Sistema F[] ELE-31 Princípios de Telecomunicações. 3 Transmissão de Sinais, Filtros. Prof. Manish Sharma. September 9, 2015

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1 ELE-3 Princípios de Telecomunicações Prof. Manish Sharma September 9, 25 3 Transmissão de Sinais, Filtros O objetivo deste capítulo é que, ao final dele, possamos modelar e analisar as alterações sobre os sinais provocadas por: transmissão do sinal através de um canal; manipulações propositais do sistema (filtragem); através da resposta ao impulso de um sistema, no tempo e em frequência. Apresentamos também o conceito de densidade espectral de espectral e como esta se comporta através de um sistema. 3. Resposta de sistemas LTI Linear Time Invariantes) Um sistema é uma caixa preta com x(t) sinal de entrada ; y(t) sinal de saída. A grandeza destes sinais depende do contexto Um sistema é definido pela relação entre entrada e saída, definida genericamente como a aplicação do operador F à entrada. x(t) Sistema F[] y(t) Figure : Sistema

2 3.. Resposta ao Impulso e Integral por Superposição Se o sistema não possui nenhuma energia armazenada, a relação entrada/saída pode ser escrita como: y(t) F[x(t)] () onde F é um operador que relaciona a entrada com a saída. Para um sistema ser LTI, ele deve ser Linear e TI (time invariant- invariante no tempo.) A parte da linearidade exige que, se x(t) k a k x k (t)c, com a k, constantes, então: y(t) k a k F[x k (t)] (2) A parte de invariabilidade no tempo exige que: F[x(t t d )] y(t t d ) (3) isto é, um deslocamento no tempo na entrada causa somente o mesmo deslocamento na saída. Sistemas com elementos discretos combinados (resistor, capacitor, indutor) geram equações do tipo: d n y(t) dy(t) d m x(t) a n dt n + + a + a y(t) b m dt dt m + + b dx(t) dt com constantes que dependem dos valores dos elementos discretos. o valor de n depende do número de elementos que armazenam energia + b x(t) (4) É difícil de obter uma expressão direta para y(t) em função da entrada sem recorrer ao fato de que este sistema é LTI. Uma relação explícita entre entrada e saída vem da resposta ao impulso h(t), definida como: h(t) F[x(t) δ(t)] (5) Como qualquer sinal contínuo x(t) pode ser escrito como x(t) x(t) δ(t), temos que, para qualquer x(t) contínuo, a saída pode ser escrita como: y(t) F[x(t)] F[x(t) δ(t)] F[ x(λ)δ(t λ)]dλ Usando a propriedade da linearidade e sendo x(λ) constantes, x(λ)f[δ(t λ)]]dλ Usando a propriedade de invariância no tempo, x(t) h(t) x(λ)h(t λ)dλ h(λ)x(t λ)dλ (6) A última integral é a integral por superposição Para analisarmos um sistema precisamos então de h(t) 2

3 y(t) h(t) g(t) x(t) Dado um sistema, é fisicamente impossível gerar um impulso como δ(t) é definido. Determinação de h(t) pode ser feita utilizando uma entrada x(t) u(t), o que gera uma saída g(t): pois Exemplo: Resposta de um sistema de ordem um: Entrada é tensão x(t), saída é tensão y(t). g(t) F[x(t) u(t)] h(t) dg(t) (7) dt d dw(t) [v(t) w(t)] v(t) dt dt Qual é a saída quando a entrada é um pulso retangular com amplitude A e largura τ? Equação do sistema (tensão): RC dy(t) dt (8) + y(t) x(t) (9) Quando a entrada é um degrau u(t), a saída é encontrada como sendo g(t) Logo, a resposta ao impulso é h(t) dg(t) dt ( RC exp t ) RC ( ( exp t )) u(t). RC () A resposta do sistema para qualquer entrada x(t) pode agora ser obtida via convolução. Para o pulso retangular em questão: a saída é definida por três equações:, ( t < ( y(t) A exp t )), < t < τ RC ( ( A exp τ )) ( exp t τ ), t > τ RC RC () x(t) R y(t) C t Figure 2: Sistema de ordem um do exemplo. 3

