X(t) = A cos(2πf c t + Θ)

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1 Exercícios Extras de Comunicações Digitais. Seja um sinal aleatório X(t), estacionário no sentido restrito, dado por onde X(t) = A cos(πf c t + Θ) A é uma variável aleatória Gaussiana com média de 4Volts e variância 4Volts ; F c é uma variável aleatória uniformemente distribuída entre e khz; { π f Θ (θ) =, π < θ < π, n.d.p. A, F c e Θ são independentes. Pede-se: a) Qual a densidade espectral de potência de X(t)? b) Qual a potência média destes sinais entre e 3kHz? Suponha que ele está sendo dissipado numa carga de Ω.. Deseja-se transmitir digitalmente estações de rádio, usando um satélite na banda Ku (/4GHz). Supondo que: Será usado PCM; Cada estação de rádio vai transmitir sinais de até khz de banda, com amplitudes uniformemente distribuídas entre -mv e +mv; A relação sinal-ruído desejada é de pelo menos 8dB; A sinalização dos bits será a NRZ polar; Os sinais digitais serão convertidos para a banda Ku usando modulação AM; Um transponder do satélite comporta uma banda de 36MHz. Quantas estações de rádio, no máximo, poderão ser transmitidas por transponder?

2 3. Um sinal binário NRZ polar consiste de pulsos de +V e -V em um intervalo [, ]. Ruído branco gaussiano de densidade espectral de potência 6 W/Hz é adicionado ao sinal. Se o sinal recebido é detetado com um filtro casado, determine qual a máxima taxa de bits que pode ser enviada com uma probabilidade de erro menor que 3. Assuma uma impedância de Ω. Qual é a relação sinal ruído na saída do filtro, em db? 4. Um sinal de vídeo, com banda de 6MHz, é digitalizado com 56 níveis e transmitido em PCM. Determine a banda necessária para transmitir o sinal se: a) Cada bit equivale a um pulso RC com fator de rolloff de.3, com uma de duas amplitudes. b) É usada codificação correlativa com pré-codificação. c) Comente sobre que fatores podem levar à escolha da 4a) ou 4b).

3 5. Um sinal com banda de khz deve ser transmitido em PCM, usando um canal sem ruído com.3mhz de banda. A menor relação sinal-ruído tolerável na saída é de 34dB. Sabendo-se que serão usados na transmissão pulsos do tipo roll-off cosine (RC), qual o fator de roll-off que proporciona a maior imunidade à interferência intersimbólica quando ocorrem erros no tempo de amostragem dos pulsos no receptor? Justifique a sua resposta. 6. Dadas as 4 formas de onda abaixo, s i (t), i =,, 3, 4, expressar cada uma como uma combinação linear de um mesmo conjunto de sinais ortonormais. s (t) s (t) s (t) 3 s (t) 4 3

4 7. Dado que o sinal x(t) abaixo foi recebido, qual das formas de onda s i (t), i =,, 3, foi transmitida com maior probabilidade? s (t) s (t) s (t) 3 3 x(t) 4

5 8. Num sistema de comunicações digitais, três pulsos igualmente prováveis ((a) (c), na figura abaixo) são transmitidos a cada µseg. Caso chegue na entrada de um receptor de correlação o sinal (d) abaixo, qual dos sinais deve ter sido transmitido com maior probabilidade? t ( µ seg) t ( µ seg) 6 ( µ seg) - (a) (b) 3 t ( µ seg) t ( µ seg) - (c) (d) 5

6 9. É dado um sistema de comunicações digitais que transmite cada bit de informação através das seguintes formas de onda: ( E s (t)= cos π t ) t ( E s (t)= cos π t ) t Sabe-se que: a) O ruído no canal é aditivo, branco e gaussiano, com densidade espectral de potência N = 8 W/Hz; b) A potência média transmitida pode ser no máximo igual a mw. c) A probabilidade de erro é de no máximo 6. Pede-se qual a máxima taxa de bits que pode ser transmitida. 6

