6. TÉCNICAS DE MODULAÇÃO DIGITAL

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1 6. ÉCNICAS D MODULAÇÃO DIGIAL A necessidade de se modular a informação digital vem do fato que o sinal resultante fica mais imune ao ruído aditivo e dessa forma, o sinal digital que chega na estação receptora é mais confiável, ou seja, tem um proailidade menor de erro. Dessa forma o sinal digital pode ser transmitido como pulso retangular ou cossenoidal ou gaussiano, etc., todos são chamados de transmissão em anda ásica. Quando esses pulsos são modulados em FM ou PM ou etc., eles são chamados de transmissão por modulação. Fica claro que qualquer das duas formas anteriores (anda ásica ou modulação digital) os pulsos são posteriormente modulados em frequência muito mais alta, em FM, para serem transmitidos, por exemplo, espaço livre. Alguns tipo de modulação: Amplitude-Shift Keying Frequency-Shift Keying Phase-Shift Keying ASK FSK PSK Dígitos inários:

2 Metas a serem atingidas:. Máxima taxa de dados (data rate). Mínima proailidade de erro dos símolos 3. Mínima potência de transmissão 4. Mínima anda passante ocupada no canal 5. Máxima resistência a sinais de interferência 6. Mínima complexidade nos circuitos com (3) e (4). Algumas dessas metas são conflitantes. Por exemplo () e () estão em conflito

3 6. Modulação e Demodulação em Sincronismo ( coherent ) ou Coerente () PSK inário coerente ransmite-se s (t) representando o dígito e s (t) representando o dígito s(t) = cos(πf c t) s(t) = cos(π fct + π ) = - cosπf c t Os.: Colocou-se as amplitudes de s (t) e s (t) como funções de para que a proailidade de erro só dependa da relação energia versus potência de ruído. onde t < ; energia/it Neste caso a função ase de energia unitária será φ (t) = π < cos fc t t e s(t) = φ(t) t < s(t) = - φ(t) O espaço de sinais é unidimensional (só tem φ ) e tem dois pontos de sinais (s e s ): N = e M =. s = s(t) φ (t) dt = + 3

4 s = s(t) φ (t) dt = - receptor. No receptor, faz-se x = x(t) φ (t) dt onde x(t) é o sinal que chega ao Caso x esteja em Z, decide-se que o it foi enviado; caso x Z, decide-se pelo it. Z : x > Z : x <. 4

5 Proailidade de erro: Supondo um ruído aditivo n(t) AWGN de média zero e densidade espectral de potência igual a N, x será uma v.a. de média igual a + ou - e variância N. Caso o it tenha sido enviado, teremos fx(x/) = exp - s πn N ( x - ) = πn exp - N ( x - ) Logo: = = P e() fx (x/) dx erfc N será Similarmente otem-se P e () que é igual a P e (). Logo a proailidade total de erro erfc P e =. N Geração e deteção coerente de PSK: 5

6 A maneira de se demodular s ou s acima mostrada é chamada de demodulação coerente (ou sincronizada) por correlação. 6

7 () FSK coerente: Neste caso o it é representado por: n + s (t) = cos π c t t e o it por: s n + c (t) = cos π t t ou seja: s i (t) = cos π [ fit] t f i n i para it c + i = = i = para it Os.: s (t) e s (t) iniciam e terminam com a mesma voltagem, pois o tempo de duração do it é um múltiplo de amos os períodos das duas cossenoides. em-se que é a energia do sinal por it. Neste caso a função ase unitária será: φ i(t) = cos π [ fit] t O espaço de sinais é idimensional (permitem-se φ e φ ) e com dois pontos de mensagens (s e s ) N = e M = 7

8 φ Z φ Z j sij = si(t) φ (t) dt = cos(π f t) i cos(π f j t) dt = i = j i j s ~ = s ~ = φ φ φ e φ são ortonormais Z : região que se decide pela transmissão do it Z : idem pelo it Na demodulação, calculam-se dois valores x e x : x = x(t) φ (t) dt e x = x(t) φ (t) dt, onde x(t) é o sinal que chega ao receptor (s ou s mais ruído AWGN). 8

