Princípios de Telecomunicações Apostila de ELE-31 1

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1 Princípios de Telecomunicações Apostila de ELE-3 Manish Sharma 2 7 de agosto de 206 Revisada pela COMP-7 do ITA 2

2 Sumário Introdução. Elementos de um sistema de comunicação Tipos de Modulação Requisitos para processamento digital Limites teóricos de comunicação Exercícios Exercícios do livro Communication Systems 5th Edition Outros exercícios Curso Sinais e Espectro 7 2. Espectro de Linha e Série de Fourier Sinais periódicos e potência média Série de Fourier (S.F.) Condições para convergência e fenômeno de Gibbs Teorema de Parseval Transformada de Fourier e Espectro contínuo Sinais simétricos Sinais causais Teorema de Energia de Rayleigh Teorema de dualidade Considerações práticas sobre a TF Propriedades da Transformada de Fourier Superposição Deslocamento no tempo Mudança de escala Translação em frequência e Modulação Diferenciação Integração Convolução Teoremas de Convolução Impulsos e limites da Transformada de Fourier Propriedades do Impulso Unitário Impulsos em Frequência Função degrau e sinal Impulsos no tempo Transformada de Fourier no tempo discreto e Transformada Discreta de Fourier Exercícios Exercícios do Livro Communication Systems 5th Edition Outros exercícios i

3 SUMÁRIO SUMÁRIO 3 Transmissão de Sinais, Filtros Resposta de sistemas LTI (Linear Time-Invariant) Resposta ao Impulso e Integral por Superposição Função de Transferência e Resposta ao Impulso Análise por diagrama de Blocos Distorção de Sinais durante Transmissão Transmissão sem Distorção Distorção Linear Atraso de Grupo Perdas de transmissão e Decibéis Filtros e Filtragem Filtros Ideais Sinais limitados no tempo ou em frequência Filtros de Quadratura e Transformada de Hilbert Correlação e Densidade Espectral Correlação de sinais de potência Correlação de sinais de Energia Correlações e sistemas Função de Densidade Espectral Exercícios Exercícios do Livro Communication Systems 5th Edition Outros exercícios Modulação linear Sinais e Sistemas em Banda Passante Sinais em Banda Passante Transmissão em Banda Passante Bandas de Transmissão Modulação em Amplitude com Portadora Sinais e Espectro DSB Modulação Tonal e Análise Fasorial Circuitos Modulação em amplitude com supressão de banda lateral Sinais e espectro SSB Geração de Sinais SSB Sinais e Espectro VSB Conversão em frequência e Demodulação Conversão em frequência Demodulação síncrona Demodulação assíncrona - Detector de envoltória Exercícios Exercícios sugeridos do livro Communication Systems 5th Edition Outros exercícios Modulação Angular ou exponencial Modulação em Fase e em Frequência PM e FM de faixa estreita Modulação tonal Análise Fasorial Banda de transmissão e distorção Estimativa de Banda de Transmissão Distorção linear ii

4 SUMÁRIO SUMÁRIO Distorção não linear e limitadores Geração e detecção de sinais FM Conversor FM-AM Discriminador de variação de fase Detector de cruzamentos de zero Exercícios Exercícios do livro Communication Systems 5th Edition Outros exercícios Amostragem e Modulação de Pulsos 6. Introdução Amostragem Modulação da amplitude dos pulsos-pam Modulação Temporal dos Pulsos Modulação PWM Modulação PPM Demodulação Exercícios Exercícios do livro Communication Systems 5th Edition Outros exercícios Introdução a comunicações digitais Representação geométrica de sinais Modulações Digitais Modulação de amplitude (PAM) Modulação em fase (PSK) Modulação QAM - Quadrature Amplitude Modulation Sinalização Multidimensional Rotulação binária dos símbolos Modelo de canal AWGN Receptor ótimo Receptor ML para o canal Gaussiano Evento de erro Probabilidade de erro de bit para algumas modulações Comparação entre modulações Exercícios Exercícios do livro Haykin, S., Sistemas de comunicação: analógicos e digitais Outros exercícios Appendices 40 A Revisores 4 iii

5 Capítulo Introdução. Elementos de um sistema de comunicação Os objetivos de um sistema de comunicações são: Transferir informação de um tempo/espaço para outro; Fazer isso de forma eficiente e correta. Superficialmente, definimos informação como o que não sabemos sobre a realização de uma variável aleatória. Não nos importamos com o conteúdo da informação: somente com o seu formato. Isto quer dizer que não é relevante o resultado de um jogo de futebol, mas somente a forma de descrever e transmitir as possibilidades de resultado de forma eficiente. Informação é representada por mensagens que possuem alguma grandeza física: som, temperatura, tensão ou carga elétrica, etc. A transferência é feita através de um canal de comunicação. A mensagem deve ser convertida para algo que possa ser eficientemente transmitido através do canal e posteriormente recuperada para utilização. Dadas estas necessidades, um sistema de comunicação ponto a ponto simples teria o diagrama de blocos genérico da Figura.. Neste diagrama de blocos temos: Uma fonte da mensagem; Um transdutor de entrada, que converte a mensagem no seu estado natural em algo que pode ser processado pelo sistema; Uma etapa de processamento para converter a mensagem traduzida em algo que possa ser eficientemente transmitido pelo canal; Um transmissor propriamente dito, que transfere os sinais para um canal; Um canal de comunicação que leva o sinal transmitido do transmissor para o receptor. Os canais podem adicionar ruído, distorcer o sinal ou causar interferência; Um receptor que capta os sinais do canal; A interferência difere do ruído pois há uma inteligência na primeira, enquanto que o segundo é puramente aleatório.

6 .. ELEMENTOS DE UM SISTEMA DE COMUNICAÇÃOCAPÍTULO. INTRODUÇÃO Fonte Transdutor de entrada Processamento Transmissor Canal Ruido Distorção Interferência Destino Transdutor de saída Processamento Receptor Figura.: Diagrama de um sistema de comunicação. Uma etapa que processa os sinais do canal e os prepara para o transdutor de saída; Um transdutor de saída, que converte os sinais do sistema em algo que pode ser utilizado pelo destino; Um destino para a mensagem. Outras topologias são possíveis: duplex, broadcast, multiponto. Exemplos: Wi-fi, bluetooth, rádio AM, FM, TV digital, ANT+; Reuters utilizou pombos para transmitir informação de Bruxelas para Aachen; Hieroglifos egípcios; Armazenamento eletrônico, celular. Atualmente a melhor forma de realizar o processamento necessário para transmitir informação é a forma elétrica/eletrônica, analógica ou digital. As vantagens são a facilidade de uso, o custo e a velocidade de processamento. Canais muito utilizados: Eletromagnéticos: Rádio (a faixa de frequências utilizadas é a variável); Laser; Infravermelho. Sonoros; Elétricos. Canais de rádio são preciosos: Frequências baixas são desejáveis pois tem alcance maiores; Frequências altas tem antenas menores; Circuitos para frequências altas devem ser projetados cuidadosamente; 2

7 .2. TIPOS DE MODULAÇÃO CAPÍTULO. INTRODUÇÃO O espectro eletromagnético é único e compartilhado. Existe regulamentação para o uso do espectro eletromagnético, vide Figura.2. Utilizamos moduladores e demoduladores para poder utilizar uma faixa específica de frequências. Vantagens em potencial de modulação: Escolha da banda de transmissão; Escolha da frequência de transmissão; Transmitir o sinal em frequência/banda diferente da mensagem; Melhora de desempenho (relação sinal/ruído); Permite que vários usuários utilizem o mesmo canal ao mesmo tempo; Permite a transmissão de muita informação em uma pequena faixa de frequência, dentro de alguns limites teóricos..2 Tipos de Modulação Uma senoide não modulada é o sinal que ocupa a menor banda. Uma senoide modulada ocupará banda necessariamente maior. Genericamente, um sinal senoidal modulado pode ser descrito através da seguinte equação: s(t) = A(t) cos [2πf(t) t + φ(t)] (.) O tipo de modulação depende de qual grandeza da senoide depende da informação: Modulação em amplitude (AM) se a informação está em A(t); Modulação em frequência (FM) se a informação está em f(t); Modulação em fase (PM) se a informação está em φ(t). Alternativamente, podemos transmitir informação em uma sequência de pulsos, descrita pela equação a seguir: s(t) = k + ( ) t τn A[n] p (.2) n T n onde k é uma constante qualquer e p(t) é um pulso qualquer, não necessariamente retangular. A escolha apropriada de τ n e T n permite deslocar o pulso no tempo e escaloná-lo. Analogamente, teríamos as seguintes modulações: Modulação em amplitude de pulso (PAM) se a informação está em A[n]; Modulação em largura de pulso (PWM) se a informação está em T n ; Modulação em posição do pulso (PPM) se a informação está em τ n. 3

8 .3. REQUISITOS PARA PROCESSAMENTO DIGITAL CAPÍTULO. INTRODUÇÃO.3 Requisitos para processamento digital Para processarmos de forma fácil, utilizamos computadores. Os sinais a serem transmitidos devem ser digitalizados para podermos processá-los. A digitalização envolve dois parâmetros: Taxa de amostragem depende do sinal a ser representado; Número de bits por amostra limita a precisão da representação de cada amostra. O produto (taxa de amostragem número de bits por amostra) resulta na taxa de bits. Se muito alta, exigirá mais do nosso processador. Se muito baixa, distorcerá a mensagem ao ponto de torná-la inútil..4 Limites teóricos de comunicação Para transmitir informação, gastamos uma certa quantidade de energia. Entretanto, o canal normalmente adiciona ruído. Nestas condições, há um limite de quanta informação podemos transmitir de forma confiável através de um canal ruidoso. Este limite foi dado por Claude Shannon: [ C = B log + S ] N (.3) onde: C é a capacidade do canal, em bits por segundo; B é a banda de transmissão utilizada; S é a potência do sinal que transmitimos; N é a potência do ruído presente na recepção. Qualquer taxa de transmissão de bits deve ser menor do que C para que a transmissão seja confiável, isto é, com quase nenhum erro. As consequências desta equação são: Devemos representar a informação de forma mais eficiente possível para transmitir o menor quantidade de bits: codificar a fonte. Devemos transmitir a informação através do canal para que seja possível recuperá-la corretamente na recepção, mesmo na presença de ruído: código de canal. Finalmente, chegamos em um diagrama de blocos mais detalhado para um sistema de comunicação simples mostrado na Figura??..5 Exercícios.5. Exercícios do livro Communication Systems 5th Edition Todas as questões conceituais do capítulo. 4

9 .6. CURSO CAPÍTULO. INTRODUÇÃO.5.2 Outros exercícios. O que é capacidade de canal? 2. Quais são as implicações da seguinte equação do ponto de vista do projeto de um sistema de comunicações? [ C = B log + S ] (.4) N.6 Curso O curso vai apresentar em detalhes as modulações analógicas AM, FM e PM e brevemente as modulações de pulsos. Para permitir os tratamentos matemáticos necessários, desenvolvemos primeiramente algumas ferramentas para análise em frequência. 5

10 .6. CURSO CAPÍTULO. INTRODUÇÃO Figura.2: Regulamento brasileiro sobre o espectro de comunicação. 6

11 Capítulo 2 Sinais e Espectro O objetivo deste capítulo é relembrar algumas ferramentas necessárias para a análise de sinais no domínio do tempo e de frequência. Alguns conceitos novos também são apresentados. 2. Espectro de Linha e Série de Fourier Uma onda senoidal pode ser descrita pela seguinte equação: v(t) = A cos(2πf o t + φ) (2.) onde A é a amplitude, φ é a fase da onda, f 0 é a frequência em Hertz (Hz). A relação entre a frequência e velocidade angular (em radianos por segundo) é f o ω 0 2π T o. A equação implica em periodicidade infinita mas pode ser utilizada para analisar sinais reais finitos (no tempo). Representação equivalente: fasor. Representação fasorial é derivada da representação da equação anterior como uma soma de exponenciais complexas: onde j. exp(±jθ) = cos(θ) ± jsin(θ) (2.2) Desta forma temos que a parte real de uma exponencial complexa é: R {Aexp [j (2πf o t + φ)]} = A cos(2πf o t + φ) (2.3) Essa representação se chama fasorial, pois o interior das chaves pode ser visto como um vetor no plano complexo com amplitude A centrado na origem, que gira ao longo do tempo com a velocidade indicada. A parte real é a projeção desse vetor no eixo real, como mostra a figura 2.. Um fasor é então definido por 3 elementos: Amplitude A Fase φ Frequência f o 7

12 Amplitude Fase 2.. ESPECTRO DE LINHA E SÉRIE DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO I f 0 A φ R Figura 2.: Fasor O mesmo fasor pode ser descrito graficamente no domínio de frequência (variável independente f) se esses parâmetros forem apresentados, o que exige dois gráficos: um de amplitude e um de fase, conforme mostra a figura 2.2. A φ f f f 0 f 0 Figura 2.2: Diagrama fasorial de amplitude e de fase. Resumidamente, podemos chamar esse diagrama (ou outros com informações similares) como espectro, pois nos permite ver o que o sinal representa no domínio de frequências. Convenções: Variável independente é a frequência f e não a velocidade angular ω. Fases são relativas ao cosseno, isto é, a fase de um cosseno é zero. A relação entre seno e cosseno é: sin(2πft) = cos(2πft 90 o ). 8

13 Amplitude Fase 2.. ESPECTRO DE LINHA E SÉRIE DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO Amplitude é sempre positiva. Amplitudes negativas são compensadas pela fase para torná-las positivas. Isto é, cos(2πf 0 t) = cos(2πf 0 t + 80 o ). Fases de ±80 0 são iguais. Fases são apresentadas em graus, com o símbolo o, ou em radianos, dependendo do contexto.. Exemplo: w(t) = 7 0cos(40πt 60 o )+4sin(20πt) = 7cos(0πt)+0cos(2pi20t+20 o )+ 4cos(2π60t 90 o ). Esse sinal tem o diagrama fasorial da figura o f f -90 o Figura 2.3: Diagrama fasorial de w(t) Esses diagramas são unilaterais e representam frequências positivas Uma representação bilateral pode ser útil para representar sinais utilizados na prática. Ela pode ser obtida através da identidade: ou seja: R{z} = z + z 2 (2.4) R {Aexp [jφ] exp [j (2πf o t)]} = A 2 [exp( jφ)exp( 2πf ojt) + exp(jφ)exp(2πf o jt)] (2.5) Os termos individuais da equação anterior não são necessariamente reais, mas a soma necessariamente é. Podemos desenhar o diagrama fasorial bilateral a partir da equação anterior, resultando, para o exemplo anterior, na figura 2.4. Para sinais reais, o gráfico bilateral de amplitude tem simetria par e o gráfico bilateral de fase tem simetria ímpar. Comparando os dois diagramas, o bilateral possui metade do valor das amplitudes, exceto na origem (f = 0). Cabe ao aluno verificar as afirmações sempre que o símbolo aparecer. 9

14 Fase Amplitude 2.. ESPECTRO DE LINHA E SÉRIE DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO f f o 90 o f f -20 o -90 o Figura 2.4: Diagrama fasorial bilateral de w(t) A vantagem de utilizar o espectro bilateral é porque ele permite a representação de sinais complexos, que serão úteis futuramente. Uma única linha representa então: Uma senoide no espectro unilateral. Uma exponencial complexa no espetro bilateral. Tanto as frequências positivas como as frequências negativas (abstração matemática) devem ser consideradas ao desenhar o espectro bilateral. O espectro de amplitude é normalmente mais utilizado, pois contém informação sobre quais frequências estão presentes e quanto elas são fortes, o que só veremos formalmente depois. 2.. Sinais periódicos e potência média Um sinal v(t) é periódico se v(t ± nt 0 ) = v(t), para < t < e qualquer n inteiro. Na equação anterior, o menor valor de T 0 que satisfaz a igualdade é o período fundamental do sinal. Podemos aproximar, com consequências, sinais reais como sinais periódicos. A representação que utilizaremos posteriormente necessita que a potência média deste sinal seja finita, o que definiremos a seguir. O valor médio no tempo de uma função v(t) qualquer é < v(t) >, calculada via: Quando v(t) é periódica com período T 0 esta equação fica: < v(t) >= t +T 0 T 0 T 2 < v(t) >= lim v(t)dt (2.6) T T T 2 t v(t)dt = T 0 0 T 0 v(t)dt (2.7)

15 2.. ESPECTRO DE LINHA E SÉRIE DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO Para determinar a potência de um sinal, é preciso saber qual grandeza ele representa. Por convenção, assumimos que o sinal v(t) é ou uma corrente ou uma tensão aplicada sobre uma resistência de Ω, de forma que a potência média deste sinal é, pela Lei de Ohm: P v =< v(t) 2 >= T 0 T 0 v(t) 2 dt (2.8) onde utilizamos o módulo, pois v(t) pode ser complexo 2 Quando 0 < P v <, o sinal v(t) é chamado de sinal de potência periódico. Para sinais senoidais com amplitude A, a potência é P = A Série de Fourier (S.F.) Permite representar sinais periódicos como soma de exponenciais complexas Seja v(t) um sinal de potência periódico com período fundamental T 0 = /f 0. O valor de f 0 é a frequência fundamental. Este sinal pode ser escrito como : v(t) = n= para n inteiro, com coeficientes dados por: c n exp(j2πnf 0 t) (2.9) c n = T 0 T 0 v(t) exp( j2πnf o t)dt = c n exp(j arg(c n )) (2.0) onde arg(c n ) retorna a fase do número complexo c n A equação se encontra na forma exponencial. Poderia ser dividia na forma senoidal separando o somatório em somas de cossenos e senos, estes últimos multiplicados pela constante j. Comparando com a definição de valor médio, o valor de c n pode ser interpretado como o valor médio do que está sendo integrado. Este, por sua vez, pode ser visto como o produto interno de v(t) com a exponencial complexa. O somatório também pode ser interpretado como uma soma de fasores com frequência múltipla inteira da frequência fundamental do sinal v(t), isto é, 0, ±f 0, ±2f 0,... Logo, V (f), o espectro de linha bilateral de v(t) é definido pelos valores de c n, de tal forma que c(nf 0 ) = c n. Propriedades do espectro de sinais periódicos: Todas as frequências presentes são harmônicos (múltiplos inteiros) da frequência fundamental f 0 = /T 0, i.e., linhas são uniformemente espaçadas. Valor em f = 0 (normalmente chamado de componente D.C.) é o valor médio do sinal: c 0 = T 0 T 0 v(t)dt =< v(t) > (2.) 2 Neste caso a potência que estamos calculando é equivalente a potência aparente

16 2.. ESPECTRO DE LINHA E SÉRIE DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO Para sinais reais: c n = c n = c n exp( jarg(c n )) (2.2) isto é, amplitudes têm simetria par e fases têm simetria ímpar. A última propriedade permite reagrupar elementos da série, dois a dois, exceto c 0, ou que nos permite escrever: v(t) = c 0 + n= 2c n cos(2πnf 0 t + arg(c n )) ou v(t) = c 0 + n= [a n cos(2πnf 0 t) + b n sin(2πnf 0 t)] a n = R{c n }, b n = I{c n } (2.3) As funções seno e cosseno da equação anterior formam uma base de funções ortogonais em T 0 Duas funções v n (t) e v m (t) são ortogonais em um intervalo t a t 2 se: { 0, se n m v n (t)v m (t)dt = t K, constante, se n = m t2 (2.4) Assim, a Série de Fourier pode ser vista como a descrição de um sinal através da combinação linear das bases do espaço de sinais. O cálculo de c n nada mais é do que o cálculo da projeção do sinal na base correspondente, assim como é feito em Álgebra Linear. Formas ortogonais são utilizadas em um tipo de modulação (QAM), que será visto posteriormente. Muitas vezes, para calcular c n temos que resolver uma integral do seguinte tipo: T T/2 T/2 exp(j2πf t)dt = j2πft exp(j2πft) T/2 T/2 = sin(πft ) (2.5) πft que é o valor médio de um fasor com frequência f qualquer avaliado durante um intervalo que não é necessariamente o seu período Como esta função aparece muito, damos o nome de sinc(λ) = sin(πλ)/πλ, onde λ é adimensional. O seu formato aproximado é dado pela figura 2.5. Propriedades de sinc(λ) A amplitude (envoltória) decai com /λ. A simetria é par. O seu valor é quando λ = 0, e vale 0 quando λ = ±, ±2,... Exemplo: trem de pulsos retangulares (figura 2.6) v(t) não é definido nas descontinuidades, aproximação de caso real. O intervalo de integração é um período T 0, de T 0 /2 até T 0 /2 Neste intervalo v(t) = A para t < τ/2 e 0 caso contrário. 2

17 sinc( ) 2.. ESPECTRO DE LINHA E SÉRIE DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO Figura 2.5: Formato de sinc(λ) = sin(λx) λx Figura 2.6: Trem de pulsos Logo: c n = T0 /2 v(t) exp( j2πnf o t)dt T 0 T 0 /2 = τ/2 A exp( j2πnf o t)dt T 0 τ/2 = A T 0 (j2πf 0 n)exp( j2πf 0 nt) τ/2 τ/2 = A T 0 sin(πf 0 nτ) πf 0 nτ = Aτ T 0 sinc(f 0 nτ) (2.6) Para visualizar o espectro de amplitude e fase (figura 2.7), consideramos os valores numéricos de τ/t 0 = f 0 τ = /4: Há zeros em ±4f 0, ±8f 0, pois nestes pontos a função sinc vale 0; O valor em f = 0 é o valor D.C, pode ser obtido por inspeção, é igual a Aτ/T 0 Os valores de c n são reais e as vezes negativos. Quando positivos, a fase é 0, quando negativo a fase é ±80 o. Neste caso, escolhemos o sinal de forma a manter a simetria necessária. 3

