I-2 Sinais: classificação propriedades, operações

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1 I-2 Sinais: classificação propriedades, operações (30 de Setembro de 2013) 1

2 Sumário 1. Sinais contínuos e discretos 2. Sinais não periódicos e periódicos Pulso rectangular e sinc A onda quadrada e a sinusóide Pulso sinusoidal 3. Sinais de energia e potência 4. Sinais de simetria par e simetria ímpar 5. Operações sobre sinais Sistema; operações sobre a amplitude; operações sobre o eixo dos tempos 6. Aplicações de Sinais 7. Exercícios 2

3 1. Sinais Contínuos e Discretos Sinal contínuo x(t) É uma função real de variável real x(t): Em termos gerais, um sinal é algo que codifica informação Em termos físicos, representa uma corrente ou tensão eléctrica Utilizados nos processos de comunicação digital 3

4 1. Sinais Contínuos e Discretos Sinal discreto é uma função real de variável inteira relativa O eixo dos tempos é discreto x[ n]: Z0 Os valores de amplitude de x[n] são obtidos por amostragem ao ritmo Fs (frequency of sampling), ou seja, a cada Ts (time of sampling) é obtida nova amostra Amostra x[1] corresponde a x(ts); amostra x[2] corresponde a x(2ts)... 4

5 2. Sinais não periódicos e periódicos Sinais aperiódicos ou não periódicos Não se repetem ao longo do tempo Exemplos: Pulso Rectangular (amplitude unitária e duração T) x(t) Sinc t ( t) rect T T 2 t T T 2 T 1, t 2 T 0, t x sinc( t) sen( t) t 5

6 2. Sinais não periódicos e periódicos Sinais periódicos ou estritamente repetitivos Repetem-se a cada período fundamental T o menor valor de tempo para o qual o sinal se repete No domínio contínuo ou analógico (período T o seg) temos x T (t) x( t) x( t kto ) Para o domínio discreto (período N amostras) temos Exemplos: Onda Quadrada x[ n] x[ n kn] Sinusóide k é inteiro relativo. T 0 2 T 0 2 F 1 0 T T 0 0 6

7 2. Sinais não periódicos e periódicos O inverso do período fundamental T o designa-se de frequência fundamental f o A frequência fundamental é a frequência de repetição do sinal (este pode ter várias componentes de frequência) Por exemplo com x(t) = cos(2pi 1000 t ) Período fundamental T o = 1 ms Frequência fundamental f o =1000 Hz = 1 khz Com x(t) = cos(2pi 2000 t ) + cos(2pi 4000 t ) Período fundamental T o = 0,5 ms Frequência fundamental f o = 2000 Hz = 2 khz 7

8 2. Sinais não periódicos e periódicos O Pulso Sinusoidal - resulta do produto de uma sinusóide por um pulso rectangular Energia de símbolo Tempo E V 2 2 T s Frequência 8

9 3. Energia e Potência A lei de Joule indica a potência instantânea p(t) dissipada numa resistência R, percorrida pela corrente i(t), desencadeada pela tensão v(t) p( t) Ri ( t) Considerando R=1 (normalização) temos 2 v ( t) R 2 p( t) i 2 ( t) v 2 ( t) Dado que sinais representam tensões ou correntes eléctricas, temos assim a definição de potência instantânea para sinais p( t) x 2 ( t) 9

10 3. Energia e Potência A energia é o somatório de todas as potências instantâneas No domínio contínuo ou analógico temos Para sinais discretos temos Verifica-se que 2 Ex p( t) dt x ( t) dt Ex p[ n] x 2 [ n] 0 E 10

11 3. Energia e Potência A potência é dada pela energia média numa dada janela temporal de duração T P x lim T 1 T T / 2 x T / 2 2 ( t) dt lim T Tipicamente, sinais não periódicos são caracterizados pela energia: energia finita; potência nula 1 T E x Tipicamente, sinais periódicos são caracterizados pela potência: energia infinita; potência finita Sinais limitados à esquerda e à direita são sempre de energia 11

12 3. Sinais de energia e de potência Sinal de energia: pulso rectangular T representa a duração do pulso Sinal de potência: sinusóide T representa uma janela temporal genérica 12

13 3. Energia e Potência A potência para sinais periódicos de período fundamental T o é dada pela energia média num período (janela de duração T o ) No domínio contínuo ou analógico (período T o ) temos T o Px x ( t) dt x 2 ( t) dt T T o To 2 Para sinais discretos (período N amostras) temos o T o Px 1 N N n0 x [ n] N N x [ n] Um sinal periódico tem energia infinita e potência finita 0 P 13

14 3. Sinais de energia e de potência Se o sinal tem energia finita e não nula diz-se sinal de energia. (O pulso rectangular e a sinc por exemplo) Se o sinal tem potência finita e não nula diz-se sinal de potência. (A sinusóide e a onda quadrada, por exemplo) 14