9 A decisão será feita a favor do it se x > x e a favor do it caso x < x. Para se calcular a Proailidade de erro mais facilmente, defina-se então a variável aleatória d = x x Caso o it tenha sido transmitido, tem-se (x = + (x /) =. /) Caso o it tenha sido transmitido, tem-se: (x /) = (x /) =. Logo, tem-se que: (d/) = (x = / ) (x /) - (d/) = (x = + /) (x /) Como as v.as. x e x são independentes (porque o ruído somado ao it e ao it são independentes, não há nenhum relacionamento entre os dois), a variância será: VAR(d/) = VAR((x -x )/) = VAR(x /) + VAR(x /) VAR(d/) = VAR[(x -x )/] = VAR(x /) + VAR(x /) Como VAR(x /) = VAR(x /) = VAR(x /) = VAR(x /) = VAR(d) = VAR(d/) = VAR(d/) = N. N tem-se que Prova-se tamém que se x(t) é uma v.a. normal então x e x tamém o serão e neste caso tamém d será. ntão a decisão x > x ou x < x é equivalente a d > ou d < e como d é gaussiana, tem-se: 9

10 f f L L (l/) = (l/) = πn πn ( l ) + exp - N ( l ) + exp - N Daí, P e () = P(d > /símolo foi transmitido) e P e () = P(d < /símolo foi transmitido) P e() = P e() = P e = erfc N Modulação FSK: Demodulação coerente 3

11 Na modulação FSK coerente, a fase varia continuamente mesmo com a variação do pulso do it para o it ou vice-versa. Por esse motivo a modulação FSK tamém é chamada de modulação FSK de fase contínua (CPFSK Continuous Phase FSK). Pelo fato de estarmos usando um múltiplo de período, muda-se a frequência mas a fase fica contínua. 6.3 écnicas de Modulação Coerente em Quadratura Por quadratura significa dizer que estamos enviando dois ou mais sinais ortogonais, defasados de 9º ou seja, um cosseno e um seno de mesma freqüência e fase. A onda s(t) = s I (t) cosπf c t s Q (t) sen πf c t é uma modulação em quadratura onde s I (t) é a componente em fase e s Q (t), a componente em quadratura. () QPSK Quadriphase Shift Keying Neste caso, a onda modulada será s (t) = i cos π fc t + π i - 4 ( ) para t, i =,, 3 e 4 quatro possíveis pulsos 3

12 A cada i existe um diit (dois its) associado i 3 4 diit Codificação segundo o código de Gray s i (t) acima pode ser escrito como: s (t) = i cos π 4 ( i -) cos πf t c π - sen c 4 ( i -) sen πf t para t i =,, 3, e 4 Dessa última equação para s i (t), oserva-se que:. A ase de vetores ortogonais é idimensional (φ (t) e φ (t)) pois temos duas funções cos πf c t e sen πf c t ortogonais.. As amplitudes nestes dois vetores φ e φ são representadas pelas coordenadas do vetor: s i s = s i i = - cos(i -) sen(i -) t π 4 π 4 i =,, 3 e 4 φ (t) = cos(π fc t); φ (t) = sen(π f c t) 3

13 i Diit de entrada t Fase do sinal QPSK Coordenadas dos pontos de mensagem π /4 + / 3π /4 / 3 5π /4 / 4 7π /4 + / Os.: a ordem dos diits foi aritrária mas, seguindo o código de Gray. Da taela acima vê-se que os diits são formados da seguinte maneira: se o. it é o cos é positivo (se for, o cosseno é negativo); se o. it é o sen é positivo (se for, o seno é negativo), ou seja, o cos está representado por s i e o sen por s i. + + / / / / ) ) ) ) 33

14 xemplo : Como gerar o sinal QPSK. Suponha que se deseja transmitir a seguinte sequência inária:. Divide-se em duas sequências de pares e ímpares. Posição ímpar = cos é positivo.5.5 Posição ímpar = cos é negativo.5.5 Posição par = sen é negativo Posição par = sen é positivo

