Segunda Lista de Exercícios

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1 UFCG Universidade Federal de Campina Grande CEEI Centro de Engenharia Elétrica e Informática DEE Departamento de Engenharia Elétrica Disciplina: Princípios de Comunicações Professor: Wamberto José Lira de Queiroz Segunda Lista de Exercícios Paracadaumdosseguintessinaisembandabase: (i)m(t) = cos(1000t); (ii)m(t) = 2cos(1000t)+ cos(2000t); (iii) m(t) = cos(1000t) cos(3000t): (a) Esquematize o espectro de m(t) (b) Esquematize o espectro do sinal modulado em DSB-SC m(t) cos(10000t) (c) Identifique os componentes USB e LSB do espectro 2. Repita o problema anterior para os sinais: (i) m(t) = Sa(100t) e (ii) m(t) = e t. 3. Um sinal DSB-SC é dado por m(t)cos(2π10 6 t). A frequência da portadora desse sinal, 1MHz, deve ser alterada para 400 khz. Os únicos equipamentos disponíveis são um modulador em anel (com uma ponte de diodos), um filtro para faixa centrado na frequência 400 khz e um gerador de ondas senoidal cuja frequência pode ser variada de 150 khz a 210 khz. Mostre como você pode obter o sinal cm(t)cos(2π t) a partir de m(t)cos(2π10 6 t). Determine o valor de c. 4. A Figura 1 exibe o diagrama de circuitos de um modulador de lei quadrática. O sinal aplicado ao dispositivo não-linear é relativamente fraco, de forma que ele pode ser representado por uma lei quadrática: v 2 (t) = a 1 v 1 (t)+a 2 v 2 1(t), em que a 1 e a 2 são constantes, v 1 (t) é a tensão de entrada e v 2 (t) a tensão de saída. A tensão de entrada é definida por v 1 (t) = A c cos(ω c t)+m(t), em que m(t) é um sinal mensagem e A c cos(ω c t) a onda portadora. (a) Avalie a tensão de saída v 2 (t) (b) Especifique a resposta em frequência a que o circuito sintonizado da Figura 1 deve satisfazer para gerar um sinal AM com ω c como frequência de portadora (c) Qual o índice de modulação desse sinal AM? Figura 1: Circuito modulador da questão 4. 1

2 5. Considere que você recebe um dispositivo não linear cuja relação entre entrada e saída é descrita por i 0 (t) = a 1 v i (t)+a 2 v 2 i(t), em que a 1 e a 2 são constantes, v i (t) é a tensão de entrada e i 0 (t) é a corrente de saída. Admita que v i (t) = A c cos(ω c t)+a m cos(ω m t), em que o primeiro termo representa uma portadora senoidal e o segundo termo representa um sinal modulador senoidal. (a) Calcule o espectro do sinal i 0 (t) (b) A corrente de saída i 0 (t) contém um sinal AM produzido pelos dois componentes de v i (t). Descreva a especificação de um filtro para extrair esse sinal AM de i 0 (t). 6. Considere que o dispositivo não linear da questão anterior seja utilizado na geração de um sinal modulado em amplitude s AM (t) = A c [1+µm(t)]cos(ω c t) Aplique o sinal v i (t) = Acos(ω c t)+m(t) à entrada desse dispositivo não linear, considere o uso de filtros apropriados e forneça a expressão do sinal modulado na saída do filtro. Forneça então os parâmetros A c e µ em termos dos parâmetros a 1 e a 2 do dispositivo não linear. 7. Um sinal modulado DSB-SC é demodulado por meio de um detector coerente. Avalie o efeito de um erro de frequência ω na frequência de portadora local do detector, medido com respeito à frequência de portadora do sinal DSB-SC recebido. 8. Considerando o sinal mensagem m(t) = 1 1+t 2 determine e esboce os espectros do sinal modulado para os seguintes métodos de modulação (a) Modulação em amplitude com índice de modulação 0.5 (b) Modulação AM-DSB-SC (faixa lateral dupla e portadora suprimida) (c) Modulação AM-SSB-USB (d) Modulação AM-SSB-LSB Dica: Use a propriedade da simetria da transformada de Fourier para encontrar a transformada de m(t) e o fato que e α t F 2α α 2 +ω Calcule a transformada de Hilbert do sinal s(t) = 2α α 2 +t 2 em forneça a expressão no tempo do sinal AM-SSB. 10. Em um processo de modulação em amplitude AM é possível obter o sinal modulado s AM (t) por meio de uma operação de chaveamento da portadora somada ao sinal modulante, ou seja, pelo chaveamento do sinal v(t) = A c cos(ω c t)+m(t). Esse processo de chaveamento do sinal v(t) pode ser representado matematicamente pela multiplicação do sinal v(t) por um trem de pulsos periódico de período T 0 com série de Fourier g T0 (t) = ( 1) n 1 π 2n 1 cos[2πf ct(2n 1)]. n=1 2