4 3..2 Função de Transferência e Resposta ao Impulso Na presença de um sistema, a análise temporal dos sinais pode ficar mais complicada. Análise em frequência fornece geralmente perspectiva melhor Análise pode ser feita via função de transferência, definida como : H(f) isto é, a TF da resposta ao impulso no tempo, quando existir. Se h(t) for real então H(f) terá simetria Hermitiana h(t)exp( j2πf t)dt (2) Para interpretar H(f), vamos supor que a entrada é x(t) A x exp(jφ x )exp(j2πf t), para < t < que é um fasor com fase φ x e frequência f. Assim: y(t) x(t) h(t) h(λ)a x exp(jφ x )exp(j2πf (t λ))dλ A x exp(jφ x )exp(j2πf t) A x exp(jφ x )exp(j2πf t)h(f ) h(λ)exp( j2πf λ)dλ (3) Escrevendo H(f ) H(f ) exp(j arg[h(f )], teríamos y(t) A y exp(jφ y )exp(j2πf t), onde A y A x H(f ) e φ y φ x + arg[h(f ). Como Ay A x H(f ), H(f) é o ganho em amplitude do sistema em função da frequência Como φ y φ x arg[h(f )], arg[h(f)], é o desvio de fase do sistema em função da frequência Logo, H(f) é a resposta em frequência do sistema Seja x(t) X(f). Como y(t) x(t) h(t), temos, pelo teorema da convolução, que: Y (f) X(f)H(f) (4) onde Y (f) é o espectro da saída, obtido como o produto do espectro de entrada X(f) com a função de transferência H(f). Alternativamente, Y (f) X(f) H(f) e arg[y (f)] arg[x(f)] + arg[h(f)] Se x(t) tem energia finita, podemos obter a energia de y(t) via: E y Y (f) 2 df H(f) 2 X(f) 2 df (5) Quando x(t) δ(t), X(f), uma constante em todas as frequências. Neste caso, Y (f) H(f) Resumindo, temos as relações dadas pela figura 3: Podemos obter H(f), sem envolver h(t) Quando sabemos a equação diferencial relacionando a entrada e saída, temos : H(f) b m(j2πf) m + + b (j2πf) + b a n (j2πf) n + + a (j2πf) + a (6) 4

5 x(t) h(t) y(t)x(t)*h(t) domínio do tempo domínio de frequência X(f) H(f) Y(f)X(f) H(f) Figure 3: Relação entre variáveis. Um outro caminho é calcular o estado estacionário do sistema em resposta a um fasor, o que nos permitiria obter a relação entre amplitudes e fases entre saída e entrada. Por exemplo, se a entrada de um sistema for um fasor com fase e frequência conhecida, a saída será, após um tempo muito grande, um fasor com fase e frequência mensurável. Exemplo: Resposta em frequência de um sistema com ordem O mesmo sistema do exemplo anterior pode ser visto como duas impedâncias Z r e Z c em série, a saída sendo a tensão sobre Z c. A saída y(t) tem relação estacionária com a entrada dada pelo divisor de tensão formado, que tem equação: y(t) x(t) Zc Z r+z c y(t) Z r x(t) Z r + Z c onde B 2πRC é o parâmetro do sistema O ganho em amplitude e desvio de fase são: j2πfc R + j2πfc + j2πfcr ) H(f) + j ( f B (7) H(f) + (f/b) 2 arg[h(f)] arctan(f/b) (8) Este sistema é um filtro passa baixas com parâmetro B pois o ganho é praticamente unitário para f << B e muito baixo (<< ) para f >> B O parâmetro B é uma medida de banda de passagem, ou seja, quais frequências este sistema permite passar por ele. 5

