Comunicações Digitais Prof. André Noll Barreto. Prova /2 (17/08/2017)

Transcrição

1 Prova 0 017/ (17/08/017) Aluno: Matrícula: Instruções A prova consiste de 4 (quatro) questões discursivas A prova terá a duração de h A prova pode ser feita a lápis ou caneta Não é permitida consulta a qualquer material, todas as fórmulas necessárias serão dadas no final da prova. Toda a resposta deve estar contida no espaço reservado para cada questão. Folhas de rascunho serão distribuídas caso necessário, mas não devem ser entregues. Calculadoras podem ser utilizadas, mas todas as contas e respostas devem ser justificadas Questão Nota Total

2 Questão 1 (,5 pontos) Podemos definir as transformadas de Fourier de seno e cosseno como F s {g(t)} = g(t) sin(πft) dt F c {g(t)} = g(t) cos(πft) dt A partir das transformadas de Fourier conhecidas e de suas propriedades, dadas no final da prova, encontre as transformadas de seno e cosseno para g(t) = { A, 0 t B 0, c. c. Sabemos que F{g(t)} = g(t)e jπft dt = g(t) cos(πft) dt j g(t) sin(πft) dt = F c {g(t)} jf s {g(t)} Portanto, se g(t) R, tanto F c {g(t)} quanto F c {g(t)} também R, e temos que Re{F{g(t)}} = F c {g(t)} Im{F{g(t)}} = F s {g(t)} Temos ainda que g(t) = A rect ( t B 1 ) = A rect (t B B ) e, portanto Deste modo, G(f) = A B sinc(πfb)e jπfb = A B sinc(πfb) cos(πfb) ja B sinc(πfb) sin(πfb) A B sin(πfb) F c {g(t)} = A B sinc(πfb) cos(πfb) = πfb F s {g(t)} = A B sinc(πfb) sin(πfb) = A B sin (πfb) πfb

3 Questão (,5 pontos) a) Considere que um sinal SSB é gerado em uma portadora de frequência f c como φ ssb (t) = A cos(πf a t) cos(πf c t) A sin(πf a t) sin (πf c t) Qual o sinal modulante? Esboce o espectro do sinal modulado. A modulação é USB ou LSB? b) Considere agora um sinal AM na mesma portadora, φ AM (t) = B(1 + μ cos(πf b t)) cos(πf c t) Esboce o espectro deste sinal. Qual a sua eficiência de potência? c) Considere agora que o sinal AM esteja interferindo no sinal SSB, e que f b < f a. Ache a razão sinal-interferência (RSI) na saída do demodulador SSB. a) sabemos que um sinal USB é construído como φ USB = A[m(t) cos(πf c t) m h (t) sin(πf c t)] E um LSB como φ LSB = A[m(t) cos(πf c t) + m h (t) sin(πf c t)] Sabemos ainda que H{cos(πf a t)} = sin(πf a t), ou seja, temos um sinal USB, cujo sinal modulante é m(t) = Acos (πf a t). Poderíamos ainda usar algumas identidades trigonométricas, de modo que φ ssb = A [cos(π(f c f a )) + cos(π(f c + f a )) cos(π(f c f a )) + cos(π(f c + f a ))] = A cos(π(f c + f a )) Ou seja, o sinal modulado tem um componente em uma frequência acima de f c. f c f a f c + f a f b) f c f b f c + f b f c f b f c + f b f c f c f O sinal de informação é s(t) = Bμ cos(πf b t) cos(πf c t), cuja potência é P s = B μ 4. A portadora, que não transmite informação é c(t) = B cos(πf c t), com potência P c = B. A eficiência é dada por η = P s P s +P c = μ 4 μ = μ 4 +1 μ +

4 d) Um receptor SSB é como um receptor DSB-SC, multiplica-se o sinal recebido por cos (πf c t), e aplica-se um filtro passa-baixa h LP (t). O sinal desejado após a recepção é m(t) = A cos (πf a t), com potência P s = A O sinal interferente é i(t) = (B(1 + μ cos(πf b t)) cos(πf c t) cos(πf c t)) h LP (t) = B(1 + μ cos(πf b t)) Com potência e a razão sinal-interferência será P I = B (1 + μ ) RSI = P s A = P I B ( + μ )

5 Questão 3 (,5 pontos) Dado o sinal modulado abaixo em uma portadora de 6Hz: a) Este é um sinal AM ou FM? Por que? b) Sabendo que o sinal modulante é periódico, qual é sua frequência? c) Sabendo que o sinal modulante é uma senoide, qual a largura de banda aproximada do sinal modulado? a) Nota-se que é um sinal de amplitude constante, e com frequência variável, e, consequentemente, é um sinal FM (ou PM) b) A frequência depende do sinal modulante, e percebemos que a frequência se repete em um intervalo de T = s, e, portanto, sua frequência é de f m = 1 T = 0,5Hz c) Podemos ver que o período varia entre 0,s e 1s, ou seja a frequência instantânea f i (t) varia entre 1Hz e 5 Hz, e Δf = max f i (t) f c = Hz. A banda aproximada é, segundo a regra de Carson, B (Δf + B) = ( + 0,5) = 5Hz