18 2.. ESPECTRO DE LINHA E SÉRIE DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO Figura 2.7: Espectros de amplitude (a) e fase (b) de um trem de pulsos Recomposição de v(t) via somatório: v(t) = A 2A 4 + π cos(2πf 0t) + A 2A π cos(4πf 0t) + 3π cos(6πf 0t) + (2.7) Aproximação pode ser feita considerando um número finito de termos desse somatório, como mostra a figura 2.8. Então, o somatório acima converge para v(t) nesse caso quando o número de termos utilizados tende para infinito Condições para convergência e fenômeno de Gibbs Nem sempre uma série converge. Condições de Dirichlet para convergência(suficientes mas não estritamente necessárias): Número finito de máximos e mínimos por período v(t) é absolutamente integrável por período Condição alternativa: v(t) 2 tem média finita por período, o que é equivalente a dizer que é um sinal de potência. Assim, sendo v N (T ) = N n= N c n exp(j2πnf 0 t), temos; Fenômeno de Gibbs lim N v(t) v N (t) 2 dt = 0 T 0 (2.8) 4

19 2.. ESPECTRO DE LINHA E SÉRIE DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO.5.0 Pulso retangular 0.5 DC e º harmônico Até 3º harmônico t Pulso retangular 0.5 Até 7º harmônico t Pulso retangular 0.5 Até 40º harmônico t Figura 2.8: Reconstrução do trem de pulsos retangulares usando Série de Fourier. Nos pontos de descontinuidade, a soma parcial vn (t) converge para o ponto médio de descontinuidade. Além disso, em cada uma das extremidades há oscilações com período de T0 /2N e pico de aproximadamente 9% do degrau. Em sinais reais, esse fenômeno não existe, pois eles são contínuos. Por outro lado, sinais sintetizados pela soma de um número finito de termos de uma Série de Fourier de um sinal com descontinuidades podem apresentar este comportamento. Isso pode ser visto na terceira parte da figura 2.8. Fenômeno implica em cuidados ao usar filtros reais aproximados como ideais Teorema de Parseval Relação entre potência de um sinal periódico v(t) e seus coeficientes cn é: Pv = T0 v(t) dt = T T0 0 Z 2 5 Z T0 v(t)v (t)dt (2.9)

20 2.2. TRANSFORMADA DE FOURIER E ESPECTRO CAPÍTULO CONTÍNUO 2. SINAIS E ESPECTRO Como v (t) = n= c nexp( j2πnf o t), temos que, substituindo na equação anterior: P v = T 0 T 0 v(t) = = = T n= 0 n= n= c n c n c n 2 n= [ c nexp( j2πnf o t)dt ] v(t)exp( j2πnf o t) c ndt T 0 (2.20) Logo, a potência média de um sinal periódico é igual a soma dos coeficientes de sua série de Fourier. Esse cálculo não envolve o espectro de fases A potência total de um sinal periódico é igual a soma das potências de cada um dos componentes da série. Esse resultado também pode ser derivado considerando que as funções cos(2πnf 0 t) e cos(2πmf 0 t) são ortogonais no intervalo T 0, para n m inteiros. 2.2 Transformada de Fourier e Espectro contínuo Sinais não periódicos com energia finita podem ser analisados com a Transforada de Fourier (TF). Em condições semelhantes às anteriores, um sinal v(t) não periódico é um sinal de energia se: é finita. E v v(t) 2 dt (2.2) A TF pode ser vista como um limite da série de Fourier quando T 0 ou f 0 0. O somatório da Série de Fourier se transforma em uma integral: v(t) = [ ] v(t)exp( j2πf t)dt exp(j2πf t)df (2.22) A transformada de Fourier de um sinal v(t) é uma função V (f) obtida através de: V (f) F{v(t)} A transformada de Fourier inversa (IFT) é definida como: v(t) F {V (f)} v(t) exp( j2πf t)dt (2.23) V (f) exp(j2πft)df (2.24) Alguns autores multiplicam a integral acima por 2π, mas convencionaremos desse modo. Assim como a série de Fourier, F {V (f)} converge para v(t). 6

21 2.2. TRANSFORMADA DE FOURIER E ESPECTRO CAPÍTULO CONTÍNUO 2. SINAIS E ESPECTRO Circularmente, v(t) = F {F{v(t)}}, mas ainda provaremos isto. Comparando com a série de Fourier, V (f) é o espectro contínuo de v(t) Propriedades: V (f) é uma função potencialmente complexa, no sentido de ter termos reais e imaginários. V (f = 0) é a área de v(t), isto é, V (0) = v(t)dt Se v(t) é real, V ( f) = V (f). Consequentemente: V ( f) = V (f) a amplitude possui simetria par arg[v ( f)] = arg[v (f)] a fase possui simetria ímpar Funções que obedecem ambas estas simetrias são funções com simetria Hermitiana Exemplo: pulso retangular Definimos um pulso retangular genérico como: ( ) { t, t < τ Π 2 τ 0, cc. (2.25) A função que desejamos transformar é v(t) = AΠ ( ) t τ Logo: V (f) = v(t) exp( j2πft)dt = τ/2 τ/2 A exp( j2πft)dt = Aτsinc(fτ) (2.26).0 V f f arg V f f Figura 2.9: Espectro do pulso retangular: sinc(f) para τ =. Da figura 2.9 concluímos que: 7

22 2.2. TRANSFORMADA DE FOURIER E ESPECTRO CAPÍTULO CONTÍNUO 2. SINAIS E ESPECTRO Grande parte da energia está entre /τ e /τ Quanto mais curto o pulso, maior o espalhamento espectral, pois τ diminui e /τ aumenta Sinais simétricos Sinais com algum tipo de simetria possuem TF simplificadas. Instante t = 0 pode, dentro de alguns limites, ser escolhido livremente, mas o instante f = 0 não pode, pois há significado físico no seu valor. Usando a identidade de Euler, podemos escrever uma TF como: onde : V (f) = V e (f) + jv o (f) (2.27) V e (f) V o (f) v(t)cos(2πf t)dt v(t)sin(2πf t)dt (2.28) A priori, não há nenhum tipo de simetria nestas funções. Se v(t) é real, R{V (f)} = V e (f) e I{V (f)} = V o (f). ( Mostre que isso não é verdade quando v(t) não é real, mas que uma afirmação semelhante pode ser feita para quando v(t) é um sinal imaginário) Para uma função w(t) que pode representar tanto v(t)cos(2πft) ou v(t)sin(2πft)dt, temos : w(t)dt = 0 w(t)dt + w(t)dt = 0 2 w(t)dt, se w(t) é par 0 0, se w(t) é impar (2.29) Quando v(t) tem simetria par, v(t) = v( t): v(t)cos(2πf t) tem simetria par. v(t)sin(2πf t) tem simetria impar. Logo V (f) = V e (f) = 2 0 V o (f) = 0 v(t)cos(2πf t)dt (2.30) Quando v(t) tem simetria ímpar, v(t) = v( t): v(t)cos(2πf t) tem simetria impar. v(t)sin(2πf t) tem simetria par. Logo V (f) = jv o (f) = j2 0 V e (f) = 0 v(t)sin(2πf t)dt (2.3) Conclusão: espectro de um sinal real com simetria par é real. O espectro de um sinal real com simetria ímpar é imaginário. 8

23 2.2. TRANSFORMADA DE FOURIER E ESPECTRO CAPÍTULO CONTÍNUO 2. SINAIS E ESPECTRO Sinais causais Sinais causais são aqueles que dependem somente do passado e do presente, nunca do futuro. Assim, um evento no presente só pode alterar o futuro Sinais do mundo real, pelo nosso conhecimento, são causais Um modelo que pode ser utilizado para esse tipo de sinal é dizer que v(t) = 0 para t < 0, i.e., o sinal começa em ou depois de t = 0. Uma consequência deste modelo é que não há nenhum tipo de simetria no sinal. Logo, o espectro terá termos reais e complexos A TF adquire o formato de: V (f) = 0 v(t)exp( j2πf t)dt (2.32) que é equivalente à transformada de Laplace (TL) limitada ao círculo complexo unitário, definida como: L{v(t)} 0 v(t)exp( st)dt (2.33) s=j2πf Logo, se v(t) é um sinal causal de energia não periódico, pode-se obter a TF a partir da TL. Exemplo: v(t) = L{v(t)} = s=j2πf { Aexp( bt), t > 0 0, cc. V e (f) = R{V (f)} = A b + j2πf = A b j2πf b 2 + (2πf) 2 Ab b 2 + (2πf) 2 (2.34) V o (f) = I{V (f)} = A2πf b 2 + (2πf) 2 Poderíamos extrair o módulo e a fase da TF através de: Modulo = Ve 2 (f) + V 2 F ase = tan ( Vo (f) V e (f) o (f) ) (2.35) Teorema de Energia de Rayleigh Semelhante ao teorema de Parseval para potências: E = V (f)v (f)df = V (f) 2 df (2.36) O valor V (f) 2 indica a distribuição de energia no espaço de frequências. Para sinais a serem projetados, isto implica que a maior parte da energia deve estar dentro da banda desejada/permitida. 9

24 2.3. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO Teorema de dualidade Se F{v(t)} = V (f) e existe z(t) tal que z(t) = V (f = t) então F{z(t)} = v( f) (2.37) isto é, a TF de uma função z(t) pode ser calculada através da IFT, com uma troca de variáveis e de sinal, desde que z(t) tenha o formato de uma função cuja IFT conhecemos. Essa propriedade é útil por exemplo quando v(t) é real e possui simetria par, pois V (f) também será. Neste caso podemos ignorar a troca de sinais.. Exemplo z(t) = Asinc(2W t), onde W representa a banda do sinal (onde está a maior parte da energia). Sabemos que para v(t) = BΠ( t τ ) V (f) = Bτsinc(fτ) Reescrevendo z(t)temos: z(t) = e as variáveis se relacionam como: A 2W sinc(2w t) (2.38) 2W A 2W = B 2W = τ t = f (2.39) Logo Z(f) = A ( ) f 2W Π 2W (2.40) O sinal sinc no tempo é limitado em banda e infinito no tempo, enquanto que o sinal Π(t) é finito no tempo e infinito em banda Considerações práticas sobre a TF a opção: Tabelas de transformadas ou combinações de transformadas. 2 a opção: Propriedade da dualidade. 3 a opção: Transformada de Laplace, quando houver. 4 a opção: Aproximações.Caso z(t) z(t), z(t) z(t) é pequeno, Z(f) = F{z(t)} e Z(f) = F{ z(t)}, então: Z(f) Z(f) 2 df = z(t) z(t) 2 dt (2.4) devido ao teorema de Rayleigh. Isto é, o erro acumulado no tempo se manterá em frequência. 2.3 Propriedades da Transformada de Fourier Ajudam a analisar/calcular alguns tipos de sinais. 20

25 2.3. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO 2.3. Superposição Se v(t) = a v (t) + a 2 v 2 (t) então F{v(t)} = a V (f) + a 2 V 2 (f), ou, genericamente: { } F v k (t) = V k (f) (2.42) k k onde F{v k (t)} = V k (f) Deslocamento no tempo Dada uma função v(t) ela pode ser atrasada em t d ao escrevermos v (t) = v(t t d ). Neste caso: F{v (t)} = v(t t d )exp( j2πft)dt (2.43) Com uma transformação de variáveis t = t t d e t = t + d chegamos e: F{v (t)} = v(t )exp[ j2πf(t + t d )]dt = exp( j2πft d ) = exp( j2πft d )V (f) v(t )exp[ j2πft ]dt (2.44) Mudança de escala Quando desejamos mudar a escala de tempo, multiplicamos a variável tempo por uma constante, isto é, t = αt. O sinal resultante é v(αt). Com α < o sinal é comprimido no tempo e com α > o tempo é estendido. Com α < 0 há reversão temporal. Utilizando t = αt, temos que dt dt = α. Assim, a TF fica: F{v(αt)} = v(t )exp = α V (f ) = ( ) f α V α ) ( j2πf t dt α α (2.45) onde f = f α. A razão para utilizarmos o módulo de α é que, quando α < 0, os limites de integração acabam sendo trocados. Para permanecer com os mesmos limites, multiplicamos a integral por menos um. Esta multiplicação resulta em α. Exemplo: Sendo v(t) = A Π ( t τ ), temos um sinal za (t) = v(t t d ) v(t (t d + T )) que é composto de dois pulsos retangulares, como mostra a figura 2.0. Assim: V (f) = Aτ(sinc(fτ) Z a (f) = V (f)exp( j2πft d ) V (f)exp( j2π(t d + T )) = V (f)[exp( j2πft d ) exp( j2π(t d + T ))] (2.46) Podemos escrever a seguinte identidade: exp(j2θ ) ± exp(j2θ 2 ) = [exp(j(θ θ 2 )) ± exp( j(θ θ 2 ))]exp(j(θ + θ 2 )) { 2cos(θ θ 2 )exp(j(θ + θ 2 )) = j2sin(θ θ 2 )exp(j(θ + θ 2 )) (2.47) 2

26 2.3. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO... τ t d +T/2... t d +T t d τ Figura 2.0: Dois pulsos retangulares No caso deste exemplo, θ = πft d e θ 2 = πf(t d + T ). Definindo t 0 = t d + T/2(o ponto central entre os dois pulsos) temos que θ θ 2 = πft e θ + θ 2 = 2πft 0, resultando em: Z a (f) = Aτsinc(fτ[j2sin(jπfT )][exp(j2πft 0 )]) (2.48) Definindo arbitrariamente que t 0 = 0 eliminamos a última exponencial. O formato de z b (t) = z a (t) fica com simetria ímpar e o valor de sua TF é: t0 =0 Z b (f) = Aτsinc(fτ)(j2sin(πfτ)) = Aτ(j2πfτ sinc 2 (fτ)), ( ) πfτ πfτ (2.49) isto é, o espectro é puramente imaginário pois a função z b (t) tem simetria ímpar Translação em frequência e Modulação Seja v(t) com uma TF V (f). A multiplicação no tempo de v(t) por uma exponencial complexa causa a translação em frequência, isto é: isto é, o espectro fica centrado em f 0 F{v(t) exp(j2πf 0 t)} = V (f f 0 ) (2.50) Assim, se v(t) tem conteúdo de energia entre ±W (sendo real), o seu espectro pode ser representado genericamente pela figura 2.-(a). Podemos fazer esse sinal ocupar a faixa de f c ± W multiplicando v(t) pela exponencial complexa apropriada. O espectro resultante ocupa uma banda de 2W exclusivamente de bandas positivas (sendo f c > W ) e consequentemente não possui simetria em torno de f = 0. Logo, o sinal resultante no tempo é complexo, o que pode ser um problema para o tratamento de sinais reais. 22

27 2.3. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO Solução: multiplicar v(t) por um seno ou cosseno, resultando no teorema de modulação: v(t)cos(2πf c t + φ) V (f f c ) exp(jφ) 2 + V (f + f c ) exp( jφ) 2 (2.5) isto é, multiplicar um sinal por ondas senoidais equivale a transladar o espectro para ±f c, dividindo a cada uma das cópias por dois. Sendo o sinal original real, o espectro do produto final será Hermitiano. (a) f=0 f=w (b) f=0 f=f c -W f=f c f=f c +W (c) f=-f c f=0 f=f c Figura 2.: Transformadas de Fourier de: (a) v(t); (b) v(t) exp(j2πf 0 t); (c) v(t) cos(j2πf 0 t). Há uma redução de amplitude no terceiro espectro por um fator de 2. Exemplo: pulso de rádio frequência, utilizado frequentemente em radares. Senoide finita com f c na faixa de rádio frequência: ( ) t z(t) = AΠ cos(2πf c t) (2.52) τ Este sinal pode ser visto como o produto de um pulso retangular com largura τ e um cosseno com frequência f c, como mostra a figura

28 Z(f) z(t) 2.3. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO t Figura 2.2: Pulso de rádio frequência para f c = 2. A TF do pulso retangular é Aτsinc(fτ). Logo, a TF de z(t) será, utilizando o teorema da modulação: Z(f) = Aτ 2 [sinc((f f c)τ) + sinc((f + f c )τ)] (2.53) O espectro resultante tem o formato da figura f Figura 2.3: Espectro de Z(f)(módulo), para f c = 2. Embora a senoide tenha frequência igual a f c, ela é finita no tempo. Por esse motivo há energia fora de f c Caso a senoide fosse infinita, poderíamos utilizar um espectro de linha representando uma série de Fourier ou um o limite da transformada, que veremos depois Diferenciação Utilizando a IFT, podemos escrever: d dt v(t) = d dt [ ] V (f) exp(j2πft)df (2.54) 24

29 2.3. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO Como a exponencial dentro da integral é a única coisa que depende do tempo, reescrevemos: = d dt v(t) = V (f) d (exp(j2πft)) df dt V (f)j2π f exp(j2πft)df (2.55) Como a equação acima ainda é uma transformada de Fourier inversa, aquilo que não faz parte da exponencial faz parte da Transformada de Fourier de d dtv(t). Logo: { } d F dt v(t) = V (f)j2πf (2.56) ou genericamente, chegamos no teorema de diferenciação: { d n } F dt n v(t) = V (f)(j2πf) n (2.57) Integração Seja z(t) = t v(λ)dλ, onde λ é uma variável dummy. Se V (0) = v(λ)dλ = 0, garantimos que z(t) convergirá para 0 quando t. Utilizando o caminho contrário ao da derivada, chegamos no teorema da integração: { t } F v(λ)dλ = V (f) (2.58) j2πf Os principais resultados dessas últimas duas seções são: Ao derivar um sinal, as suas frequências mais altas serão amplificadas e as mais baixas reduzidas, devido ao fator f multiplicando a TF resultante. Ao integrar um sinal, as suas frequências mais baixas serão amplificadas e as mais altas reduzidas, devido ao fator f dividindo a TF resultante. Exemplo: Pulso triangular. ( t+ τ ) ( 2 t τ ) 2 O sinal z b (t) = AΠ τ AΠ τ tem média zero. Logo, podemos obter um novo sinal baseado na integral de z b (t) e este sinal terá uma transformada de Fourier. Assim: ( ) w(t) = t A t τ, t < τ z b (λ)dλ = (2.59) τ 0, t > τ Aplicando o teorema de integração temos que : W (f) = τ j2πf Z b(f) = Aτ j2πfτ j2πfτ sinc2 (fτ) = Aτsinc 2 (fτ) (2.60) Em comparação com o pulso retangular, o pulso triangular tem menos energia em altas frequências. Isso acontece, porque não há descontinuidades nesse sinal. A sua duração é 2τ, enquanto que o pulso retangular dura somente τ. Notação: Λ ( ) t τ { t τ, t < τ 0, t > τ F { Λ ( t τ )} = Aτsinc 2 (fτ) 25 (2.6)

30 F ) $! t = "* (t) 2.4. CONVOLUÇÃO CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO A figura 2.4 mostra o pulso triangular no tempo e o módulo do seu espectro, para τ =. Para comparação, o módulo do pulso quadrado com largura τ = também está desenhado na linha tracejada t f Figura 2.4: Sinal Λ(t) e seu espectro. 2.4 Convolução Como colocar um elefante dentro de uma garrafa? Bom, fisicamente, isso seria impossível, mas podemos criar um som de um bramido (som que o elefante faz) fazendo ele parecer sair de dentro de uma garrafa. Isso pode ser feito com uma convolução. Se criarmos um impulso dentro da garrafa, ela gera um som, chamado de resposta ao impulso da garrafa, e com combinações ponderadas e atrasadas dessa resposta, podemos criar um bramido, essa combinação é uma convolução entre um bramido e a resposta ao impulso da garrafa. Muitos sinais reais são obtidos através da convolução de outros dois sinais. A integral da convolução é: onde a variável independente é t. v(t) w(t) v(λ)w(t λ)dλ (2.62) A integral também pode ser vista como a superposição de várias respostas de um sistema a impulsos aplicados a ele, como, por exemplo, a reverberação numa sala ou o eco de uma caverna. Uma das funções da integral normalmente é limitada no tempo, o que facilita o seu cálculo. Exemplo: 26

31 2.4. CONVOLUÇÃO CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO As funções a serem convoluídas são: v(t) = A exp( t) 0 < t < w(t) w(t λ) = t T = t λ T = λ t T 0 < t < T 0 < t λ < T t T < λ < t (2.63) Em função de λ, w(t) deve sofrer reversão e deslocamento da origem para o instante = t. Quando t < 0 há v(λ) w(t λ) = 0 para qualquer valor de λ. Logo, nessa situação, v(t) w(t) = 0. Quando 0 < t < T, a superposição é parcial e a integral fica: t ( ) t λ v(t) w(t) = Aexp( λ) dλ 0 T = A (2.64) T [t + exp( t)] Quando T < t, a superposição é completa e a integral fica: t ( ) t λ v(t) w(t) = Aexp( λ) dλ t T T = A (2.65) T [T + exp( T )]exp(t t) Figura 2.5: Sinal v(t) w(t) Teoremas de Convolução A convolução é comutativa: v(t) w(t) = w(t) v(t) associativa: v(t) (w(t) z(t)) = (v(t) w(t)) z(t) distributiva: v(t) (w(t) + z(t)) = v(t) w(t) + v(t) z(t) 27

32 2.4. CONVOLUÇÃO CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO O teorema de convolução diz que: v(t) w(t) V (f) W (f) (2.66) isto é: a convolução no domínio do tempo equivale ao produto no domínio da frequência. Também: v(t) w(t) V (f) W (f) (2.67) isto é: a convolução no domínio da frequência equivale ao produto no domínio do tempo. Prova da primeira parte: F{v(t) w(t)} = = = [ ] v(λ) w(t λ)dλ [ v(λ) = W (f)v (f) exp( j2πf t)dt ] w(t λ)exp( j2πf t)dt dλ v(λ) [W (f)] exp( j2πfλt)dλ (2.68) onde utilizamos os fatos de que v(λ) não depende de t, a propriedade de descolamento no tempo da TF, que W (f) não depende de λ e que na última integral, a variável λ está fazendo o papel de t na transformada de Fourier. Exemplo: pulso trapezoidal Um pulso trapezoidal pode ser obtido com a convolução de dois pulsos retangulares com larguras diferentes: ( ) v(t) = A Π t ( τ ) w(t) = A 2 Π t (2.69) τ 2 τ > τ 2 Assim, v(t) w(t) tem o formato da figura 2.6. v(t)*w(t) τ -τ 2 t =0 t τ +τ 2 Figura 2.6: Resultado da convolução de dois pulsos retangulares com largura diferente 28