3 (a) Encontre a componente de onda AM contida no sinal v o (t) na saída do chaveador (b) Especifique as componentes indesejáveis em v o (t) que precisam ser removidas por um filtro passa faixa apropriado. 11. VocêésolicitadoaprojetarummoduladorAM-DSB-SCparagerarumsinalmoduladokm(t)cos(ω c t) com frequência da portadora f c =300 khz. O seguinte equipamento está disponível no almoxarifado: (i) Um oscilador senoidal de 100 khz, (ii) um modulador em anel, (iii) um filtro passa faixa sintonizado em 300 khz. (a) Mostre como você pode gerar o sinal desejado (b) Se a saída do modulador é km(t)cos(ω c t), encontre k. 12. VocêésolicitadoaprojetarummoduladorDSB-SCparagerarumsinalmoduladokm(t)cos(ω c t), em que m(t) é um sinal limitado em faixa a B Hz. A Figura 2 mostra um modulador DSB-SC disponível no almoxarifado. O gerador disponível para gerar a portadora gera não cos(ω c t), mas cos 3 (ω c t). Explique se é possível gerar o sinal desejado usando somente esse equipamento. Você pode usar qualquer tipo de filtro que você queira. (a) Qual o tipo de filtro necessário nesse projeto? (b) Determine (calcule) o espectro nos pontos b e c e indique as faixas de frequência ocupadas por esses espectros. (c) Qual o valor mínimo apropriado para ω c? (d) Esse esquema funcionaria se o gerador da portadora fornecesse cos 2 (ω c t)? Explique. (e) Esse esquema funcionaria se a saída do gerador fosse cos n (ω c t) para qualquer inteiro n 2? Figura 2: Diagrama da questão Em um sinal AM, o sinal modulante pode ser escrito como m(t) = cos(ω M t + ϕ), enquanto o sinal modulado, s AM (t), pode ser escrito como s AM (t) = [1+ AM m(t)]cos(ω c t+φ), em que ϕ e φ são variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas no intervalo [0,2π]. (a) Esboce uma função amostra do processo sinal modulado para AM = 0, 1 e 2. (b) Calcule e esboce a Densidade Espectral de Potência - DEP de s AM (t). 14. Mostre que é possível modular em amplitude um sinal m(t) usando um circuito de amostragem com função de amostragem dada por δ T (t) = n= δ(t nt). Dado que o sinal m(t) tenha frequência máxima ω M e que a frequência da portadora é ω c = 10ω o (ω o é a frequência de amostragem), determine a frequência ótima da portadora e a taxa de amostragem em função de ω M. 3

4 15. Para o sinal AM s(t) = cos(ω c t+φ)+ 1 4 sen[(ω c +ω M )t+φ+θ] 1 4 sen[(ω c ω M )t+φ θ], determine o índice de modulação e forneça a expressão da DEP. Considere queθ e φ são variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas em [0, 2π]. 16. Um sinal AM-SC s(t) = m(t)cos(ω c t + φ) é transmitido através de um canal de comunicação produzindoem sua saída o sinal recebido r(t) = αs(t) βs(t σ). O espectro do sinal modulante é representado por S M (ω) = S M rect( ω 2ω M ). Determine a DEP do sinal recebido em função da DEP do sinal modulante. Calcule as frequências para as quais o sinal recebido alcance um pico, encontre uma relação entre ω c e σ assumindo que a largura de faixa do sinal modulante é mais estreita que a largura de faixa do canal. Projete um demodulador para o sinal transmitido empregando um filtro equalizador. 17. O sinal modulante de único tom, m(t) = A m cos(ω m t), é utilizado para gerar o sinal VSB s(t) = 1 2 aa ma c cos((ω c +ω m )t)+ 1 2 A ma c (1 a)cos((ω c ω m )t), em que a é uma constante, inferior à unidade, que representa a atenuação da frequência lateral superior. (a) Encontre o componente em quadratura do sinal VSB s(t) (b) O sinal VSB mais a portadora A c cos(ω c t) é passado por um detector de envoltória. Determine a distorção causada pelo componente em quadratura. (c) Qual o valor da constante a para que essa distorção atinja sua pior condição possível? 18. Para o sinal QAM a seguir determine sua autocorrelação considerando R b (τ) = cos(ω M τ) e R d (τ) = cos(ω N τ). Qual a potência da portadora modulada? s QAM (t) = b(t)cos(ω c t+φ)+d(t)sen(ω c t+φ). Considere que a fase φ é uniformemente distribuída no intervalo [0,2π] e independente dos processos aleatórios b(t) e d(t). 19. Um sinal modulado em ângulo com frequência da portadora ω c = 2π 10 6 é descrito pela expressão ϕ EM (t) = 10cos(ω c t+10sen(2π1000t)sen(2π2000t)). (a) Encontre a potência do sinal modulado (b) Encontre o desvio em frequência f (c) Encontre o desvio de fase φ (d) Estime a largura de faixa de ϕ EM (t) 20. Dado o sinal mensagem m(t) = sen(2000πt), k f = π e k p = 10 (a) Estime a largura de faixa dos sinais s FM (t) e s PM (t) (b) Repita a parte 20a se a amplitude do sinal mensagem é duplicada (c) Repita a parte 20a se a frequência do sinal mensagem é duplicada 21. Uma onda portadora é modulada em frequência usando um sinal senoidal de frequência f m e amplitude A m. (a) Por meio de uma tabela, determine os valores do índice de modulação β para os quais a componente portadora do sinal modulado em FM se reduz a zero. 4

