Trabalho n o 3 Detecção de sinais em canais AWGN

Transcrição

1 Telecomunicações 2 LEEC / FEUP Trabalho n o 3 Detecção de sinais em canais Conteúdo 1 Objectivos 1 2 Preliminares teóricos 1 3 Experiência Detecção por amostragem Detecção por filtro adaptado Detecção por filtro integrate&dump Trabalho de casa Análise teóricadodetectorrc Simulação do detector RC Objectivos Neste trabalho será estudado o comportamento de vários tipos de detectores usados em receptores digitais cujo objectivo é a identificação sinais imersos em ruído gaussiano aditivo. O estudo será acompanhado pela medição das probabilidades de erro e pela visualização dos sinais em diagramas de olho. 2 Preliminares teóricos Pretende-se transmitir uma sequência digital representada por impulsos em banda-base genericamente designados por, t T, através de um canal que apenas introduz ruído gaussiano branco w(t) o chamado canal (Additive White Gaussian Noise). A taxa de símbolos, ou número de símbolos transmitidos por segundo, é, pois, 1/T. No receptor, o modo mais simples, mas não o mais eficiente, de recuperar a sequência binária é através da amostragem, de T em T segundos, da forma de onda, servindo os valores das amostras x(t ) para determinar quais o símbolos binários que lhes correspondem, consoante esses valores estão acima ou abaixo de um determinado limiar de decisão (veja-se a Figura 1). x(t) t = T x(t ) decisor ω(t) Figura 1: Sinal, ruído, amostrador e decisor. 1

2 A probabilidade de o decisor cometer um erro depende da diferença das amplitudes dos impulsos recebidos, V,edapotência do ruído, σ 2. Em concreto, é dada pela expressão, ( ) V P e =Q 2σ ( em que Q(x) = 1erfc x 2 2 ). O modo de detecção de impulsos da Figura 1 não éomelhor. Defacto,sesepretender minimizar a probabilidade de erro ou, dito de outra forma, maximizar a relação sinal-ruído no instante de decisão, dever-se-á anteceder o amostrador de um filtro adequado, o denominado filtro adaptado (matched filter), como se mostra na Figura 2. x(t) Filtro adaptado h opt(t) t = T y(t ) decisor ω(t) Figura 2: O filtro adaptado. Adaptado ao impulso, este filtro óptimo tem a resposta impulsional h opt (t) =kg(t t) em que k é simplesmente uma constante de proporcionalidade. Veja-se o seguinte exemplo. Seja um impulso unipolar RZ de amplitude A, com duty-cycle de 5% e duração T (correspondente ao bit 1, por exemplo), como representado na Figura 3. A T t Figura 3: Impulso transmitido. O filtro receptor que está adaptado a esta forma de onda tem, portanto (com k =1),a resposta impulsional da Figura 4. A h opt(t) =g(t t) T t Figura 4: Resposta impulsional óptima, h opt (t). A aplicação de a este filtro produz a forma de onda na saída representada na Figura5: O instante de amostragem é o instante de tempo em que se toma uma decisão sobre qual o bit, ou 1, que terá sido transmitido. A escolha correcta desse instante conduz ao valor máximo possível da relação sinal-ruído, na presença de ruído gaussiano branco. Neste 2

3 A 2 T 2 T 2T t Figura 5: Resposta do filtro adaptado. exemplo o instante de amostragem deve ser tomado em t = T,poisénesse momento que a saída do filtro adaptado atinge o valor máximo. Esse valor corresponde à energia do bit, E b, sendo, neste caso, E b = A 2 T/2. A probabilidade de bit errado associada ao detector óptimo no instante de amostragem T, para impulsos polares com qualquer forma de onda, vale: ( ) 2Eb P e =Q em que N é a densidade espectral de potência unilateral do ruído w(t). (Sugestão: demonstre a validade da expressão anterior para o caso de ) Uma forma alternativa de efectuar a detecção óptima é recorrer ao circuito correlacionador, cuja estrutura está representada na Figura 6. N x(t) Z T dt t = T y(t ) decisor ω(t) reset Figura 6: O correlacionador. No instante de amostragem, t = T o valor da saída do correlacionador tem o mesmo valor que a saída do filtro adaptado. Após o instante de amostragem éfeitooreset saída do integrador de modo que a integração em cada período de símbolo comece sempre a partir de zero. No caso dos impulsos transmitidos forem rectangulares (situação mais frequente) o correlacionador anterior pode ser simplificado para o circuito que habitualmente se designa por Integrate&Dump (I&D) o qual está representadonafigura7. x(t) Z T dt t = T y(t ) decisor ω(t) reset Figura 7: O filtro integrate&dump. A resposta do filtro I&D ao impulso está ilustrada na figura 8. Esta é a forma mais simples que um detector óptimo pode apresentar, e como tal, de mais fácil realização física. 3

