4.1 Modulações binárias (FSK e MSK)

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1 Modulações digitais 4 Modulações digitais não-lineares com detecção coerente 4. Modulações inárias (FSK e MSK)

2 O espaço de sinal em FSK multifrequência (M-FSK) Em M-FSK a informação está contida na frequência do sinal: E si( t) = cos( π fit+ φ) (seja φ = ) t i=,,, M A diferença de frequências adjacentes é normalmente um múltiplo de / (Hz). Haitualmente é: f i+ f i = (BFSK: f i = f c ±, i =, ) Num espaço ortonormal a forma mais conveniente das funções-ase ψ j (t) é { } ψ j() t = cosπ fjt t j =,,, N Exprimindo os sinais FSK em função de ψ j (t) teremos s ( i t) = N a ij ψ j (t) = Eψ i (t) j= t i =,,,M Isto significa que no espaço de sinal cada vector de sinal de ordem i está colocado no eixo de ordem i à distância E da origem e é ortogonal aos outros vectores. Distância euclidiana entre dois vectores de sinal: E Exemplo com M =3: s (t) = Eψ (t) s (t) = Eψ (t) s3(t) = Eψ 3 (t ) t ψ (t) ψ 3 (t) E s 3 E E s s ψ (t) Detecção coerente de BFSK e MSK

3 Diagramas de locos de emissor e receptor coerente de FSK inário (BFSK) Emissor sequência inária {,} Conversor ináriounipolar A B C E {, E } A B m(t) Inversor ψ () t = cosπ f t mt () C Sinal BFSK E E ψ () t = cosπ f t Receptor ψ () t + Sinal BFSK receido ψ () t - γ = Estimativa da sequência inária transmitida Detecção coerente de BFSK e MSK 3

4 FSK inário: continuidade de fase FSK de fase descontínua nas transições de it empo FSK de fase contínua (Continuous Phase FSK, ou CPFSK) O espectro de FSK de fase descontínua apresenta maiores loos secundários que CPFSK, o que é desvantajoso. Para se oter um sinal CPFSK é preciso escolher em as frequências associadas a cada it. Detecção coerente de BFSK e MSK 4

5 FSK de Sunde e CPFSK À modulação FSK inária em que a diferença de frequências f = f f é igual a / Hz é costume chamar-se FSK de Sunde. Este espaçamento de frequências garante que os sinais s i (t) são ortogonais. FSK de Sunde f = fc f = fc + ( t ) E ( ) E cos π si t = π fit = cos π fct± t t i =, Se desejarmos que a fase do sinal varie de modo contínuo de it para it, no intervalo deve caer um número inteiro (diferente) de períodos de cada um dos símolos FSK: CPFSK f i n+ i =, n - inteiro Este tipo especial de FSK designa-se por FSK de fase contínua ( Continuous Phase FSK, ou CPFSK). π A fase do sinal FSK de Sunde é θ () t =± t, t. Vamos generalizar introduzindo um índice de modulação h e uma fase inicial θ() (fase de s (t) no instante t = ): π h CPFSK θ() t = θ() ± t, t A fase θ(t) varia linearmente no tempo. Em FSK de Sunde o índice de modulação vale h =. Detecção coerente de BFSK e MSK 5

6 FSK de Sunde: forma de onda e espectro Componentes em fase, s I (t), e em quadratura, s Q (t): E ( ) E cos π s t = π fc ± t = cos π fct± t = E π E cos cos π = t π fct sen t senπ fct si( t) - independente sq( t) - depende da mensagem da mensagem Densidade espectral de potência (d.e.p) em anda-ase de s I (t): E δ f + δ f + Estes impulsos ajudam a sincronizar os símolos no receptor. Densidade espectral de potência em anda-ase de s Q (t): sinc f + sinc f 4 8 cos π E E f = π ( 4 f ) A d.e.p. em anda-ase do sinal BFSK de Sunde é igual à soma destas duas d. e. p. porque s I (t) e s Q (t) são independentes: FSK de Sunde: E 8 cos ( ) E π f SB f = δ f + δ f + + π ( 4 f ) Note-se que S (,5 ) = (primeiro zero do loo principal). B Detecção coerente de BFSK e MSK 6