7 . Ache o número médio de bits errados por dia em um receptor BPSK coerente com as seguintes características: axa de 5 bits/seg; Formas de onda digitais de entrada: s (t) = A cosω t e s (t) = A cosω t, onde A=mV; Densidade espectral de potência do ruído branco gaussiano aditivo N =.5 8 W/Hz. As potências estão normalizadas com relação a uma carga de Ω.. Um codificador duobinário com pre-codificação (vide a figura abaixo) é usado para é usado para gerar um sinal em banda básica. Supondo que cada bit na entrada tem duração de µseg e induz uma corrente máxima de µa em uma carga de kω, qual a probabilidade de erro no decodificador se a modulação, transmissão e demodulação podem ser modeladas conjuntamente como um canal com ruído branco Gaussiano aditivo com densidade espectral de potência N =? Entrada {x } k Somador Módulo- {y } k + Σ {z } k Saída + Atraso b {y } k-. Um sistema de comunicações digitais transmite pulsos equiprováveis representados pelas formas de onda abaixo. Os sinais binários são estimados por filtros casados. Sabe-se que o ruído que chega ao receptor é branco, Gaussiano de média zero e densidade espectral de potência N = mw/hz. Fazendo-se a decisão binária pela diferença entre as amplitudes amostradas, pergunta-se: a) Se = 6mseg, de quanto varia a probabilidade média de erro do sistema, quando A passa de 6V para 5V; b) Fixando-se A=5V, de quanto varia P e total quando passa de 6mseg para 8mseg. A A t /4 / / 3/4 t 7

8 3. Um sistema de modulação ternário em quadratura possui a constelação de sinais abaixo. Sabendo que o canal possui ruído branco gaussiano com densidade espectral de potência N, determine: a) A probabilidade de erro em função da energia transmitida por forma de onda. b) A probabilidade de erro em função da energia transmitida por símbolo ternário. φ E E E φ E 4. Se deseja tramsitir digitalmente um sinal de vídeo em PAL-M, com banda passante de 4,MHz, usando modulação QPSK. Determine a banda passante necessária para tranmsitir este sinal se de deseja uma relação ruído no receptor de televisão de no mínimo 35dB, nos seguintes casos: a) Se os pulsos usados são do tipo raised-cosine com α =.3. b) Se é usada codificação duobinária. 8

9 5. Um sistema de comunicações quaternário utiliza as formas de onda abaixo. Pede-se: (i) A probabilidade de erro considerando um canal com ruído branco Gaussiano aditivo de densidade espectral de potência N. (ii) Sabendo que s e s ocorrem com igual probabilidade e de forma independente, qual a expressão da densidade espectral de potência deste sinal? A b b A -A A / b b / b b -A 9

10 6. Sejam os seguintes sistemas de modulação digital: QPSK, 6-QAM, 64-QAM e 56- QAM. Sabendo que: São usados pulsos RC com α =.3. O canal é contaminado com ruído branco gaussiano aditivo com densidade espectral de potência N = 5 7 W/Hz. O custo do aluguel da banda de transmissão é de R$5,/(kHz.mês); O gasto com o tranmissor é de R$5,/(Watt.mês); Supondo que se deseja ter uma probabilidade de erro de 9, e considerando apenas os gastos com o aluguel de banda e a potência de transmissão, ordene os sistemas em termos de custo por bit transmitido. Qual é o sistema mais adequado para este caso?

11 7. Deseja-se transmitir dois canais de dados independentes, A e B, usando a constelação QAM abaixo. Isto é feito multiplexando os canais A e B da seguinte forma: A ocupa os dois bits mais significativos dos 4 bits que correspondem a cada forma de onda, e B ocupa os dois bits menos significativos. Se a energia média transmitida por bit é E b e a densidade espectral do ruído é N, determine: a) A probabilidade de erro por bit de um receptor QAM ótimo. b) Suponhamos que, para um determinado usuário, a informação no canal B é irrelevante, e se deseja recuperar somente a informação do canal A. Como deve ser um receptor ótimo, isto é, que dê a menor probabilidade de erro por bit no canal A, não importando o que acontece com o canal B.? Qual é esta probabilidade de erro? φ 3a a -3a -a -a a 3a φ -3a 8. Duas vantagens do MSK em relação ao FSK são as seguintes: a) O espaçamento mínimo de freqüência entre as duas portadoras no FSK é de um múltiplo inteiro de / b ( b - duração de bit), enquanto que no MSK ele é de metade deste valor. b) A probabilidade de erro no MSK é igual à do QPSK, e, portanto, bem menor que a do FSK para um mesmo valor de E b /N. Um engenheiro de uma firma X propôs melhorar o desempenho de um sistema que recebe dados digitais modulados em FSK da seguinte forma: Apenas o receptor FSK seria mudado, sendo substituindo por um demodulador MSK com o espaçamnento entre as portadoras modificado para que fique igual ao do FSK. Ele espera que com isso a probabilidade de erro do sistema FSK diminua, se aproximando da do MSK. A solução dada por este engenheiro destes pode funcionar? Justifique.

