TE060 Princípios de Comunicação. Probabilidade. Probabilidade Condicional. Notes. Notes. Notes

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1 TE060 Princípios de Comunicação Efeito do Ruído em Sistemas com Modulação de Onda Contínua 5 de novembro de 2013 Probabilidade Uma medida de probabilidade P é uma função que associa um número não negativo a um evento A no espaço amostral S e que satisfaz as três propriedades (axiomas) seguintes: 1 0 P 1 2 P[S] = 1 3 Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então P[A B] = P[A] + P[B] Propriedades: 1 P[Ā] = 1 P[A] 2 Quando A e B não são mutuamente exclusivos, então P[A B] = P[A] + P[B] P[AB] 3 Se A 1, A 2,..., A m são eventos mutuamente exclusivos que incluem todas as possibilidades de resultados de um experimento aleatório, então P[A 1 ] + P[A 2 ] + + P[A m ] = 1 Probabilidade Condicional Probabilidade condicional: P[B A] = P[AB] P[A] P[AB] = P[B A]P[A] = P[A B]P[B] Regra de Bayes: P[B A] = P[A B]P[B] P[A] Exemplo: Canal Binário Simétrico

2 Variáveis Aleatórias Variável aleatória X: número que descreve o valor de uma amostra de um experimento aleatório Função de distribuição cumulativa (cdf): F X (x) = P[X x] Função densidade de probabilidade (pdf): f X (x) = d dx F X(x) P[x 1 < X x 2 ] = f X (x) dx = 1 x2 x 1 f X (x) dx Duas Variáveis Aleatórias F X,Y (x,y) = P[X x, Y y] f X,Y (x,y) = 2 F X,Y (x,y) x y P[x 1 < X x 2, y 1 < Y y 2 ] = f X,Y (x,y) dxdy = 1 x2 y2 x 1 y 1 f X,Y (x,y) dxdy Processo Aleatório Processo Aleatório (ou Estocástico): Função aleatória do tempo para modelar formas de onda desconhecidas

3 Processo Aleatório Um processo aleatório, observado num instante de tempo é uma variável aleatória Processo Aleatório: conjunto indexado de V.A. onde o índice é o tempo Para uma V.A: o resultado de um experimento aleatório é associado a um número Para um processo aleatório: o resultado de um experimento aleatório é associado a uma forma de onda que é uma função do tempo Processos Aleatórios: Caracterização Estatística Função de Distribuição Conjunta: F X(t1)X(t 2) X(t k)(x 1, x 2,..., x k ) Processo Aleatório Estacionário: A sua caracterização estatística é independente do tempo em que a observação do processo é iniciada F X(t1+τ)X(t2+τ) X(t k+τ)(x 1, x 2,..., x k) = F X(t1)X(t2) X(t k)(x 1, x 2,..., x k) Processo Aleatório Estacionário Questão: Avaliar a probabilidade de obtermos uma função amostra x(t) de um processo aleatório X(t) que passe através deste conjunto de janelas de amplitude.

4 Processo Aleatório Estacionário Função de Autocorrelação R X(t 1,t 2) = E [X(t 1)X(t 2)] = x 1x 2f X(t1)X(t2)(x 1,x 2) dx 1dx 2 Se o processo for estacionário: R X(t 1,t 2) = R X(t 2 t 1) = R X(τ) para todo t 1 e t 2, onde τ = t 2 t 1 Propriedades da Função de Autocorrelação 1 R X (0) = E[X 2 (t)] 2 R X (τ) = R X ( τ) 3 R X (τ) R X (0) R X (τ) descreve a interdependência de duas variáveis aleatórias obtidas observando-se um processo aleatório X(t) em instantes de tempo τ segundos separados.

5 Exemplo: Onda Senoidal com Fase Aleatória Exemplo: Onda Senoidal com Fase Aleatória Passagem de um Processo Aleatório por um Sistema Linear µ Y = µ X H(0) E[Y 2 (t)] = R Y (0) = h(τ 1)h(τ 2 )R X (τ 2 τ 1 )dτ 1 τ 2

6 Exemplo: Densidade Espectral de Potência E[Y 2 (t)] = H(f) 2 S X (f)df 1, f ± f c < 1 2 f H(f) = 0, f ± f c > 1 2 f Se f f c E[Y 2 (t)] 2 f S X (f c ) Densidade Espectral de Potência: Propriedades 1 S X (0) = R X (τ) dτ 2 E [ X 2 (t) ] = S X (f) df 3 S X (f) 0 4 S X ( f) = S X (f) se o processo aleatório for real Exemplo: Onda senoidal com fase aleatória R X (τ) = A2 2 cos(2πf cτ) S X (f) = A2 4 [δ(f f c) + δ(f + f c )]

7 Exemplo: Sequência Binária Aleatória [ ] A 2 1 τ T, τ < T R X (τ) = 0, τ T S X (f) = A 2 T sinc 2 (ft ) Processos Gaussianos ] f Y (y) = 1 (y µy )2 2πσY exp [ 2σY 2 Teorema do Limite Central O efeito soma devido a um grande número de causas independentes tende a um processo Gaussiano: Y = X 1 + X X n Gaussiana para n Propriedades de um Processo Gaussiano, X(t) 1 Quando X(t) passa por um sistema LIT, o processo de saída continua sendo Gaussiano 2 Considerando um conjunto de V.A., X(t 1 ), X(t 2 ),..., X(t n ), resultantes da observação de X(t) em t 1, t 2,..., t n, se X(t) for Gaussiano, esse conjunto de V.A. será conjuntamente Gaussiano n 3 Se as V.A. X(t 1 ), X(t 2 ),..., X(t n ) de um processo Gaussiano não são correlacionadas, ou seja, se E [( X(t k ) µ X(tk)) ( X(ti ) µ X(ti))] = 0, i k então essas V.A. são estatisticamente independentes

8 Ruído Ruído Sinais indesejáveis que perturbam a transmissão e o processamento de sinais no receptor e que são incontroláveis Fontes externas: ruído atmosférico, galáctico e ruído provocado pelo homem Fontes internas: flutuações espontâneas de corrente ou tensão em circuitos elétricos Ruído Impulsivo: Resulta da natureza discreta da corrente Ruído Térmico: Resulta do movimento aleatório de elétrons em um condutor. Modelo Equivalente de Ruído Térmico E[VT 2 N ] = 4kT R f(volts)2 k Constante de Boltzmann (k = 1, Joules/K) T Temperatura em K R Resistência em Ohms f Largura de banda em Hz Ruído Branco Ruído Branco: Forma idealizada cuja densidade espectral de potência é independente da frequência de operação Temperatura equivalente de ruído do receptor (N 0 = kt e ) Temperatura na qual um resistor ruidoso tem de ser mantido a fim de que, conectando-se o resistor à entrada de uma versão sem ruído, ele produza a mesma potência disponível de ruído na saída do sistema que a produzida por todas as fontes de ruído do sistema real.

9 Exemplo: Ruído na saída de um filtro passa-baixas ideal N0 2, B < f < B S N (f) = 0, f > B N 0 R N (τ) = 2 ej2πfτ df = N 0B sinc(2bτ) Exemplo 1: Uma função amostra de processo aleatório estacionário no sentido amplo X(t) com função de autocorrelação R X (τ) = e b τ é o sinal de entrada de um filtro RC passa-baixas. Supondo b > 0 e b 1, determine S Y (f) e R Y (τ). Determine a potência média do sinal de saída do circuito. Exemplo 2: Num jogo de loteria a cada semana é sorteado um dos 100 possíveis números, sendo que cada apostador só pode escolher um número por aposta. O preço da aposta é de R$ 1,00 e o prêmio é de R$ 50,00 para cada aposta ganhadora. a) Sendo X a V.A. que representa o valor arrecadado pela casa de apostas em cada aposta, determine o valor médio e a variância dessa variável. b) Se numa dada semana são feitas apostas, qual a probabilidade de que essa casa de apostas tenha prejuízo nessa semana? Dica: utilize o teorema do limite central.