7 Comparação entre os espectros em anda-ase de PSK e FSK inários BPSK: BFSK: = S ( f) E sinc ( f) B E 8 cos ( ) E π f SB f = δ f + δ f + + π ( 4 f ) = B c + B + c na anda do canal. 4 Nota: não esquecer que S( f) [ S ( f f ) S ( f f )].8 BPSK SB(f)/E.6.4. BFSK Esta cauda decai mais depressa.5.5 f BFSK de fase contínua (CPFSK) tem menores loos laterais no espectro do que BPSK. Não produz tanta interferência em canais adjacentes como BPSK ou como BFSK de fase descontínua Detecção coerente de BFSK e MSK 7

8 Espectro de FSK inário (FSK de Sunde) Espectro em anda-ase: E 8 cos ( ) E π f SB f = δ f + δ f + + π Espectro na anda de canal ( 4 f ) P.: Qual é o déito inário (its/s) da mensagem? Detecção coerente de BFSK e MSK 8

9 Minimum-Shift Keying (MSK) A forma de onda genérica de FSK de fase contínua (CPFSK) pode exprimir-se assim: E st () = cos [ π ft c + θ() t] = E π h E cos () h = π ft c + θ ± t = cos π fc ± t+ θ() Portanto, no caso geral as frequências e f valem: f = fc f f = fc + h h Deste par de equações concluímos que: f c = f + f h = ( f f) = f O desvio de frequência mínimo que garante ortogonalidade entre símolos FSK é f =, a que corresponde um valor do índice de modulação de h = /. Quando h = /, dizemos que se trata de Minimum-Shift Keying, ou MSK. FSK de Sunde corresponde a h =. Detecção coerente de BFSK e MSK 9

10 FSK e MSK: treliça de fases π h Em CPFSK a variação de fase do sinal é contínua: θ() t = θ() ± t, t. Supondo que o it corresponde à frequência superior, f, então esse it faz aumentar a fase do sinal de θ() para θ( ) = θ() + πh. De igual modo, o it faz diminuir a fase de θ() para θ( ) = θ() πh: θ(t) - θ() πh -πh t Nos instantes seguintes (, 3, etc.) a fase evolui como se mostra nas seguintes treliças de fases: reliça de fases em CPFSK θ(t) - θ() 3πh πh πh -πh -πh -3πh 3 5 t Caso particular de h = / (MSK) sequência θ(t) - θ() π π/ -π/ -π 3 5 7, ± π k =,, 4, θ( k ) θ() = ± π k =,3,5, t π/ π/ Detecção coerente de BFSK e MSK

11 MSK: as componentes em quadratura s I (t) e s Q (t) πt A fase θ(t) vale θ() t = θ() ± (é + ou - consoante o it) E Desenvolvendo s() t = cos [ π fct+ θ() t ] otemos as componentes em fase e em quadratura, s I (t) e s Q (t): E () E s t = cos θ()cos t π f ct sen θ()sen t π fct s () t s () t I Q s I (t) e s Q (t) são as envolventes de cos π f c t e sen π f c t, respectivamente. Na treliça de MSK vimos que θ() = ou π e θ( ) = ±π/. Nas figuras seguintes vê-se que no intervalo t positivo (se θ() = ) ou negativo (se θ() = π). cosθ(t) é sempre π/ θ(t) - -π/ t θ(t) π/ cosθ(t) em t - 3π/ π π/ θ(t) t θ(t) π/ cosθ(t) em t θ() = θ() = π De igual modo se concluiria que no intervalo t senθ(t) ou é sempre positivo ou é sempre negativo (consoante o valor de θ()). s I (t) tem sempre o mesmo sinal (+ ou -) no intervalo t s Q (t) tem sempre o mesmo sinal (+ ou -) no intervalo t Detecção coerente de BFSK e MSK

