b, apresente a expressão genérica de E z função de E x e E y d) Considere que x(t) e y(t) são sinais áudio. Qual a funcionalidade prática deste sistema? ISEL - ADEETC - Comunicações 60

61 8. Exercícios Solução a) = b) Devem ser sinais ortogonais: = 0 c) = d) A funcionalidade prática é a mistura (soma) de dois sinais áudio, com controlo da amplificação/energia de cada sinal. ISEL - ADEETC - Comunicações 61

62 8. Exercícios Exercícios sugeridos (de enunciados de testes de semestres anteriores): Exercício #1 do 1.º teste parcial, inverno 2016/2017, 25 de novembro de 2017 Exercício #3 do 1.º teste parcial, inverno 2016/2017, 25 de novembro de 2017 Exercício #1, alíneas a) e b), do teste de época de normal, inverno 2016/2017, 30 de janeiro de 2017 Exercício #2, alíneas a) e b), do teste de época de normal, inverno 2016/2017, 30 de janeiro de 2017 Exercício #1, alíneas a) e b), do teste de época de recurso, inverno 2016/2017, 16 de fevereiro de 2017 ISEL - ADEETC - Comunicações 62

63 8. Exercícios Exercícios sugeridos (de enunciados de testes de semestres anteriores): Exercício #1 do 1.º teste parcial, verão 2015/2016, 3 de maio de 2016 Exercício #1 do teste de época normal, verão 2015/2016, 30 de junho de 2016 Exercício #1 do teste de época de recurso, verão 2015/2016, 19 de julho de 2016 ISEL - ADEETC - Comunicações 63

64 8. Exercícios Exercícios sugeridos (de enunciados de testes de semestres anteriores): Exercício #1 do 1.º teste parcial, verão 2014/2015, 4 de maio de 2015 Exercício #1 do 1.º teste parcial, inverno 2014/2015, 26 de novembro de 2014 Exercício #1 do 1.º teste parcial, verão 2013/2014, 29 de abril de 2014 Exercício #1, alínea a) do 1.º teste parcial, inverno 2013/2014, 13 de novembro de 2013 Exercício #2, do 1.º teste parcial, inverno 2013/2014, 13 de novembro de 2013 ISEL - ADEETC - Comunicações 64