Códigos de bloco. Luis Henrique Assumpção Lolis. 1 de novembro de Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 1

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1 Códigos de bloco Luis Henrique Assumpção Lolis 1 de novembro de 2013 Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 1

2 Conteúdo 1 Códigos de bloco lineares 2 Códigos sistemáticos 3 Síndrome 4 Distância de Hamming 5 Arranjo padrão e decodificação de síndrome 6 Código de Hamming 7 Códigos corretores de erros únicos e detectores de erros duplos 8 O código de Golay(24,12) Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 2

3 Introdução Somente o Galois Field binário vai ser considerado GF (2). A palavra da fonte contém k bits. A palavra do código contém n bits. A redundância é então de n k. O código é conhecido como código de bloco (n, k) A taxa do código é então R = k/n Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 3

4 A mensagem é denotada como m = {m 0, m 1,..., m k 1 } Existem 2 k blocos distintos. A palavra código é denotada como c = {c 0, c 1,..., c n 1 } De todas as 2 n combinações possíveis, somente 2 k são realmente palavras código, logo existem 2 n 2 k combinações, que se recebidas, são identificadas como um erro. Existem diversas maneiras de obter os n bits da palavra código a partir dos k bits da mensagem da fonte. Nós vamos nos concentrar em uma classe particular de blocos que reduz as complexidade de codificação. O Códigos de bloco lineares Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 4

5 O processo de controle de erro Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 5

6 Sumário 1 Códigos de bloco lineares 2 Códigos sistemáticos 3 Síndrome 4 Distância de Hamming 5 Arranjo padrão e decodificação de síndrome 6 Código de Hamming 7 Códigos corretores de erros únicos e detectores de erros duplos 8 O código de Golay(24,12) Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 6

7 Códigos de bloco lineares O código (n, k) é linear se as 2 k palavras código formam um subespaço C de k dimensões do espaço vetorial V n que contém todas as n-uplas no campo GF (2), GF (2 n ). Existem então k palavras código que são linearmente independentes. Essas palavras códigos são denotadas g j = {g j0, g j1,..., g jn 1 }, 0 j k 1. O código de bloco é linear se a soma módulo-2 de duas palavras código também é uma palavra código. Cada bit da mensagem da fonte é denotado m ij, i para representar a posição do bit de 0 i k 1 e j para representar a mensagem de 0 j 2 k 1. Em C cada palavra código c j = {c j0, c j1,..., c jn 1 } é uma combinação linear dessas k palavras código: c j = m j0 g 0 + m j1 g m jk 1 g k 1 Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 7

8 Representação Gráfica de Subespaços Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 8

9 O processo de codificação pode ser representado de maneira matricial: c j = m j G = (m j0, m j1,, m jk 1 ) g 0 g 1. g k 1 = m j0 g 0 + m j1 g m jk 1 g k 1 Desenvolvendo a matriz G: g 0 g 1 g 00 g 01 g g 0,n 1 g 10 g 11 g g 1,n 1 G =. =..... g k 1 g k 1,0 g k 1,1 g k 1,2... g k 1,n 1 Como g j gera c j, a matriz G é chamada de matriz geradora. Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 9

10 Exemplo de código linear (7, 4), com a seguinte matriz geradora: g 0 g 1 G =. = g k Mensagens Palavras código ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 10

11 Ilustrando o calculo da palavra código Se m 13 = (1101) é a mensagem a ser codificada, a palavra chave correspondente é: c 13 = 1 g g g g 3 = 1 ( )+1 ( )+0 ( )+1 ( ) = ( )+ ( )+ ( ) = ( ) Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 11

13 Códigos sistemáticos Uma característica desejável do código para que ele seja mais fácil de decodificar é que ele seja sistemático. Definição de sistemático: É um código que as palavras códigos contém uma repetição da mensagem da fonte com k bits mais a parte de checagem redundante de n k bits, que são chamados bits de paridade. Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 13

14 Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 14

15 Exercício: como construir a matriz geradora do código sistemático Primeiro criar a matriz P que cria os bits de paridade. Ela é de dimensão k (n k) Depois a parte que constrói a repetição da mensagem da fonte na parte direita da palavra código. Matriz identidade k k G = [P.I k ] Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 15

16 G = g 0 g 1 g 2.. g k 1 = p 00 p p 0,n k p 10 p p 1,n k p 20 p p 2,n k p k 1,0 p k 1,1... p k 1,n k Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 16

17 Exercício: exemplo de código sistemático c = (m 0, m 1, m 2, m 3 ) Nós vamos calcular c em função de m: (c 0, c 1, c 3, c 4, c 5, c 6 ) = µ 0 ( ) µ 1 ( ) µ 2 ( ) µ 3 ( ) c 0 = m 0 + m 2 + m 3 c 1 = m 0 + m 1 + m 2 c 2 = m 1 + m 2 + m 3 c 3 = m 0 c 4 = m 1 c 5 = m 2 c 6 = m 3 Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 17