12 MSK: as componentes em quadratura s I (t) e s Q (t) (cont.) endo em conta que θ() = ou π e θ( ) = ±π/ podemos escrever que as componentes em fase, si() t = E cos θ () t, e em quadratura, sq() t = E sen θ () t, valem: E π cos t θ () = si () t = E π cos t θ() = π t Meio ciclo de um cosseno pois o período é 4 e o intervalo é. s Q E π sen t θ( ) = π () t = E π sen t θ( ) = π t Meio ciclo de um seno. θ() = s I (t) s Q (t) θ( ) = π/ - t t θ() = π s I (t) s Q (t) θ( ) = -π/ - t t Note-se o deslocamento temporal de s Q (t) relativamente a s I (t). Detecção coerente de BFSK e MSK

13 MSK: um exemplo com s I (t) e s Q (t) Sequência inária: reliça de fases π/ -π/ -π θ(t) t/ s I (t) s Q (t) t/ s I (t)cosπf c t t/ s Q (t)senπf c t t/ Sinal MSK t/ t/ Detecção coerente de BFSK e MSK 3

14 MSK Componentes em fase e em quadratura, s I e s Q reliça de fases Com impulsos rectangulares Frequências instantâneas (em anda-ase) Consegue determinar as duas frequências do sinal MSK a partir das componentes s I e s Q? Detecção coerente de BFSK e MSK 4

15 MSK: espaço de sinal e constelação Num espaço de sinal idimensional temos, como de costume, s() t sψ () t sψ () t = + (em que = [ s s ] s ) As funções-ase usadas em MSK são: πt ψ() t = cos cosπ fct t πt ψ() t = sen senπ fct t Se desenvolvermos E ( ) E s t = cos θ( t)cosπ f ct sen θ( t)sen π fct e calcularmos as componentes s e s do vector s otemos: s = st () ψ() tdt = E cos θ() t s = st () ψ () tdt= Esen θ( ) t Já saemos que θ() = ou π e que θ( ) = ±π/. Portanto: =± s =± E t s E t A constelação MSK tem 4 pontos (dois para cada it)! Detecção coerente de BFSK e MSK 5

16 MSK: espaço de sinal e constelação s = E cos θ () t s = Esen θ ( ) t Símolo inário transmitido Fases Coordenadas dos pontos da constelação t θ() θ( ) s s -π/ E π -π/ E π π/ E π/ E + + E + E E + E Constelação MSK ψ () t (θ() = π, θ( ) = -π/) E (θ() =, θ( ) = -π/) E E ψ () t (θ() = π, θ( ) = π/) E (θ() =, θ( ) = π/) Precisamos do intervalo de segundos para escolhermos o ponto da constelação a transmitir. Detecção coerente de BFSK e MSK 6

17 MSK: proailidade de erro ψ () t E d E E ψ () t E O decisor erra na decisão se, tendo sido transmitido um dado símolo, a estimativa se situar num quadrante adjacente (OU num OU noutro). Distância entre pontos mais próximos: d = E d E P B = Q = Q N N É igual à proailidade de it errado em BPSK e QPSK. Esta melhoria relativamente a FSK inário (de Sunde) onde era E P B = Q é o resultado de se oservar o sinal MSK durante N segundos. Detecção coerente de BFSK e MSK 7

18 MSK: um exemplo com as coordenadas s e s E ( ) E s t = cos θ( t)cosπ f ct sen θ( t)sen π fct = s () t s () t I πt = E cos θ(). cos cos π fct+ s ψ () t πt E sen θ( ). sen sen π fct s ψ () t s = E cos θ () t s = Esen θ ( ) t Q MSK: soma de s ψ () t e s ψ () t Detecção coerente de BFSK e MSK 8