33 2.5. IMPULSOS E LIMITES DA TRANSFORMADACAPÍTULO DE FOURIER 2. SINAIS E ESPECTRO A sua TF será então: V (f)w (f) = [A τ sinc(fτ )][A 2 τ 2 sinc(fτ 2 )] (2.70) Quando τ = τ 2 = τ o pulso trapezoidal se reduz a um triangular com largura 2τ e amplitude A = A A 2 τ, resultando na TF já conhecida de um pulso triangular. 2.5 Impulsos e limites da Transformada de Fourier Há sinais com componentes periódicos e não periódicos ao mesmo tempo. Como podemos analisá-los? Solução matemática: permitir impulsos no domínio de frequência. Limites da TF também permitem criar uma representação espectral de impulsos no tempo Propriedades do Impulso Unitário Impulsos unitários ou delta de Dirac δ(t) tem a seguinte propriedade: { v(0), t < 0 < t 2 v(t)δ(t)dt = t 0, c.c t2 (2.7) quando v(t) é contínua em t = 0 A mesma propriedade é válida em frequência, i.e., substituindo t por f. Se v(t) =, com ɛ arbitrariamente pequeno. δ(t)dt = ɛ ɛ δ(t)dt = (2.72) Assim, δ(t) tem área unitária concentrada em t = 0, e δ(t) = 0 para t 0. Representação gráfica na figura 2.7 Fisicamente um sinal deste tipo não pode existir, mas muitas funções existentes tendem ao impulso. Em particular, a função δ ɛ (t) é definida de tal forma que se: então: lim ɛ 0 Duas funções que satisfazem estes limite são: v(t)δ ɛ (t)dt = v(0) (2.73) lim δ ɛ(t) = δ(t) (2.74) ɛ 0 ) δ ɛ (t) = ɛ Π ( t ɛ ) (2.75) δ ɛ (t) = ɛ sinc ( t ɛ Três propriedades de δ(t): Replicação: v(t) δ(t t d ) = v(t t d ) t2 Amostragem: v(t)δ(t t d )dt = v(t t d ). Assim: v(t) δ(t t d ) = v(t d ) δ(t t d ) t Mudança de escala: δ(αt) = α δ(t) 29

34 2.5. IMPULSOS E LIMITES DA TRANSFORMADACAPÍTULO DE FOURIER 2. SINAIS E ESPECTRO δ(t) t=0 t Figura 2.7: Representação gráfica do impulso Impulsos em Frequência Representam fasores ou constantes Por exemplo, quando v(t) = A (uma constante), v(t) tem energia infinita. A princípio, não há TF de fato, mas no limite: v(t) = lim W 0 F{v(t)} = lim W 0 A sinc(2w t) = A ( ) A f 2W Π = Aδ(f) 2W (2.76) Assim, A Aδ(f), isto é, a TF de uma constante é um impulso Intuitivamente esse resultado faz sentido pois uma constante não varia no tempo e toda sua energia deve estar em f = 0 Alternativamente, poderíamos ter feito como abaixo para chegar no mesmo resultado: ( ) t v(t) = lim A Π (2.77) τ τ e chegaríamos a: V (f) = lim Aτsinc(fτ) = Aδ(f) (2.78) τ Utilizando a propriedade da TF de translação em frequência podemos escrever genericamente: A exp(j2πf c t) δ(f f c ) A cos(2πf c t + φ) A 2 [exp(jφ)δ(f f c) + exp( jφ)δ(f + f c )] (2.79) isto é, o espectro contínuo de um fasor é um impulso em f c e o espectro de uma onda senoidal são dois impulsos: 30

35 V(f) v(t) 2.5. IMPULSOS E LIMITES DA TRANSFORMADACAPÍTULO DE FOURIER 2. SINAIS E ESPECTRO Assim, para um sinal periódico com série de Fourier v(t) = c(nf 0 )exp(j2πnf 0 t), a n= sua TF contínua será { } V (f) = F c(nf 0 )exp(j2πnf 0 t) = c(nf 0 )δ(f nf 0 ) (2.80) n= n= Qualquer espectro de linha pode dessa forma ser transformado em um espectro contínuo. A diferença entre os dois é que, para chegar no sinal original, o espectro de linha se soma enquanto que o espectro contínuo deve ser integrado. Exemplo: Impulsos e espectro contínuo: Um sinal no tempo é definido como v(t) = Acos(2πf c t) AΠ( t τ )cos(2πf ct) + AΠ( t τ )cos(4πf ct) O seu formato no tempo para f c = e τ = 2 é aproximadamente mostrado na figura 2.8-(a) Podemos calcular o espectro dos termos que apresentam produtos no tempo através da convolução em frequência. O espectro resultante tem a função abaixo, e mostrado na figura 2.8-(b). V (f) = A 2 [δ(f f c) + δ(f + f c )] Aτ 2 [sinc(f f c) + sinc(f + f c )] + Aτ 2 [sinc(f 2f c) + sinc(f + 2f c )] (2.8) t f. Figura 2.8: Sinal no tempo (a) e em frequência (b) do exemplo, para f c = e τ = 2 3

36 2.5. IMPULSOS E LIMITES DA TRANSFORMADACAPÍTULO DE FOURIER 2. SINAIS E ESPECTRO Função degrau e sinal A função degrau (step) é u(t) {, t > 0 0, t < 0 (2.82) Essa função é de interesse, pois pode ser utilizada para modelar um sinal causal através do produto da função degrau com uma função não causal. Por não ser simétrica em torno da origem, há complicações matemáticas para se calcular a sua TF. Para resolver este problema usamos a função sinal (signum), definida como: sgn(t) = {, t > 0, t < 0 (2.83) que pode ser escrita como um limite: v(t) = exp( bt)u(t) z(t) = lim b 0 [v(t) v( t)] (2.84) Utilizando o resultado do exemplo da seção para uma exponencial causal e que a função sgn(t) tem simetria ímpar, chegamos em: No limite quando b 0 temos: Z(f) = j2v 0 (f) = j4πf b 2 + (2πf) 2 (2.85) j4πf F{sgn(t)} = lim b 0 b 2 + (2πf) 2 = j πf = jπf (2.86) Podemos escrever a função degrau como :u(t) = (sgn(t) + )/2. Utilizando a propriedade da linearidade da TF e que a TF de uma constante é um impulso, temos: F{u(t)} = δ(f) 2 + j2πf (2.87) A TF de sgn(t) não tem um impulso em f = 0, pois a sua média é zero. A TF de u(t) tem um valor médio igual a /2, logo existe um impulso em f = 0. Este impulso também aparece ao aplicarmos o teorema da integração sobre uma função que tem área líquida 0: v(t) u(t) = t v(λ)u(t λ)dλ = v(λ)dλ, pois u(t) = 0 se λ > t [ δ(f) F{v(t) u(t)} = V (f) + ] (2.88) 2 j2πf Logo : t v(λ)dλ V (0)δ(f) 2 [ ] + V (f) j2πf (2.89) 32

37 2.5. IMPULSOS E LIMITES DA TRANSFORMADACAPÍTULO DE FOURIER 2. SINAIS E ESPECTRO Impulsos no tempo Temos que A τ Π ( t τ ) Asinc ( f τ ). No limite quando τ, Aδ(t) A. Isto é, impulsos no tempo contém todas as frequências com a mesma amplitude. Mesmo resultado pode ser obtido utilizando a propriedade da dualidade sobre A Aδ(f). Estes resultados podem ser interpretados da seguinte forma: Sinal com duração zero tem largura espectral infinita. Sinal com duração infinita (constante) tem largura espectral " zero" Ao deslocarmos no tempo temos: Aδ(t t d ) A exp( j2πft d ) (2.90) Como, por definição F {A exp( j2πft d )} = Aδ(t t d ), temos que, para manter consistência: exp(j2πf(t t d ))df = δ(t t d ) (2.9) Essa definição e consequência permite mostrar que: F {V (f)} = [ ] v(λ)exp( j2πft)dλ exp(j2πf t)df = [ ] v(λ) exp(j2πf(t λ))df dλ = v(λ)δ(t λ)dλ = v(t) δ(t) O impulso também tem relação com a função degrau pois: (2.92) t {, t > td δ(t t d )dt = 0, t < td = u(t t d ) (2.93) Logo: δ(t t d ) = d dt u(t t d) (2.94) Essa propriedade permite analisar algumas funções da seguinte forma: sendo v(t) uma função contínua e dn v(t) a primeira derivada de v(t) em que há descontinuidades, então dt n a derivada de ordem n possui impulsos. Logo, podemos escrever a derivada de ordem n da seguinte forma: v d (t) = dn dt n v(t) = w(t) + A k δ(t t k ) (2.95) k Na equação anterior, w(t) representa a parte da função v d (t) sem impulsos. O somatório presente é a soma de impulsos localizados nos instantes t k, com amplitude A k, devido às descontinuidades (degraus) em dn dt n v(t) cujas derivadas resultam nos impulsos de v d (t) Pelo teorema da derivação, se v d (t) = dn dt n v(t), então: F{v d (t)} = V d (f) = V (f) (j2πf) n V d (f)(j2πf) n = V (f) (2.96) Logo: v d (t) = dn dt n v(t) (j2πf)n V (f) = W (f) + k A k exp( j2πft k ) (2.97) 33

38 v(t) dv(t) dt 2.5. IMPULSOS E LIMITES DA TRANSFORMADACAPÍTULO DE FOURIER 2. SINAIS E ESPECTRO Se soubermos o formato de W (f) e os valores de A k e t k, podemos escrever: V (f) = W (f) (j2πf) n + (j2πf) n A k exp( j2πft k ) (2.98) Além disso, se W (f) 0 quando f, o comportamento de V (f) para altas frequências será proporcional a f n. Isto acontece, porque, nestas condições, o termo dominante de V (f) é o somatório, cujos termos têm como módulo A k. O somatório está sendo multiplicado por (j2πf), resultando na proporcionalidade mencionada. n Dizemos que esse espectro terá, então, roll-off de ordem n. Se n é grande, há pouca energia em altas frequências. Se n é pequeno, há mais energia em altas frequências. Um pulso retangular, por exemplo, tem descontinuidades já na sua primeira derivada. Por isso, o roll-off de seu espectro (sinc) tem roll off de ordem (isto é, decaimento de /n). Exemplo: Pulso cosseno levantado (diferente de filtro raiz de cosseno levantado) k Muito utilizado na prática para limitar a banda de um sinal transmitido O sinal base e suas primeiras três derivadas são: v(t) = A ( ( )) ( ) πt t + cos Π 2 ( ) ( τ ( )) 2τ( ) dv(t) π A πt t = sin Π dt τ 2 τ 2τ d 2 ( ) v(t) π 2 ( ( )) ( ) A πt t dt 2 = cos Π τ 2 τ 2τ d 3 ( ) v(t) π 2 ( A π dt 3 = τ 2 [δ(t + τ) δ(t τ)] + τ ) 3 ( A sin 2 ( )) ( ) πt t Π τ 2τ (2.99) t t d 2 v(t) dt d 3 v(t) dt t t Figura 2.9: Cosseno levantado e três primeiras derivadas 34

39 log 0 ( V(f) ) 2.6. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO O último termo da terceira derivada pode ser escrito como π τ no seguinte espectro: { d 3 } ( v(t) π F dt 3 = (j2πf) 3 V (f) = τ 2 dv dt, permitindo chegar ) 2 A 2 [exp(j2πfτ) exp( j2πfτ)] π 2 (j2πf)v (f) τ (2.00) { } dv(t) onde utilizamos também o fato de que F = (j2πf)v (f) dt Isolando V (f) e usando a identidade de Euler chegamos a: V (f) = Aτ sinc(2fτ) (2fτ) 2 (2.0) que decai aproximadamente com f 3, muito mais rápido do que a sinc. A comparação do espectro do pulso cosseno levantado, do pulso retangular e do pulso triangular estão na figura 2.20, para f > 0. Na comparação, todos os pulsos tem a mesma duração de segundo e energia de J Pulso quadrado Pulso triangular Pulso Cosseno levantado f Figura 2.20: Comparação dos espectros dos três pulsos estudados neste capítulo. Tente recriar esta figura, com a restrição que os três pulsos devem ter a mesma duração e a mesma energia. Transmissões que utilizam este pulso contém melhor a energia dentro de uma banda do que a sinc Transformada de Fourier no tempo discreto e Transformada Discreta de Fourier Leitura para o laboratório. Presente na 5a. edição. 2.6 Exercícios 2.6. Exercícios do Livro Communication Systems 5th Edition Questões conceituais: Todas as questões do capítulo 2. 35

40 2.6. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO Problemas: 2.., 2..2, 2..5, 2..8, 2..9, 2..2, 2..3, 2.2., 2.2.4, 2.2.2, 2.2.4, 2.3., 2.3.6, 2.3.8, 2.4., 2.4.5, 2.4.6, 2.4.8, 2.5.2, 2.5.4, 2.5.0, 2.5.3, Outros exercícios. Temos duas funções: x(t) = Π(t) e y(t) = Π(t) + δ(t 2.5) + δ(t + 2.5). Definimos z(t) = x(t) y(t), onde indica a convolução. Calcule: Z(f) z(t) 2. Encontre uma equação para os coeficientes da série de Fourier e esboce o espectro de linha para a função x(t) esboçada na figura 2.2. (Dica: decomponha a função em duas mais simples) Figura 2.2: Função com Série de Fourier a se determinar. 3. Projete um sinal no tempo cujo espectro decai proporcionalmente a f 3 e que não seja nem mesmo parcialmente senoidal. Obtenha a equação do seu espectro. O sinal final deve obrigatoriamente ter média zero. 4. Classifique os sinais abaixo no que se refere sua periodicidade e se são sinais de potência/energia, justificando sucintamente: x(t) do problema anterior; o sinal sonoro do Hino Nacional Brasileiro; o sinal sonoro de um alarme que acorda pessoas de manhã; um sinal x(t) = 48 (cuidado neste item) Uma onda quadrada tem o formato dado pela figura Calcule a potência de v(t). Obtenha os 6 primeiros coeficientes da série de Fourier de v(t). Para isto obtenha uma expressão genérica para o valor do coeficiente em função do seu índice. Dica: Quanto vale a integral de uma função ímpar no intervalo de t a t? Qual é a banda que contém mais do que 56% da energia do sinal? Utilize 4 casas decimais.8 6. Há dois sinais: x (t) = Π(tf c )cos(2πf c t) e x 2 (t) = Π(tf c )sin(2πf c t). Ambos possuem a mesma energia. Qual dos dois sinais possui potencialmente energia mais concentrada no domínio da frequência em torno da origem? Não é necessário desenvolver equações para responder esta questão corretamente. Sugestão: desenhe ambos os sinais no tempo. 36

41 2.6. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO 7. Um sinal não periódico tem transformada de Fourier dada por V (f) = [Aτsinc(fτ)] 3. Obtenha a expressão matemática para a função no tempo e esboce seu formato no tempo, indicando todos os lugares onde os valores de A e τ aparecem. Preste atenção aos valores de amplitude e duração dos pulsos. Figura 2.22: Função da questão. ( ) t 8. Um sinal y(t) = x(t) z(t), onde x(t) = Π e z(t) = sin(2πf c t).qual é a condição τ para que y(t) = 0? 9. Definimos as equações abaixo.: x(t) y(t) z(t) = Π(t) ( t = Π cos(2πt) 2) = x(t) y(t) (2.02) (a) Calcule z(t) pela definição da convolução. (b) Calcule Z(f) como achar apropriado. ( ) ( ) t t + 0. Definimos o sinal x(t) = Π Π. 2 2 (a) Calcule X(f) pela definição. É permitido o uso de tabelas para o cálculo da transformada de Fourier de Π(t) (b) Calcule a transformada de Fourier de X (f) x (t) = dx(t) dt pela definição e mostre a relação entre X (f) e X(f). Simplifique a expressão para X (f) o máximo possível.. Um sinal típico de guitarra distorcida pode ser visto na figura Ele pode ser interpretado como uma onda senoidal com um dos lados " cortado". Assuma que o sinal de guitarra g(t) é uma onda senoidal com amplitude, com a parte positiva limitada em K <. Genericamente teríamos a seguinte equação: g(t) = min[cos(2πf 0 t), K] (2.03) Calcule a série de Fourier deste sinal, assumindo que ele é periódico. 37

42 g(t) 2.6. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO t Figura 2.23: Exemplo de um sinal g(t) com frequência f = e K = 0.5. Estes valores são diferentes para a pergunta 38

43 Capítulo 3 Transmissão de Sinais, Filtros O objetivo deste capítulo é que, ao final dele, possamos modelar e analisar as alterações sobre os sinais provocadas por: transmissão do sinal através de um canal; manipulações propositais do sistema (filtragem); através da resposta ao impulso de um sistema, no tempo e em frequência. Apresentamos também o conceito de densidade espectral e como esta se comporta através de um sistema. 3. Resposta de sistemas LTI (Linear Time-Invariant) Um sistema é uma caixa preta com x(t) = sinal de entrada y(t) = sinal de saída. A grandeza destes sinais depende do contexto Um sistema é definido pela relação entre entrada e saída, definida genericamente como a aplicação do operador F à entrada. x(t) Sistema F[] y(t) Figura 3.: Sistema 39

44 3.. RESPOSTA DE SISTEMAS LTI CAPÍTULO (LINEAR TIME-INVARIANT) 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS 3.. Resposta ao Impulso e Integral por Superposição Se o sistema não possui nenhuma energia armazenada, a relação entrada/saída pode ser escrita como: y(t) = F[x(t)] (3.) onde F é um operador que relaciona a entrada com a saída. Para um sistema ser LTI, ele deve ser Linear e TI (time-invariant, ou seja, invariante no tempo) A parte da linearidade exige que, se x(t) = k a k x k (t), com a k constantes, então: y(t) = k a k F[x k (t)] (3.2) A parte de invariabilidade no tempo exige que: F[x(t t d )] = y(t t d ) (3.3) isto é, um deslocamento no tempo na entrada causa somente o mesmo deslocamento na saída. Sistemas com elementos discretos combinados (resistor, capacitor, indutor) geram equações do tipo: d n y(t) dy(t) d m x(t) a n dt n + + a + a 0 y(t) = b m dt dt m + + b dx(t) + b 0 x(t) (3.4) dt com constantes que dependem dos valores dos elementos discretos. O valor de n depende do número de elementos que armazenam energia É difícil de obter uma expressão direta para y(t) em função da entrada sem recorrer ao fato de que este sistema é LTI. Uma relação explícita entre entrada e saída vem da resposta ao impulso h(t), definida como: h(t) F[x(t) = δ(t)] (3.5) Como qualquer sinal contínuo x(t) pode ser escrito como x(t) = x(t) δ(t), temos que, para qualquer x(t) contínuo, a saída pode ser escrita como: y(t) = F[x(t)] = F[x(t) δ(t)] = F[ x(λ)δ(t λ)dλ] Usando a propriedade da linearidade e sendo x(λ) constantes, = x(λ)f[δ(t λ)]]dλ Usando a propriedade de invariância no tempo, = = = x(t) h(t) x(λ)h(t λ)dλ h(λ)x(t λ)dλ (3.6) 40

45 3.. RESPOSTA DE SISTEMAS LTI CAPÍTULO (LINEAR TIME-INVARIANT) 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS A última integral é a integral por superposição ela é extremamente útil pois podemos descobrir a resposta do sistema com base em uma única informação, h(t), e e não precisamos fazer muitas contas, basta resolvermos a convolução. Além disso não precisamos saber como o sistema foi construído e também evitamos trabalhar com derivadas. Para analisarmos um sistema precisamos então de h(t) Dado um sistema, é fisicamente impossível gerar um impulso como δ(t) é definido. Determinação de h(t) pode ser feita utilizando uma entrada x(t) = u(t), o que gera uma saída g(t): g(t) F[x(t) = u(t)] h(t) = dg(t) (3.7) dt pois dg(t) dt = d[h(t) u(t)] dt = h(t) du(t) dt Exemplo: Resposta de um sistema de ordem = h(t) δ(t) = h(t) (3.8) A entrada do sistema é tensão x(t) e a saída é tensão y(t). Qual é a saída quando a entrada é um pulso retangular com amplitude A e largura τ? Considere a equação do sistema (tensão): RC dy(t) + y(t) = x(t) (3.9) dt Quando ( a( entrada é um degrau u(t), a saída é encontrada como sendo g(t) = exp t )) u(t). RC Logo, a resposta ao impulso é h(t) = dg(t) dt = ( RC exp t ) RC (3.0) A resposta do sistema para qualquer entrada x(t) pode agora ser obtida via convolução. Para o pulso retangular em questão: a saída é definida por três equações: 0, t < 0 ( ( y(t) = A exp t )), 0 < t < τ ( ( RC A exp τ )) ( exp t τ RC RC ), t > τ (3.) 3..2 Função de Transferência e Resposta ao Impulso Na presença de um sistema, a análise temporal dos sinais pode ficar mais complicada. Análise em frequência fornece geralmente perspectiva melhor. Análise pode ser feita via função de transferência, definida como: H(f) isto é, a TF da resposta ao impulso no tempo, quando existir. Se h(t) for real então H(f) terá simetria Hermitiana. h(t)exp( j2πf t)dt (3.2) 4

46 y(t) h(t) g(t) x(t) 3.. RESPOSTA DE SISTEMAS LTI CAPÍTULO (LINEAR TIME-INVARIANT) 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS x(t) R y(t) C t Figura 3.2: Sistema de ordem do exemplo. Para interpretar H(f), vamos supor que a entrada é x(t) = A x exp(jφ x )exp(j2πf 0 t), para < t < que é um fasor com fase φ x e frequência f 0. Assim: y(t) = x(t) h(t) = h(λ)a x exp(jφ x )exp(j2πf 0 (t λ))dλ = A x exp(jφ x )exp(j2πf 0 t) = A x exp(jφ x )exp(j2πf 0 t)h(f 0 ) h(λ)exp( j2πf 0 λ)dλ (3.3) Escrevendo H(f 0 ) = H(f 0 ) exp(j arg[h(f 0 )]), teríamos y(t) = A y exp(jφ y )exp(j2πf 0 t), onde A y = A x H(f 0 ) e φ y = φ x + arg[h(f 0 )]. Como A y A x = H(f 0 ), H(f) é o ganho em amplitude do sistema em função da frequência Como φ y φ x = arg[h(f 0 )], arg[h(f)], é o desvio de fase do sistema em função da frequência Logo, H(f) é a resposta em frequência do sistema Seja x(t) X(f). Como y(t) = x(t) h(t), temos, pelo teorema da convolução, que: Y (f) = X(f)H(f) (3.4) onde Y (f) é o espectro da saída, obtido como o produto do espectro de entrada X(f) com a função de transferência H(f). Alternativamente, Y (f) = X(f) H(f) e arg[y (f)] = arg[x(f)] + arg[h(f)] Se x(t) tem energia finita, podemos obter a energia de y(t) via: E y = Y (f) 2 df = H(f) 2 X(f) 2 df (3.5) Quando x(t) = δ(t), X(f) =, uma constante em todas as frequências. Y (f) = H(f) Neste caso, 42