6 Operação no tempo Expressão no tempo Função de transferência Multiplicação por escalar y(t) ±Kx(t) H(f) ±K Derivada y(t) dx(t) dt H(f) (j2πf) Integração y(t) t x(t)dt H(f) (j2πf) Deslocamento no tempo y(t) x(t t d ) H(f) exp( j2πft d ) Table : Relações entre operações e Funções de transferência Se a entrada x(t) é um sinal com banda W, isto é, o conteúdo espectral é desprezível para f > W, então há três cenários possíveis:. W << B H(f) e arg[h(f)]. Assim, Y (f) H(f) X(f) X(f) e o sinal não é distorcido. A saída tem o formato de x(t). 2. W B, então Y (f) H(f) X(f) X(f) e há distorção. A saída tem não tem o formato nem de x(t) ou de y(t) 3. W >> B. Dentro da banda B do sistema, X(f) X(), isto é, o espectro X(f) varia pouco dentro da banda B e pode ser aproximado pelo seu valor em f. Assim, Y (f) H(f) X(f) H(f) X(). Nesta situação, X() pode ser aproximado por um impulso no tempo. Logo, y(t) x(t) h(t) δ(t) h(t) h(t). A saída tem o formato de h(t) Análise por diagrama de Blocos Sistemas podem ser obtidos e/ou analisados por blocos menores representando equações mais simples: É possível combinar blocos para obter resposta do sistema Por hipótese, juntar blocos não altera as respostas dos mesmos, o que não é sempre válido na prática por causa das interações de impedância de entrada e saída com o comportamento do bloco. Algumas combinações possíveis: Ligação em paralelo : H(f) H (f) + H 2 (f) Ligação em série: H(f) H (f) H 2 (f) Realimentação (negativa): Logo, H(f) H (f) + H (f) H 2 (f) Y (f) H (f)[x(f) [ H 2 (f)y (f) ] H (f) Y (f) X(f) + H (f) H 2 (f) (9) 3.2 Distorção de Sinais durante Transmissão Um canal é um sistema de transmissão que: dissipa energia, causando atenuação; Acumula energia, causando alteração no formato dos sinais que passam por ele Assumindo que o canal é um sistema LTI (nem sempre verdade), quando não haverá distorção? 6

7 H (f) H 2 (f) Ligação em Série H (f) H 2 (f) H (f) H 2 (f) Ligação em Paralelo Realimentação negativa Figure 4: Ligações possíveis 3.2. Transmissão sem Distorção Dado x(t), y(t) é uma versão não distorcida de x(t) se: y(t) K x(t t d ) (2) isto é, se x(t) sofre somente um atraso no tempo e uma multiplicação por um escalar, ambos constantes. Em frequência a relação anterior equivale a: isto é: A resposta em amplitude é constante O desvio de fase é linear em f e vale 2πft d ± 8 o Y (f) K X(f) exp( j2πft d ) (2) É necessário que o sistema H(f) tenha estas propriedades somente na faixa de frequência de interesse, pois fora dela o sinal de entrada não existe Sistemas que não respeitam esta regra podem causar distorção, que podem ser classificadas em : Distorção em amplitude: H(f) K Distorção em fase: arg[h(f)] 2πft d ± 8 o Distorção não linear, como por exemplo um diodo. Este tipo de distorção pode gerar conteúdo energético em frequências que o sinal originalmente não ocupa Distorção Linear Inclui a distorção de amplitude e distorção de fase: A distorção de amplitude é causada por: Excesso de atenuação ou amplificação de algumas frequências Resposta desproporcional 7

8 Sem termo em f x(t) Na maioria dos casos, é suficiente que a resposta em amplitude do sistema seja plana em amplitude na faixa de interesse Exemplo: x(t) cos(2πf t) 3 cos(6πf t) + 5 cos(πf t) O resultado é uma onda aproximadamente quadrada Atenuação em baixa frequência afeta termo em f, resultando em uma onda quadrada que não consegue manter o seu nível Atenuação em alta frequência afeta termo em 5f, resultando em uma onda que sobe lentamente. A onda original e as duas versões atenuadas estão na figura Sem termo em 5f t Figure 5: Resultado de eliminação seletiva de termos da Série de Fourier de uma onda aproximadamente quadrada A distorção de fase acontece quando o desvio de fase não é linear em função da frequência. Para um sinal x(t) cos(2πft), um atraso em t d resultaria em y(t) x(t t d ) cos[(2πf)(t t d )] cos(2πft 2πft d ). Logo, o atraso de fase é φ(f) 2πft d. O valor de t d pode variar em função de f. Assim, se H(f) causa um desvio de fase, a função que relaciona t d em função de f e arg[h(f)] é: t d (f) arg[h(f)] 2πf (22) Para que não haja distorção, o atraso temporal em todas as frequências deve ser o mesmo, isto é, t d (f) deve ser constante. Caso isto seja verdade, o desvio de fase do sistema será linear em f. Há uma grande diferença entre dizer que t d (f) é constante e dizer que φ(f) é constante. No segundo caso, temos um atraso de fase constante, o que causa distorção. 8