19 MSK: diagrama de locos do emissor e do receptor Emissor: ( ) cosπ f + 4 t c cosπ fct πt cos π t ψ( t) = cos cosπ fct π t ψ () t = sen senπ fct f c ±/4 Filtro passaanda (f ) Filtro passaanda (f ) ψ () t ψ () t ( ) cosπ f 4 t c s s s ψ () t s s(t) Sinal MSK ψ () t s e s sequências de impulsos rectangulares ± E deslocados entre si de. Receptor coerente: Canal em fase ψ () t γ = Estimativa da fase θ () Sinal MSK receido ψ () t Canal em quadratura γ = Decisor Estimativa da fase θ ( ) Sequência inária de saída Detecção coerente de BFSK e MSK 9

20 MSK: esquema alternativo de emissor Forma alternativa (com componentes em fase e em quadratura) Detecção coerente de BFSK e MSK

21 MSK: espectro Consoante o valor de θ() a componente em fase s I (t) vale ±g(t), com E πt cos t gt () = outros valores Densidade espectral de energia de g(t) (quadrado da transformada de Fourier): ( π f ) 3E cos Ψ ( ) g f = π 6 f Densidade espectral de potência da componente em fase: Ψ g ( f ). Consoante o valor de θ( ) a componente em quadratura s Q (t) vale ±g(t), com E πt sen t gt () = outros valores Densidade espectral de energia e densidade espectral de potência: iguais às densidades da componente em fase. Densidade espectral de potência do sinal MSK: S ( π f ) Ψ ( f ) 3E cos = = g ( ) B f π 6 f A cauda decai mais depressa que a de QPSK menor interferência com canais adjacentes. Detecção coerente de BFSK e MSK

22 MSK: espectro Densidade espectral de potência de MSK, em anda-ase: S B 3E ( f ) = π cos(π ) f 6 f (MSK) Se compararmos este espectro com o de QPSK (modulação com a mesma proailidade de it errado), = S ( f) 4E sinc ( f) B (QPSK), verificamos que em MSK os loos secundários são mais atenuados. 4 QPSK 3 S B (f) MSK.5.75 f MSK produz menos interferência nos canais adjacentes (fora da anda) do que QPSK. Detecção coerente de BFSK e MSK

23 Comparação entre QPSK e MSK QPSK filtrado MSK Os instantes de amostragem são diferentes em QPSK e em MSK consoante se trate dos sinais em fase ou em quadratura! Detecção coerente de BFSK e MSK 3

24 MSK gaussiano (Gaussian MSK ou GMSK) GMSK é uma forma modificada de MSK na qual a sequência inária é pré-filtrada por um filtro gaussiano. O ojectivo é reduzir ainda mais a interferência com canais adjacentes. Filtro gaussiano: Resposta impulsional: π π ht () = Wexp( W t ) log log Função de transferência: log f H( f) = exp W W largura de anda a -3 db Resposta do filtro gaussiano a um impulso rectangular de amplitude unitária e duração (centrado na origem): π t π t gt () = ht ( τ) dτ = Q W Q W + log log W parâmetro de projecto GSM: W =,3 DEC: W =, Quanto menor for W menor é a interferência com canais adjacentes mas maior é a proailidade de erro! Detecção coerente de BFSK e MSK 4

25 O impulso de GMSK O impulso usado em GMSK é dado por π t π t gt () = Q W Q W + log log (Impulso deslocado temporalmente de,5 ) Detecção coerente de BFSK e MSK 5

26 GMSK: proailidade de erro GMSK provoca uma degradação da relação E N relativamente a MSK, para a mesma proailidade de erro. Proailidade de erro: P e α E = Q N (α = para MSK) O parâmetro α depende do produto W. Degradação teórica de E /N em GMSK em função do produto W log α Murata & Hirade, 98 Se W =,3 (GSM) perdem-se,46db ( α/ =,9). Detecção coerente de BFSK e MSK 6

27 MSK e GMSK Espectros de potência de sinais MSK e GMSK para vários produtos tempo x largura de anda MSK GMSK Dr. Gordon Stüer, Georgia ech Espectro de potência do sinal GMSK usado no sistema GSM Haykin, Communication Systems, 4ª Edição Detecção coerente de BFSK e MSK 7