47 3.. RESPOSTA DE SISTEMAS LTI CAPÍTULO (LINEAR TIME-INVARIANT) 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS Resumindo, temos as relações dadas pela figura 3.3: x(t) h(t) y(t)=x(t)*h(t) domínio do tempo domínio de frequência X(f) H(f) Y(f)=X(f) H(f) Figura 3.3: Relação entre variáveis. Podemos obter H(f), sem envolver h(t) Quando sabemos a equação diferencial relacionando a entrada e saída, temos : H(f) = b m(j2πf) m + + b (j2πf) + b 0 a n (j2πf) n + + a (j2πf) + a 0 (3.6) Um outro caminho é calcular o estado estacionário do sistema em resposta a um fasor, o que nos permitiria obter a relação entre amplitudes e fases entre saída e entrada. Por exemplo, se a entrada de um sistema for um fasor com fase e frequência conhecida, a saída será, após um tempo muito grande, um fasor com fase e frequência mensurável. Exemplo: Resposta em frequência de um sistema com ordem O mesmo sistema do exemplo anterior pode ser visto como duas impedâncias Z r e Z c em série, a saída sendo a tensão sobre Z c. A saída y(t) tem relação estacionária com a entrada dada pelo divisor de tensão formado, que tem equação: y(t) y(t) x(t) = x(t) Z c Z r + Z c = Z r Z r + Z c = j2πfc R + j2πfc (3.7) = = + j2πfcr + j (f/b) = H(f) 43

48 3.. RESPOSTA DE SISTEMAS LTI CAPÍTULO (LINEAR TIME-INVARIANT) 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS onde B é o parâmetro do sistema 2πRC O ganho em amplitude e desvio de fase são: H(f) = + (f/b) 2 arg[h(f)] = arctan(f/b) (3.8) Este sistema é um filtro passa baixas com parâmetro B pois o ganho é praticamente unitário para f << B e muito baixo (<< ) para f >> B O parâmetro B é uma medida de banda de passagem, ou seja, quais frequências este sistema permite passar por ele. Se a entrada x(t) é um sinal com banda W, isto é, o conteúdo espectral é desprezível para f > W, então há três cenários possíveis:. W << B H(f) e arg[h(f)] 0. Assim, Y (f) = H(f) X(f) X(f) e o sinal não é distorcido. A saída tem o formato de x(t). 2. W B, então Y (f) = H(f) X(f) X(f) e há distorção. A saída tem não tem o formato nem de x(t) ou de y(t) 3. W >> B. Dentro da banda B do sistema, X(f) X(0), isto é, o espectro X(f) varia pouco dentro da banda B e pode ser aproximado pelo seu valor em f = 0. Assim, Y (f) = H(f) X(f) H(f) X(0). Nesta situação, X(0) pode ser aproximado por um impulso no tempo. Logo, y(t) x(t) h(t) δ(t) h(t) = h(t). A saída tem o formato de h(t) Análise por diagrama de Blocos Sistemas podem ser obtidos e/ou analisados por blocos menores representando equações mais simples: Operação no tempo Expressão no tempo Função de transferência Multiplicação por escalar y(t) = ±Kx(t) H(f) = ±K Derivada y(t) = dx(t) H(f) = (j2πf) dt Integração y(t) = t x(t)dt H(f) = (j2πf) Deslocamento no tempo y(t) = x(t t d ) H(f) = exp( j2πft d ) Tabela 3.: Relações entre operações e Funções de transferência É possível combinar blocos para obter resposta do sistema Por hipótese, juntar blocos não altera as respostas dos mesmos, o que não é sempre válido na prática por causa das interações de impedância de entrada e saída com o comportamento do bloco. Algumas combinações possíveis: Ligação em paralelo: H(f) = H (f) + H 2 (f) Ligação em série: H(f) = H (f) H 2 (f) Realimentação (negativa): Y (f) = H (f)[x(f) H 2 (f)y (f) [ ] H (f) Y (f) = X(f) + H (f) H 2 (f) (3.9) 44

49 3.2. DISTORÇÃO DE SINAIS DURANTE CAPÍTULO TRANSMISSÃO 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS Logo, H(f) = H (f) + H (f) H 2 (f) H (f) H 2 (f) Ligação em Série H (f) H 2 (f) H (f) H 2 (f) Ligação em Paralelo Realimentação negativa Figura 3.4: Ligações possíveis 3.2 Distorção de Sinais durante Transmissão Um canal é um sistema de transmissão que: Dissipa energia, causando atenuação; Acumula energia, causando alteração no formato dos sinais que passam por ele Assumindo que o canal é um sistema LTI (nem sempre verdade), quando não haverá distorção? 3.2. Transmissão sem Distorção Dado x(t), y(t) é uma versão não distorcida de x(t) se: y(t) = K x(t t d ) (3.20) isto é, se x(t) sofre somente um atraso no tempo e uma multiplicação por um escalar, ambos constantes. Em frequência a relação anterior equivale a: Y (f) = K X(f) exp( j2πft d ) (3.2) isto é, um canal sem distorção causa, no domínio da frequência, um ganho constante K e um desvio de fase linear de 2πft d ± 80 o. É necessário que o sistema H(f) tenha estas propriedades somente na faixa de frequência de interesse, pois fora dela o sinal de entrada não existe Sistemas que não respeitam esta regra podem causar distorção, que podem ser classificadas em : Distorção em amplitude: H(f) K Distorção em fase: arg[h(f)] 2πft d ± 80 o Distorção não linear, como por exemplo um diodo. Este tipo de distorção pode gerar conteúdo energético em frequências que o sinal originalmente não ocupa. 45

50 Sem termo em f 0 x(t) 3.2. DISTORÇÃO DE SINAIS DURANTE CAPÍTULO TRANSMISSÃO 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS Distorção Linear Inclui a distorção de amplitude e distorção de fase: A distorção de amplitude é causada por: Excesso de atenuação ou amplificação de algumas frequências Resposta desproporcional Na maioria dos casos, é suficiente que a resposta em amplitude do sistema seja plana em amplitude na faixa de interesse Exemplo: x(t) = cos(2πf 0 t) 3 cos(6πf 0t) + 5 cos(0πf 0t) O resultado é uma onda aproximadamente quadrada Atenuação em baixa frequência afeta termo em f 0, resultando em uma onda quadrada que não consegue manter o seu nível Atenuação em alta frequência afeta termo em 5f 0, resultando em uma onda que sobe lentamente. A onda original e as duas versões atenuadas estão na figura Sem termo em 5f t Figura 3.5: Resultado de eliminação seletiva de termos da Série de Fourier de uma onda aproximadamente quadrada A distorção de fase acontece quando o desvio de fase não é linear em função da frequência. Para um sinal x(t) = cos(2πft), um atraso em t d resultaria em y(t) = x(t t d ) = cos[(2πf)(t t d )] = cos(2πft 2πft d ). Logo, o atraso de fase é φ(f) = 2πft d. O valor de t d pode variar em função de f. Assim, se H(f) causa um desvio de fase, a função que relaciona t d em função de f e arg[h(f)] é: t d (f) = arg[h(f)] (3.22) 2πf 46

51 x(t)' x(t) 3.2. DISTORÇÃO DE SINAIS DURANTE CAPÍTULO TRANSMISSÃO 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS Para que não haja distorção, o atraso temporal em todas as frequências deve ser o mesmo, isto é, t d (f) deve ser constante. Caso isto seja verdade, o desvio de fase do sistema será linear em f. Há uma grande diferença entre dizer que t d (f) é constante e dizer que φ(f) é constante. No segundo caso, temos um atraso de fase constante, o que causa distorção. Exemplo: Sinal : x(t) = cos(2πf 0 t) 2 cos(4πf 0t) Atraso de fase constante de π/2, resultando em, como mostra a figura 3.6 x (t) = cos(2πf 0 t + π/2) 2 cos(4πf 0t + π/2) (3.23) No sinal original, os picos não coincidem. No sinal distorcido, os picos coincidem. Logo, há alteração de formato t Figura 3.6: Resultado de adição de fase constante a cada um dos termos de um sinal periódico. Em azul o sinal resultante Atraso de Grupo Em algumas situações, o atraso de fase pode ser linear em torno de um ponto central. Neste caso, para um canal com resposta em frequência plana, a equação da resposta é do tipo: H(f) = A exp( j2πft g + jφ 0 ) (3.24) Neste caso arg[h(f)] = 2πft g + φ 0. Para um sinal modulado transmitido do tipo: x(t) = x (t)cos(2πf c t) x 2 (t)sin(2πf c t) (3.25) a informação está nas funções x (t) e x 2 (t), enquanto que o seno e o cosseno que estão multiplicando estas funções são chamadas de portadoras. 47

52 3.3. PERDAS DE TRANSMISSÃO CAPÍTULO E DECIBÉIS3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS Este sinal, ao passar pelo sistema com resposta acima, resultaria em: y(t) = Ax (t t g )cos(2πf c (t t g ) + φ 0 ) Ax 2 (t t g )sin(2πf c (t t g ) + φ 0 ) (3.26) onde o termo φ 0 foi absorvido pelas portadoras. Assim, a informação foi atrasada em t g, denominado atraso de grupo ou atraso de envoltória. A portadora foi atrasada em t d = φ 0 2πf c, que é o atraso de fase. Para ser possível recuperar a informação sem distorção, t g deve ser constante. Pelas equações anteriores, arg[h(f)] = 2πft g + φ 0 dφ(f) = 2πt g df t g = dφ(f) 2π df (3.27) O último termo deve ser constante dentro da faixa de interesse, o que é uma restrição menor do que a restrição de que t d deve ser constante. Para resolver o problema de distorção linear, podemos utilizar em algumas situações um equalizador. Um dos métodos é utilizar um sistema com resposta em frequência igual a H(f). Este método é chamado Zero Forcing Equalizer. As vezes H(f) não é conhecido ou varia no tempo, lentamente ou rapidamente. Neste caso podemos utilizar um equalizador adaptativo ou algum outro tipo de solução. Distorções não lineares geram harmônicos. Se estes estiverem na banda do sinal, eles interferirão de forma possivelmente irreversível. 3.3 Perdas de transmissão e Decibéis Leitura para casa. 3.4 Filtros e Filtragem Na prática todo sistema de comunicação tem filtros para: Isolar o sinal desejado Eliminar interferências Reduzir ruído ao mínimo Outras atividades Há filtros reais, que podem ser implementados de forma causal e resultando em atraso finito, e ideais, que não podem. O entendimento de filtros ideais ajuda a entender filtros reais e as implicações de suas limitações. 48

53 3.4. FILTROS E FILTRAGEM CAPÍTULO 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS 3.4. Filtros Ideais Não causam distorção numa faixa de frequências Tem ganho igual a zero nas outras faixas Por exemplo, um filtro passa faixas (BPF - Band Pass Filter) teria a seguinte resposta em frequência: { Kexp( j2πftd ), f l f f u H BP F (f) = (3.28) 0, c.c o que equivale ao formato das figura 3.7. H(f) =K B f f l f u arg[h(f)]=exp(-j2πft d ) Figura 3.7: Resposta em frequência de um filtro BP ideal. É importante explicar a figura 3.7 vista acima. Nela a parte colorida, cor salmão, representa a faixa das frequências que o filtro permite passar, fora dessa área todas as frequências serão barradas, dessa forma o B representa a banda de passagem. A altura do retângulo é o ganho de tensão e a linha tracejada o argumento, dado em função de f. Com esses valores, você filtra as frequências indesejadas mas gera um ganho em amplitude e um atraso no domínio do tempo. A banda passante é definida como B f u f l, medido por convenção somente nas frequências positivas. Um filtro passa baixas (LPF) tem f l = 0, resultando na resposta em frequência: H LP F (f) = { Kexp( j2πftd ), f B 0, c.c (3.29) Um filtro passa altas (HPF) teria f u =, resultando na resposta em frequência: H HP F (f) = { Kexp( j2πftd ), f > f l 0, c.c (3.30) 49

54 3.4. FILTROS E FILTRAGEM CAPÍTULO 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS Também podemos utilizar o filtro rejeitor de faixa (BRF - Band Reject Filter), que é definido como: { 0, fl f f u H BRF (f) = (3.3) Kexp( j2πft d ), c.c Nenhum destes filtros é fisicamente realizável, isto é, não podem ser implementados com recursos finitos. Por exemplo, um filtro LPF com resposta em frequência: ( ) f H(f) = K exp( j2πft d )Π 2B (3.32) teria como resposta ao impulso (conforme a figura 3.8: h(t) = F {H(f)} = 2 B K sinc[2b(t t d )] (3.33) t Figura 3.8: LPF ideal com B = /2, k = e t d = 4 Assim, h(t) 0 para t < 0, o que o torna não causal. O sistema teria que responder ao impulso antes dele acontecer. Não poderíamos tornar o filtro causal aumentando o atraso t d pois a duração de h(t) também é infinita. Logo, este filtro é fisicamente impossível. Embora estes filtros seja impraticáveis, eles são úteis para analisar filtros reais. Também servem como referência para desempenho de filtros reais. Alguns filtros reais podem ser aproximados muito bem por estes filtros ideais. Neste curso utilizaremos filtros ideais Sinais limitados no tempo ou em frequência Um sinal v(t) é limitado em frequência se V (f) = 0 para f > W, para algum valor de W. Um sinal v(t) é limitado no tempo se v(t) = 0 para t < t, t > t 2 e v(t) 0 para t < t < t 2, isto é, o sinal começa em t e termina em t 2. Ao filtrar um sinal limitado no tempo utilizando um filtro ideal, o sinal resultante não é limitado no tempo, pois ele é obtido pela convolução de um sinal limitado no tempo com um sinal ilimitado no tempo (sinc) 50

55 3.5. FILTROS DE QUADRATURACAPÍTULO E TRANSFORMADA 3. TRANSMISSÃO DE HILBERT DE SINAIS, FILTROS Pela propriedade da dualidade, ao limitar um sinal idealmente no tempo, o sinal resultante será ilimitado em frequência. A conclusão é que a limitação simultânea de um sinal no tempo e em frequência é impossível. Por outro lado, conteúdo (energia) além de um certo limite (de tempo ou frequência) pode ser negligível. Assim, um sinal pode ser aproximadamente limitado no tempo e em frequência ao mesmo tempo. 3.5 Filtros de Quadratura e Transformada de Hilbert Úteis quando desejamos separar sinais pela fase. Serão utilizados na modulação AM O filtro de quadratura: adianta em 90 o frequências negativas adianta em 90 0 frequências positivas Em frequência esta definição equivale a : H q (f) = j sgn(f) = { j, f > 0 j, f < 0 (3.34) No tempo, partindo da transformada de Fourier da função sinal, a definição acima equivale a: H q (f) = j sgn(f) πt = h q(t) (3.35) Quando y(t) = x(t) h q (t), dizemos que y(t) é a transformada de Hilbert (TH) de x(t), notação ˆx(t) 2 : ˆx(t) x(t) πt = x(λ) dλ (3.36) π t λ Embora chamemos esta operação de transformada, o domínio de ˆx(t) continua sendo o tempo. O cálculo desta integral é complicado, em particular quando t = λ. h q (t) é não causal. Logo, não é realizável. Pode ser aproximado. Propriedades úteis desta transformada: x(t) e ˆx(t) tem a mesma amplitude em frequência pois j sgn(f) = Se ˆx(t) é a TH de x(t), então x(t) é a TH de ˆx(t). sng(t) jπf 2 Esta definição pode conter ou não o sinal negativo, que utilizamos e adotamos por convenção. Caso o sinal não esteja presente, o resultado será o inverso. Entretanto, no escopo deste curso e na maioria dos livros de Telecomunicações, o sinal negativo será utilizado. 5

56 x( ), h(-( -t)) 3.5. FILTROS DE QUADRATURACAPÍTULO E TRANSFORMADA 3. TRANSMISSÃO DE HILBERT DE SINAIS, FILTROS x(t) e ˆx(t) são ortogonais, isto é, Exemplo: TH de um cosseno: T/2 lim T T/2 x(t)ˆx(t)dt = 0 (3.37) Sinal x(t) = Acos(2πf c t) X(f) = A 2 [δ(f f c) + δ(f + f c )] ˆX(f) = ja 2 [δ(f f c) + δ(f + f c )]sgn(f) (3.38) = ja 2 [δ(f f c) δ(f + f c )] Assim, ˆx(t) = Asin(2πf c t). Este resultado pode ser utilizado para qualquer o cálculo da TH de qualquer sinal periódico. Exemplo: TH de um pulso retangular. x(t) = A[u(t) u(t τ)] A integral pode ser calculada para três regiões, como mostra a figura t A B t C t τ Figura 3.9: Sobreposição de x(λ)(azul) com h(t λ)(preto) Para 0 < t < τ, a área A cancela a área B, e a TH se reduz ao cálculo da área C: 2 ˆx(t) = x(λ) π t λ dλ τ A = 2t π t λ dλ = A τ π ln[t λ] = A [ π ln t τ t ] 2t (3.39) 52

57 x(t); ^x(t) 3.6. CORRELAÇÃO E DENSIDADECAPÍTULO ESPECTRAL 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS Para τ < t < τ, a situação é semelhante, resultando na mesma integral com limites 2 de 0 a τ 2t Para t < 0 ou t > τ, não há cancelamento de áreas, mas há uma única parte da 2 integral: ˆx(t) = A τ π 0 t λ dλ = A [ ] π ln t (3.40) t τ O sinal resultante está na figura t Figura 3.0: Resultado da transformada de Hilbert de x(t). Os instante onde ˆx(t) vai para infinito são os extremos de distorção de fase. Isto pode ser interpretado como o instante em que os picos amplitude de todos os termos da Transformada de Fourier se combinam de forma construtiva no tempo, enquanto que no sinal original o que ocorre é a combinação de todas as bordas dos termos da Transformada de Fourier para causar a descontinuidade no tempo. 3.6 Correlação e Densidade Espectral Permitem analisar vários tipos de sinais, inclusive sinais aleatórios 3.6. Correlação de sinais de potência Sinais de potência não precisam necessariamente serem reais ou periódicos, mas precisam ter 0 < P v <, onde: P v v(t) 2 = v(t) v (t) (3.4) onde indica a média e v (t) é o complexo conjugado de v(t) Propriedades da média : z (t) = z(t) 53

58 3.6. CORRELAÇÃO E DENSIDADECAPÍTULO ESPECTRAL 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS z(t t d ) = z(t), t d a z (t) + a 2 z 2 (t) = a z (t) + a z (t) Se v(t) e w(t) são sinais de potência, o produto escalar deles é v(t) w (t) e serve como uma medida de similaridade entre eles. Esta medida vem da desigualdade de Schwarz, que diz: v(t) w (t) 2 P v P w (3.42) com igualdade se v(t) = aw(t), com a constante, i.e., sinais são proporcionais. A correlação cruzada é definida como sendo: R vw (τ) v(t) w (t τ) = v(t + τ) w (t) (3.43) isto é, o produto escalar de um sinal com o outro conjugado de outro sinal adiantado em τ variável independente. É uma medida de semelhança entre v(t) e w (t τ). Versão aproximada do produto escalar. Temos também que R vw (τ = 0) v(t) w (t) Também podemos definir a correlação cruzada para sinais aleatórios de potência. Neste caso, teríamos, para v(t) e w(t) aleatórios: R vw (τ) E{v(t) w (t τ)} (3.44) onde E{v(t)} indica a esperança de v(t), para todas as realizações possíveis. 3 Propriedades: R vw (τ) 2 P v P w R vw (τ) = R vw( τ) A autocorrelação é a correlação de um sinal com ele mesmo, atrasado: R v (τ) v(t) v (t τ) = v(t + τ) v (t) (3.45) É uma medida de similaridade ou dependência estatística: se R v (τ) é grande, v(t) é parecido com v(t τ), caso contrário, não é. Propriedades : R v (0) = P v R v (τ) R v (0) R v ( τ) = R v(τ) As duas primeiras propriedades dizem que o máximo da autocorrelação é na origem. A terceira nos diz que a autocorrelação tem simetria Hermitiana. Se v(t) for real, R v (τ) será real com simetria par Se v(t) for periódico, R v (τ) também será. 3 Esta definição é válida quando v(t) e w(t) são estacionários no sentido amplo, cujo entendimento não é necessário neste momento. 54

59 3.6. CORRELAÇÃO E DENSIDADECAPÍTULO ESPECTRAL 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS Seja z(t) = v(t) ± w(t). Então: R z (τ) = R v (τ) + R w (τ) ± [R vw (τ) + R wv (τ)]. Se v(t) e w(t) são descorrelacionados para qualquer τ, então: e consequentemente R z (τ) = R v (τ) + R w (τ) Quando τ = 0 temos, para sinais descorrelacionados: R vw = R wv = 0, τ (3.46) R z (0) = R v (0) + R w (0) P z = P v + P w (3.47) isto é, sinais descorrelacionados não cancelam as suas potências. Exemplo: correlação de fasores e senoides. Para dois fasores com frequências f e f 2, a correlação cruzada é, quando τ = 0: exp(j2πf t) exp(j2πf 2 t) T 2 = lim T T T 2 exp([2π(f f 2 )]dt {, f = f 2 = lim T sinc[t (f f 2 )] = 0, c.c. (3.48) Com fasores v(t) = C v exp(j2πf v t) e w(t) = C w exp(j2πf w t), temos: R vw (τ) = [C v exp(j2πf v t)][cwexp( j2πf w (t τ))] = C v Cwexp(j2πτf w ) exp(j2πf v t) exp(j2πf w t) { 0, fv f w = C v C wexp(j2πτf w ), f v = f w (3.49) i.e., fasores com frequências diferentes são descorrelacionados. A autocorrelação é R v (τ) = R vv (τ), que vale: Quando temos senoides, chegamos a: R v (τ) = C v 2 exp(j2πf v τ) (3.50) z(t) = Acos(2πf 0 t + φ) R z (τ) = A2 2 cos(2πf 0τ) (3.5) i.e., R z (τ) é real, par, periódico, tem máximo em τ = 0± 2mπ, m inteiro, e o máximo vale P z. A fase φ não aparece em R z (τ). Logo, não é possível determinar z(t) a partir de R z (τ) Correlação de sinais de Energia Definições anteriores não servem para sinais de energia pois médias tenderiam a zero. Pequenas modificações matemáticas são necessárias. Um sinal v(t) é de energia se 0 < E v <, onde E v é: E v 55 f 0 v(t)v (t)dt (3.52)