5 (b) Em uma experiência realizada com f m = 1000Hz e A m crescente (iniciando em 0 volts), descobre-se que a componente portadora do sinal FM se reduz a zero pela primeira vez quando A m = 2 volts. Qual a sensibilidade à frequência k f do modulador? Qual o valor de A m para o qual as componentes de portadora se reduzem a zero pela segunda vez? 22. Um sinal FM com índice de modulação β = 2 é transmitido através de um filtro passa-faixa ideal centrado em em f c e largura de faixa 7f m, em que f c representa a frequência da portadora e f m a frequência do sinal modulante. Calcule e esboce o espectro de amplitude na saída do filtro. 23. Considere um sinal FM faixa estreita definido aproximadamente por s(t) A c cos(ω c t) βa c sen(ω c t)sen(ω m t). (a) Determine a envoltória do sinal modulado. Qual a relação dos valores máximo e mínimo dessa envoltória? Esboce essa relação versus β supondo que β se restrinja ao intervalo 0 β 0.3. (b) Determine a potência média do sinal FM de faixa estreita, expresso como uma porcentagem da potência média da onda portadora não modulada. Esboce esse resultado versus β, supondo β restrito ao intervalo 0 β 0.3. (c) Expandaoânguloθ(t) dosinal FM defaixa estreita s(t)naformadeumasérie depotências, considerando 0 β 0.3 e mostre que θ(t) ω c t+βsen(ω m t) β3 3 sen3 (ω m t). 24. Sobre um intervalo t 1, um sinal modulado em ângulo pode ser escrito como ϕ EM (t) = 10cos(2π13000t). Sabe-se que a frequência da portadora ω c = 2π (a) Se esse sinal fosse um sinal modulado em fase com k p = 1000π, qual seria m(t) no intervalo t 1 (b) Se esse sinal fosse um sinal modulado em frequência com k f = 1000π, qual seria m(t) no intervalo t A onda modulante senoidal m(t) = A m cos(2πf m t) é aplicada ao modulador de fase com sensibilidade à fase k p. A onda portadora não-modulada tem frequência f c e amplitude A c. (a) Determine o espectro do sinal modulado em fase resultante, supondo que o desvio máximo de fase β p = k p A m não ultrapasse 0.5 radianos. Dica: Analise a obtenção do espectro do sinal modulado em frequência por meio expansão em série de Fourier do sinal s PM (t) e use o fato que o índice n da n-ésima raia do espectro deve obedecer a relação n β +1. Para este problema considere a expansão de Jacobi-Anger e jzcos(θ) = n= j n J n (z)e jnθ. 26. Suponha que o sinal modulado da questão 25 tenha um valor arbitrário para o desvio máximo de fase β p. Esse sinal modulado é aplicado a um filtro passa-faixa ideal com frequência central f c e faixa de passagem de f c 1.5f m a f c +1.5f m. Determine a envoltória, a fase e a frequência instantânea do sinal modulado na saída do filtro como funções do tempo. 5

6 27. Uma onda portadora de frequência igual a 100 MHz é modulada em frequência por uma onda senoidal de amplitude igual a 20 volts e frequência 100 khz. A sensibilidade à frequência do modulador é 25 khz por volt. (a) Determine a largura de faixa aproximada do sinal FM por meio da regra de Carson (b) Determine a largura de faixa considerando somente as frequências laterais cujas amplitudes ultrapassem 1% da amplitude da portadora não-modulada. (c) Refaça seu cálculo supondo que a amplitude do sinal modulador seja duplicada. (d) Refaça seu cálculo supondo que a frequência de modulação seja duplicada. 28. Analise matematicamente o efeito de captura do sinal FM, que ocorre quando dois sinais FM de amplitudes diferentes e mesma frequência de portadora chegam à antena receptora e o sinal FM de maior amplitude é o que prevalece. Considere que o sinal recebido seja escrito como s(t) = A 1 cos(ω c1 t+a 1 (t))+a 2 cos(ω c2 t+a 2 (t)), em que a 1 (t) = k f1 t m 1(τ)dτ e a 2 (t) = k f2 t m 2(τ)dτ. Em seguida escreva s(t) em termos de sua envoltória e phase e analise o que ocorre quando, por exemplo, A 1 é considerado muito maior que A 2. 6