6 Questão 4 (,5 pontos) Em um sistema de comunicações desejamos digitalizar e multiplexar os sinais de 10 usuários diferentes, sendo que o sinal de cada usuário tem uma largura de banda de 4MHz, uma amplitude pico-a-pico de 4V e uma potência de.04w (considerando um resistor de 1Ω). Se fizermos uma quantização uniforme, de modo que a razão sinal-ruído de quantização seja maior que 30dB, e amostrarmos o sinal a uma taxa 5% maior que a taxa de Nyquist, qual será a taxa de bits gerada? RSR uniforme = 3L P m 0,04 m = 3L p = 0,03L > 1000 L > = 18,6 Como L = n, escolhemos L = 56, e, portanto, n = 8. A taxa de amostragem é f s = B 1,5 = 10MHz A taxa de bits total é R b = N u n f s = = 800 Mbps

7 Fórmulas Úteis Identidades Trigonométricas: sin(x) = sinx cosx sin x + cos x = 1 cos(x) = cos x sin x cos x = 1 (1 + cosx) sin x = 1 (1 cosx) cos(x ± y) = cosx cosy sinx siny sin(x ± y) = sinx cosy ± cosx siny tan(x ± y) = a cosx + b sinx = a + b cos(x + tan 1 ( b/a)) Integrais: x sin(ax) dx = 1 (sin(ax) ax cos(ax)) a tanx ± tany 1 tanx tany x sin(ax)dx = 1 a 3 (ax sin(ax) + cos(ax) a x cos(ax)) x cos(ax)dx = 1 (cos(ax) + ax sin(ax)) a x cos(ax)dx = 1 a 3 (ax cos(ax) sin(ax) + a x sin(ax)) xe ax dx = eax (ax 1) a x e ax = eax a 3 (a x ax + ) 1 x + a dx = 1 x x a tan 1 a x + a dx = 1 ln(x + a ) x a 4 + x 4 dx = 1 x tan 1 a a Fórmula de Euler: e jθ = cosθ + jsenθ cosθ = ejθ +e jθ senθ = ejθ e jθ j g(t) h(t) = Série de Fourier Generalizada:g(t) = cn x n (t)c n = 1 En n=1 Série de Fourier Trigonométrica: g(t) = a 0 + n=1 + a 0 = 1 T 0 T0 g(t)dt; a n = n=1 T 0 Série de Fourier Exponencial: g(t) = n= Definições b n sin(πnf 0 t) = C 0 + Convolução g(τ)h(t τ)dτ = h(t) g(t) n=1 T 0 g(t) cos(πnf 0 t) ; b n = C 0 = a 0 ; C n = a n + b n T0 g(t)x n * dt C n cos(πnf 0 t + θ n ) T 0 Dn e jπnf0t D n = 1 g(t)e jπnf0t dt = C n T 0 T 0 ejθ n; D n = C n T 0 g(t) sin(πnf 0 t) e jθ n sinc t = sin t t 1 t < 1 rect(t) = { 1/ t = 1 0 caso contrário

8 Tabela de Transformadas de Fourier: g(t) = G(f)e jπft df F G(f) = δ(t) F 1 g(t)e jπft dt 1 F δ(f) t n e at F n! u(t) (a + jπf) n+1 e a t F a a + 4π f e jπf 0t F δ(f f 0 ) cos(πf 0 t) F 1 [δ(f f 0) + δ(f + f 0 )] sin(πf 0 t) F 1 j [δ(f f 0) δ(f + f 0 )] u(t) F 1 δ(f) + 1 jπf sgn(t) F 1 jπf rect ( t τ ) F τ sinc(πfτ) sinc(πbt) F 1 f rect ( B B ) Δ ( t τ ) F τ sinc ( πfτ ) n= δ(t nt) F 1 T n= δ (f n T ) k 1 g 1 (t) + k g (t) F k 1 G 1 (f) + k G (f) G(t) F g( f) g(at) F 1 a G (f a ) g(t t 0 ) F G(f)e jπft 0 g(t)e jπf 0t F G(f f 0 ) g 1 (t) g (t) F G 1 (f)g (f) g 1 (t)g (t) F G 1 (f) G (f) d n g(t) dt n F (jπf) n G(f) t F G(f) g(x)dx jπf + 1 G(0)δ(f) Transformada de Fourier Discreta (DFT) N 1 G k = gn e jπkn/n g n = T a g(nt a ) = 1 N n=0 N 1 Gk e jπkn/n k=0

9 Tabela de Transformadas de Hilbert: g(t) H g h (t) = 1 π g(α) t α dα g h(t) H g(t) sint H cost cost H sint 1 t H 1 cost t H + 1 t sinct + 1 t δ(t) H 1 rectt H 1 πt π ln t + 1/ t 1/ Regra de CarsonB (Δf + B) Razão sinal-ruído com quantização RSR uniforme = 3L P m m RSR lei-a = 3L 1 p (ln(a))