15 Critério de decisão do sistema QPSK: Se o sinal de mensagem que chega ao receptor está na região Z 4, diz-se que o diit foi enviado; se cai na região Z 3, escolhe-se o diit ; e assim por diante. O sinal receido será da seguinte forma x(t) = s i (t) + w(t) t i =,, 3, 4. Onde s i é o sinal transmitido e w(t) é o ruído AWGN de média zero e densidade espectral de potência igual a N. Definam-se: x = x(t) φ (t) dt, π x = cos [( i - ) ] + 4 w π x + 4 ( i -) = x(t) φ (t) d = - sen w que serão as coordenadas em φ e φ, sendo w e w ruído AWGN de média zero e variância N. Calculando-se a proailidade de erro para a região Z 4 e todas as outras serão iguais, já que existe uma simetria geral. Com ase nos valores das coordenadas de φ e φ, isto é, x e x podemos saer se o sinal receido (sinal transmitido + ruído) está dentro da região Z 4 ou não, claro que, se o diit foi transmitido. ntão, caso o diit tenha sido transmitido e o sinal receido tem coordenadas fora de Z 4, teremos um erro. 35

16 x Região de decisão correta x Região de decisão errada Calculemos a proailidade de acerto P c que é mais fácil. π x = cos [( i - ) ] + 4 w Logo, a proailidade de erro será P c. π Para i = média [ x ] = média [ cos( ) + w ] = + w = 4 Onde w = x será normal de média x será normal de média + e variância + e variância N. N, Logo: P c ( x - /) ( x - /) = exp dx - N N π πn exp - N dx 36

17 Daí, P c = - erfc N - erfc N P c = - erfc N P c = - erfc N + 4 erfc N A proailidade de erro será: P e = P c P e = erfc N - 4 erfc N N Como ercf é da ordem de -4 (proailidade de erro alta) ou menos, como por exemplo - (proailidade de erro aixa, dependendo da aplicação) temos que erfc - 4 P e erfc erfc ( ) -4 =. Ou seja, podemos aproximar P e por A energia carrega informação sore dois its (diit). Fazendo a energia por it igual a, temos = /. ntão: P e N erfc N. 37

18 Geração de QPSK: (t) é a onda inária NRZ polar representada por + para o it e para o it (t) é dividida em its ímpares ( (t) para o cos) e pares ( (t) para o seno). Demodulação 38

19 39

20 Figura geração do sinal QPSK, dada a sequência 4

21 4

22 4

23 Modulação em quadratura: Minimum Shift Keying MSK informação Considere na modulaçõ FSK ou tamém chamada de CPFSK, os sinais de s(t) = cos cos t. θ() é a fase no instante t =. [ πf t + θ ()] [ πf t + θ ()] símolo símolo Na forma geral de modulação por frequência, tem-se: s(t) = cos c θ [ π f t + (t)] t f c = πh ( f + f ) θ (t) = θ () ± t onde h = (f f ). πh para símolo θ ( ) -θ ( ) = -πh para símolo Logo, transmitindo-se o aumenta-se a fase de πh radianos e se for o, a fase decresce de πh rad. 43

24 Valores ímpares de múltiplos de [(n+) ] tem fase em valores ímpares de múltiplos de πh; Valores pares de múltiplos de levam a fase em valores pares de múltiplos de πh. Se fizermos com h =, a fase só assume, h = a árvore de fase se reduz a: π ± ou ± π, ou seja, valores ± kπ. ntão 44

25 Se para h = enviarmos a sequência, e sendo θ() =, a fase se comportará como mostrado na figura acima por traço em negrito, isto é, sai-se de rad π π π -π π π e chega-se a rad em 7 (para esta específica sequência). Neste caso, s(t) pode ser colocado da seguinte forma: s(t) = cos c θ [ π f t + (t)] como estava antes logo s(t) = cosθ (t) cosπf c t - senθ (t) senπf c t 45

26 onde π θ (t) = θ () ± t t positivo (+) para o it e negativo (-) para o símolo, ou ainda s D (t) = s (t) cosπ f t - s (t) senπf I c componente em fase Q c componente em quadratura t Considere a componente em fase: Como π θ (t) = θ () ± t para t se fizemos - t, teremos a fase com resultado similar, isto é, θ (t) = θ (t) m π t A fase θ() será ou ± π radianos. Logo a polaridade do cos θ(t) só depende de θ() no intervalo t. Dessa forma, s (t) = I cosθ (t) = π cosθ () cos t ou seja s (t) = ± I π cos t - t sendo que o sinal (+) corresponde a θ() = e o (-) corresponde a θ() = π. 46