12 9. Se deseja construir um sistema de comunicaçõoes digitais em que se usa uma combinação do FSK e do PSK. Nele, tanto a fase quanto a freqüência de uma cossenóide identificam a forma de onda transmitida. São usadas as seguintes formas de onda: E s (t)= cos(πn c + t) t E s (t)= cos(πn c + t) t E s 3 (t)= cos(πn c + t + π) t E s 4 (t)= cos(πn c + t + π) t Calcule a probabilidade de erro por bit transmitido para um receptor ótimo para este sistema. Compare-a com a probabilidade de erro do FSK e do MSK, e discuta as vantagens e desvantagens deste método em relação ao FSK e ao MSK. É possível fazer uma deteção não coerente neste sistema?. Dada a constelação de sinais abaixo, determine a mínima probabilidade de erro por bit obtenível em função da energia média gasta por bit transmitido, se o ruído é branco, gaussiano, com densidade espectral de N. 5a φ a -5a -a -a a 5a φ -5a. Num sistema de comunicações digitais usando FSK binário, o receptor tem um circuito de sincronização garantindo que na recuperação de cada portadora, o erro de fase não não ultrapassará θ. A partir de qual valor de θ passa a valer a pena fazer a demodulação não coerente ao invés da coerente, se se deseja uma probabilidade de erro de 5?

13 . É dado um alfabeto de 8 símbolos, {s, s, s 3, s 4, s 5, s 6, s 7, s 8 } cujas probabilidades de ocorrência são, respectivamente, {.,.8,.5,.33,.9,.6,.7,.} Ache o código de Huffmann de mínima variância para este alfabeto, e determine a sua eficiência. 3. Uma fonte S = {s, s,..., s 7 } é tal que as probabilidades dos seus símbolos são dadas pela tabela abaixo: Símbolo s s s s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 Probabilidade Ache um código de Huffman para representar esta fonte. Este código deverá ter a máxima variância do comprimento de palavra. Qual a eficiência deste código? 4. rês links de comunicações digitais, semelhantes, são conectados em cascata (série). Calcule a capacidade total desta conexão, sabendo que qualquer um deles pode ser representado por um canal BSC do tipo abaixo..9 x = y =.. x =.9 y = 5. Um sistema de comunicações usa modulação BPSK. Sabe-se que: a) A energia por bit transmitido é E b = 5 J; b) O sinal é contaminado por ruído branco gaussiano aditivo com densidade espectral de potência N = 5 6 W/Hz; c) A banda do canal é de MHz. Pede-se: a) Qual a máxima taxa de transmissão de informação possível? b) Deseja-se fazer uma melhoria no sistema mudando o esquema de modulação. No melhor caso, qual é o aumento da taxa de transmissão que pode ser obtido? 3

14 6. É dado um canal ternário com a seguinte matriz de transição relacionando a entrada X com a saída Y:.9..5 P = onde {P} ij = probabilidade(receber y j transmiti x i ). Será transmitida, através deste canal, uma fonte ternária caracterizada pelas probabilidades p(x ) =, p(x ) = 4 e p(x ) =. Deseja-se que cada símbolo recebido contenha pelo menos bit de 4 informação a respeito da fonte X. Isto é possível? Justifique a sua resposta. 7. Deseja-se transmitir uma fonte S = {s, s, s, s 3, s 4, s 5, s 6, s 7 } com probabilidades p = {.3,.9,.5,.3,.4,.,.,.9}, a uma taxa de 6 símbolos/segundo. A densidade de potência do sinal é N = 8 W/Hz. Qual a mímima potência necessária do sinal se: a) A banda disponível é de MHz. b) A banda disponível é de khz. 8. Calcule a capacidade do canal binário abaixo: 3/4 x = y = /4 / x = / y = 4