60 3.6. CORRELAÇÃO E DENSIDADECAPÍTULO ESPECTRAL 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS A correlação de dois sinais de energia é: R vw (τ) v(t)w (t τ)dt R v (τ) R vv (τ) (3.53) A integral acima possui as mesmas propriedades matemáticas da média temporal, gerando assim resultados semelhantes. Para qualquer par de sinais: R vw (τ) 2 E v E w (3.54) A correlação também é semelhante a uma convolução, onde τ é a variável independente e t é a variável dummy utilizada. Assim: R vw (τ) = v(τ) w ( τ) R v (τ) = v(τ) v ( τ) (3.55) Uma das consequências é que, se quisermos determinar por quanto um sinal v(t) foi atrasado, devemos filtra-lo por um filtro cuja reposta ao impulso é o complexo conjugado revertido do sinal. Este filtro é chamado de filtro casado. A TF permite relações adicionais: R v (0) = R vw (0) = v(t)v (t)dt = E v = v(t)w (t)dt = E v = V (f) 2 dt V (f)w (f)df (3.56) Combinado estes termos obtemos a desigualdade de Schwarz no domínio da frequência: R vw (0) 2 E v E w = R v (0)R w (0) V (f)w 2 (f)df V (f) 2 df + e novamente com igualdade se os sinais forem proporcionais W (f) 2 df (3.57) Este método permite o reconhecimento de padrões, como por exemplo o utilizado no GPS Correlações e sistemas Para um sistema h(t) com entrada x(t) e saída y(t), podemos ter interesse em R xy (τ) e R y (τ), a partir de R x (τ). Sabemos que y(t) = x(t) h(t). Assim: R yx (τ) = = = = = y(t)x (t τ)dt [x(t) h(t)] x (t τ)dt h(λ)x(t λ) x (t τ)dλdt h(λ) h(λ)r x (τ λ)dλ = h(τ) R x (τ) x(t λ) x (t τ)dtdλ (3.58) 56

61 3.6. CORRELAÇÃO E DENSIDADECAPÍTULO ESPECTRAL 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS Como R y (τ) = y(t)y (t τ)dt, obtemos utilizando um caminho semelhante: R y (τ) = = = = h (λ) y(t)h (λ)x (t τ λ)dλdt h (λ)r yx (τ + λ)dλ h ( λ)r yx (τ λ)dλ = h ( τ) R yx (τ) = R y (τ) y(t)x (t τ λ)dtdλ (3.59) Substituindo o resultado anterior obtemos: Função de Densidade Espectral R y (τ) = h ( τ) h(τ) R x (τ) (3.60) Representam a distribuição de potência ou energia no domínio da frequência Notação: G v (f) para um sinal v(t) Área sob G v (f) é igual a potência/energia média do sinal: G v (f)df = R v (0) (3.6) Dado o sistema anterior e H(f) = F{h(t)}, a relação entre densidades é: G y (f) = H(f) 2 G x (f) (3.62) Assim o valor H(f) 2 indica o ganho em potência/energia do sinal. Fisicamente, ao amplificar um sinal em amplitude por H(f), a sua potência será amplificada por H(f) 2 Combinando as duas equações acima chegamos a : A interpretação física é: R y (0) = Um sinal com G x (f) qualquer; H(f) 2 G x (f)df (3.63) passando por um filtro passa faixas com ganho unitário muito estreito, com faixa f; resultará na saída de seguinte densidade espectral (representada na figura 3.6.4): G G y (f) x (f), f c f 2 < f < f c + f 2 0, c.c. (3.64) Com f muito pequeno, G x (f) G x (f c ) dentro da banda de largura f, e R y (0) G x (f c ) f. Como a unidade de R y (0) deve ser potência ou energia e a unidade de f deve ser Hertz, a unidade de G x (f c ) e de G y (f) deve ser Watts/Hertz ou Joules/Hertz. Este valor deve então ser real e não negativo 57

62 3.6. CORRELAÇÃO E DENSIDADE CAPÍTULO ESPECTRAL 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS G G f Figura 3.: Interpretação física para densidade espectral. Determinação de Gv (f ) a partir de v(t) é feita pelo teorema de Wiener-Kinchine, que apresentamos sem demonstração: Gv (f ) = Fτ {Rv (τ )}, Z Rv (τ )exp( j2πf τ )dτ (3.65) A relação inversa é: Rv (τ ) = F {Gv (f )}, Z Gv (f )exp(j2πf τ )dτ (3.66) Resultando no par: Rv (τ ) Gv (f ) (3.67) Se v(t) é um sinal de energia, as equações acima resultarão em: Gv (f ) = V (f ) 2 (3.68) Se v(t) é um sinal de potência periódico com série de Fourier X v(t) = c(nf0 )exp(j2πnf0 ) (3.69) n=, então a sua densidade espectral de potência será: Gv (f ) = X c(nf0 ) 2 δ(f nf0 ) (3.70) n= o que tem relação com o teorema de Parseval. Para o caso particular onde v(t) = Acos(2πf0 t + φ), temos: ( Gv (f ) = F A2 2! ) cos(2πf0 τ ) A2 = [δ(f f0 ) + δ(f + f0 ) 4 58 (3.7)

63 3.7. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS 3.7 Exercícios 3.7. Exercícios do Livro Communication Systems 5th Edition Questões conceituais: 3.9, 3.0, 3.2, 3.3, 3.5. Problemas: 3.., 3..5, 3..6, 3..9, 3..0, 3..8, 3..9, 3..20, 3.2., 3.2.4, 3.2.8, 3.4., 3.4.2, 3.5., 3.5.2, 3.5.5, 3.6.3, 3.6.6, 3.6.3, Outros exercícios. Um sinal x(t) tem as seguintes propriedades: em qualquer instante, x(t) é uma variável aleatória contínua com distribuição Gaussiana. a densidade espectral de potência de x(t) é constante e vale Ψ. O sinal x(t) passa por um filtro passa baixas ideal com frequência de corte B. Na banda de passagem, o módulo do filtro é. O filtro não altera a fase do sinal de entrada. Na saída do filtro está a variável y(t). (a) Qual é a função de autocorrelação de x(t)? (b) Em qualquer instante, qual é a distribuição de y(t)? Justifique com argumentos (ou matematicamente, se julgar necessário). (c) Qual é a função de autocorrelação de y(t)? 2. Um sistema possui resposta ao impulso h(t) = sinc(t). Este sistema é alimentado por um sinal de potência x(t) cuja correlação é R xx (τ) = δ(τ). Calcule a densidade espectral de potência na saída do sistema. Esboce o seu formato. Calcule a potência total na saída do sistema. 3. Qual é a densidade espectral de potência de uma onda triangular dada pela figura abaixo? O que aconteceria com este sinal no tempo e em frequência se ele passasse por um filtro cuja resposta em frequência fosse igual a H(f) = f? Se necessário, use: x sin(ax)dx = sin(ax) a 2 x cos(ax) + C, e x cos(ax)dx = cos(ax) a a 2 + x sin(ax) + C a 4. Um sinal aleatório de potência n(t) tem autocorrelação igual a δ(τ). Ele passa por um filtro passa baixas ideal com frequência de corte W, gerando o sinal z(t). (a) Calcule a potência de z(t) 59

64 3.7. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS (b) Qual deve ser o valor de t para que R z (τ = n t) seja igual a zero, para n inteiro, n 0? 5. Um amplificador possui resposta em frequência H(f) com simetria Hermitiana. Sabemos que o amplificador não causa distorção de fase. Você quer determinar se este amplificador causa distorção de amplitude. O único gerador de sinal que você possui é um gerador de onda senoidal g(t) = A cos(2πft), onde A é uma constante e f é determinado por você e variável. A saída do amplificador vale s(t). Você não pode observar g(t). Você só é capaz de observar a soma da saída do sistema com a entrada do sistema, isto é, s(t) + g(t). (a) Como deve g(t) se comportar em função de f para que o amplificador não cause distorção de amplitude? (b) Na hipótese do amplificador não causar distorção de amplitude, descreva um método para determinar o atraso causado pelo amplificador, dadas as restrições de geração e observação de sinais. 6. Encontre a transformada de Hilbert x(t) da onda quadrada abaixo. Esboce o espectro de x(t) j x(t). 7. Considere o sinal v(t) da figura abaixo. [ ] x(t) = Π (t 2n) 2. n= (a) Classifique-o no que se refer a potência, energia, periodicidade (b) Encontre a sua Transformada de Fourier (c) Encontre a sua Transformada de Hilbert (d) Encontre a sua Autocorrelação v(t) t - T = 8. O diagrama de blocos abaixo apresenta a resposta em frequência de cada um dos blocos que compõem um sistema. O valor de t é uma constante. (a) Encontre a função de transferência do diagrama de blocos e a resposta ao impulso do sistema. (b) Identifique se há algum tipo de distorção, justificando a sua resposta na função encontrada no item anterior. 60

65 3.7. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS (c) Encontre a equação matemática da saída e esboce o seu formato no tempo quando a entrada vale x(t) = u(t) cos(2π 0.75 t/t ), onde u(t) é a função degrau. 0.5 exp(+j2πt ) Entrada + - exp(-j2πt ) + + Saída exp(+j2πt ) 9. Um sinal aleatório Gaussiano n(t) tem média zero e autocorrelação dada por R n (τ) = δ(τ). Ele passa por um sistema com resposta em frequência Λ (f), gerando o sinal z(t), onde: Calcule: Λ (f) = max[0, f ] (3.72) (a) (b) (c) (d) A autocorrelação de z(t). A densidade espectral de potência de z(t) A potência de z(t) A função densidade de probabilidade de z(t), para um valor de t qualquer. 6

66 Capítulo 4 Modulação linear Neste capítulo apresentamos a primeira modulação analógica, a modulação em amplitude no tempo e as suas implicações em frequência. Para isto apresentamos também o conceito de sinais e sistemas em banda base e banda passante, e a relação entre os dois. Este conceito será utilizado futuramente na introdução a modulações digitais. 4. Sinais e Sistemas em Banda Passante Convenções adotadas: A mensagem é um sinal em banda base, espectro em torno da origem e limitado, x(t), qualquer, não determinado a priori, mas com algumas propriedades definidas, como algumas a seguir. W é a banda da mensagem x(t), i.e., X(f) 0 para f > W, como mostra a figura X bp (f) frequencia Figura 4.: Espectro de um sinal em banda base genérico com banda W = 0.6Hz. Por convenção, x(t), t Consequentemente, a potência do sinal x(t), definida como S x, vale. S x =< x(t) 2 > (4.) Em algumas situações poderemos utilizar para análise o sinal tonal, definido como x(t) = A m cos(2πf m t), onde A m e f m < W. Este sinal tem espectro simples. 62

67 4.. SINAIS E SISTEMAS EM BANDA PASSANTECAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR A utilização de um sinal tonal permite em muitas situações analisar a resposta de sistemas, exceto talvez quando haja não linearidades. Para isso, podemos utilizar um sinal composto, definido como: onde A + A 2 + x(t) = A cos(2πf t) + A 2 cos(2πf 2 t) + (4.2) Exemplo: Modulação de um sinal qualquer. Seja x(t) X(f) um sinal em banda base. Se x bp (t) = x(t) cos(2πf c t), então, pela convolução dos espectros, temos: cujo formato está apresentado na figura 4.2 X bp (f) = 2 [X(f f c) + X(f + f c )] (4.3) X bp (f) frequencia Figura 4.2: Formato de X bp (f) utilizando X(f) da figura 4. e f c = 3Hz. A banda ocupada vai de f c W até f c + W 4.. Sinais em Banda Passante Seja v bp (t) um sinal real com espectro V bp (f), como mostra a figura 4.3 Como o sinal é real, há simetria Hermitiana em torno da origem, mas não necessariamente em torno de ±f c (quando não há essa simetria em ±f c, o sinal não é real em banda base, apenas em passante). Um sinal é um em banda passante se: V bp (f) 0 para f c + W < f < f c W (4.4) Isto é, enquanto que o sinal em banda base (lp) tem espectro em torno da origem, o sinal em banda passante (bp) tem espectro em torno de ±f c. Não há necessariamente simetria em torno de f c : o espectro poderia estar completamente entre f c e f c + W e entre f c e (f c + W ). O subscrito bp indica que o sinal é banda passante, enquanto que o subscrito lp, se houver, indica que o sinal é em banda base. 63

68 4.. SINAIS E SISTEMAS EM BANDA PASSANTECAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR (a) V bb (f) (b) f 0.8 V bp (f) f Figura 4.3: Formato de V bp (f), não simétrico em torno de f c = ±3Hz em (b), e banda base equivalente em (a). O sinal em (a) não é simétrico, e portanto não é real. Assim, há várias possibilidades para escolha de f c, que normalmente é definido pelo contexto. Um possível sinal BP é: v bp (t) = A(t) cos(2πf c t + φ(t)) (4.5) onde A(t) é um sinal em banda base. Por definição, A(t) é chamado de envoltória do sinal e φ(t) é a fase do sinal. Tanto envoltória como fase são função do tempo. O seu formato está mostrado na figura 4.4. Também por definição, A(t) 0. Efeitos de amplitude negativa são absorvidos pela fase com a adição de ±π quando necessário. Poderíamos no plano complexo utilizar a representação da figura 4.5. A figura representada não é um fasor pois a frequência f c é eliminada. É como se o plano girasse com velocidade f c. Logo, para obter o fasor, é necessário fixar o eixo na origem e girar o plano f c vezes por segundo. Podemos decompor v bp (t) em dois termos utilizando as projeções (em verde) do vetor da figura 4.5 nos dois eixos, resultando em: v i (t) A(t) cos(φ(t)) v q (t) A(t) sin(φ(t)) (4.6) onde os subscritos se referem a em fase (In phase) e em quadratura (Quadrature). 64

69 v bp (t) 4.. SINAIS E SISTEMAS EM BANDA PASSANTECAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR t Figura 4.4: Formato de um possível v bp (f), com f c = 3Hz.O intervalo entre cruzamentos de zero é f c = T 0. Em tracejado, na parte superior, o valor de A(t). Logo : v bp (t) = v i (t) cos(2πf c t) v q (t)sin(2πf c t) = v i (t) cos(2πf c t) + v q (t)cos(2πf c t + 90 o ) (4.7) que é a representação em quadratura, com termos em fase v i (t) e em quadratura v q (t). Esta representação possui vantagens para a geração de sinais na prática e para análise espectral, decompondo V bp (f) em: V bp (f) = 2 [V i(f f c ) + V i (f + f c )] + j 2 [V q(f f c ) V q (f + f c )] (4.8) onde v i (t) V i (f) e v q (t) V q (f). A relação entre as representações é: A(t) = v i (t) 2 [ + v q (t) ] 2 φ(t) = tan v q(t) (4.9) v i (t) Estas relações no tempo não permitem relacionar os espectros através da Transformada de Fourier. Para que v bp (t) seja de fato um sinal em banda passante, é necessário que V i (f) = V q (f) = 0 para f > W, i.e., V bp (f) é a composição de dois espectros em banda base, um dos quais sofre um desvio de fase constante (multiplicação por j). Podemos definir o sinal em banda base equivalente 2 : V lp (f) 2 [V i(f) + jv q (f)] = V bp (f + f c ) u(f + f c ) (4.0) 2 Alguns livros utilizam esta relação multiplicando por um fator de 2. Seguiremos a definição apresentada 65

70 4.. SINAIS E SISTEMAS EM BANDA PASSANTECAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR I v q (t) f(t) v bp (t) v i (t) φ(t) R Figura 4.5: Representação de v bp (t) no plano complexo. Em verde as projeções nos eixos real e imaginário. A frequência instantânea f(t) é a derivada de φ(t) em função do tempo. No domínio do tempo esta definição equivale a: v lp (t) = F {V lp (f)} = 2 [v i(t) + j v q (t)] (4.) Este sinal é potencialmente complexo e poderia não existir na prática. Alternativamente poderíamos obter o sinal v lp (t) como: v lp (t) = A(t) exp(jφ(t)) (4.2) 2 A relação no caminho contrário entre v bp (t) e v lp (t) é então : v bp (t) = R{A(t)exp[j2πf { c t + jφ(t)]} = 2R A(t) } 2 exp[jφ(t)] exp(j2πf ct) = 2R{v lp (t) exp(j2πf c t)} (4.3) que é chamada de transformação de banda base para banda passante. No domínio da frequência temos: V bp (f) = V lp (f f c ) + V lp(f + f c ) (4.4) onde o primeiro termo da direita representa as frequências positivas e o segundo as frequências negativas. Assumindo que v bp (t) é real, teríamos V bp (f) = V lp (f f c ), f > 0 (4.5) 66

71 4.. SINAIS E SISTEMAS EM BANDA PASSANTECAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR (a) x bp (t) h bp (t) H bp (f) y bp (t)=x bp (t)*h bp (t) Em banda passante Em banda base x lp (t) (b) h lp (t) H lp (f) y lp (t)=x lp (t)*h lp (t) Figura 4.6: Relação entre sistemas (a) em banda passante e (b) em banda base Transmissão em Banda Passante Definimos o sistema em banda base da figura 4.6-(a). Obviamente, Y bp (f) = X bp (f) H bp (f) Também poderíamos utilizar o espectro em banda base equivalente: onde: é a função de transferência em banda base equivalente. Y lp (f) = X lp (f) H lp (f) (4.6) H lp (f) = H bp (f + f c ) u(f + f c ) (4.7) Este método permite entender o que acontece com os sinais equivalentes em banda base. Permite também eliminar a necessidade de considerar a frequência da portadora para a análise dos sinais. No tempo, teríamos: y lp (t) = F {X lp (f) H lp (f)} (4.8) O sinal em banda passante y bp (t) pode ser obtido de y lp (t) a partir da transformação de banda base para banda passante. Alternativamente podemos definir os termos em fase, em quadratura, e a amplitude e fase correspondentes: y i (t) = 2R{y lp (t)} y q (t) = 2I{y lp (t)} (4.9) A y (t) = 2 y lp (t) φ y (t) = arg[y lp (t)] 67

72 4.. SINAIS E SISTEMAS EM BANDA PASSANTECAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR Exemplo: atraso de portadora e de envoltória: Seja um sistema em banda passante com função de transferência: H bp (f) = K exp[jφ(f)] (4.20) para f l < f < f u, onde φ(f) é uma função não linear. Em banda base, teríamos: H lp (f) = K exp[jφ(f + f c )] u(f + f c ) (4.2) A figura 4.7 mostra H bp (f) e H lp (f). (a) K Φ(f) K f -f u -f l f l f c f u (b) K Φ(f c ) f l -f c f u -f c f Figura 4.7: Resposta do sistema em (a)-banda passante e em (b)-banda base equivalente. Se a função φ(f) for aproximadamente linear em torno de f c, podemos representa-la bem com os dois primeiros elementos da série de Taylor em torno de f c, resultando em: θ(f + f c ) 2π(t o f c + t f) (4.22) onde: t o φ(fc) t 2π 2πf c dφ(f) df f=fc (4.23) Para interpretar estes termos, vamos assumir que o sinal de entrada x(t) tem fase nula. Logo: x bp (t) = A x (t) cos(2πf c ) x lp (t) = 2 A (4.24) x(t) Assumindo ainda que X bp (f) está contido na banda de passagem, teríamos: Y lp (f) = K exp[jφ(f + f c )] X lp (f) K exp[ j2π(t o f c + t f)] X lp (f) K exp( j2πf c t 0 ) exp( j2πt ) X lp (f) (4.25) 68

73 H(f) 4.. SINAIS E SISTEMAS EM BANDA PASSANTECAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR Nesta equação, K exp( j2πf c t 0 ) é uma constante e exp[ j2πt )] corresponde a um atraso no tempo. Logo, a saída em banda base é: y lp (t) K exp( j2πf c t 0 ) x lp (t t ) = 2 K exp( j2πf ct 0 ) A x (t t ) (4.26) e, em banda passante: y bp (t) = KA x (t t )cos[2πf c (t t 0 )] (4.27) Assim, t 0 é o atraso da portadora e t é o atraso da envoltória. Como t independe de f, o sistema aproximadamente não causa distorção Este resultado será válido se dφ(f) df for aproximadamente constante na f de interesse. Caso isto não seja verdade, haverá distorção. Outro exemplo: sistema passa banda simples Também chamado de circuito sintonizado, apresentado na figura v i (t) R v o (t) 0.5 C L f Figura 4.8: Circuito sintonizado em khz e sua resposta em frequência, com módulo (linha cheias) e fase (linhas tracejadas), para Q = (preto), 0 (vermelho) e 00 (azul) A sua função de transferência é : onde: H(f) = + jq ( f f c fc f f c = 2π LC Q = R C L ) (4.28) (4.29) A banda de passagem é definida como B = f u f l = fc Q. 69