27 De forma similar, tem-se: s Q (t) = senθ (t) = senθ ( ) sen π t s Q (t) = ± sen π t t sendo que o sinal (+) corresponde a π π θ ( ) = e o (-) a θ ( ) = -. Na equação h = (f f ), com frequências é metade da taxa de its. h = tem-se no FSK para que s (t) seja ortogonal a s (t). f - f =. A diferença de Isto é o mínimo espaçamento entre as frequências valores: Da discussão anterior, vê-se que θ() = θ( ) podem assumir os seguintes. Se θ() = e θ( ) = π ; isto corresponde a transmissão do símolo.. Se θ() = π e θ( ) = π ; isto corresponde a transmissão do it. π 3π 3. Se θ() = π e θ( ) = - (ou módulo π); temos a transmissão do it. 4. Se θ() = e θ( ) = - π ; corresponde a transmissão do it. 47

28 Funções ortogonais correspondentes: φ e φ π φ (t) = cos t cos fct - t π φ (t) π = sen t sen fct t π onde: s(t) = s φ (t) + s φ (t) t - s = s(t) φ(t) dt = cosθ () s s - = s(t) φ (t) dt = - sen θ ( Como θ() = ou π, s = ± e como = m. emos então quatro possiilidades para (s, s ) (, - ); (, - ); (, ) e (, ) ). π θ ( ) = ±, aela Caracterização do espaço de sinais de MSK Símolo inário transmitido t stado de fases θ () θ ( ) + π/ π + π/ π -π/ -π/ Coordenadas dos pontos + + mensagens s s

29 xemplo Geração do MSK 49

30 Critério de decisão Chega o sinal x(t) na entrada do demodulador e calcula-se x e x. = w - x x(t) φ (t) dt = s + w x = x(t) φ (t) dt = s + w e w são ruídos independentes, aditivos de média zero e variância N se x > escolhe-se θ() = se x < escolhe-se θ() = π se x > escolhe-se θ( ) = - π/ se x < escolhe-se θ( ) = π/ Cominando-se o par (s, s ) decide-se que o it transmitido foi o ou o, de acordo com a aela Proailidade de erro A modulação MSK é muito parecida com a modulação QPSK. A diferença está nas funções ortonormais φ e φ e além disso no MSK, há necessidade de se usar memória já que s é calculado de a. ntão a proailidade de erro do MSK é idêntica ao do QPSK, ou seja, P e = erfc N - 4 erfc N Pe erfc N 5

31 Geração e demodulação síncrona do MSK Gaussian minimum-shift keying In digital communication, Gaussian minimum shift keying or GMSK is a continuousphase frequency-shift keying modulation scheme. It is similar to standard minimum-shift keying (MSK); however the digital data stream is first shaped with a Gaussian filter efore eing applied to a frequency modulator. his has the advantage of reducing sideand power, which in turn reduces out-of-and interference etween signal carriers in adjacent frequency channels. However, the Gaussian filter increases the modulation memory in the system and causes intersymol interference, making it more difficult to discriminate etween different transmitted data values and requiring more complex channel equalization algorithms such as an adaptive equalizer at the receiver. GMSK has high spectral efficiency, ut it needs a higher power level than QPSK, for instance, in order to relialy transmit the same amount of data. GMSK is most notaly used in the Gloal System for Moile Communications (GSM). 5

32 6.4 écnicas de Modulação Binária não Coerente (não Síncrona) O Demodulação ortogonal não coerente Suponha que após termos modulado a onda inária, otemos dois sinais ortogonais s (t) e s (t) no intervalo t. stes dois sinais são afetados por um deslocamento de fase (ruido que atua alterando a fase), onde o valor desse deslocamento é aleatório. Sejam g (t) e g (t) os sinais deslocados em fase provenientes respectivamente de s (t) e s (t). Supomos que g (t) e g (t) tamém são ortogonais, ou seja, as alterações de fase nos dois sinais ortogonais são iguais. Supondo que não haja ruido na fase, no receptor chega o sinal x(t) s x(t) = s (t) + w(t) (t) + w(t) t A demodulação é feita segundo a figura aaixo caso não exista o ruido de fase: 5