18 Circuito codificador do código sistemático Registro da mensagem m 0 m 1 m 2 m 3 Canal c 0 c 1 c 2 Registro de paridade Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 18

19 Matriz de verificação de paridade Existe uma outra matriz ainda mais interessante para a decodificação. Ela é menor que a matriz G e serve para indicar a paridade do sinal recebido. O resultado do sinal recebido multiplicado por essa matriz dá zero quando não há erros de transmissão. Vamos definir a matriz de verificação de paridade dada por H = [I n k.p T ], onde P T é a matriz transposta de P. Veja que a matriz H é menor que a matriz G. Vamos verificar o resultado de HG T : P T HG T = [I n k.p T ]... = P T + P T I k Em binário a soma P T + P T = 0, sendo 0 nesse caso uma matriz (n k)xk nula. Multiplicando o sinal codificado c sem erros pela matriz H: ch T = mgh T = 0 Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 19

20 Exercício: Encontre H, a partir de G do código (7, 4) do slide 9 Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 20

21 Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 21

22 Exercício Encontre a matriz geradora e a matriz verificadora de paridade de um código de repetição (n, 1), criando n bits idênticos para cada bit da mensagem. Faça para n = 5 [ ] G = H = Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 22

24 Síndrome r = c + e Codificador Canal Ruidoso Decodificador O sinal recebido através de um canal com ruído é o sinal enviado mais o erro. Para identificar { a posição em que houve um erro: 1 se houver erro na i-ésima posição e i (1 i n) = 0 se não houver erro O vetor síndrome é: s = r H T = (s 0, s 1,..., s n k 1 ) vale zero quando não há erro Os síndromes diferentes de zero são provindos de vários padrões de erro. O erro mais provável é o considerado. Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 24

25 Propriedades da síndrome 1 A síndrome depende somente do padrão do erro, e não da palavra-código transmitida. s = r H T = (c + e)h T = ch T + eh T = eh T 2 A síndrome é uma combinação linear dos padrões de erro. Mas havendo 2 k mensagens da fonte, existem 2 k erros que dão a mesma síndrome. 3 Nesse caso é necessário haver um critério para identificar qual é o erro mais provável de ter ocorrido. No caso do código binário sistemático, é o padrão de erro que possua menos itens não nulos. Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 25

26 Exemplo de um circuito de cálculo de síndrome Considerando o código (7, 4) utilizado no slide 9, nós criamos a matriz H T : s = (s 0, s 1, s 2 ) = (r 0, r 1, r 2, r 3, r 4, r 5, r 6 ) Os dígitos da síndrome são: s 0 = r 0 + r 3 + r 5 + r 6 s 1 = r 1 + r 3 + r 4 + r 5 s 2 = r 2 + r 4 + r 5 + r 6 Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 26

27 Circuito da sı ndrome Luis Henrique Assumpc a o Lolis Co digos de bloco 27

29 Distância de Hamming O peso de Hamming é definido como o número de elementos não nulos numa palavra código, w(c) (w para weight). A distância de Hamming é o número de lugares onde duas palavras códigos diferem. A distância mínima d min é a menor distância de Hamming observada entre duas palavras código diferentes dentro de um grupo do código de bloco C. d min {d(c, d) : c, d C, c d} Num código linear, a soma de duas palavras chave é outra palavra chave. Logo a distância entre duas palavras chave é o peso de uma terceira. Como qualquer palavra chave é a soma de duas outras palavras-chave, a distância mínima e o peso do código são os mesmos em um código linear. d min = {w(c + d) : c, d C, c d} = {w(x) : x C, x 0} w min Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 29

30 Capacidade de correção de um código de bloco O sinal recebido r com erro e distância l do sinal c enviado. Como duas palavras código diferem de d min, nenhum padrão de erro com com d min 1 ou menos erros erros muda uma palavra código em outra. Um código d min garante detecção de erros d min 1. Existem 2 n 1 padrões de erro possíveis, dentro desses, 2 k 1 são palavras código. Portanto, existem 2 n 2 k erros detectáveis, alguns contendo um peso superior a d min 1. Por isso existem 2 k 1 erros não detectáveis. Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 30

31 Probabilidade de erro indetectável P u (E) = n A i p i (1 p) n i. A i é o número de palavras i=1 código de peso i. p probabilidade de transição. p i são i posições havendo transição e (1 p) n i, são n i posição não havendo transição. Se definido d min, então A 1 a A dmin 1 igual a zero. Considerando o código do slide 9, calcular a probabilidade de erro indetectável. Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 31

32 Capacidade de correção de erro e probabilidade de detecção errônea Considere um erro de peso t 2t + 1 d min 2t + 2 Se o erro tem peso t ou menos, ele será mais próximo da palavra código transmitida que qualquer outra palavra código. No entanto, se l > t o vetor de erro será mais próximo de uma palavra código incorreta, do que a palavra código transmitida. O código garante correção para erros onde t = (d min 1)/2 ou menos. Probabilidade de detecção errônea: n ( ) n P (E) p i (1 p) n i i i=t+1 Um código de bloco linear com distância mínima d min é denotado (n, k, d min ). Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 32