4 AT 2 T 2T t 3 Experiência Figura 8: Resposta do filtro integrate&dump ao impulso. Neste trabalho será estudado o comportamento de vários detectores usados em receptores digitais na situação em que uma sequência de impulsos atravessa um canal. Ao longo destas experiências, as condições apresentadas a seguir manter-se-ão constates: Dados transmitidos: randint(1,1)) sequência binária aleatória de 1 bits (gerado pela função Débito binário da fonte de dados: R = 1 bit/s Código de linha: (impulsos com ±1 V de amplitude) Frequência de simulação (taxa de amostragem): f s = 1R =1 5 Hz Serão também medidas as probabilidades de erro para diversas potências de ruído do canal e visualizados os diagramas de olho dos diversos detectores. 3.1 Detecção por amostragem. Na primeira fase deste trabalho vai ser analisado o comportamento de um detector baseado num simples amostrador. 1 Efectue a montagem do seguinte diagrama de simulação. 2 Threshold 2 Corra a simulação durante 1 ms e observe as formas de onda apresentadas nos diversos osciloscópios. Use σ 2 =,2 parapotência do ruído do canal. 3 O amostrador (bloco zero-order hold) efectua a amostragem no início de cada bit. Confirme isso pela visualização detalhada do osciloscópio correspondente. Num sistema real, esta forma de amostragem (junto à transição de bit) levanta algum problema? Justifique. 4

5 4 Adicione o bloco Bit Error Meter ao diagrama anterior. Este bloco permite efectuar a estimação das probabilidades de bit errado. 2 Threshold Tx Rx Bit count Error count Estimated Bit Error Probability Estimated Bit Error Rate Bit Error Meter 1 Display 5 Calcule as probabilidades de erro teóricas deste detector para os valores de potência de ruído indicados na tabela seguinte: σ 2 P e (teórica) P e (estimada),2,4,8 1,6 6 Simule agora o sistema durante 1 s (1 bits enviados) e registe as diversas probabilidades de erro estimadas para os níveis de ruído indicados na tabela anterior. Que verifica? 7 Reponha o valor de σ 2 em,2 e inclua o bloco Sample-time eye-diagram scatter com o objectivo de se visualizar o diagrama de olho na entrada do decisor. Existe algum instante de decisão que minimize as probabilidades de erro obtidas anteriormente? Justifique. Sample time eye diagram scatter 2 Threshold Tx Rx Bit count Error count Estimated Bit Error Probability Estimated Bit Error Rate 13 Bit Error Meter 1 Display 5

6 3.2 Detecção por filtro adaptado Nesta secção será incluído um filtro adaptado à entrada do receptor e analisadas as melhorias por este introduzidas. 1 Qual será a resposta impulsional do filtro adaptado aos impulsos transmitidos na secção anterior, h opt (t)? Represente-a. 2 Esboce a resposta do filtro adaptado àsequência de dados {, 1,,, 1, 1} 3 No diagrama anterior adicione o filtro discreto cuja resposta impulsional corresponde à discretização da resposta impulsional obtida no ponto 1 desta secção. ones(1,1)(z) 1 Discrete Filter 1/1 Gain 2 Threshold Tx Bit count Error count Estimated Bit Error Probability Rx Estimated Bit Error Rate Bit Error Meter 1 Display 4 Anule o ruídodocanal(σ 2 =1 1 ) e observe as formas de onda antes do filtro, depois do filtro e após o amostrador. As formas de onda são as previstas anteriormente? 5 Calcule as probabilidades de erro teóricas do detector com filtro adaptado para os valores de potência de ruído indicados na tabela seguinte: Note que σ 2 = N B = N f s 2. σ 2 P e (teórica) P e (estimada) Simule agora o sistema durante 1 s (1 bits enviados) e registe as diversas probabilidades de erro estimadas para os níveis de ruído indicados na tabela anterior. Que verifica? 7 Quantas vezes se teria de aumentar a amplitude dos impulsos enviados no caso do detector simples (com amostrador apenas) para igualar o desempenho do detector com filtro adaptado? Justifique. 8 Inclua o bloco Sample-time eye-diagram scatter e visualize o diagrama de olho na entrada do decisor para σ 2 =,2eσ 2 = 2. Qual será oinstantededecisão que minimizará a probabilidade de erro? Justifique. 6