9 x(t)' x(t) Exemplo: Sinal : x(t) cos(2πf t) 2 cos(4πf t) Atraso de fase constante de π/2, resultando em x (t) cos(2πf t + π/2) 2 cos(4πf t + π/2), como mostra a figura 6 No sinal original, os picos não coincidem. No sinal distorcido, os picos coincidem. Logo, há alteração de formato t Figure 6: Resultado de adição de fase constante a cada um dos termos de um sinal periódico. Em azul o sinal resultante. Em algumas situações, o atraso de fase pode ser linear em torno de um ponto central. Neste caso, para um canal com resposta em frequência plana, a equação da resposta é do tipo: Neste caso arg[h(f)] 2πft g + φ. Para um sinal modulado transmitido to tipo: H(f) A exp( j2πft g + jφ ) (23) x(t) x (t)cos(2πf c t) x 2 (t)sin(2πf c t) (24) a informação está nas funções x (t) e x 2 (t), enquanto que o seno e o cosseno estão portando a informação e são chamadas de portadoras. Este sinal, ao passar pelo sistema com resposta acima, resultaria em: y(t) Ax (t t g )cos(2πf c (t t g ) + φ ) Ax 2 (t t g )sin(2πf c (t t g ) + φ ) (25) onde o termo φ foi absorvido pelas portadoras. Assim, a informação foi atrasada em t g, denominado atraso de grupo ou atraso de envoltória. 9

10 A portadora foi atrasada em t d φ 2πf c, que é o atraso de fase Para ser possível recuperar a informação sem distorção, t g deve ser constante. Pelas equações anteriores,: arg[h(f)] 2πft g + φ dφ(f) 2πt g df t g dφ(f) 2π df (26) O último termo deve ser constante dentro da faixa de interesse, o que é uma restrição menor do que a restrição de que t d deve ser constante Para resolver o problema de distorção linear, podemos utilizar em algumas situações um equalizador Um dos métodos é utilizar um sistema com resposta em frequência igual a H(f). chamado Zero Forcing Equalizer Este método é As vezes H(f) não é conhecido ou varia no tempo, lentamente ou rapidamente. utilizar um equalizador adaptativo ou algum outro tipo de solução. Neste caso podemos Distorções não lineares geram harmônicos. Se estes estiverem na banda do sinal, eles interferirão de forma possivelmente irreversível. 3.3 Perdas de transmissão e Decibéis Leitura para casa. 3.4 Filtros e Filtragem Na prática todo sistema de comunicação tem filtros para: Isolar o sinal desejado Eliminar interferências Reduzir ruído ao mínimo Outras atividades Há filtros reais, que podem ser implementados de forma causal e resultando em atraso finito, e ideais, que não podem. O entendimento de filtros ideais ajuda a entender filtros reais e as implicações de suas limitações Filtros Ideais Não causam distorção numa faixa de frequências Tem ganho igual a zero nas outras faixas Por exemplo, um filtro passa faixas (BPF - Band Pass Filter) teria a seguinte resposta em frequência: { Kexp( j2πft d ), f l f F u H BP F (f) (27), c.c o que equivale ao formato das figura 7. A banda passante é definida como B f u f l, medido por convenção somente nas frequências positivas.

11 H(f) K B f f l f u arg[h(f)]exp(-j2πft d ) Figure 7: Resposta em frequência de um filtro BP ideal. Um filtro passa baixas (LPF) tem f l, resultando na resposta em frequência: { Kexp( j2πft d ), f B H LP F (f), c.c Um filtro passa altas (HPF) teria f u, resultando na resposta em frequência: { Kexp( j2πft d ), f > f l H HP F (f), c.c (28) (29) Também podemos utilizar o filtro rejeitor de faixa (BRF - Band Reject Filter), que é definido como: {, f l f F u H BRF (f) (3) Kexp( j2πft d ), c.c Nenhum destes filtros é fisicamente realizável, isto é, não podem ser implementados com recursos finitos. Por exemplo, um filtro LPF com resposta em frequência: H(f) K exp( j2πft d )Π ( ) f 2B (3) teria como resposta ao impulso: h(t) F {H(f)} 2 B K sinc[2b(t t d )] (32) Assim, h(t) para t <, o que o torna não causal. O sistema teria que responder ao impulso antes dele acontecer. Não poderíamos tornar o filtro causal aumentando o atraso t d pois a duração de h(t) também é infinita. Logo, este filtro é fisicamente impossível.