34 Arranjo padrão de decodificação de síndrome O arranjo padrão é uma tabela que contém todas as combinações de sinais recebidos. Ele contém a combinação de cada palavra código com cada padrão de erro. As palavras código possíveis são denominadas c i, que vai de c 1 até c 2 k. Os padrões de erro denominados e i, de e 2 até e 2 n k, e 1 não é marcado é zero erro. As linhas do conjunto padrão são os conjuntos complementares, e os primeiros elementos e 2,..., e 2 n k são os conjuntos complementares principais. Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 34

35 Usando um código (6, 3) de matriz geradora: G = , temos o seguinte arranjo padrão: Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 35

36 Decodificando: 1 Calcular a síndrome s = rh T 2 Dentro do conjunto complementar encontre o conjunto complementar principal que gera a síndrome. O padrão de erro com maior probabilidade de ocorrência é aquele com o menor peso. Denomine de e 0 3 c = r + e 0 Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 36

37 Exemplo Aplicando o código do slide 9 vamos fazer o circuito de correção de erro. Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 37

38 Código dual Com um código de bloco linear: GH T = 0 O código tem matriz geradora G e matriz de verificação de paridade H, sendo um código (n, k). Existe um código dual com parâmetros (n, n k), com matriz geradora H e verificação de paridade G. Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 38

40 Código de Hamming Para qualquer inteiro positivo m 3, existe um código de Hamming com os seguintes parâmetros: Tamanho do código n = 2 m 1 Tamanho da mensagem da fonte k = 2 m m 1 Número de bits de paridade n k = m Capacidade de correção de erro t=1 (d min = 3) Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 40

42 SEC - DED / Single error correction - Double error detection. É originado a partir de um código de Hamming A matriz verificadora de paridade é alterada para garantir distância mínima 4. Excluir colunas de H de maneira a obter: Cada coluna com um número ímpar de 1 s. Reduzir ao máximo o número de 1 s. Garantir o número de 1 s em cada linha o mais próximo da média de 1 s por linha. Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 42

44 O único outro código perfeito fora o de Hamming, construído por M.J.E. Golay em d min = 7, t = 3. Ele tem um formato cíclico também que será estudado posteriormente. Adicionando um bit de paridade (24,12) o código corrige até t = 3 erros e detecta todos os padrões de erros de 4 bits.] A matriz geradora: G = [ P I 12 ] Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 44

45 Propriedades de P 1 É simétrica pela diagonal. 2 A n ésima coluna é a transposta da n ésima linha. 3 P P T = I Subtraindo a última linha, as outras linhas são obtidas deslocando ciclicamente a primeira linha a esquerda. Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 45

46 A matriz verificadora de paridade H = [ I 12 P T ] [ I 12 P ] Definindo p i = u (i) P, p i é a i ésima linha de P e u (i) é um vetor de 12 uplas que contém 1 somente na posição (i). Ex: u (5) = ( ) Sabendo que s = e H T e P = P T Definindo o erro como sendo a concatenação de dois vetores de 12 uplas e = (x, y): [ ] I12 s = (x, y) = x + y P P Com P P T = I 12, y = (s + x) P Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 46

47 Decodificação Existem 4 tipos de erro que podem ser analisados considerando o peso da síndrome ou o peso da combinação da síndrome e P Considerando o primeiro caso: w(x) 3 e w(y) = 0. s = x e e = (s, 0), 0 é o vetor de 12 zeros. Para o segundo caso: w(x) 2 e w(y) = 1. y = u (i). Sendo assim: s = x + u (i) P = x + p i, logo e = (s + p i, u (i) ) Para o terceiro caso: quando w(x = 0), sendo w(y) = 2 ou 3. y = s P e e = (0, s P) Para o quarto caso: w(x = 1) e w(y) = 2, então x = u (i), y = s P + p i e então e = (u (i), s P + p i ) Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 47

48 Decodificação Identificado os quatro casos, vamos testar os pesos da síndrome e das combinações da síndrome com P ou p i para definir em que caso estamos e definir e. A decodificação em oito etapas: 1 Computar s do sinal recebido r. 2 Se w(s) 3, então e = (s, 0) e avançar a etapa 8. 3 Se w(s + p i ) 2 para qualquer linha p i em P, então e = (s + p i, u (i) ) e avançar para a etapa 8. 4 Computar s P 5 Se w(s P) = 2 ou 3, então e = (0, s P) e avançar para a etapa 8. 6 Se w(ss P + p i ) = 2 para qualquer linha p i, então e = (u (i), s P + p i ) e avançar para a etapa 8. 7 O peso da síndrome superior a 3 significa uma não possibilidade de correção, então deve-se pedir retransmissão ou parar a operação de decodificação, indicando erro. 8 A palavra-código m = r + e Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 48

49 Exemplo r = ( ) Aplicar o detector de erro de Golay Luis Henrique Assumpção Lolis Códigos de bloco 49