7 3.3 Detecção por filtro integrate&dump Como última experiência, o filtro adaptado irá ser substituído por um circuito Integrate&Dump (I&D) e o seu desempenho será comparado com o filtro anterior. Note que, como os impulsos transmitidos são rectangulares, o filtro I&D é equivalente a um correlacionador. 1 Esboce a resposta do filtro I&D para a sequência de dados {, 1,,, 1, 1}. 2 Substitua o filtro adaptado pelo bloco Scheduled reset-int e configure-o de acordo com os parâmetros da simulação. 1 Scheduled reset int Scheduled reset int Gain 2 Threshold Tx Rx Bit count Error count Estimated Bit Error Probability Estimated Bit Error Rate Bit Error Meter 1 Display 3 Anule o ruídodocanal(σ 2 =1 1 ) e observe as formas de onda antes e após o filtro I&D. As formas de onda estão de acordo com as obtidas anteriormente? 4 Calcule as probabilidades de erro teóricas do detector com filtro I&D para os valores de potência de ruído indicados na tabela seguinte: Note que σ 2 = N f s 2. σ 2 E b /N (db) P e (teórica) P e (estimada) Simule agora o sistema durante 1 s (1 bits enviados) e registe as diversas probabilidades de erro estimadas para os níveis de ruídoindicadosnatabelaanterior. O desempenho do Filtro I&D é então equivalente ao filtro adaptado? 6 A partir dos resultados obtidos, traçe as curvas de desempenho do detector por amostragem e do detector por filtro I&D (curvas P e em função de E b /N ). 7

8 4 Trabalho de casa Neste ponto será estudado o comportamento de um detector sub-óptimo baseado num filtro RC. A vantagem deste detector é que é extremamente simples e de muito fácil realização. No entanto, introduz uma degradação no desempenho face ao detector óptimo que interessa analisar. Os parâmetros a serem usados nesta simulação devem ser: Dados transmitidos: sequência binária aleatória de 1 4 bits (gerado pela função randint(1e4,1)) Débito binário da fonte de dados: R = 1 bit/s Código de linha: (impulsos com ±1 V de amplitude) Frequência de simulação (taxa de amostragem): f s = 1R =1 5 Hz. 4.1 Análise teórica do detector RC Um filtro RC apresenta a resposta em frequência H(ω) = constante de tempo do filtro. α 1 em que α = éoinverso α+jω RC 1 Determine as expressões da resposta temporal do filtro aos impulsos polares de amplitudes ±A. 2 Mostre que a banda equivalente de ruídodofiltrorcé B n = α equeapotência do 4 ruído àsaídadofiltrorcé N = αn quando na entrada a densidade espectral bilateral 4 é N 2. 3 Verifique que a probabilidade de bit errado associado ao detector RC para estes impulsos é: ( ) 2Eb P e = Q γ, γ = 2 ( 1 e ) αt 2 N αt em que γ pode ser interpretado como o factor de degradação face ao detector óptimo. Na expressão anterior assume-se que o condensador do filtro RC é descarregado após a amostragem de modo a evitar interferência intersimbólica provocada pelo carácter dispersivo do filtro. 4 Apresente a curva de degradação γ(αt ), em db, para valores de αt compreendidos entre 1 e 1. Determine o valor aproximado de αt para o qual a degradação émínima. Justifique o comportamento da curva obtida. 5 No caso do filtro RC não ser descarregado após a amostragem a probabilidade de bit errado aproximada é expressa por: ( ) 2Eb P e Q γ, γ = 2 ( 1 2e ) αt 2 N αt Neste caso a interferência intersimbólica vai fazer-se sentir resultando em diferentes valores no instante de amostragem. 8

9 Trace as curvas γ(αt )eγ(αt )nomesmográfico para valores de αt compreendidos entre 1 e 1. Determine o valor aproximado de αt para o qual a degradação γ é mínima. Justifique porque é que a degradação se acentua bastante para baixos valores de αt no caso do filtro RC não ser descarregado após o instante de amostragem. 4.2 Simulação do detector RC Para se efectuar a simulação de um sistema de transmissão usando o detector RC tome, como ponto de partida, o modelo usado para simular o detector baseado no filtro I&D. 1 Substitua o filtro I&D por um subsistema capaz de simular o comportamento de um filtro RC de constante de tempo 1/α. Note que a porta de reset do bloco integrator deve estar acessível para que a descarga deste possa ser efectuada. Mascare o subsistema de modo que os parâmetros de configuração do subsistema sejam: alpha*t parameter Symbol period - T (s) Reset (checkbox) 2 Determine as probabilidades de bit errado teóricas nas condições apresentadas na tabela seguinte: σ 2 P e P e (filtro RC com reset) P e (filtro RC sem reset) (det. óptimo) αt =1 αt =1,25 αt =2,5 αt =1 αt =2,5 αt = Simule o sistema durante 1 s e preencha a tabela seguinte a partir das probabilidades de erro estimadas na simulação: σ 2 P e P e (filtro RC com reset) P e (filtro RC sem reset) (det. óptimo) αt =1 αt =1,25 αt =2,5 αt =1 αt =2,5 αt = Trace as curvas da probabilidade de bit errado, P e, em função de E b /N (em db) e αt a partir dos valores obtidos no ponto anterior. Inclua também as curvas de probabilidade de bit errado teóricaearelativaaodetectoróptimo. Comente os resultados. 5 Para terminar, represente o diagrama de olho na saída do filtro RC (com e sem reset) para σ 2 =,1 e para os valores de αt indicados das tabelas anteriores. HCM/SAM Versão 2.1 Novembro de 22 9