Modulação Digital em Banda Passante

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1 Modulação Digital em Banda Passante Luis Henrique Assumpção Lolis 27 de maio de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 1

2 Conteúdo 1 Introdução - Modulação Digital em Banda Passante 2 Transmissão em passa faixa 3 Chaveamentos binários PSK e FSK Detecção coerente 4 Modulações M-árias Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 2

3 Sumário 1 Introdução - Modulação Digital em Banda Passante 2 Transmissão em passa faixa 3 Chaveamentos binários PSK e FSK Detecção coerente 4 Modulações M-árias Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 3

4 Ciclo da comunicação digital Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 4

5 A continuação da modulação pulsada O sinal em banda base, quantizado, codificado em linha e com um pulso de forma especifica passa a ser o sinal de referência que altera as características da portadora: Em fase: PSK (Phase Shift Keying) e CPM (Continuous Phase Modulation) Em frequência: FSK (Frequência Shift Keying) Em amplitude: ASK (Amplitude Shift Keying) Em amplitude e fase: QAM (Quadrature Amplitude Modulation) Para que não seja necessário encontrar a fase inicial do sistema (rotação da constelação), existe as modulações que permitem demodulação não coerente (os pontos de comparação não são absolutos como definidos no capítulo anterior): Fase diferencial: DPSK (Differential Phase Shift Keying) e CPM FSK ASK Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 5

6 A modulação digital como um vetor em banda base A modulação em quadratura de sinais em bases ortogonais: s m (t) = I cos(ωt) Q sen(ωt) Transmissão de um sinal de quadratura em banda base para uma portadora: s BB(t) = I + jq A c (t) = e jω0t s m (t) = Re { e jω0t (I + jq) } s m (t) = I cos(ωt) Q sen(ωt) Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 6

7 Constelação O sinal em banda base é um sinal complexo, que tendo parte real e imaginária pode ser visto em uma base ortogonal real e imaginário, o sinal I e Q. Essa representação chama-se constelação. No caso de 2-PAM, só existe a via I. Já o sinal QPSK (quadrature phase shift keying)=4 fases diferentes. Então o módulo de I + jq é igual a 1. Q Q 2 -A A I 2 2 I 2 Constelação 2-PAM Constelação QPSK Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 7

8 Sumário 1 Introdução - Modulação Digital em Banda Passante 2 Transmissão em passa faixa 3 Chaveamentos binários PSK e FSK Detecção coerente 4 Modulações M-árias Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 8

9 Transmissor em conversão direta e canal Sinal complexo deslocado para a direita e tomando a parte real. O sinal em RF é um sinal REAL, chamado de sinal passa-faixa. Considerando um canal linear, o sinal recebido sofre uma perda e recebe ruído. x(t) = A c g(t) + w(t). Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 9

10 Receptor em conversão direta Um filtro reduz o ruído na entrada do receptor e as vias I e Q são convertidas de volta para a banda base e depois filtradas em banda base (filtro casado). Quando há a necessidade de sincronizar o receptor com o transmissor para encontrar os pontos ideais na constelação, chamamos isso de detecção coerente e o receptor receptor coerente. Quando a codificação é diferencial os pontos em absoluto da constelação não importam, e sim as transições. Nesse caso não há a necessidade de sincronismo. Nesse caso temos uma detecção não coerente e um receptor não coerente. Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 10

11 Sumário 1 Introdução - Modulação Digital em Banda Passante 2 Transmissão em passa faixa 3 Chaveamentos binários PSK e FSK Detecção coerente 4 Modulações M-árias Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 11

12 Introdução O bit 0 e o bit 1 podem alterar uma portadora em três frentes: Amplitude ASK: Oscila quando tem o bit 1 e não oscila quando tem o bit 0. Multiplica a portadora por 0 ou 1. Fase PSK: A fase da portadora se desloca 180 o com o 0 (multiplicação por -1) e não varia a fase com o 1 (multiplicação por 1 ). Frequência FSK: A frequência da portadora acelera com o 1 e se reduz com o 0 de acordo com um coeficiente de variação de frequência. Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 12

13 Ilustração Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 13

14 BPSK Constelação (só tem a parte real). s 1 BB (t) = +1 (fase zero). s 0 (t) = 1 A c cos(2πf c t) s 0 BB (t) = 1 (fase π). s 0 (t) = 1 A c cos(2πf c t) = A c cos(2πf c t + π) Q I A c = Eb 2T b Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 14

15 FSK O sinal em banda base gira para a direita (bit 1 ) ou esquerda (bit 0 ). θ BB (t) = t s BB (t) = 1 ± fdt O sinal s BB complexo= s B B(t) = e ±j2π f t O sinal modulado em quadratura quando do bit 1 s 1 (1) = R { A c e j2πf 0t e +j2π t} = A c cos(2π(f 0 + f)t) bit 0, s 2 (t) = R { A c e j2πf 0t e j2π t} = A c cos(2π(f 0 f)t) Q s BB ( t) θ BB ( t) I Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 15

16 Receptor de correlação A máxima correlação se dá quando se multiplica um sinal por ele mesmo. Cada tipo de símbolo possível é uma via de multiplicação. A análise é feita de 0 t T B. O resultado do produto é integrado. Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 16

17 Receptor de correlação BPSK e FSK Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 17

18 SNR de pico, E B /N 0 e BER A energia do bit só depende da portadora E b = A 2 c/2 T b Vamos supor que o bit 1 foi enviado, então H 1 : x(t) = s 1 (t) + w(t) O valor esperado na saída da soma a V.A. L, E[L H 1 ] = E b (1 ρ) onde ρ é o coeficiente de correlação. Com H 0 o valor esperado fica E[L H 0 ] = E b (1 ρ) A variância de L fica: VAR[L] = N 0 E b (1 ρ) ( ) Eb (1 ρ) L é uma V.A. gaussiana e o erro fica = Q N 0 Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 18

19 SNR de pico, E B /N 0 e BER O BER do PSK s 0 (t) = s 1 (1), ρ = 1 sinais antipodais ( ) 2Eb ) BER = Q N 0 Igual 2-PAM em banda basa, pois o produto do sinal modulado por cos(2πf 0 t) dá o NRZ em BB. O BER do FSK Qual é a correlação de sinais de frequências diferentes? ρ = 0. Sinais ortogonais. ( ) Eb ) BER = Q. N 0 Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 19

20 FSK de fase contínua CPFSK Continuous Phase Frequency Shift Keying A fase do novo ciclo que gera a frequência f toma em consideração a fase no final do ciclo anterior. A frequência sendo a derivada da fase no tempo: f = dφ(t)/(2π dt) φ(t) = φ(0) ± πh t T b Então f = h 2T b No caso particular de h = 1/2 o deslocamento de fase ao longo de T b fica ±π/2. Esse caso particular é o MSK (minimum frequency shift keying). Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 20

21 FSK de fase contínua CPFSK Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 21

22 Detecção coerenet CPFSK e BER Considerando as vias I e Q da banda base complexa. s BB (t) = e ±j(π/(2t b)t+φ(0)) ( ) ( ) ±π ±π I BB (t) = cos t + φ(0) Q BB (t) = sen + φ(0) 2T b 2T b O sinal em banda passante complexo: s(t) = A c I BB (t) cos(2πf 0 t) A c Q BB (t) sen(2πf 0 t) Analisando os ciclos inteiros e considerando o ruído: ( ) x(t) = ( ) ±π ±π ±A c cos t cos(2πf 0 t)±a c sen sen(2πf 0 t)+w(t) 2T b 2T b Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 22

23 FSK de fase contínua CPFSK Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 23

24 FSK de fase contínua CPFSK Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 24

25 BER do CPFSK Nesse caso segue a expressão com ρ = 1 ( ) 2Eb ) BER = Q N 0 Mesma probabilidade de erro do PSK coerente com uma ocupação de banda muito menor. Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 25

26 Resumo da recepção coerente PSK, FSK e CPFSK binário Recuperação da portadoras. Circuito de sincronização. Cálculos de correlação. Pode corrigir erro de fase mas continua sensível a erro de frequência. Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 26

27 Detecção FSK não coerente Trabalha com a variação da constelação e não com os valores absolutos. Não precisa da recuperação da portadora. Perda de desempenho na curva BER E b /N 0 Parecido com o receptor de correlação sem considerar a fase, somente a energia. Aplicação de detector de envoltória. Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 27

28 Detecção FSK não coerente Trabalha com a variação da constelação e não com os valores absolutos. Aplicação do filtro casado em banda passante. f i (t) = cos(2πf i t)g(t). A operação de convolução não se importa com a fase inicial nesse caso. Aquele que na saída do filtro der a maior envoltória, ganha. O filtro em RF gera grande custo e portanto esse receptor não é prático. Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 28

29 BER Detecção FSK As V.A.s l 1 e l 2 não têm distribuição Gaussiana. 2E s i (t) = T cos(2πf it + φ), 0 t T, i = 0, 1 φ é desconhecida e constante. Consideramos dois filtros uma para cada frequência. O ruído é branco gaussiano com DEP N 0 /2. Assumindo que um zero foi enviado o sinal está é s 0, na frequência f 1 existe somente o ruído branco gaussiano. A saída do detector de envoltória e a decisão em l 1 é o envelope de uma gaussiana, ou seja, uma distribuição de Rayleigh. p(l 1 s 0 ) = l 1 σ 2 0 exp ( l 1 2σ 2 0 ) l l 1 < 0 Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 29

30 BER Detecção FSK Já se s 0 foi enviado, a saída l 0 contém o cosseno à uma fase aleatória mais o ruído branco gaussiano. A saída do filtro é uma distribuição de Rice p(l 0 s 0 ) = l 0 σ 2 0 exp [ (l2 0 + A2 ) 2σ 2 0 ] I 0 ( l0 A σ 2 0 ) l l 1 < 0 Onde A = 2E/T b, e I 0 é a função de Bessel modificada de primeira ordem. Com os testes de hipóteses e com uma aproximação das integrais que representam as F.D.As das distribuições, a probabilidade de erro fica: BER = 1 ( 2 exp E ) b 2N 0 Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 30

31 Chaveamento de fase diferencial DPSK A informação dos bits está na transição de fase e não na fase em absoluto. Assim a fase não precisa indicar o bit e não precisa ser identificada. Existe a demodulação coerente de um sinal DPSK mas não se ganha em desempenho, na verdade se perde, e ainda por cima se mantém a complexidade do demodulador. Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 31

32 Detecção não diferencial coerente do DPSK Nesse caso se perde desempenho mas se simplifica o demodulador. Multiplica o sinal com uma versão atrasada dele. Se não houver avanço de fase o produto dará uma integral positiva (cossenos de mesma fase). Senão o produto terá integral negativa (cossenos de fase invertida). Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 32

33 BER da detecção não diferencial coerente do DPSK 2E x 0 (t) = T cos(2πf 0) 2E x 1 (t) = T cos(2πf 0 + π) Como a codificação é diferencial temos que analisar os pares x 0 e x 1. s 1 (t) = (x 0, x 0 ) ou x 1, x 1 de 0 t 2T b s 0 (t) = (x 0, x 1 ) ou x 1, x 0 de 0 t 2T b Agora a análise é considerando dois períodos. Sendo s 0 (t) e s 1 (t) ortogonais, o receptor fica semelhando ao não coerente FSK, mas com sinais que tem intervalo de 2T b gastando o dobro da energia para um símbolo. BER = 1 ( 2 exp E ) b N 0 Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 33

34 Sumário 1 Introdução - Modulação Digital em Banda Passante 2 Transmissão em passa faixa 3 Chaveamentos binários PSK e FSK Detecção coerente 4 Modulações M-árias Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 34

35 Introdução Nessa etapa o sinal em banda base pode ter componentes em fase e em quadratura. A detecção coerente é feita com um demodulador em quadratura. O sinal modulado em banda base pode ter variação de fase, amplitude ou ambas. Os diferentes sinais serão s 1 (t), s 2 (t),... s M 1 (t) e cada sinal poderá carregar mais de um bit de informação e tem a duração do símbolo T. Tendo M símbolos diferentes, cada símbolo carrega n = log 2 M bits por símbolo. O símbolo contendo n bits, T = nt b. A energia do símbolo sendo também maior que a energia do bit, em média E = ne b Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 35

36 As diferentes constelações M-árias Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 36

37 Q-PSK 2E s i (t) = [2πf T cos c t + (2i 1) π ], 0 t T 4 0, fora i=1,2,3,4. Coordenadas para modulação em quadratura: 2E I = ± T cos(π/4) e Q = ± 2E T sen(π/4) Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 37

38 Conversão serial paralelo Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 38

39 Transmissor e receptor coerente QPSK Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 39

40 Probabilidade de erro em Q-PSK Sinais I e Q na saída do integrador (ou filtro casado): l 1 = ± 1 2 A ct + l 2 = ± 1 2 A ct + T 0 T 0 w(t) cos(2πf c t)dt w(t) sen(2πf c t)dt Os valores esperados de L 1 e L 2 : E[L 1 ] = E[L 2 ] = ± A ct 2 As variâncias de L 1 e L 2 : VAR[L 1 ] = VAR[L 2 ] = N 0T 4 Para cada saída temos a probabilidade de erro da posição I ou Q: P e1 = P e2 = Q A 2 ct N 0 ( Com E = A 2 2E b ct e E = 2E b, BER = Q N 0 O MESMO DESEMPENHO DE ERRO BIT DO BPSK COM O DOBRO DA EFICIÊNCIA ESPECTRAL ) Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 40

41 M-PSK Cada ponto da constelação é espaçado de 2π/M, M o número de símbolos da constelação. Coordenadas para modulação em quadratura: 2E I = ± T cos(2π/m i) e Q = ± 2E T sen(2π/m i), i = 1, 2,..., M E = log 2 ME b Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 41

42 Detecção coerente M-PSK Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 42

43 Ex: D8PSK Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 43

44 BER Detecção coerente M-PSK Os limiares de decisão aumentam e o ruído é considerado em fase. Somente os erros adjacentes são considerados e o cálculo feito é a probabilidade de erro de símbolo. Probabilidade de erro símbolo para altos SNR: ( ) 2Es P E (M) 2Q sen π N 0 M E s = E b (log 2 M) Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 44

45 SER Detecção coerente M-PSK Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 45

46 BER Detecção diferencialmente coerente M-DPSK Probabilidade de erro de símbolo. ( ) 2Es π P E (M) 2Q sen N 0 2M Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 46

47 Modulação de amplitude em quadratura QAM QPSK=QAM. BER QP SK = BER QAM Para mais pontos uma modulação M P AM em I e em Q. O sinal vai tanto alterar a amplitude em banda base, alterando a energia do símbolo E i quanto alterar a fase φ i. O número de pontos da constelação define quantos bits cada símbolo carrega (ex: 16QAM carrega 4 bits por símbolo). Definidas as amplitudes e fases temos os sinais em I e Q em banda base: 2Ei (t) I BB (t) = cos(φ i (t)) T 2Ei (t) Q BB (t) = sen(φ i (t)) T Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 47

48 Ex: 16QAM A passagem de serial para paralelo faz um mapeamento de GRAY. Os pulsos em I e Q passam a ser uma modulação M-PAM para cada via. A forma de pulso pode ser qualquer uma daquelas discutidas em modulação em banda base. Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 48

49 Probabilidade de erro símbolo QAM - detecção coerente Cada via é uma modulação L-PAM, com L = M A probabilidade de acerto no QAM é a probabilidade de acerto em I e Q: P c = (1 P e) 2 Onde P e é a probabilidade de erro no L-PAM A probablilidade de erro símbolo do L-PAM fica: P e 1 ( 1 1 ) ( ) 2E0 Q 2 L Para baixo P e temos: N 0 Então: P e = 1 P c = 1 (1 p e) 2 2P e P e ( ) ( ) 1 1 M Q 2E0 N 0 Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 49

50 Probabilidade de erro símbolo QAM - detecção coerente - cont. E 0 representa a energia instantânea mas se deve ter a probabilidade para a energia média E av. E av = 2 2E L/2 0 (2i 1) 2 L i=1 E a taxa de erro de símbolo em função do erro médio fica. ( ) ( ) P e 1 1 M Q 3Eav 2(M 1)N 0 Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 50

51 Modulação M-FSK O número de frequências diferentes é igual M = log 2 n onde n é o número de bits por símbolo. 2E Sinal em banda passante: s i (t) = T cos(2π(f c + f i )t), 0 t T, i = 1,..., M (pulso retangular nesse caso) Significa em banda base uma exponencial complexa: 2E s BB (t) = T ej2π f i, podendo ser separados em I e Q. Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 51

52 Probabilidade de erro símbolo Ambas as demodulações coerente e não coerente podem ser aplicadas. Para a não coerente teremos as diferentes frequências na entrada e a tomada de decisão para a frequência mais próxima. Para a não coerente o filtro casado para cada portadora é aplicado. Ambas podemos ter o equivalente em banda base, primeiro deslocando o sinal em quadratura para a banda base e lidando posteriormente com f i ao invés de f c + δf i Considerando uma aproximação com as inversões sendo sempre de símbolos adjacentes, temos a definição de limites de união, onde a menor distância euclidiana é considerada entre os símbolos. Essa aproximação leva a sequinte expressão para a detecção coerente: ) P E (M) (M 1)Q ( Es N 0 Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 52

53 Relação entre a taxa de erro de símbolo e binária Para um código Gray, um erro símbolo representa um erro bit. Para cada símbolo, n bits são enviados e desses n, n 1 não sofrem erro. Portanto a taxa de erro binária fica menor que a taxa de erro símbolo. n = log 2 M BER P e log 2 M Luis Henrique Assumpção Lolis Modulação Digital em Banda Passante 53