10 Exemplo 3: Considere o processo X(t) = a cos(ω 0 t + Θ), onde Θ é uma variável aleatória com densidade uniforme no intervalo [0,2π], e a é uma V. A. discreta, sendo P(a = 1) = P(a = 2) = 1 2. a) Calcule E[X(t)], R X (t 1,t 2 ), e σ 2 X (t). b) Esse processo é ergódico na média? E na autocorrelação? Modelo do Receptor w(t) processo de ruído branco com densidade espectral de potência N 0 /2 N 0 potência de ruído média por unidade de largura de banda medida na entrada do receptor x(t) = s(t) + n(t), n(t) : Ruído filtrado Característica Ideal do Ruído Filtrado n(t) = n I (t) cos(2πf c t) n Q (t) sin(2πf c t) (SNR) I : Razão entre a potência média do sinal modulado s(t) e a potência média de ruído filtrado n(t). (SNR) O : Relação sinal-ruído de saída (medida na saída do demodulador).

11 Modelo de Transmissão Banda Base (SNR) C : Relação sinal-ruído de canal Razão entre a potência média do sinal modulado s(t) e a potência média de ruído de canal na largura de banda da mensagem, ambas medidas na entrada do receptor. Figura de Mérito = (SNR) O (SNR) C Receptor DSB-SC com Detecção Coerente Propriedades de n I (t) e n Q (t) (Seção 1.11 Haykin) n I (t) e n Q (t) têm valor médio igual a zero. Se n(t) for Gaussiano, então n I (t) e n Q (t) serão conjuntamente Gaussianos. Se n(t) for estacionário, então n I (t) e n Q (t) serão conjuntamente estacionários. n I (t) e n Q (t) têm a mesma densidade espectral de potência dada por S N (f f c ) + S N (f + f c ), B < f < B S NI (f) = S NQ (f) 0, caso contrário n I (t) e n Q (t) têm a mesma variância que o ruído de banda estreita n(t). Se n(t) for Gaussiano, e S N (f) for simétrica em relação à frequência f c, então n I (t) e n Q (t) serão estatisticamente independentes.

12 Problema 2.46 Haykin Modelo de Receptor AM s(t) = A c [1 + k a m(t)] cos(2πf c t) Diagrama Fasorial para Modulação AM y(t) = { [A c + A c k a m(t) + n I (t)] 2 + n 2 Q(t) } 1/2 A c + A c k a m(t) + n I (t) n(t) = r(t) cos[2πf c + ψ(t)] y(t) r(t) + A c cos[ψ(t)] + A c k a m(t) cos[ψ(t)]

13 Modelo de Receptor FM Diagrama Fasorial para Recepção FM { } r(t) sin[ψ(t) φ(t)] θ(t) = φ(t) + tan 1 A c + r(t) cos[ψ(t) φ(t)] Análise do Ruído no Receptor FM N 0f 2, f BT S Nd (f) = A 2 c 2 0, fora N 0f 2, f W S N0 (f) = A 2 c 0, fora

14 Diagrama Fasorial Portadora sem Modular Efeito de SNR baixa no Receptor Efeito Limiar

15 Efeito do Ruído em Sinais de Áudio Pré-Ênfase e Deênfase em FM H de (f) = 1 H pe (f), W f W Filtros de Pré-Ênfase e Deênfase H pe = 1 + jf f 0 R r e 2πfCr 1 1 H de (f) = 1 + jf/f 0 f 0 = 1 2πrC

16 Exercício Um sinal de mensagem de amplitude normalizada tem 8 khz de largura de banda e potência média 0.5 kw. Deve-se transmitir este sinal através de um canal com 60 khz de largura de banda disponível e atenuação de 40 db. O canal é Gaussiano com N 0 /2 = W/Hz. Será utilizado um esquema de modulação FM sem filtros de pré e deênfase. a) Determine a mínima potência a ser transmitida e o valor correspondente de coeficiente de desvio de frequência para se obter uma SNR de no mínimo 60 db na saída do discriminador de frequências. b) Como se alteram os resultados da parte a) se forem usados filtros de pré e deênfase com constante de tempo igual a 75 µs?