Laboratório de Fundamentos de Telecomunicações. Guia no. 1. Tema: Sinais e Sistemas

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1 Laboratório de Fundamentos de Telecomunicações. Guia no. 1 Tema: Sinais e Sistemas Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores Instituto Superior Técnico, Fevereiro 216

2 2 Guia no. 1: Sinais e Sistemas 1 Introdução O laboratório de Fundamentos de Telecomunicações tem como objectivo aprofundar o conhecimento e promover o sentido crítico em tópicos e conceitos fundamentais em sistemas de comunicação. A idea central é levar o estudante a explicar os fenómenos observados com base nos conceitos teóricos que suportam os sistemas de comunicação. A consecução destes objectivos exige uma atitude activa dos estudantes. Neste sentido, cada sessão de laboratório tem uma componente de preparação em que o estudante responde a perguntas sobre os temas e experiências em causa. Tipicamente, e num dado diagrama de blocos, pede-se para determinar os sinais presentes nos diversos pontos de medida. Estes resultados previstos serão posteriormente confrontados com as medidas efectuadas na sessão de laboratório. O tema desta sessão de laboratório são os sinais e os sistemas. A sessão está organizada em quatro secções com os seguintes objectivos: 1. Ambientação ao equipamento: Exposição ao equipamento utilizado no laboratório, nomeadamente ao osciloscópio e ao board biskit Função de transferência de sistema linear invariante no tempo (SLIT): Determinar a função de transferência de um SLIT. Tópicos: Propriedades de um SLIT, nomeadamente a resposta no tempo e na frequência a sinais sinusoidais. 3. Resposta de um filtro passa-baixo a um sinal periódico: Medir a resposta de um filtro passa-baixo a um sinal periódico. Tópicos: Decomposição de sinais periódicos em série de Fourier; resposta no tempo e na frequência dos SLITs a sinais periódicos. Filtragem. 4. Amostragem: Recuperar um sinal continuo a partir do seu conhecimento em instantes do tempo uniformemente separados. Tópicos: Teorema da amostragem; propriedades da transformada de Fourier; filtragem. Bibliografia: Haykin-Moher (5ed) ; Ao longo da preparação do trabalho, tenha presente o layout dos módulos biskit a usar que está na última página deste guia. Localize o manual do osciloscópio na página da disciplina.

3 3 Guia no. 1: Sinais e Sistemas 2 Resposta de um SLIT H(f) x(t) LPF y(t) 1 1/ 2 passband f c f Figure 1: Filtro passa-baixo (esquerda) e resposta em amplitude na frequência (direita). 2.1 Preparação A Figura 1 esquematiza um filtro com resposta impulsional h(t) real passa-baixo (esquerda) e a sua resposta em amplitude na frequência (direita). A banda passante de um filtro passa-baixo, ilustrada na figura, é o intervalo de frequências em que H(f) H() / 2. Admita que f c = 5 khz. 1. Mostre que a resposta de um SLIT real com função de transferência H(f) = H(f) exp(jφ(f)) ao sinal de entrada A cos(2πνt), com A > e ν, é y(t) = A H(ν) cos(2πνt+φ(ν)). A partir deste resultado idealize uma experiência para determinar H(f) para f. Qual o valor de H(f) (e consequentemente da amplitude H(f) e da fase φ(f)) para f <? 2. Admitindo que o filtro é ideal e tem fase nula, i.e. H(f) = rect(f/2f c ), determine e esboce h(t), a resposta impulsional do filtro. 3. Esboce a resposta do filtro ao escalão unitário u(t), i.e. u(t) = para t < e u(t) = 1 para t (vide Apêndice). 4. Admita que a amplitude do filtro é ainda H(f) = rect(f/2f c ) mas a fase é agora dada por φ(f) = 2πt f com t = 1 ms. Esboce a resposta do filtro ao escalão unitário. Comente sobre a realizabilidade do filtro em função de t.

4 4 Guia no. 1: Sinais e Sistemas DC VCO Tunable LPF To Ch.1 m(t) y(t) To Ch.2 f m f c = 5 khz Figure 2: VCO e filtro passa-baixo. 2.2 Experimentação Na montagem da Figura 2, o VCO (voltage-controlled oscillator) gera um sinal periódico m(t) cuja frequência f depende da tensão de entrada. Admita que a relação frequência-tensão é bem aproximada pela relação f = f c + f m, em que f c é a frequência correspondente à entrada nula (ajustável no botão freq) e f é o parâmetro de sensibilidade de frequência do oscilador (ajustável no botão gain). Efectue a montagem e o seguinte procedimento: 1. Observando a saída f c 1 do LPF, ajuste f c a 5 khz (f c é frequência de corte do filtro passa-baixo) e posicione o controlador de ganho a meio. 2. Use o VCO para fazer variar a frequência, f m, do sinal m(t) no intervalo f m [1, 7] khz. Esboce a amplitude H(f) e fase φ(f) do filtro, neste intervalo. A partir destes esboços, estime a banda passante do filtro e a variação de fase na banda passante. Sugestão: use os 2 cursores do osciloscópio para medir a diferença de tempos T e tenha em conta que φ(f) = 2πf T. 3. Substitua a saída analógica do VCO pela digital. Esta saída produz um sinal rectangular periódico com a frequência do sinal sinusoidal. Ajuste a frequência do VCO para f m = 5 Hz. Registe o sinal y(t) à saída do filtro passa-baixo e confronte com o sinal determinado no ponto 3 de 2.1. NOTA: A resposta aos flancos ascendentes da onda rectangular tem forma aproximadamente igual à da resposta do filtro ao sinal 5 u(t) (porquê?).

5 5 Guia no. 1: Sinais e Sistemas 3 Resposta de um filtro passa-baixo a um sinal periódico 3.1 Preparação Considere a onda periódica de forma rectangular com período T e duty cycle de 5% representada na Figura 3. A m(t) τ -T τ-t/2 τ τ+t/2 t Figure 3: Onda quadrada. 1. Determine a sua expansão em série complexa de Fourier. 2. Mostre que para um filtro passa-baixo ideal com largura de banda B > 1/T e ganho G (positivo) a resposta y(t) do filtro ao sinal m(t) é periódica. A partir da representação em série de Fourier de m(t) e da resposta do filtro na frequência, H(f), determine a expansão de y(t) em série complexa de Fourier. Considere a partir de agora que A = 1, G = 1 e τ/t = 1/2. 3. Admitindo que a frequência da onda rectangular é 1/T = 2 khz e que o filtro passa-baixo é ideal com largura de banda de 3 khz, determine e esboce o sinal no tempo à saída do filtro passa-baixo. 4. Calcule as potências de y(t) quando B = 3 khz e B = 7 khz. 3.2 Experimentação Efectue a montagem esquematizada na Figura 4. A entrada do filtro passa-baixo é a saída digital de 2 khz do módulo MASTER SIGNALS. 1. Seleccione a frequência de corte f c = 3 khz do filtro passa baixo. Qual o sinal observado na saída. Confronte com o ponto 3 de Para a frequência de corte do filtro passa-baixo f c = 4.2 khz, registe e justifique o sinal observado. 3. Proceda como no ponto anterior para f c = 6.4 khz.

6 6 Guia no. 1: Sinais e Sistemas Master Signals Tunable LPF To Ch.1 m(t) y(t) To Ch.2 2 khz f c = 3 khz Figure 4: Filtro passa baixo com sinal rectangular na entrada. 4 Amostragem Master Signals Dual analog Switch Tunable LPF To Ch.1 DC f m = 2kHz VCO m(t) IN 1 p(t) x(t) CONTROL 1 f c = 4 khz y(t) Buffer To Ch.2 f m Master Signals f a = 8 khz Figure 5: Amostragem de um sinal sinusoidal por um sinal rectangular. 4.1 Preparação A Figura 5 esquematiza a amostragem de um sinal sinusoidal por um sinal rectangular. O bloco DUAL ANALOG SWITCH efectua a multiplicação do sinal sinusoidal m(t) pela onda rectangular p(t) (duty cycle 5%). 1. Partindo da expansão em série complexa de Fourier, com τ =, determinada na alínea 1 de 3.1 e tendo em conta que m(t) = A cos(2πf m t), represente o produto x(t) = m(t)p(t) por uma série de sinais sinusoidais, i.e., por uma soma de termos a k cos(2πf k t+φ k ), para k {, 1, 2,... }.

7 7 Guia no. 1: Sinais e Sistemas 2. Esboce o espectro de x(t) para f m = 2 khz. Nestas condições qual é o sinal y(t) à saída do LPF considerado como sendo ideal? 3. Esquematize e descreva a evolução do espectro do sinal y(t) para as frequências do sinal m(t) compreendidas entre 2 e 5 khz. 4. Admita agora que aplica um sinal m(t) com transformada de Fourier M(f) de banda limitada a f m (i.e., M(f) = para f > f m ). Esboce o espectro de x(t) e de y(t). Qual a relação que deve existir entre a frequência do sinal de amostragem, f a, e f m, por forma a que y(t) seja proporcional a m(t)? Ou seja, para recuperar m(t) a partir do sinal amostrado? 4.2 Experimentação Efectue a montagem esquematizada na Figura 5 com m(t) gerado pela saída sinusoidal de 2 khz do bloco MASTER SIGNALS. Aplique y(t) ao BUFFER apenas no ponto Observe e registe os sinais x(t) = m(t)p(t), à saída do DUAL ANALOG SWITCH, e y(t), à saída do filtro passa-baixo. Confronte e comente a saída y(t) observada com o resultado determinado na alínea 2 de Substitua o sinal m(t) gerado no bloco MASTER SIGNALS pelo gerado no bloco VCO. Aplique y(t) à entrada do BUFFER e coloque os auscultadores. Ajuste o ganho do BUFFER por forma a que o som seja audível. Varie a frequência f m de 3 a 6 khz. Interprete o som produzido pelos auscultadores.

8 8 Guia no. 1: Sinais e Sistemas 5 Módulos usados f DC f c

9 9 Guia no. 1: Sinais e Sistemas 6 Apêndice - Resposta do filtro passa-baixo ao escalão A resposta do filtro passa-baixo ideal à função escalão é dada por em que a resposta impulsional é Logo y(t) = u(t) h(t) ( )} f h(t) = F {rect 1 = 2f x sinc(2f x t). 2f x y(t) = ou separando em dois integrais 2f x sinc(2f x λ)u(t λ) dλ t = 2f x sinc(2f x λ) dλ = 2fxt sinc(x) dx y(t) = = fxt sinc(x) dx + sin(πx) πx 2fxt sinc(x) dx dx = π Considere-se agora a função seno integral definida por Si(x) = x sin(z) z 2πfxt em que Si( ) = π/2, Si() = e Si(+ ) = π/2. Obtém-se dz y(t) = π Si(2πf xt). sin(z) z Na Figura 6 encontra-se indicada a resposta impulsional normalizada h(t)/(2f x ) = sinc(2f x t) em função de 2f x t (tempo normalizado). A resposta y(t) encontra-se respresentada na Figura 7. Note que para f x > se tem y(t) 1 quando t. O gráfico mostra que a transição em t = é tanto mais rápida quanto maior for a largura de banda f x do filtro. dz.

10 1 Guia no. 1: Sinais e Sistemas h(t)/(2f x ) tempo normalizado, 2f t x Figure 6: Resposta impulsional normalizada do filtro passa-baixo ideal y(t) tempo normalizado, 2f t x Figure 7: Resposta do filtro passa-baixo ideal à função escalão.