15 3. Sinais de potência (periódicos) Valor médio ou componente DC-Direct Current ou DC-offset Para um sinal periódico de período T (ou N) corresponde ao valor médio da amplitude num período completo No domínio contínuo ou analógico (período T segundos) temos T m x x( t) dt x( t) dt T T T 2 Para sinais discretos (período de N amostras) temos N m x x[ n] x[ n] N N n0 T N 15

16 3. Sinais de potência (periódicos) Exercício Considere a onda quadrada x(t) apresentada na figura a) Indique o período fundamental do sinal b) Calcule a energia, potência e valor médio do sinal 16

17 4. Sinais de simetria par e simetria ímpar Sinal de simetria par verifica x(t) = x( -t) Sinal de simetria ímpar verifica x(t) = - x( -t) Qualquer sinal pode ser decomposto na soma das suas componentes par e ímpar, x e (t) e x o (t), respectivamente x( t) x e ( t) x o ( t) x( t) x( t) 2 x( t) x( t) 2 Exemplo: x(t) = A cos(2pi1000t ) + Bsen(2pi2000t) Componente Par Componente Ímpar 17

18 4. Sinais de simetria par e simetria ímpar Sinais com simetria par x(t) = t x(t) = t 2 x(t) = cos(2 pi 100t) x( t) Sinais com simetria ímpar x(t) = t x(t) = t 3 t T x(t) = sen(2 pi 100t) 0 18

19 4. Sinais de simetria par e simetria ímpar Exercício Determine as componentes par e ímpar dos seguintes sinais x( t) t y(t) = 2cos(2 pi 1000t + pi/4) Nota: cos (a+b) =cos(a)cos(b) sen(a)sen(b ) cos (a-b) = cos(a)cos(b) +sen(a)sen(b ) 19

20 5. Operações Define-se sistema como um objecto que manipula um ou mais sinais para realizar certa função, produzindo um novo sinal Sinal entrada sistema Sinal saída diz-se contínuo ou discreto conforme o tipo de sinais que manipula. São exemplos: sistema de identificação por fala sistema de comunicação meio de transmissão 20

21 5. Operações Sobre a variável dependente (amplitude) Amplificação ou atenuação Adição Multiplicação Sobre a variável independente (tempo) Escalamento no tempo compressão e expansão caso particular da reflexão Deslocamento no tempo Reflexão IMPORTANTE: regra de precedência do deslocamento sobre o escalamento 21

22 5. Operações Sobre a variável dependente (amplitude) Amplificação ou atenuação Adição (subtracção) Multiplicação 22

23 5. Operações Sobre a variável independente (eixo dos tempos) Escalamento y(t) = x(at) a > 1, compressão no tempo a < 1, expansão no tempo Deslocamento y(t) = x(t-b) b > 0, atraso temporal b < 0, avanço temporal 23

24 5. Operações Sobre a variável independente (eixo dos tempos) Reflexão y(t) = x(-t) É um caso particular do escalamento com a = -1 24

25 5. Operações Diagramas de blocos de sistemas comuns 25

26 6. Aplicações Sinais biométricos 26

27 6. Aplicações Códigos de linha, usam ondas quadradas 27

28 6. Aplicações Ondas Quadradas 28

29 6. Aplicações OOK On-Off Keying (caso particular de ASK Amplitude Shift Keying ) Sequência [ ] Tempo de bit 1 ms 29

30 6. Aplicações FSK - Frequency-Shift Keying Sequência [ ] Tempo de bit 1 ms 30

31 6. Aplicações PSK Phase Shift Keying Sequência [ ] Tempo de bit 1 ms 31

32 6. Aplicações: uso de sinusóide 32

33 7. Exercício Qual a expressão que relaciona y[n] com x[n]? 33

34 7. Exercício a) Exprima y(t) em função de x(t) b) Exprima w(t) em função x(t) c) Sabendo que x(t)=2 + 2cos(2pi 2000t) e v(t)=3cos(2pi 2000t), calcule a expressão de a(t) 34

35 7. Exercício Sejam x( t) 3 y(t)=x(t) + 2x(-t) e z(t)=x(t) - x(-t). t 10 5 a) Esboce os sinais b) Calcule as respectivas energias E x, E y e E z 35

36 7. Exercício Seja z(t)=ax(t)+by(t), em que x(t) e y(t) são sinais de energia. a) Com a=b=1, obtenha a expressão de E z em função de E x e E y b) Qual a relação entre x(t) e y(t) para que E z =E x + E y? c) Atribuindo valores genéricos aos ganhos a e b, apresente a expressão genérica de E z função de E x e E y d) Considere que x(t) e y(t) são sinais áudio. Qual a funcionalidade prática deste sistema? 36