12 Embora estes filtros seja impraticáveis, eles são úteis para analisar filtros reais. Também servem como referência para desempenho de filtros reais. Alguns filtros reais podem ser aproximados muito bem por estes filtros ideais. Neste curso utilizaremos filtros ideais Sinais limitados no tempo ou em frequência Um sinal v(t) é limitado em frequência se V (f) para f > W, para algum valor de W. Um sinal v(t) é limitado no tempo se v(t) para t < t, t > t 2 e t < t 2, isto é, o sinal começa em t e termina em t 2. Ao filtrar um sinal limitado no tempo utilizando um filtro ideal, o sinal resultante não é limitado no tempo, pois ele é obtido pela convolução de um sinal limitado no tempo com um sinal ilimitado no tempo (sinc) Pela propriedade da dualidade, ao limitar um sinal idealmente no tempo, o sinal resultante será ilimitado em frequência. A conclusão é que a limitação simultânea de um sinal no tempo e em frequência é impossível. Por outro lado, conteúdo (energia) além de um certo limite (de tempo ou frequência) pode ser negligível. Assim, um sinal pode ser aproximadamente limitado no tempo e em frequência ao mesmo tempo. 3.5 Filtros de Quadratura e Transformada de Hilbert Úteis quando desejamos separar sinais pela fase. Serão utilizados na modulação AM O filtro de quadratura: adianta em 9 o frequências negativas adianta em 9 frequências positivas Em frequência esta definição equivale a : H q (f) j sgn(f) { j, f > j, f < (33) No tempo, partindo da transformada de Fourier da função sinal, a definição acima equivale a: H q (f) j sgn(f) πt h q(t) (34) Quando y(t) x(t) h q (t), dizemos que y(t) é a transformada de Hilbert (TH) de x(t), notação ˆx(t) 2 : ˆx(t) x(t) πt π x(λ) dλ (35) t λ Embora chamemos esta operação de transformada, o domínio de ˆx(t) continua sendo o tempo. sng(t) jπf 2 Esta definição pode conter ou não o sinal negativo, que utilizamos e adotamos por convenção. Caso o sinal não esteja presente, o resultado será o inverso. Entretanto, no escopo deste curso e na maioria dos livros de Telecomunicações, o sinal negativo será utilizado. 2

13 x( ), h(-( -t)) O cálculo desta integral é complicado, em particular quando t λ. h q (t) é não causal. Logo, não é realizável. Pode ser aproximado. Propriedades úteis desta transformada: x(t) e ˆx(t) tem a mesma amplitude em frequência pois j sgn(f) Se ˆx(t) é a TH de x(t), então x(t) é a TH de ˆx(t). x(t) e ˆx(t) são ortogonais, isto é, Exemplo: TH de um cosseno: Sinal x(t) Acos(2πf c t) lim x(t)ˆx(t)dt (36) T X(f) A 2 [δ(f f c) + δ(f + f c )] ˆX(f) ja 2 [δ(f f c) + δ(f + f c )]sgn(f) ja 2 [δ(f f c) δ(f + f c )] (37) Assim, ˆx(t) Asin(2πf c t). Este resultado pode ser utilizado para qualquer o cálculo da TH de qualquer sinal periódico. Exemplo: TH de um pulso retangular. x(t) A[u(t) u(t τ)] A integral pode ser calculada para três regiões, como mostra a figura 8.5 t A B t C t τ Figure 8: Sobreposição de x(λ)(azul) com h(t λ)(preto) 3

14 x(t); ^x(t) Para < t < τ 2, a área A cancela a área B, e a TH se reduz ao cálculo da área C: ˆx(t) x(λ) π t λ dλ τ A 2t π t λ dλ A τ π ln[t λ] A π ln [ t τ t ] 2t (38) Para τ 2 < t < τ, a situação é semelhante, resultando na mesma integral com limites de a τ 2t Para t < ou t > τ 2, não há cancelamento de áreas, mas há uma única parte da integral: ˆx(t) τ A π t λ dλ A [ ] π ln t (39) t τ O sinal resultante está na figura t Figure 9: Resultado da transformada de Hilbert de x(t). Os instante onde ˆx(t) vai para infinito são os extremos de distorção de fase. Isto pode ser interpretado como o instante em que os picos amplitude de todos os termos da Transformada de Fourier se combinam de forma construtiva no tempo, enquanto que no sinal original o que ocorre é a combinação de todas as bordas dos termos da Transformada de Fourier para causar a descontinuidade no tempo. 3.6 Correlação e Densidade Espectral Permitem analisar vários tipos de sinais, inclusive sinais aleatórios 4