33 Supondo agora o ruido de fase, pode-se oter l e l segundo suas componentes em φ e φ ˆ φ e ˆ φ e tamém suas componentes defasadas de 9, isto é,, para tentarmos retirar o ˆ φ e ˆ φ ruido de fase (veja item 4.8 desta apostila). stas componentes são as transformadas de Hilert de φ e φ. Caso φ i seja da forma φ i = m(t) cosπf i t, sua transformada de Hilert será superponha ao do cosπf i t. ˆ φ = m(t) en πf t i i, desde que o espectro de m(t) não se Diagrama de loco equivalente, na suposição que s i (t) tenha sido transmitido: a figura a seguir refere-se a deteção de s i (t). O mesmo se aplica para todas as outras funções da ase. 53

34 Se s (t) foi enviado, e se não houvesse ruído de fase, x I seria proveniente de s (t) e nesse caso x Q, = x I = x Q =. Como existe ruído de fase, esses valores serão variáveis aleatórias. ntão: N N I será N,, x será N, x Q, N N xi será N,, x será N, Q, l = x I + x Q 54

35 Demonstra-se que sendo x I e x Q v.a.s normais idênticas de média zero N e σ =, l será uma v.a. de Rayleigh dada por l l fl l exp - N N ( ) = l Desejamos achar a proailidade de erro: ( l > l ) = fl ( l ) dl l Perro = P l Perro = exp - l l N 55

36 56 Porém l tamém é v.a. Logo teremos que tirar a média com relação a l Q I x x l + = Q I l x x - exp Perro + = N ( ) ( ) Q I Q I Q X I X - Q I dx dx x f x f N x x - exp Perro = ( ) ( ) Q I Q I Q I - dx dx x - x x x N - exp N Perro = + π Argumento da exponencial: ( ) x - x x - x x x Q I Q I Q I + + = = + + x - x N - exp Q I = Q I N -.exp / N x -.exp / N - x - exp

37 57 Logo, I I - e dx / N - x - exp N. N - exp P = + π multiplicado por Q Q - dx / N x - exp N + π = = e N - exp.. N - exp P ntão a proailidade de erro na demodulação não síncrona (não coerente) é dada por = e N - exp P () Demodulação não coerente para o sistema inário FSK: i i t t f cos (t) S = π

38 squema da demodulação não coerente: Proailidade de erro P e : P e = exp - N () Modulação DPSK Differencial Phase Shift Keying Na demodulação DPSK, duas operações ásicas são feitas: codificação diferencial seguida da modulação PSK. Isto é feito da seguinte forma: oda vez que o it vai ser transmitido, deixa-se a senoide do it anterior com a mesma fase, ou seja, transmite-se o mesmo sinal. Caso seja desejado transmitir-se o it, avança-se a fase da senoide anterior, ou seja, transmite-se a senoide anterior com polaridade trocada. xemplo: Deseja-se transmitir, então 58

39 DPSK é um exemplo de modulação não coerente quando é considerado num intervalo de dois its. Consideremos o intervalo de dois its t. No primeiro intervalo estamos transmitindo a forma de onda / cos f π c em t. t ransmissão do it : s(t) = / / cosπf c cosπf c t t t t ransmissão do it : s (t) = / / cosπf c cos(πf t + π ) t c t t Vê-se que no intervalo t, s (t) e s (t) são ortogonais. dada por Fazendo-se a demodulação não síncrona, tem-se que a proailidade de erro será P e = exp - N o, conforme deduzido anteriormente. Modulação e demodulação DPSK Modulação: 59

40 Demodulação não síncrona: Geração de DPSK: quação lógica: d k = dk- k dk- k aritmética módulo k k d k- d k- k d k- k d k- d k Fase transmitida π π 6

41 6.5 Comparação entre as écnicas de Modulação Binária e Quartenária staelecendo-se que é a energia para se transmitir um it e que o ruído entrante no sistema é aditivo, ranco, de média zero e autocorrelação igual a N /, a proailidade de erro P e é dada em função da relação energia de um it por densidade de ruído: /N. aela 6.4 Sinalização inária coerente a PDK cerente deteção coerente de DPSK c FSK coerente Sinalização inária não coerente a DPSK FSK não coerente Sinalização em quadratura coerente a QPSK MSK Proailidade de erro - P e erfc( /N ) erfc /N - erfc ( /N ) 4 erfc( /N ) exp exp (- ) /N (- / ) N erf ( / N ) erfc ( / N ) 4 erfc( / N ) erfc ( / N ) 4 6

42 xemplo: Com uma relação /N igual a 7,5 db, teremos as seguintes proailidades de erro P e : FSK não coerente: P e = FSK coerente: P e = DPSK: P e = QPSK ou MSK ou DPSK coerentes: P e = PSK coerente: P e =,5-3 6

43 6.6 écnicas de Modulação M-ária () PSK M-ário s (t) = i i i = π fc = M n πi cos π fct + M i =,,, L,M - c θ s i (t) tem uma componente em cosseno e outra em seno. Funções ases: φ (t) = cosπf ct φ(t) = senπf ct t Para o caso de M = 8, teríamos a seguinte representação: 63

44 pontilhados. A região de decisão sore um determinado s i (t) é dada por cada região entre s i (t) = x I cosπf c t + x Q senπf c t i c I s i s (t) cosπ f t dt = x (t) senπ f dt = x ˆ θ = tg x x - Q I c Q m presença de ruído, teremos: x I = πi cos + w M I i =,, L, M - πi cos M w I e w Q são variáveis aleatórias guassianas de média zero e variância duas variáveis aleatórias são consideradas independentes. x Q = + w Q N σ =. stas Demodulação de s i (t) 64

45 Proailidade de erro: Como as regiões de decisões são simétricas, as proailidades de erro em cada s i (t) serão iguais. ntão asta calcular apenas uma delas. O caso mais simples é otido para s (t) = cos fct. As coordenadas em φ e φ serão e zero. Oserva-se π que s (t) será limitada entre proailidade de acerto é dada por ˆ π - e ˆ π θ θ = M M =, aaixo e acima do eixo φ. A P π/m c = - f π/m onde f ( θˆ ) é a função de distriuição de θˆ. ( ˆ θ ) d ˆ θ ˆ θ = tg - w Q + w I f ( ˆ ) cos ˆ exp - exp - sen ˆ θ = + θ θ. π N πn N 65

46 vezes. - erfc N cosθˆ P e = - Pe - πn π/μ π /M ˆ cosθ exp - N sen ˆ θ d ˆ θ P e erfc N π sen M para PSK M-ário síncrono com M 4. Afim de se eliminar a necessidade de sincronismo no demodulador, pode-se usar um sistema M-ário cujas fases sejam dados pelo deslocamento de fase em relação à forma de onda anterior como no DSPK, ou seja, é o sistema M-ário DPSK. A proailidade de erro para o caso de M-ário DPSK é dada por: 66

47 P e erfc N π sen para M 4 M () QAM M-ário Neste tipo de modulação, os sinais tem fase e amplitudes diferentes. No PSK M-ário, as fases são diferentes, mas as amplitudes são iguais. A figura 6.4 aaixo mostra a disposição de um QAM M-ário, com M = 6. A disposição de sinais é chamada de constelação de sinais. A enumeração dos its segue o código de Gray, isto é, para um determinado ponto, seu vizinho mais próximo só difere dele de um único it. O sinal QAM M-ário pode ser decomposto em duas componentes ASK L-árias (no exemplo anterior L = 4, L = M) corespondentes às componentes em fase (φ ) e em quadratura (φ ). 67

48 O sinal QAM M-ário é definido pelo sinal transmitido: si(t) = ai cosπ fct + i senπf ct t onde é a energia do sinal com a menor amplitude e a i e i são inteiros independentes de acordo com sua posição no espaço de sinais. As funções ases são φ e φ dadas por: φ (t) = cosπf ct e φ(t) = senπf ct t onde As coordenadas na constelação de sinais são dadas por (, ) a i i o, 68

49 ( ) a, i i = (- L +, L -) (- L + 3, L -) L ( L -, L -)) ( + ) ( + ) ( + ) - L M, - L M 3, - L M L -, ( + + ) ( + + ) ( + ) - L, L L - L 3, L - L L L -, L L 3 onde L = M No caso do exemplo anterior com M = 6, tem-se ( a, ) i i = (- 3, 3) (-, 3) (, 3) ( 3, 3) (- 3,) (-,) (,) ( 3,) (- 3, -) (-, -) (, -) ( 3, -) (- 3, - 3) (-, - 3) (, - 3) ( 3, - 3) - Proailidade de erro do QAM M-ário Para se calcular a proailidade de erro da modulação QAM seguintes passos: M-ária segue-se os. A proailidade de acerto pode ser calculada por = ' ' ' ( - P )(. - P ) = ( - P ) Pe e e e, P ' e = P ' e ' e = P P ' e = proailidade de erro em φ, idem φ onde ' P e é a proailidade de erro numa das direções φ ou φ. Isto pode ser feito porque as componentes em fase e em quadratura são independentes (na verdade, descorrelatadas) e por outro lado existe uma simetria total de modo que mesmo em relação a φ e φ. ' P e é o 69

50 . Supondo que o sinal ASK L-ário em φ ou φ é afetado por um ruído aditivo de média zero e densidade espectral sendo N, pode-se calcular a proailidade de erro ' P e como ' Pe = - erfc ond L = L N M 3. A proailidade de erro do QAM M-ário é dada por: P = - P = - e c ' ( - P ) e ' ' [ - P ] e + P e P = - = P e ' e - P ' e P ' e Logo a proailidade de erro será: P e - M erfc N A proailidade de erro P e pode ser colocada em função da energia média AV dos símolos, ao invés da energia, já que essa última varia de acordo com a posição do símolo na constelação de sinais. AV L/ = L i = Os.: AV significa average (média). ( ) i - = ( ) Μ - 3 7

51 Logo: P e - M erfc 3 AV ( M -) N para M = 4, = erfc N P e AV, que é idêntica a calculada anteriormente (PSK quaternário), onde nesse caso AV =, energia/símolo Figura Constelação de sinais para o caso QAM quaternário (QPSK) Modulação QAM M-ária: 7

52 Demodulação QAM M-ária: Figura Diagrama de locos da (a) modulação e () demodulação QAM M-ária 7

53 (3) FSK M-ário Neste sistema o sinal transmitido é da forma π si(t) = cos c i ( n + ) t t é um inteiro, é a energia do sinal transmitido. i =,,, M; f nc c = e n c (t) = As funções ases são em número M, dadas por π cos ( n + i) t φ i c. O receptor ótimo consiste de M filtros correlatores. Na saida desses filtros, amostra-se o sinal em t = k e o receptor faz a decisão aseada no maior valor otido. M - erfc P para a A proailidade de erro é dada por e ( ) N demodulação síncrona. Na demodulação não-coerente (não-síncrona), a proailidade de erro é dada por P e M- = k = ( ) k+ - k + C k M- exp - k ( k + ) N o. ssa proailidade de erro na demodulação não coerente pode ser aproximada por M - exp - N P e. 73

54 (4) Comparação entre as técnicas de modulação M-ária Na modulação M-ária, o que se ganha é anda-passante e em troca, deve-se aumentar a potência de transmissão para se ter o mesmo desempenho. A taela 6.5 aaixo mostra a relação entre anda-passante para uma dada proailidade de erro constante igual a -4. aela PSK M-ário Valor de M ( anda passante) M - ária ( potência média) ( anda passante) inária ( potência média) inário 4,5,34 db 8,333 3,9 db 6,5 8,5 db 3, 3,5 db M - ário Os.: A anda passante na ª coluna da taela não diminui, na verdade é como se diminuísse caso se usasse várias faixas de freqüências, já que a portadora é única f c. 6.7 spectro de Potência dos Sinais Modulados Os sinais modulados são da forma s(t) = s (t) cosπf c t s Q (t) senπf c t onde s I (t) é a componente em fase e s Q (t), a componente em quadratura. s I (t) e s Q (t) são componentes de aixa frequência e s(t) é um sinal contido numa anda de frequências em torno de f c. Pode-se colocar s(t) na forma s(t) = Re [ s~ (t) exp( jπf t) ] c onde s~ (t) = s (t) js (t). (t) I + Q s~ é chamado de envoltória complexa. Para se achar a densidade espectral de s(t), denominada de S s (f), utilizamos a densidade espectral de s~ (t), a qual denominamos S B (f). 74

55 S S (f) é dada em função de S B (f) como: S (f) = 4 [ S (f - f ) +S (f f )] S B c B + c ou seja, desloca-se a densidade de S B (f) que é de frequência aixa, para em torno das frequências f c e f c, dividindo-se por 4. () spectro de potência de sinais inários PSK e FSK Para PSK, si(t) = ± cosπ fct t ntão só temos a componente em fase igual a ± g(t), onde g(t) é igual a: g(t) = t Logo: S B ( ) f = sen ( π ) f ( πf ) ou Para FSK, podemos adotar s(t) usado para deduzir a modulação MSK: s(t) = cos π f c πt ± t 75

56 πt s(t) = cos cosπf ct m πt sen senπf c t onde o sinal (-) refere-se ao envio do it e o sinal (+) ao do it. A componente em fase π t não depende do it ou pois não leva cos em conta nenhum sinal. Logo não existe aleatoriedade nesta componente. O espectro de potência é então formulado por dois impulsos: δ f + e δ f -. Já a componente em quadratura leva em conta a aleatoriedade dos its transmitidos. Ou seja, temos a componente em quadratura como sendo ± g(t) t, onde g(t) = πt sen t A densidade espectral da componente em quadratura será: ψ g(f) 8 cos ( πf) = π (4 f -) Juntando-se as densidades espectrais das duas componentes achamos: S B (f) = δ f - + δf π cos ( π ) ( 4 f -) f 76

57 endo-se S B (f) para o caso de PSK e FSK, podemos achar S S (f) para estas duas modulações. Note-se que em FSK temos dois impulsos em ± f c. stas componentes são utilizadas como meio de sincronização do sistema FSK. Calculando-se S S (f), temos o espectro de potência. A figura aaixo mostra tais espectros para o caso de PSK e FSK. () spectro de potência dos sinais QPSK e MSK QPSK: O sinal QPSK é da forma si(t) = ± cosπf ct m senπf ct t onde ntão as componentes em fase e em quadratura são iguais a pulsos da forma ± g(t), g(t) = t = = Dessa forma o espectro S B (f) é dado por: 77

58 S B (f) = sinc ( ) f da componente em fase + sinc da componente em quadratura (f) onde Sinc(x) = sen( πf) πf MSK: S B senπf (f) = πf = 4 No MSK, dependendo de θ(), a componente em quadratura é dada por ± g(t), onde sen πf πf onde g ntão o espectro de g (t) será πt (t) = cos - t ψ g (f) 6 = π cos 6 ( π f ) Para a componente em quadratura, dependendo de θ( ), está será igual a ± g (t), f - πt g(t) = sen t ntão a densidade espectral de g (t) será ψ g (f) 6 = π cos 6 ( π f ) f - Dessa forma S B (f) será a soma das duas componentes, dando então: S B 3 (f) = π ( π ) cos f 6 f - 78

59 Os gráficos de S B (f) para o caso QPSK e MSK são mostrados aaixo: (3) spectro de potência de sinais M-ários PSK M-ário: O sistema QPSK é um caso particular do PSK M-ário. ntão procedendo-se como anteriormente, o espectro de potência S B (f) do PSK M-ário é dado por: S (f ) = log M B sen[ log (M) π f ] [ log (M) π f ] FSK M-ário A dedução de S B (f) para o sinal FSK M-ário é um pouco mais complicada. É dada por: 79

60 8 ( ) + + = = = = M i M i M j j j i i j i i i B sen sen cos M sen M 4 (f) S γ γ γ γ γ γ γ γ onde γ i = ( f - 4 i α ) π αi = i- (M+) i=,,...m

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