74 4.2. MODULAÇÃO EM AMPLITUDE COM PORTADORA CAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR No passado, devido à necessidade de implementação analógica e necessidade de garantir que os estágios de ganho seriam estáveis, o valor de Q era limitado entre 0 < Q < 00. Esta restrição ainda é válida nos dias de hoje em muitas situações, embora possa ser relaxada em estágios de processamento digital. Esta restrição sobre Q resultava na limitação: 0.0 < B f c < 0. (4.30) isto é, a banda de transmissão dependia da frequência utilizada. Isto causou a busca para sistemas com f c grande, como por exemplo no caso de satélites, que chegam a operar em dezenas de gigahertz. Um exemplo desta situação é Wi-Fi, que utiliza uma banda de 40MHz para um f c em torno de 2.4GHz Bandas de Transmissão Há várias definições para banda de transmissão, dependendo do contexto. Absoluta: contém 00% da energia. -3dB: faixa onde o ganho do sistema é maior ou igual a metade da potência; 2 2, resultando em perda de -0dB: definição semelhante a anterior, mas com perda de 90% da potência do sinal; De ruído equivalente: banda do filtro passa faixas ideal que, ao ter como entrada um ruído com densidade espectral de potência constante, resultaria na saída em um ruído com a mesma potência do sistema em questão; Ocupada: de acordo com a regulamentação; Relativa (por exemplo, 60dB): banda onde a densidade espectral de potência do sinal é 60db menor do que a densidade espectral de potência de pico. Outras definições podem aparecer em documentos técnicos. 4.2 Modulação em Amplitude com Portadora Há versões de modulação em amplitude: Com ou sem portadora; Com as duas ou uma das bandas laterais, como veremos a seguir. No caso da modulação em amplitude, a envoltória do sinal é proporcional a mensagem da seguinte forma: A(t) = A c [ + µx(t)] (4.3) onde µ é o índice de modulação e A c é a amplitude da portadora 3. O sinal modulado x AM c (t) é: x AM c (t) = A c [ + µx(t)] cos (2πf c t + φ c ) (4.32) onde a fase da portadora φ c é omitido por simplicidade, sem afetar os resultados. 3 O subscrito c se refere a " carrier" (em português portadora), que é o sinal que " carrega" ou " porta" o sinal, assim com um porta-aviões é um portador de aviões. 70

75 4.2. MODULAÇÃO EM AMPLITUDE COM PORTADORA CAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR Para que a envoltória seja parecida com x(t), é necessário que x(t) e f c >> W, como veremos a seguir. Se µ não haverá alteração na fase da envoltória, resultando em: φ(t) = 0 x ci (t) = A(t) x cq (t) = 0 (4.33) Caso µ = a amplitude pode variar de 0 a 2A c. Caso µ < haverá inversão de fase e distorção da envoltória A segunda condição (f c >> W ) do item acima diz que a portadora varia muito mais rápido do que o sinal. Já sabemos que no domínio da frequência teremos, para f > 0: X c (f) = 2 A cδ(f f c ) + µ 2 A cx(f f c ) (4.34) Necessariamente este sinal possui simetria Hermitiana, pois x AM c (t) é um sinal em banda passante real. Logo, é possível determinar X(f) para f < 0 a partir da definição!ao acima. O espectro está mostrado na figura 4.9. Ele contém: Impulso da portadora em f c ; Replicação de X(f) em torno de f c, o que resulta em bandas laterais simétricas, caso x(t) seja real. Impulso Banda ou lóbulo inferior Banda ou lóbulo superior f c -W f c f c +W f Figura 4.9: Espectro de um sinal AM modulado com a presença de portadora. A banda de transmissão é B AM = f c + W (f c W ) = 2W, i.e., a banda necessária é o dobro da banda do sinal em banda base. 7

76 4.2. MODULAÇÃO EM AMPLITUDE COM PORTADORA CAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR A potência média transmitida é : S AM T < x AM c (t) 2 > = 2 A2 c < + 2µx(t) + µ 2 x(t) 2 > + 2 A2 c < [ + µx(t)] 2 cos(4πf c )t > = 2 A2 c[ + µ 2 S x ] (4.35) onde o segundo termo da segunda linha vale 0. Da equação anterior percebe-se que, independentemente de S x, o fato do valor médio de x(t) ser diferente de zero aumentaria a potência de transmissão necessária. Logo, este tipo de modulação não é conveniente quando isto acontece. Como ST AM contém a potência da portadora e das bandas laterais e, em frequência, elas não se sobrepõem, podemos escrever, quando µ 0: onde: S AM T = P c + 2 P SB (4.36) P c = 2 A2 c é a potência da parte não modulada da portadora. P SB = 4 A2 cµ 2 S x = 2 µ2 S x P c é a potência de cada uma das bandas laterais ( SB side band). Como por convenção µx(t) t, µ 2 S x e P SB 2 P c. Assim, rearranjando os termos, chegamos a: P c = ST AM 2P SB 2 SAM T P SB 4 SAM T (4.37) ou seja, 50% ou mais da potência transmitida é utilizada para transmitir a portadora. Esta restrição compromete a eficiência do uso da potência disponível deste tipo de modulação. Alternativas mais eficientes neste aspecto são apresentadas a seguir Sinais e Espectro DSB Potencia desperdiçada na portadora poderia ser eliminada utilizando µ = e tirando o termo constante. Assim, o sinal modulado seria: x DSB c (t) = A c x(t) cos(2πf c t) (4.38) que é chamado de AM-DSB(Double Side Band) ou simplesmente DSB. Já vimos que, para f > 0, X c (f) = Ac 2 X(f f c) O espectro de um sinal DSB é semelhante ao espectro de um sinal AM com portadora, eliminando o impulso em f c. A banda do sinal é B t = 2W. No tempo, há algumas diferenças: A(t) = A c x(t) { 0 para x(t) > 0 φ(t) = ±80 o para x(t) < 0 (4.39) 72

77 4.2. MODULAÇÃO EM AMPLITUDE COM PORTADORA CAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR Variável AM com portadora DSB A max 2 A c A c P SB 4 A2 cµ 2 S x 4 A2 c S x µ 2 S x S x 6 4 P SB A 2 max Tabela 4.: Comparação de P SB A 2 max entre modulações AM com e sem portadora A envoltória do sinal depende então do módulo x(t), e não simplesmente de x(t). Logo, determinar a envoltória não é equivalente a determinar o sinal. Há reversão de fase quando a mensagem x(t) cruza o zero. Para recuperaremos a mensagem precisamos saber, além da envoltória, dos instantes em que há reversão de fase. Por outro lado, a potência total é, na ausência de portadora não modulada: S DSB T = 2 P SB = 2 A2 c S x (4.40) e isto é válido mesmo que a média de x(t) seja diferente de zero. Isto é, há um aproveitamento melhor da energia disponível. Na prática, os transmissores possuem, além de um limite de potência média, um limite sobre a potência de pico. 4 Este valor de pico depende do quadrado da amplitude de pico, denominada aqui como A max. Como a informação está nas bandas laterais, pode ser útil definir a relação P SB. Esta A 2 max relação está apresentada na tabela 4. para o caso com e sem portadora : Logo, dado o mesmo A max, a modulação DSB resulta em quatro vezes mais potência para as bandas laterais do que a modulação com portadora, sendo assim mais eficiente neste aspecto, utilizando ainda a mesma banda de 2W. Este ganho em eficiência ocorre com um custo de aumento de complexidade. Exemplo: comparação de alcance. Um transmissor possui dois limites: a potência media deve ser S T 3kW (onde W = Watts) e A 2 max 8kW. O sinal a ser transmitido é uma onda senoidal com amplitude A m =, resultando em S x = A2 m 2 = 2. Qual modulação terá alcance maior? Para a modulação AM com µ =, temos considerando a restrição de potência média : S AM T P SB = 4 P c P c = 4P SB = P c + 2P SB = 4P SB + 2P SB = 6P SB 3kW P SB 0.5kW (4.4) 4 Por exemplo limitado pela tensão de alimentação de um circuito analógico ou pela faixa de sinais representados através de amostras digitais. 73

78 4.2. MODULAÇÃO EM AMPLITUDE COM PORTADORA CAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR e, considerando a restrição de potência de pico: P SB = 6 A2 max kW = 0.25kW (4.42) Assim, o fator que de fato restringe a potência da informação é o valor da potência de pico. Para a modulação DSB temos: ST DSB P SB A 2 max = 2P SB 3kW P SB.5kW = S X 4 P SB 8 A2 max = kw (4.43) Assim, para o caso DSB o limite também é a potência de pico. Comparativamente, a modulação DSB sem portadora resulta em quatro vezes mais potência de informação. Considerando que a potência do sinal recebido depende do quadrado da distância e dado um limiar de potência recebida necessária para demodulação, a modulação DSB permitiria o dobro do alcance Modulação Tonal e Análise Fasorial Modulação tonal ocorre quando a mensagem é um tom, isto é, x(t) = A m cos(2πf m t). Neste caso teríamos, para a modulação com portadora, o seguinte sinal modulado: x AM c (t) = A c cos(2πf c t) + A cµa m [cos(2π(f c + f m )t) + cos(2π(f c f m )t)] (4.44) 2 Para o caso sem portadora teríamos: x DSB c (t) = A ca m [cos(2π(f c + f m )t) + cos(2π(f c f m )t)] (4.45) 2 O espectro destes sinais estão apresentados na figura 4.0. Estes espectros permitem gerar uma representação fasorial que é útil para entender o que aconteceria caso houvesse supressão de uma das bandas laterais, o que será útil nas próximas seções. Por exemplo, o diagrama fasorial de uma modulação AM com portadora por um sinal tonal tal que A m µ = 2 3 teria o formato da figura 4.-(a). Referenciando o diagrama em relação à frequência f c, teríamos que a amplitude resultante da soma de fasores é a envoltória. O resultado é sempre um valor real, cuja envoltória vale, como esperado, A c [ cos(2πf mt)]. Se o canal causa distorção de amplitude e remove o lóbulo inferior (fasor com frequência f c f m, o diagrama fica com o formato da figura 4.-(b). A soma de fasores não está contida no eixo real e a envoltória vale: [ ( A(t) = A c + ) 2 ( 3 A ccos(2πf m t) + 3 A csin(2πf m t)) ] 2 0 = A c cos(2πf mt) (4.46) Da equação anterior percebe-se que a distorção de amplitude causada pelo canal altera distorce a envoltória, que já não depende linearmente da mensagem. 74

79 4.3. CIRCUITOS CAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR (a) (b) A c A m 2 A c A m μ 2 f c -f m f c f c +f m f f c -f m f c f c +f m f Figura 4.0: Espectro de modulação tonal para sistemas (a)- com portadora e (b)-sem portadora. 4.3 Circuitos Tendo em vista as evoluções tecnológicas e a existência de circuitos integrados conversores de frequência, esta seção do livro é recomendada como leitura opcional aos interessados. 4.4 Modulação em amplitude com supressão de banda lateral A modulação AM com portadora desperdiça energia com a portadora e utiliza uma banda de transmissão com o dobro do tamanho da banda da mensagem. A modulação DSB elimina a portadora, sendo mais eficiente do ponto de vista de potência, mas continua utilizando uma banda de transmissão com o dobro do tamanho da banda da mensagem. Reduzir uma das bandas laterais (em torno de f c ) reduziria a banda de transmissão. Há duas possibilidades: SSB (Suppressed Side Band), onde uma das bandas laterais é completamente eliminada. VSB (Vestigial Side Banda), onde um vestígio de uma das bandas laterais ainda é permitido, o que possui vantagens práticas na demodulação. Na figura 4.2 é possível analisar as diferenças entre os espectros das modulações: AM, DSB e SSB. Esta modificação é possível pois os sinais anteriores possuíam simetria local em torno de ±f c. Assim, qualquer banda lateral possui a informação necessária para reconstruir a outra e consequentemente a mensagem transmitida. 75

80 4.4. MODULAÇÃO EM AMPLITUDE COM SUPRESSÃO CAPÍTULO DE 4. BANDA MODULAÇÃO LATERALLINEAR (a) 3 μa m f m 3 μa m -f m (b) 3 μa m f m Figura 4.: Diagramas fasoriais da modulação AM com portadora (a)-sem distorção e (b)-com distorção. Em verde o fasor resultante. Ambos os diagramas estão referenciados na frequência f c Sinais e espectro SSB Um sinal SSB poderia ser obtido a partir de um sinal DSB utilizando o diagrama da figura 4.3. Há duas possibilidades de filtros passa-faixas, resultando nas duas variantes da modulação SSB, especificadas para f > 0: USB - Upper Side Band: a faixa de frequências maior que f c é mantida; LSB - Lower Side Band: a faixa de frequências menor que f c é mantida; O sinal SSB ainda deve ser um sinal real para que possa ser transmitido. Logo, ele possui simetria Hermitiana, o que define as faixas presentes para f < 0. Nas duas variantes, teríamos as seguintes relações: ST SSB B SSB = P SB T = W. (4.47) A visualização de um sinal SSB em frequência é fácil. A visualização no tempo não é fácil. Um caminho para a compreensão é analisar a modulação tonal, que resultaria no seguinte sinal no tempo: onde o sinal depende da variante em utilização. x SSB c (t) = 2 A c A m cos(2πt(f c ± f m )) (4.48) A envoltória deste sinal é constante. Logo, não é possível determinar a mensagem exclusivamente a partir da envoltória. 76

81 4.4. MODULAÇÃO EM AMPLITUDE COM SUPRESSÃO CAPÍTULO DE 4. BANDA MODULAÇÃO LATERALLINEAR (a) (b) (c) -f c -W -f -f +W c c f c -W f +W c f c f -f c -W -f -f +W c c f -W c f c f +W c f -f c -W -f c f c f +W c f Figura 4.2: Comparação entre os espectros da modulação AM com portadora (a), DSB (b) e USB (c) Um outro caminho possível é analisar o modulador em banda base equivalente. O sinal na entrada do filtro é: x bp (t) = A c x(t) cos(2πf c t) (4.49) o que resulta no seguinte sinal em banda base : x lp (t) = A c x(t) 2 X lp (f) = A c X(f) (4.50) 2 Definimos a saída do filtro em banda passante (e sinal SSB) como sendo y bp (t) = x SSB c (t). O filtro passa faixas, em banda passante, tem o formato da figura 4.4-(a), com equivalente em banda base apresentado na figura 4.4-(b). O filtro em banda base não é real. Matematicamente, teríamos 5 : H lp (f) = H bp (f + f c ) u(f + f c ) { u(f) u(f W ) para USB = u(f + W ) u(f) para LSB { = 2 ( ± sgn(f)) para f W 0 caso contrário (4.5) onde o sinal + se refere à modulação USB e o sinal se refere à modulação LSB. Como X(f) = 0 para f > W, teríamos, ao multiplicarmos em frequência: Y lp (f) = X lp (f) H lp (f) = 4 A c[x lp (f) ± sgn(f) X lp (f)] = 4 A c[x lp (f) ± j X lp (f)] (4.52) onde utilizamos a relação j sgn(f) X lp (t) = X lp (f). No tempo, Y lp (f) equivale a: y lp (t) = F {Y lp (f)} = 4 A c[x lp (t) ± j x lp (t)] (4.53) onde x lp (t) é a Transformada de Hilbert de x lp (t) 5 É importante saber exatamente qual é o valor de f c utilizado para a conversão de banda passante para banda base. Este valor fica na " borda" direita (LSB) ou esquerda (USB) do filtro, e não no meio dele 77

82 4.4. MODULAÇÃO EM AMPLITUDE COM SUPRESSÃO CAPÍTULO DE 4. BANDA MODULAÇÃO LATERALLINEAR Modulador DSB Filtro passa faixas Figura 4.3: Modulador SSB obtido pela concatenação de um modulador DSB com um filtro passa faixas. Para obtermos o sinal em banda passante, utilizamos a conversão de banda base para banda passante, o que resulta em: y bp (t) = x SSB c (t) = 2 A c[x(t) cos(2πf c t) x(t) sin(2πf c t)] (4.54) que é o sinal SSB desejado, sendo o sinal para a modulação USB e o sinal + para a modulação LSB. A utilização da Transformada de Hilbert pode apresentar dificuldades. Caso x(t) seja um trem de pulsos retangulares, por exemplo, x(t) tenderia a infinito nos pontos de descontinuidade dos pulsos retangulares. Assim como a transformada de Hilbert não pode ser exatamente implementada, estes valores tendendo a infinito também não poderiam ser exatamente representados. O melhor que se pode fazer é aproximar o ideal, resultando em supressão não ideal da banda lateral Geração de Sinais SSB Um filtro passa faixas ideal como o necessário para implementar a modulação SSB ideal não existe. Um filtro real atenuará de forma não perfeita a banda não desejada, o que pode ser aceitável dentro dos requisitos do sistema. Muitos sinais práticos não contém o nível DC, o que flexibiliza a frequência de corte do filtro passa faixas. Por exemplo, o sinal com espectro da figura 4.5 possui uma região de transição entre f c β até f c + β. Desta forma, o filtro também pode transitar da faixa de passagens para a faixa de rejeição (onde o ganho é zero) mais suavemente. 78

83 4.4. MODULAÇÃO EM AMPLITUDE COM SUPRESSÃO CAPÍTULO DE 4. BANDA MODULAÇÃO LATERALLINEAR (a) -(fc+w) -fc fc fc+w f (b) 0 W f Figura 4.4: Módulo do filtro passa faixas para geração do sinal SSB, representado em (a)-em banda passante e (b)- em banda base equivalente. Em particular, este filtro gerará a variante USB. Na prática, utiliza-se frequências intermediárias para implementar filtros com transição com largura de 2β, pois geralmente β << f c, impossibilitando a implementação do filtro diretamente em f c. Alternativamente, poderíamos utilizar a expressão para o sinal SSB e gera-lo diretamente, sem a necessidade de gera o sinal DSB, utilizando o modulador da figura 4.6, que possui a dificuldade da implementação do filtro de Hilbert H q (f) Sinais e Espectro VSB Devido ao filtro passa faixas no limite de f c, SSB não é uma boa escolha quando a mensagem possui conteúdo em baixas frequências, o que equivale a dizer que o valor de β do item anterior é baixo ou zero. Uma alternativa é a modulação VSB - Vestigial Side Band, que mantém um vestígio da banda eliminada pela modulação SSB. A resposta em frequência do filtro passa faixas seria formato qualitativo semelhante ao da figura 4.7-(a), que pode ser descrito como: H(f) = u(f f c ) H β (f f c ), para f> 0 (4.55) onde H β (f f c ) é o filtro VSB. Ele tem o formato qualitativo de 4.7-(b). Isto é, H β (f) = H β ( f) e H β (f) = 0 para f > β. O filtro VSB é um filtro implementável de supressão de banda lateral com largura 2β. A banda de transmissão é então: B V SB T = W + β (4.56) Na maioria dos casos, β << W e BT V SB W. Do ponto de vista espectral e temporal, VSB é mais parecido com SSB do que com DSB. 79

84 4.4. MODULAÇÃO EM AMPLITUDE COM SUPRESSÃO CAPÍTULO DE 4. BANDA MODULAÇÃO LATERALLINEAR Ganho do Filtro Região de transição f -W c f - c f+ c f c f+w c f Figura 4.5: Sinal (em azul) com região de transição com largura 2β. O ganho de amplitude do filtro, em verde, decai de forma mais suave nesta região do que no caso ideal, o que pode facilitar a sua implementação Genericamente, qualquer sinal modulado pode ser escrito como: x c (t) = 2 A c[x i (t) cos(2πf c t) x q (t) sin(2πf c t)] (4.57) Por exemplo, na modulação DSB, x q (t) = 0. Na modulação SSB, x q (t) = ± x(t). No caso VSB, temos que: x q (t) = x(t) + x β (t) (4.58) onde: β x β (t) = 2 j H β (f) X(f) exp(j2πft)df (4.59) β O valor de x β (t) foi obtido utilizando a propriedade da convolução e da relação entre convolução no tempo e produto em frequência. Se β << W, então x β (t) 0 e x q (t) x(t). Assim, a afirmação de semelhança entre SSB e VSB é justificada. Não é fácil determinar a potência transmitida de um sinal VSB, mas sabemos que provavelmente deve ser maior que a modulação SSB e menor do que a modulação DSB, dependendo do valor de β. Assim: 4 A2 cs X S V SB T 2 A2 cs X (4.60) A modulação VSB como apresentada foi obtida pela passagem de um sinal DSB por um filtro específico. Nada impede que um sinal AM (com portadora) sepassadoada pelo mesmo filtro, o que resultaria em um sinal com portadora atenuada, denominado VSB+C (C de carrier). O sinal transmitido fica então: x V SB+C c (t) = A c {[ + µx(t)] cos(2πf c t) µx q (t) sin(2πf c t)} (4.6) 80

85 4.5. CONVERSÃO EM FREQUÊNCIA E DEMODULAÇÃO CAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR x(t) X -90 cos(2 f t) c ~ _ + SSB x c (t) Hq(f) X Figura 4.6: Geração direta de sinal SSB utilizando filtro de Hilbert. com termos em fase e em quadratura dados por: x ci (t) x cq (t) = A c [ + µx(t)] = A c µx q (t) (4.62) A envoltória deste sinal é: A(t) = x 2 ci (t) + x2 cq(t) = [A 2 c[ + µx(t)] 2 + A 2 cµ 2 x 2 q(t)] 2 { = A 2 c[ + µ x(t)] + µ2 x 2 q(t) [ + µ x(t)] 2 } 2 (4.63) Esta equação tem dois fatores: O primeiro depende linearmente da envoltória O segundo termo pode ser interpretado como um causador de distorção do primeiro Se o valor de µ não for muito grande e β for relativamente pequeno, o segundo termo acima causaria apenas uma pequena distorção, o que pode ser tolerável. Desta forma, a envoltória do sinal VSB+C seria aproximadamente linear em relação ao sinal, permitindo assim a detecção por envoltória. 4.5 Conversão em frequência e Demodulação Modulações em amplitude causam deslocamento do espectro para frequências mais altas. A demodulação então exigirá a translação do espectro para frequências mais baixas. Há dois tipos de demodulação: 8

86 4.5. CONVERSÃO EM FREQUÊNCIA E DEMODULAÇÃO CAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR f f c -β f f c f c +β f c -β f c f c +β (a) (b) Figura 4.7: (a) Filtro utilizado para gerar sinal VSB e (b) filtro VSB Síncrona Assíncrona. A conversão em frequência, por sua vez, desloca o espectro de um sinal já modulado para outra faixa de frequências, não necessariamente para em torno de f = 0. Esta conversão pode ser útil por exemplo para a utilização de circuitos com características espectrais específicas, como por exemplo amplificadores, osciladores e filtros 6. Também pode ser útil para demodulação Conversão em frequência Considere por exemplo o sinal DSB: A " remodulação" deste sinal resultaria em: x c (t) = A c x(t) cos(2πf t) (4.64) x c (t) cos(2πf 2 t) = 2 A c x(t)[cos(2π[f + f 2 ]t) + cos(2π[f f 2 ]t)] (4.65) isto é, o sinal agora é composto de duas modulações DSB: uma em f + f 2 e outra em f f 2. Eliminando um dos termos através de filtros, obteríamos então a translação do sinal originalmente em torno de f para em torno de f + f 2, por exemplo. O nome do dispositivo que realiza este tipo de conversão se chama conversor de frequência, mixer, upconverter ou downconverter. 6 Relembrando, filtros passa faixa analógicos normalmente tem faixa de passagem entre % e 0% da frequência central. 82

87 4.5. CONVERSÃO EM FREQUÊNCIA E DEMODULAÇÃO CAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR Devido á necessidade de uma grande taxa de amostragem para representar sinais com bandas altas, esta conversão normalmente é feita de forma analógica. O diagrama básico de um conversor está mostrado na figura 4.8. Entrada X Filtro Saída Oscilador Local cos(2πf 2 t) Figura 4.8: Diagrama básico de um conversor de frequência. Exemplo : Sistema Brasileiro de Coleta de Dados Ambientais: Muitas (800) estações de medição de variáveis climáticas estão distribuídas no território nacional. Os dados destas estações são transmitidos para o INPE através de um satélite (CBERS). As estações transmitem, por diversos motivos, as mensagens utilizando f c 400MHz, enquanto que o satélite retransmite estas informações para a estação terrena utilizando cerca de 2.3GHz. Exemplo 2: Retransmissor com conversão de frequências, apresentado na figura GHz 6 GHz X 4 GHz 4GHz 4GHz 4 GHz X ~ 2GHz 6 GHz 6GHz Figura 4.9: Método para converter dois sinais ao mesmo tempo, evitando interferências na transmissão ou no circuito, utilizando um único oscilador Demodulação síncrona Todas as modulações lineares podem ser demoduladas pelo demodulador por produto apresentado na figura Este demodulador também é chamado de demodulador síncrono, pois o seu funcionamento exige que o oscilador local saiba exatamente a frequência e fase do oscilador do transmissor. 83

88 4.5. CONVERSÃO EM FREQUÊNCIA E DEMODULAÇÃO CAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR x c (t) X LPF B = W y D (t) Oscilador Local A LO cos(2πf c t+ϕ LO ) Figura 4.20: Diagrama genérico de um conversor síncrono. Para analisar o seu funcionamento, definimos o sinal modulado abaixo, que pode representar qualquer das modulações vistas neste capítulo: x c (t) = [K c + K µ x(t)]cos(2πf c t) K µ x q (t)sin(2πf c t) (4.66) Fazer K c = 0 elimina a portadora. Fazer x q (t) = 0 gera o sinal DSB. A passagem deste sinal genérico pelo demodulador produto gera o sinal : x c (t) A LO cos(2πf c t) = A LO 2 {[K c+k µ x(t)]+[k c +K µ x(t)]cos(4πf c t) K µ x q (t)sin(4πf c t)} O filtro passa baixas elimina os termos em 2f c, resultando em: (4.67) y D (t) = K D [K c + Kµx(t)] (4.68) onde K D é uma constante de demodulação que depende do nível do sinal recebido e do ganho do filtro passa baixas na faixa de passagem. Um filtro passa altas eliminaria a constante K c Este método também funcionaria para a modulação VSB, como visualizado na figura 4.2 Este método parece fácil mas exige o conhecimento de duas grandezas não disponíveis na recepção: a frequência central e a fase exata do sinal recebido. Determinar estas variáveis é difícil, em particular para os casos SSB e VSB. Soluções como PLL e Costas Loop são utilizadas, o que adiciona complexidade no receptor. Um esquema que introduz um mecanismo genérico de sincronismo está na figura O sincronismo é extremamente importante na transmissão de dados digitais: a sua ausência pode inviabilizar a comunicação. O efeito da ausência de sincronismo pode ser observado considerando a modulação DSB tonal, o que resultaria em: onde f = f c f LO e φ = φ c φ LO. y D (t) = K D cos(2πf m t) cos(2πf t + φ ) (4.69) 84

89 4.5. CONVERSÃO EM FREQUÊNCIA E DEMODULAÇÃO CAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR Sinal SSB Multiplicado por cos(2πf c ) f Após filtragem e ganho -2f c -f c f=0 f c 2f c f Figura 4.2: Visualização do processo de demodulação para sinais VSB, utilizando demodulação síncrona. A combinação das duas partes em torno de f = 0 se complementam pois H β (f) = H β ( f) Se φ = 0 temos: y D (t) = K D 2 [cos(2πt[f m + f ]) + cos(2πt[f m f ])] (4.70) isto é, o sinal recebido será semelhante a um instrumento sendo afinado (como por exemplo um violino ou guitarra). Para f pequeno, o sinal desaparecerá e reaparecerá no tempo, na medida em que os dois cossenos acima se combinam de forma aproximadamente destrutiva ou construtiva. Se f = 0 temos: y D (t) = K D cos(2πf m t) cos(φ ) (4.7) Entrada X Filtro Saída f LO, Sincronizador ϕ LO ~ Figura 4.22: Esquema genérico para demodulação síncrona com sincronizador 85

90 4.5. CONVERSÃO EM FREQUÊNCIA E DEMODULAÇÃO CAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR isto é, o erro de fase atenua o sinal. No caso extremo quando φ = ±π, o sinal desaparecerá por completo. Para o caso SSB ou VSB, um erro de estimação de frequência causará um desvio constante de frequência. Se houver vários tons em harmonia entre si, o deslocamento constante causará uma desafinação. Subjetivamente, erros de até 0Hz são toleráveis, dependendo da sensibilidade de um ouvinte, por exemplo. Um erro de fase causaria, para SSB ou VSB, distorção de fase. Dentro de limites, esta distorção pode ser aceitável Demodulação assíncrona - Detector de envoltória A demodulação da modulação AM não exige sincronismo pois, não havendo inversão de fase, a envoltória contém a mensagem. Como a envoltória independe de f c ou de φ c, estes não precisariam ser estimados. Assim, basta detectar a envoltória para recuperar a mensagem. O caminho contrário desta lógica é que o detector de envoltória só consegue demodular corretamente sinais sem inversão de fase, isto é, com portadora. Um detector simples está apresentado na figura 4.23, que nada mais é do que um circuito retificador concatenado com dois filtros, um passa baixas e outro passa altas. Diodo retificador Filtro Passa Baixa Filtro Passa Alta Figura 4.23: Circuito detector de envoltória simples. Um circuito melhor utilizaria um retificador de onda completa. Se W << de entrada. R C << f c, o filtro passa baixas só responde a variações na envoltória do sinal O filtro passa altas elimina o termo DC. Apesar do diodo ser um elemento não linear, este detector de envoltória é chamado de linear pois a saída depende linearmente da envoltória do sinal de entrada. Modulações DSB e SSB também poderiam ser detectados utilizando este detector, desde que a portadora seja reintroduzida. Isto, entretanto, exige o conhecimento exato da fase e frequência do sinal de entrada, não eliminando portanto a necessidade de sincronismo. Este circuito retificador está presente em vários equipamentos que não desejam receber sinais AM. Por conta disso é que há interferência. 86

91 4.6. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR O processo de demodulação está representado graficamente na figura O detector de envoltória também pode ser utilizado para o controle automático de ganho, se o nível do sinal variar lentamente. 2 x c AM (t) x c AM (t) Envoltória - média Figura 4.24: Visualização do processo de demodulação assíncrona para sinais AM, no tempo 4.6 Exercícios 4.6. Exercícios sugeridos do livro Communication Systems 5th Edition Questões conceituais: 4., 4.2, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9, 4.0, 4.5. Problemas: 4.., 4..4, 4..6, 4..2, 4..5, 4.2., 4.2.2, 4.2.4, 4.2.6, 4.2.9, 4.2., 4.4., 4.4.2, 4.4.4, 4.4.9, 4.4.3, 4.4.3, 4.5., 4.5.6, 4.5.7, 4.5.0, Outros exercícios. O sinal x(t) é composto por dois sinais USB (Upper SSB): Um com f c = MHz e banda W = 00kHz Um com f c = 5MHz e banda W = 200kHz. Desejamos transmitir estes dois sinais em uma faixa contínua do espectro com início em 2MHz. Para isto dispomos do circuito da figura Podemos escolher os valores de f, f 2 e os filtros passa faixas (FPF) e 2. Determine estas variáveis para que o objetivo seja cumprido. Explique resumidamente o funcionamento. 2. Um sinal AM com portadora carrega a mensagem x(t) = A m cos(2πf m t). A frequência da portadora é f c, e f c >> f m. A amplitude da portadora é A c. O índice de modulação 87

92 4.6. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR é µ. Este sinal passa por um filtro H(f) com a seguinte resposta em frequência: O sinal que sai do filtro é y(t). (a) (b) (c) (d) 0.25 f < f c H(f) = 0.5 f = f c (4.72) 0.75 f > f c Esboce o espectro de y(t) para f > 0, indicando as amplitudes importantes. Calcule a potência total de y(t) Calcule a potência atribuída a portadora de y(t) Calcule y lp (t), o equivalente em banda base de y(t). Encontre os termos em fase e em quadratura de y lp (t). x(t) X FPF X FPF2 y(t) cos(2πf t) cos(2πf 2 t) Figura 4.25: Circuito disponível 3. Um sinal em banda passante é x bp (t) tem equivalente em banda base x lp (t). Mostre que: x lp (t) = 2 [x bp(t) cos(2πf c t)+ x bp (t) sin(2πf c t)]+ j 2 [ x bp(t) cos(2πf c t) x bp (t) sin(2πf c t)] (4.73) onde x(t) é a Transformada de Hilbert de x(t). Sugestão: não faça isso no domínio do tempo. 4. Possuimos a seguinte mensagem: x(t) = sin(2π5t) + cos(2π20t). Esta mensagem será transmitida através de uma modulação AM-VSB sem portadora, denominado x c (t). O sgn(f) 0.f filtro VSB é H β (f) = para f < 0, onde sgn() é a função sinal. Encontre 2 x c (t) e o seu equivalente em banda base. 5. Encontre a transformada de Hilbert x(t) da onda quadrada abaixo. Esboce o espectro de x(t) j x(t). [ ] x(t) = Π (t 2n) 2. n= 88

93 4.6. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR 6. O sinal x(t) abaixo passa por um sistema cuja resposta em frequência equivalente em banda base é H BB (f) = f. Encontre a saída do sistema em banda base e em banda passante, utilizando f c = 000Hz. x(t) = 20cos(2π0t)cos(2π000t) + cos(2π00t) 7. Um amplificador tem dois limites: a potência média do sinal de saída deve ser inferior a W e a potência de pico do sinal de saida deve ser inferior a 2W. Desejamos transmitir uma das três modulações AM: DSB com portadora com parâmetro µ = 0.5; DSB sem portadora; SSB superior. A mensagem x(t) a ser transmitida é sempre tonal. Calcule o valor da potência média do sinal para cada uma das três modulações e indique qual é o fator limitante para esta potência. 8. Um transmissor possui dois limites: a potência média transmitida deve ser menor ou igual a W e a potência instantânea máxima deve ser menor ou igual a 2W. Desejamos transmitir um sinal AM-DSB com portadora. O índice de modulação é µ = 0.9. A mensagem transmitida é x(t), que pode assumir valores iguais a ou -. Ests valores se alternam no tempo em instanets aleatórios Determine qual é o fator limitante para o nosso sistema Uma vez estabelecido este limite, calcule a potência média do sinal modulado, da portadora e das bandas laterais. 9. Um sinal em banda passante vale x c (t) = cos(2π 99kHz t) + cos(2π 0kHz t). (a) Calcule o sinal equivalente em banda base considerando que f c = 00kHz. (b) Calcule o sinal equivalente em banda base considerando que f c = 98kHz. 0. Deseja-se transmitir um sinal x(t) com potência S x = e com banda de transmissão W. Há duas alternativas: Um sistema DSB com portadora com índice de modulação k = 0.5. Um sistema DSB sem portadora. Todas as alternativas utilizam o mesmo transmissor cuja potência instantânea máxima é de Watt. Determine qual dos dois sinais tem mais potência atribuída a informação.lembrese das convenções adotadas para as mensagens transmitidas.. Um sinal AM-DSB sem portadora utiliza uma frequência de portadora igual a MHz. A mensagem transmitida x(t) tem banda de 20kHz(em banda base). Há uma forma recuperar a mensagem x(t) a partir do sinal modulado amostrando idealmente o sinal modulado com frequência de amostragem f s e posteriormente filtrando com um filtro passa baixas com frequência de corte em 20kHz. Determine o menor valor de f s para que este método funcione e explique com cerca de cinco linhas (com tamanho de letra regular) como isto é possível. Equações e diagramas não contabilizam para as 5 linhas. 2. O sinal x(t) é uma função periódica com período fundamental T 0, real, com simetria par, com potência média finita e transformada de Fourier (no limite) X(f). A transformada de Hilbert de x(t) é x(t). 89

94 4.6. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 4. MODULAÇÃO LINEAR (a) Um sinal y(t) é definido pela equação y(t) = x(t) j x(t) é igual a 2X(f) para f > 0 e igual a zero para f < 0. (Dica: utilize a Série de Fourier de x(t)) (b) Mostre que x(t) e x(t) são ortogonais. 3. Desejamos transmitir um sinal tonal x(t) = A m cos (2πf m t) através da modulação VSB (superior). A frequência da portadora é f c e a sua amplitude é A c =. O filtro H β (f) vale 0.25 para 2f m < f < 0 e 0.25 para 0 < f < 2f m. As respostas podem ser deixadas em função de A m, f m e f c, exceto no último item (a) Obtenha o sinal modulado e o seu espectro. (b) Obtenha a representação no tempo em banda base do sinal modulado. (c) O sinal modulado é detectado com um detector de envoltória perfeito. Obtenha a saída do detector. (d) Qual deve ser o valor de A m para que a potência do sinal do item (a) seja igual a 2 Watts? 4. Você possui um número infinito de dispositivos que realizam produtos ou somas de sinais no tempo. Você possui somente três filtros que podem ser configurados como desejados. Estes três filtros podem ser distribuídos nos dois itens da pergunta, mas o total geral deve ser menor ou igual a três. Você possui um número infinito de osciladores, mas todos eles oscilam com frequência de 500kHz. Desejamos transmitir um sinal x(t) cujo conteúdo espectral está limitado em 0kHz. Utilizando o que está disponível, responda os itens abaixo. (a) Gere um sinal USB cuja portadora é MHz. Descreva o seu circuito. (b) Converta o sinal gerado no item anterior para um sinal DSB cuja portadora é 500kHz. Descreva o seu circuito. 90

95 Capítulo 5 Modulação Angular ou exponencial. Neste capítulo apresentamos as modulações angulares, como gerá-las e as consequências espectrais. Também apresentamos métodos de demodulação e os efeitos que distorções e interferências podem causar. 5. Modulação em Fase e em Frequência Recapitulando, um sinal modulado qualquer pode ser escrito como x c (t) = A(t) cos(2πf(t) + φ(t)). (5.) Genericamente, um sinal com envoltória constante e fase variável teria a seguinte expressão: x c (t) = A c cos(2πf c t + φ(t)) (5.2) O argumento do cosseno é um ângulo, também chamado de fase, cujo valor instantâneo na expressão acima vale: θ c (t) 2πf c t + φ(t) (5.3) Reescrevendo a expressão acima obtemos: x c (t) = A c cos(θ c (t)) = A c R{exp(j φ c (t))} (5.4) que dá origem ao nome modulação exponencial, que é considerada uma modulação linear. No caso da modulação em fase (PM-Phase Modulation), o valor de φ(t) vale φ(t) = φ x(t), (5.5) onde x(t) obedece às convenções sobre a mensagem adotadas no capítulo anterior e φ 80 o, para evitar ambiguidades. O valor de φ é o maior desvio de fase possível. Assim, o sinal modulado PM tem o formato: x P M c (t) = A c cos(2πf c t + φ x(t)) (5.6) O diagrama fasorial deste sinal está mostrado na figura 5.. A velocidade de rotação do fasor não é constante. O ângulo total é a soma da rotação 2πf c t mais φ(t). Assim como a velocidade linear de um objeto é a variação de posição de um objeto em uma reta, a velocidade angular é a variação do ângulo. Matematicamente: f(t) = dθ c (t) ω(t) = f c + dφ(t) 2π 2π dt 2π dt 9 (5.7)

96 5.. MODULAÇÃO EM FASE CAPÍTULO E EM FREQUÊNCIA 5. MODULAÇÃO ANGULAR OU EXPONENCIAL. f(t) A ϕ(t) 2πfct Figura 5.: Diagrama fasorial de um sinal com modulação FM/PM. Em vermelho a projeção do fasor no eixo real. A função f(t) é a frequência instantânea de rotação. Embora a sua unidade seja Hz, o seu valor não se equivale ao f encontrado no espectro, como veremos em breve. No caso de modulação em frequência (FM-Frequency Modulation), a mensagem está na frequência instantânea, que vale: f F M (t) f c + f x(t) (5.8) onde f é o maior desvio de frequência instantânea do sinal e deve ser menor do que f c para que f(t) 0, t. Como para FM a relação entre fase instantânea e frequência instantânea é dφ(t) dt, temos que a frequência instantânea pode ser escrita como: φ(t) = φ(t 0 ) + 2πf t = 2πf x(t) (5.9) t 0 x(λ)dλ (5.0) onde a fase inicial vale φ(t 0 ). Assumiremos por simplicidade que ela vale zero no instante t = 0. O sinal modulado é então: x F c M (t) = A c cos (2πf c t + 2πf t 0 ) x(λ)dλ (5.) Se x(t) tiver um nível DC diferente de zero, a integral divergirá. Na prática isto equivale a um desvio de frequência constante que pode sere incorporado a f c. As modulações PM e FM são muito parecidas. Uma pode ser obtida a partir da outra com o uso de integradores ou derivadores, como mostra a tabela

97 5.. MODULAÇÃO EM FASE CAPÍTULO E EM FREQUÊNCIA 5. MODULAÇÃO ANGULAR OU EXPONENCIAL. Modulação φ(t) f(t) PM φ x(t) f c + dφ(t) 2π dt FM 2πf t 0 x(λ)dλ f c + f x(t) Tabela 5.: Em ambos os casos a amplitude do sinal é constante, o que permite afirmar que S T = A2 c 2. O sinal x c (t) vale zero de forma não periódica. Se f c for grande o suficiente, a informação sobre frequência instantânea pode ser obtida exclusivamente a partir dos cruzamentos de zero. Esta propriedade será utilizada futuramente na demodulação de sinais modulados em fase. Embora a frequência instantânea esteja, no caso da modulação FM, entre f c ± f, a banda ocupada é maior do que 2f. É possível melhorar o desempenho da modulação FM aumentando o valor de f, até um certo limite. 5.. PM e FM de faixa estreita Qualquer sinal em banda passante pode ser escrito como: x c (t) = x ci (t)cos(2πf c t) x cq (t)sin(2πf c t) (5.2) Utilizando a série de Taylor das funções seno e cosseno, escrevemos, com base no diagrama fasorial referenciado em f c : ] x ci (t) = A c cos(φ(t)) = A c [ 2! φ2 (t) + ] x cq (t) = A c sin(φ(t)) = A c [φ(t) (5.3) 3! φ3 (t) + Supondo que φ(t) << (radiano), temos que x ci (t) A c e x cq (t) A c φ(t). A condição sobre φ(t) caracteriza a modulação de faixa estreita (narrowband). Nestas condições: x c (t) A c cos(2πf c t) A c φ(t) sin(2πf c t) X c (f) Ac 2 δ(f f c) + j 2 A cφ(f f c ) para f > 0. (5.4) Para a modulação PM, Φ(f) = φ X(f). Para FM, Φ(f) = jf X(f) f. Logo, a banda do sinal modulado será de aproximadamente 2W, onde W é a banda de x(t). ( ) Exemplo: quando o sinal de entrada é x(t) = sinc(2w t), temos que X(f) = 2W Π f 2W. Logo, o espectro de x c (t) para sinais PM e FM seriam aqueles da figura 5.2-(a) e (b), respectivamente Modulação tonal. É conveniente no caso genérico analisar o resultado da modulação tonal. Só é necessário fazer esta análise uma vez, ao considerarmos que o sinal de entrada é: { Am sin(2πf m t) PM x(t) = A m cos(2πf m t) FM (5.5) 93

98 5.. MODULAÇÃO EM FASE CAPÍTULO E EM FREQUÊNCIA 5. MODULAÇÃO ANGULAR OU EXPONENCIAL. (a) (b) f c -W f c f c +W f c -W f c f c +W Figura 5.2: Espectros resultantes da modulação (a)-pm e (b)-fm de faixa estreita, quando a mensagem é uma sinc. Ambos os sinais resultariam em φ(t) = β sin(2πf m t), onde: β = { φ A m para PM f Am f m para FM (5.6) Para que a modulação seja considerada de faixa estreita, necessitamos que β <<. Neste caso, o sinal modulado fica: x c (t) A c cos(2πf c t) A c βsin(2πf m t) (sin(2πf c ) = A c cos(2πf c t) + Acβ 2 [cos(2π(fc + fm)t) cos(2π(fc fm)t)] (5.7) cujo espectro e diagrama fasorial estão na figura 5.3. Um fasor com frequência relativa negativa é que garante que a envoltória do sinal é constante. No caso genérico para qualquer β, o sinal modulado é: x c (t) = A c [cos(φ(t)) cos(2πf c t) sin(φ(t)) sin(2πf c t)] (5.8) Embora x c (t) não seja periódico em t, tanto cos(φ(t)) quanto sin(φ(t)) são periódicos, pois, por exemplo, cos(φ(t)) = cos(β sin(2πf m t)). Logo, eles possuem podem ser escritos como uma série de Fourier, dada por: cos(β sin(2πf m t)) = J 0 (β) + 2 J n (β) cos(2πnf m t) sin(β sin(2πf m t)) = n ímpar n par 2 J n (β) sin(2πnf m t) (5.9) 94

99 5.. MODULAÇÃO EM FASE CAPÍTULO E EM FREQUÊNCIA 5. MODULAÇÃO ANGULAR OU EXPONENCIAL. (a) (b) A c β 2 A(t) -f m A c β 2 f c -W f c f c +W f A c f m A c β 2 Figura 5.3: (a)-espectro aproximado da modulação tonal e (b)-diagrama fasorial correspondente, referenciado em f c. onde J n (β) é a função de Bessel do primeiro tipo e ordem n, cuja definição é: J n (β) π exp[j(β sin(λ) nλ)]dλ (5.20) 2π π Substituindo estes valores em x c (t) chegamos na conclusão que o sinal modulado contém, além da portadora, um número infinito de senoides separadas igualmente de f m, como mostra a equação abaixo: x c (t) = A c n= J n (β) cos(ω c + nω m )t (5.2) Ao representarmos o espectro unilateral, as frequências negativas devem ser rebatidas. A princípio, a banda de transmissão de um sinal tonal é infinita. Amplitudes das frequências f c + n f m, n 0, dependem das funções de Bessel, cujas principais propriedades são:. A amplitude da portadora depende de J 0 (β). Consequentemente, depende da mensagem transmitida. Há valores de β tal que J 0 (β) = O número de linhas laterais com amplitudes relevantes (acima de um certo valor) depende de β. Quando β <<, apenas J 0 e J são relevantes, o que confirma a análise anterior. Com β maior, J n (β) será relevante para um valor de n maior. 3. Quanto maior o valor de β, maior a banda que contém senoides com amplitude relevante. Podemos desenhar J n (β) em função de β, para vários n, como mostrado na figura 5.4-(a) e (b)-em função de n β. Uma interpretação das figuras é a seguinte: 95

100 J n ( ) J n ( ) 5.. MODULAÇÃO EM FASE CAPÍTULO E EM FREQUÊNCIA 5. MODULAÇÃO ANGULAR OU EXPONENCIAL. J n (β) em função de n β é semelhante a uma envoltória espectral das bandas laterais. Ao multiplicarmos o eixo horizontal por βf m obtemos a amplitude dos sinais nas frequências f c + nf m. J n (β) decai monotonicamente para n β >, e J n(β) << para n β >> n = 0 n = n = 2 n = 5 n = = = 2 = 5 = n - Figura 5.4: Duas visualizações das funções de Bessel. Em FM, é possível manter o valor de A m f e ao mesmo temo aumentar o valor de β ao diminuir f m, pois β = Am f f m. Isto permite manipular a escolha de β, mantendo o maior desvio em frequência Análise Fasorial Voltando ao sinal de faixa estreita e modulação tonal, temos que o sinal modulado é: x c (t) A c cos(2πf c t) A c βsin(2πf m t) (sin(2πf c )) (5.22) onde φ(t) = βsin(2πf m t). A amplitude e fase deste sinal podem ser aproximadas : A(t) = A [ 2 c + (βsin(2πf m t)) 2 ] A c + β2 4 β2 4 cos(4πf mt) [ ] φ(t) = arctan Acβsin(2πfmt) A c β sin(2πf m t) (5.23) Embora a fase tenha o valor desejado, a amplitude não. Ela deveria ser constante mas não é. Para corrigir a distorção em amplitude, acrescentamos termos em f c ±2f m, o que causaria distorção na fase. Aproximamos + x + x,primeiros dois termos da série de Taylor, e arctan(x) x. 2 96

101 5.2. BANDA DE TRANSMISSÃO CAPÍTULO E DISTORÇÃO 5. MODULAÇÃO ANGULAR OU EXPONENCIAL. Para corrigir esta nova distorção na fase, adicionaríamos senoides em f c ± 3f m, o que novamente causaria distorção em amplitude(menor do que a distorção original), e assim suscetivamente. Logo, para haver nenhuma distorção em fase e em amplitude ao mesmo tempo, precisamos adicionar termos em f c ± nf m indefinidamente. Os termos de ordem ímpar causam modulação em frequência por gerar o termo em quadratura com a portadora, enquanto que os termos de ordem par corrigem a distorção em amplitude por estarem em fase com a portadora. 5.2 Banda de transmissão e distorção Em geral, a banda de transmissão que contém todo o sinal é infinita, mesmo que a banda do sinal transmitido seja finita. Na prática, sistemas FM possuem banda finita e funcionam bem, mesmo que isto resulte em uma pequena distorção causada pela eliminação de parte do espectro ideal. Deve-se analisar a relação distorção/banda ocupada e escolher um valor de banda ocupada que resulte em uma distorção razoável Estimativa de Banda de Transmissão Em geral, a amplitude do espectro cai quanto mais distante de f c, isto é, quanto maior f f c. A partir de algum valor de f f c, a amplitude do espectro pode ser considerada insignificante. O significado de significância é variável e depende do sistema. Há resultados empíricos. Retornando à figura J n (β) n β, observamos que o valor de J n(β) cresce rápido quando n β <<, especialmente se β >>. Logo, J n (β) é significante se n << β, isto é, o conteúdo espectral significante está entre os índices ±β. Para obter o equivalente em frequência, lembramos que na modulação FM, temos que β = A m f fm. Logo: W = n f m = β f m = Amf f m f m = A m f (5.24) isto é, a banda de um sinal FM seria de 2A m f, centralizada em f c. Esta conclusão coincide com a intuição que a energia de um sinal FM estaria na frequência instantânea, e esta varia entre f c ± A m f. Por outro lado, se J 0 (β) >> J n 0 (β) n, então todas as linhas laterais são relativamente pequenos em relação à linha em f c. Isto acontece se β <<. Em um extremo, a conclusão errônea seria de que devemos transmitir somente o termo em f c, ou seja, uma única senoide cuja frequência não varia no tempo. Devemos manter pelo menos os dois primeiros termos (em f c f m e f c + f m ). Logo, para β pequeno, a banda do sinal é aproximadamente de 2f m. 97

102 5.2. BANDA DE TRANSMISSÃO CAPÍTULO E DISTORÇÃO 5. MODULAÇÃO ANGULAR OU EXPONENCIAL. Em ambos os casos de β, a alteração de f m da modulação tonal altera linearmente a banda ocupada. Se um sinal não for tonal, aproximamos f m pela maior frequência existente no sinal 2. Uma interpretação possível é que desta forma estamos calculando a banda " instantânea" do sinal modulado quando a frequência " instantânea" da mensagem vale f m e que f m < W, a banda da mensagem. Qualitativamente podemos definir o espectro significante de outra maneira: considerando o valores de n tal que J n (β) > ɛ, onde 0.0 < ɛ < 0., dependendo da aplicação. Isto é, se existe M tal que J M (β) > ɛ e J M+ (β) < ɛ, o espectro teria 2M + linhas significativas no total. A banda do sinal pode genericamente ser escrita como: B = 2 M ɛ (β) f m (5.25) onde M ɛ (β) é uma função de β, parametrizada por ɛ. O formato desta função está na figura 5.5. Ela pode ser aproximada por M(β) β + 2. Figura 5.5: Formato da função M ɛ (β) para ɛ = 0.0 e ɛ = 0. (linhas cheias) e aproximação(linha tracejada). Empiricamente, ɛ = 0.0 é conservador, enquanto que ɛ = 0. pode ser aceitável mas causa distorção perceptível. O valor de M(β) depende de β que, por sua vez, é inversamente proporcional a f m. Por outro lado, B da equação acima depende linearmente de f m. Logo, a maior banda " instantânea" ocupada por um sinal depende de alguma forma de f m < W. O seu valor máximo seria a banda de fato do sinal modulado. Usando a aproximação para M(β), chegamos a : ( ) Am f B 2(β + 2) f m = 2 ) + f m = 2(A m f + 2f m ) (5.26) f m 2 Esta aproximação considera, por exemplo, que a modulação de um sinal FM composto por duas senoides ocuparia a banda 2A m f max, onde f max é a frequência da senoide mais rápida, ignorando a não linearidade existente nessa modulação 98

103 5.2. BANDA DE TRANSMISSÃO CAPÍTULO E DISTORÇÃO 5. MODULAÇÃO ANGULAR OU EXPONENCIAL. Limitando pela nossa convenção sobre mensagens os valores de A m e f m < W, concluímos que o maior valor de B ocorre quando A m = e f m = W. Logo: B F M T = maxb = 2(f + 2W ), se β > 2 (5.27) Isto acontece com o valor β = f W, que não é o maior de β, mas sim o valor que maximiza a banda. Qualquer sinal suave com A m < e f m < W necessitará de uma banda menor. Para um mensagem x(t) com banda W e razoavelmente suave, a banda de transmissão seria a definida acima, pois a frequência " instantânea" do sinal variaria lentamente, assim como a sua integral. Esta análise ignora a não linearidade da modulação exponencial. Pare resolver de forma parcial este problema, definimos a razão de desvio, também conhecido como índice de modulação: D f W (5.28) O conhecimento de uma função do tipo M(D) permitiria definir a banda de transmissão como B T = 2M(D) W. Entretanto, não há como definir M(D). Para valores extremos de D temos que a banda de transmissão vale: { 2DW = 2f D >> B T = 2W D << (modulação de faixa estreita) (5.29) Estes resultados podem ser combinados em uma única expressão que assintoticamente assume os valores acima: que é chamada de regra de Carson. B T 2(f + W ) = 2(D + )W, (5.30) A regra de Carson é uma boa estimativa de banda para D << 2 e D >> 0. Entretanto, na região 2 < D < 20, a regra de Carson subestima a banda necessária, empiricamente. Uma aproximação melhor na prática é usar a seguinte fórmula: B T 2(f + 2W ) = 2(D + 2)W (5.3) Para modulação de faixa estreita, a regra de Carson superestima a banda necessária, pois D + >. As estimativas para banda de FM são válidas para o caso PM utilizando φ no lugar de D. Assim: B T = 2M(φ )W 2(φ + )W (5.32) Caso as mensagens a serem transmitidas possuem descontinuidades no tempo, a frequência instantânea dos mesmos não varia lentamente. As aproximações acima não seriam válidas e seria necessário por exemplo medir a banda de transmissão ou obter alguma expressão analítica que permita a determinação da banda. 99

104 5.2. BANDA DE TRANSMISSÃO CAPÍTULO E DISTORÇÃO 5. MODULAÇÃO ANGULAR OU EXPONENCIAL. Exemplo: FM comercial Por lei, f = 75kHz. o sinal de entrada é um sinal de áudio com conteúdo espectral relevante entre 30Hz e 5kHz. Logo, W = 5kHz. Pelas contas acima: D = f W = 5. Pela regra de Carson, B T 2(5 + )W = 80kHz. Pela regra modificada: B T 2(5 = 2)W = 20kHz. Na prática, usa-se B T = 200Khz. A utilização de uma modulação tonal com f m = 5kHz e com parâmetros acima resultaria em β = 5 e (pela figura) M(β) 7. A banda de transmissão seria de 20kHz. Se f m = 5kHz, o valor de β seria maior, β = 5 e M(5) 5. Entretanto, a banda seria de 50kHz, menor do que o valor anterior Distorção linear Nesta seção mostraremos como a modulação FM é robusta a distorção linear causada por um canal. O problema pode ser modulado como um canal com entrada x c (t), resposta H(f) e saída y c (t), onde: x c (t) = A c R{exp(2πf c t + φ(t)} (5.33) Em banda base equivalente teríamos o sinal: x lp (t) = exp(jφ(t)) (5.34) 2 Sabemos também que no domínio da frequência: Y lp (f) = H(f + f c ) u(f + f c ) X lp (f), (5.35) o que resulta no tempo em y lp (t) = F[Y lp (f)] (5.36) Em banda passante teríamos então y c (t) = 2R{y lp (t) exp(j2πf + ct)} (5.37) Há problemas: operações X lp (f) = F{x lp (t)} e y lp (t) = F[Y lp (f)] são complicadas e exigem análise numérica. Casos particulares podem ser analisados. Por exemplo, o sistema da figura 5.6 com resposta em amplitude e em fase linear teria a seguinte transformada de Fourier: ( H lp (f) = H(f + f c ) u(f + f c ) = K 0 + K ) f exp[j( 2πt o f c 2πt f)], (5.38) f c resultando em: Y lp (f) = K 0 exp( j2πf c t o )[X lp (f) exp( j2πt f)]+ K j2πf c exp( j2πf c t) [(j2πf) X lp (f) exp( j2πt f)] 00 (5.39)

105 5.2. BANDA DE TRANSMISSÃO CAPÍTULO E DISTORÇÃO 5. MODULAÇÃO ANGULAR OU EXPONENCIAL. K 0 Linear com coeficiente K f f c f -2πft 0 arg[h(f)]=exp(-j2πft ) Figura 5.6: Resposta em frequência de H(f). Aparecem os termos: exp( j2πf c t 0 ) atraso da portadora; exp( j2πft ) atraso de grupo (linear em f); j2πf X lp (f) derivada de x lp (t) em relação ao tempo. Com estas associações, conseguimos escrever a TF inversa de Y lp (f): y lp (t) = K 0 exp( j2πf c t 0 ) x lp (t t ) + K exp( j2πf c t 0 ) dx(t t ) j2πf c dt A derivada de x(t) vale: dx(t t ) dt = d { } dt 2 A c exp[jφ(t t )] = j ( ) dφ(t 2 A t ) c exp(jφ(t t )) dt (5.40) (5.4) Substituindo tudo na equação de y lp (t) chegamos a 3 : ) y lp (t) = K d exp[ j2πf c t 0 ] ( 2 A cexp(jφ(t t )) + K exp[ j2πf c t 0 ] j j2πf c 2 A c Este sinal em banda passante equivale a: y c (t) = A(t)cos[2πf c (t t 0 ) + φ(t t )] (5.43) ( ) dφ(t t ) exp(jφ(t t )) dt (5.42) onde: [ A(t) = A c K d + K ] dφ(t t ) 2πf c dt (5.44) 3 Mantemos o j para mostrar que ele se cancelará 0

106 5.2. BANDA DE TRANSMISSÃO CAPÍTULO E DISTORÇÃO 5. MODULAÇÃO ANGULAR OU EXPONENCIAL. Para sinais FM, temos a relação dφ(t t ) dt 2πf x(t). Neste caso: ] A(t) = A c [ K d + K f f c x(t) (5.45) Pela última equação percebe-se que, quando o sinal FM passa por um sistema com a resposta em frequência definida, o sinal resultante será, além de modulado em frequência, também modulado em amplitude. Este processo é chamado de conversão FM-AM.Um detector de envoltória poderia ser utilizado para recuperar a mensagem, pois este detector é insensível a variações na frequência da portadora de modulações AM. A modulação em amplitude teria índice d emodulação µ = K f K d f c. Não há maiores problemas neste método a não ser que a distorção causada pelo sistema cause distorção de fase do sinal, que é onde está a informação Distorção não linear e limitadores Distorção em amplitude pode causar conversão FM-AM. Caso indesejada, esta distorção pode ser eliminada través de um elemento não linear controlada seguida de alguma filtragem. Para esta análise, usaremos o sinal v in (t) = A(t) cos(θ c (t)), onde A(t) é a amplitude e θ c (t) = 2πf c t + φ(t) é a fase. Este sinal passa por um dispositivo não linear sem memória, gerando um sinal v out (t). A relação entre entrada e saída deste dispositivo é dada por uma função T [ ]. A ausência de memória quer dizer que v out (t = t ) = T [v in (t = t )], isto é, a saída no instante t depende somente do valor de entrada no instante t. A função v in (t) não é necessariamente periódica em t, mas é periódica em θ c (t) com período 2π. Logo, v out (t) também é uma função periódica de θ c (t) com período 2π, o que nos permite escrever a sua série de Fourier (em relação a θ c (t)) como 4 " : v out (t) = 2a n cos(nθ c + arg(a n )) a n n= = (5.46) T [v in (θ c )]exp( jnθ c )dθ c 2π 2π Se a amplitude de T [v in (t)] varia com o tempo, os coeficientes a n também variarão. Por outro lado, se esta amplitude não varia com o tempo, os coeficientes serão constantes. Neste caso, o sinal de saída é: v out (t) = 2a cos(2πf c t + φ(t) + arg(a )) + 2a 2 cos(4πf c t + 2φ(t) + arg(a )) + (5.47) Pela expressão acima percebe-se que a distorção não linear gera modulações FM adicionais em harmônicos da frequência central, com amplitudes constantes 2a n e modulação em fase por nφ(t), mas uma fase constante. Se estas modulações não se sobreporem significantemente no espectro, o primeiro termo do somatório acima poderia ser isolado utilizando um filtro passa faixas centrado em f c. 4 Omitimos t em θ c(t) para facilitar o entendimento da periodicidade de v out(t) em relação a θ c(t). 02

107 5.2. BANDA DE TRANSMISSÃO CAPÍTULO E DISTORÇÃO 5. MODULAÇÃO ANGULAR OU EXPONENCIAL. Sem memória (limitador) Figura 5.7: Limitador implementado com função sign(). Um elemento não linear que tornaria a amplitude constante seria um limitador ideal, também conhecido como clipper (figura 5.7. A relação entre entrada e saída é, em função de θc, é: ( v0 π2 < φ < π2 vout = (5.48) v0 π2 < φ < 3π 2 Nesta situação, os valores dos coeficientes são: 2v0 nπ n =,5,9, an = n = 3,7,, 0 n = 2,4,6, 2v0 nπ (5.49) O resultado é o sinal da figura 5.8, dado por: vout (t) = 4v0 4v0 cos(2πfc t + φ(t)) cos(6πfc t + 2φ(t)) + π 3π (5.50) 2 t 0 Vin Vout Figura 5.8: Sinal filtrado pelo limitador. Mesmo filtrando, o primeiro termo contém mais do que 80% da potência do sinal F. Amplificadores não lineares podem, pelo meso raciocínio, serem utilizados para gerar sinais FM com grande eficiência em potência. 03

108 Demodulador Modulador 5.3. GERAÇÃO E DETECÇÃO CAPÍTULO DE SINAIS 5. MODULAÇÃO FM ANGULAR OU EXPONENCIAL. O mesmo método também pode ser utilizado para corrigir pequenas variações na amplitude do sinal no momento da recepção. 5.3 Geração e detecção de sinais FM O componente chave para geração de sinais FM é um VCO - Voltage Controlled Oscillator. Versões modernas equivalentes são DCO - Digitally Controlled Oscillator. Em um VCO, o sinal de saída é uma senoide cuja frequência varia instantaneamente com o nível do sinal de entrada. Pode haver um termo constante, de modo que f(t) = f c +k x(t), onde x(t) é o nível de entrada e k é uma constante. Utilizando um VCO, os moduladores FM e PM teriam diagrama de blocos da figura 5.9-(a) e (b), respectivamente. FM PM (a) (b) d x(t) VCO x c (t) x(t) VCO x c (t) dt (c) (d) x c (t) d dt ENV x(t) x c (t) d dt ENV d dt x c (t) Figura 5.9: Modulador e demodulador para sinais FM e PM Há três tipos úteis de demoduladores AM: Conversor FM-AM Discriminador de variação de fase Detector de cruzamentos de zero Conversor FM-AM Um detector de envoltória pode ser utilizado para detectar sinais FM desde que haja uma conversão FM-AM. Como visto nas seções anteriores, um sistema cuja resposta em frequência tenha módulo linear em frequência pode causar esta conversão. Outros dispositivos podem realizar esta operação, desde que de alguma forma a derivada do sinal apareça. 04

109 5.3. GERAÇÃO E DETECÇÃO CAPÍTULO DE SINAIS 5. MODULAÇÃO FM ANGULAR OU EXPONENCIAL. Assim, se x c (t) = A c cos(θ c (t)), temos: dx(t) dt dθ = A c(t) c dt sin(θ c (t)) = 2πA c [f c + f x(t)] sin(θ c (t) ± 80 o ) (5.5) Como [f c + f x(t)] ] sempre, não há inversão de fase do sinal e a envoltória é proporcional à mensagem. A derivada pode alternativamente implementada por um circuito sintonizado. No tempo discreto, a derivada deve ser aproximada por equações de diferenças. Um diagrama que utiliza um detector de envoltória para recuperar a mensagem está mostrado na figura 5.0. x c (t) Limitador FPF d dt ENV Remove DC K D x(t) Figura 5.0: Detector de envoltória precedido de corretor de distorção em amplitude Discriminador de variação de fase Em vez de utilizar um circuito cuja saída varia linearmente com a fase, podemos utilizar um discriminador de variação de fase. Para t pequeno, a derivada de um sinal pode ser aproximada como: dv(t) dt t [v(t) v(t t )] (5.52) Para FM, temos: dφ(t) = 2πf x(t) dt φ(t) φ(t t ) t dφ(t) = 2πf t x(t) dt (5.53), isto é, a diferença de fase em dois instantes próximos é aproximadamente proporcional à mensagem. 05

110 5.3. GERAÇÃO E DETECÇÃO CAPÍTULO DE SINAIS 5. MODULAÇÃO FM ANGULAR OU EXPONENCIAL. Figura 5.: Demodulador utilizando discriminador de fase. Um atraso pode ser obtido através de uma linha de atraso. Utilizando a aproximação sin(x) x para x pequeno, podemos utilizar o diagrama da figura Detector de cruzamentos de zero Um detector de cruzamentos de zero está apresentado na figura 5.2. Os elementos deste circuito são: x c (t) Limitador Circuito Monoestável T t t T Remove DC K D f Δ x(t) x c (t) sgn(x c (t)) Pulsos Figura 5.2: Detector de cruzamentos de zero. Um limitador, cuja saída é uma onda retangular com frequência variável. Um circuito monoestável, que tem dois estados: ativo e inativo. Quando o sinal de entrada deste circuito cruza o zero no sentido negativo/positivo, o circuito fica ativo por um curto período de tempo, retornando ao estado inativo. Assim, a cada cruzamento de zero no sentido indicado, o circuito monoestável emite um pulso retangular curto com largura τ e amplitude A. Um integrador janelado, cuja saída vale a integral do sinal de entrada entre os instantes t T e t. Funciona como um contador de quantos pulsos foram emitidos pelo circuito monoestável nos últimos T segundos. 06