15 3.6. Correlação de sinais de potência Sinais de potência não precisam necessariamente serem reais ou periódicos, mas precisam ter < P v <, onde: P v < v(t) 2 >< v(t) v(t) > (4) onde <> indica a média e v(t) é o complexo conjugado de v(t) Propriedades da média <> : < z(t) >< z(t) > < z(t t d ) >< z(t) >, t d < a z (t) + a 2 z 2 (t) > a < z (t) > +a < z (t) > Se v(t) e w(t) são sinais de potência, o produto escalar deles é < v(t) w (t) > e serve como uma medida de similaridade entre eles. Esta medida vem da desigualdade de Schwarz, que diz: < v(t) w (t) > 2 P v P w (4) com igualdade se v(t) aw(t), com a constante, i.e., sinais são proporcionais. A correlação cruzada é definida como sendo: R vw (τ) < v(t) w (t τ) >< v(t + τ) w (t τ) > (42) isto é, o produto escalar de um sinal com o outro conjugado de outro sinal adiantado em τ variável independente. É uma medida de semelhança entre v(t) e w (t τ). Versão aproximada do produto escalar. Temos também que R vw (τ ) < v(t) w (t) > Também podemos definir a correlação cruzada para sinais aleatórios de potência. Neste caso, teríamos, para v(t) e w(t) aleatórios: R vw (τ) E{v(t) w(t τ) } (43) onde E{v(t)} indica a esperança de v(t), para todas as realizações possíveis. 3 Propriedades: R vw (τ) 2 P v P w R vw (τ) R vw( τ) A autocorrelação é a correlação de um sinal com ele mesmo, atrasado: R v (τ) < v(t) v (t τ) >< v(t + τ) v (t) > (44) É uma medida de similaridade ou dependência estatística: se R v(τ) é grande, v(t) é parecido com v(t τ), caso contrário, não é. Propriedades : R v () P v R v (τ) R v () 3 Esta definição é válida quando v(t) e w(t) são estacionários no sentido amplo, cujo entendimento não é necessário neste momento. 5

16 R v ( τ) R v(τ) As duas primeiras propriedades dizem que o máximo da autocorrelação é na origem. A terceira nos diz que a autocorrelação tem simetria Hermitiana. Se v(t) for real, R v (τ) será real com simetria par Se v(t) for periódico, R v (τ) também será. Seja z(t) v(t) ± w(t). Então: R z (τ) R v (τ) + R w (τ) ± [R vw (τ) + R wv (τ)]. Se v(t) e w(t) são descorrelacionados para qualquer τ, então: e consequentemente R z (τ) R v (τ) + R w (τ) Quando τ temos, para sinais descorrelacionados: isto é, sinais descorrelacionados não cancelam as suas potências. Exemplo: correlação de fasores e senoides. Para dois fasores com frequências f e f 2, a correlação cruzada é: R vw R wv, τ (45) R z () R v () + R w () P z P v + P w (46) T 2 < exp(j2πf t)exp(j2πf 2 t) > lim T T T 2 exp([2π(f f 2 )]dt lim T sinc[t (f f 2 )] {, f f 2, c.c. (47) Com fasores v(t) C v exp(j2πf v t) e w(t) C w exp(j2πf w t), temos: R vw (τ) < [C v exp(j2πf v t)][cwexp( j2πf w (t τ)) > C{ v Cwexp(j2πτf w ) < exp(j2πf v t) exp(j2πf w t) > (48), f v f w C v Cwexp(j2πτf w ), f v f w i.e., fasores com frequências diferentes são descorrelacionados. A autocorrelação é R v (τ) R vv (τ), que vale: Quando temos senoides, chegamos a: R v (τ) C v 2 exp(j2πf v τ) (49) z(t) Acos(2πf t + φ) R z (τ) A2 2 cos(2πf τ) (5) i.e., R z (τ) é real, par, periódico, tem máximo em τ ± 2mπ f, m inteiro, e o máximo vale P z. A fase φ não aparece em R z (τ). Logo, não é possível determinar z(t) a partir de R z (τ) 6

17 3.6.2 Correlação de sinais de Energia Definições anteriores não servem para sinais de energia pois médias tenderiam a zero. Pequenas modificações matemáticas são necessárias. Um sinal v(t) é de energia se < E v <, onde E v é: E v A correlação de dois sinais de energia é: v(t)v (t)dt (5) R vw (τ) v(t)w (t τ)dt R v (τ) R vv (τ) (52) A integral acima possui as mesmas propriedades matemáticas da média temporal, gerando assim resultados semelhantes. Para qualquer par de sinais: R vw (τ) 2 E v E w (53) A correlação também é semelhante a uma convolução, onde τ é a variável independente e t é a variável dummy utilizada. Assim: R vw (τ) v(τ) w ( τ) R v (τ) v(τ) v (54) ( τ) Uma das consequências é que, se quisermos determinar por quanto um sinal v(t) foi atrasado, devemos filtra-lo por um filtro cuja reposta ao impulso é o complexo conjugado revertido do sinal. Este filtro é chamado de filtro casado. A TF permite relações adicionais: R v () R vw () v(t)v (t)dt E v v(t)w (t)dt E v V (f) 2 dt V (f)w (f)df (55) Combinado estes termos obtemos a desigualdade de Schwarz no domínio da frequência: R vw () 2 E v E w R v ()R w () 2 V (f)w (f)df V (f) 2 df + W (f) 2 df (56) e novamente com igualdade se os sinais forem proporcionais Este método permite o reconhecimento de padrões, como por exemplo o utilizado no GPS Correlações e sistemas Para um sistema h(t) com entrada x(t) e saída y(t), podemos ter interesse em R xy (τ) e R y (τ), a partir de R x (τ). Sabemos que y(t) x(t) h(t). 7

18 Assim: R yx (τ) y(t)x (t τ)dt [x(t) h(t)] x (t τ)dt h(λ)x(t λ) x (t τ)dλdt h(λ) h(τ) R x (τ) h(λ)r x (τ λ)dλ x(t λ) x (t τ)dtdλ (57) Como R y (τ) y(t)y (t τ)dt, obtemos utilizando um caminho semelhante: R y (τ) h (λ) y(t)h (λ)x (t τ λ)dλdt h (λ)r yx (τ + λ)dλ h ( λ)r yx (τ λ)dλ h ( τ) R yx (τ) R y (τ) y(t)x (t τ λ)dtdλ (58) Substituindo o resultado anterior obtemos: Função de Densidade Espectral R y (τ) h ( τ) h(τ) R x (τ) (59) Representam a distribuição de potência ou energia no domínio da frequência Notação: G v (f) para um sinal v(t) Área sob G v(f) é igual a potência/energia média do sinal: Dado o sistema anterior e H(f) F{h(t)}, a relação entre densidades é: G v (f)df R v () (6) G y (f) H(f) 2 G x (f) (6) Assim o valor H(f) 2 indica o ganho em potência/energia do sinal. Fisicamente, ao amplificar um sinal em amplitude por H(f), a sua potência será amplificada por H(f) 2 Combinando as duas equações acima chegamos a : A interpretação física é: Um sinal com G x (f) qualquer; R y () H(f) 2 G x (f)df (62) 8

19 passando por um filtro passa faixas com ganho unitário muito estreito, com faixa f; resultará na saída em na seguinte densidade espectral: { G x (f), f c f G y (f) 2 < f < f c + f 2, c.c. (63) Com f muito pequeno, G x (f) G x (f c ) dentro da banda de largura f, e R y () G x (f c ) f. Como a unidade de R y () deve ser potência ou energia e a unidade de f deve ser Hertz, a unidade de G x (f c ) e de G y (f) deve ser Watts/Hertz ou Joules/Hertz. Este valor deve então ser real e não negativo Determinação de G v (f) a partir de v(t) é feita pelo teorema de Wiener-Kinchine, que apresentamos sem demonstração: G v (f) F τ {R v (τ)} R v (τ)exp( j2πfτ)dτ (64) A relação inversa é: Resultando no par: R v (τ) F {G v (f)} G v (f)exp(j2πfτ)dτ (65) R v (τ) G v (f) (66) Se v(t) é um sinal de energia, as equações acima resultarão em: G v (f) V (f) 2 (67) Se v(t) é um sinal de potência periódico com série de Fourier v(t) c(nf )exp(j2πnf ), então a sua densidade espectral de potência será: G v (f) o que tem relação com o teorema de Parseval. n n c(nf ) 2 δ(f nf ) (68) Para o caso particular onde v(t) Acos(2πf t + φ), temos: {( G v (f) F A 2 2 ) cos(2πf τ) } A2 4 [δ(f f ) + δ(f + f ) (69) 4 Exercícios Questões 9,,2,3,5. Problemas: