ELE-31 Princípios de Telecomunicações

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1 ELE-3 Princípios de Telecomunicações Prof. Manish Sharma October 26, Modulação Angular ou exponencial. Neste capítulo apresentamos as modulações angulares, como gera-las e as consequências espectrais. Também apresentamos métodos de demodulação e os efeitos que distorções e interferências podem causar. 5. Modulação em Fase e em Frequência Recapitulando, um sinal modulado qualquer pode ser escrito como x c (t) = A(t) cos(2πf(t) + φ(t)). Genericamente, um sinal com envoltória constante e fase variável teria a seguinte expressão: x c (t) = A c cos(2πf c t + φ(t)) () O argumento do cosseno é um angulo, também chamado de fase, cujo valor instantâneo na expressão acima vale: θ c (t) 2πf c t + φ(t) (2) Reescrevendo a expressão acima obtemos: x c (t) = A c cos(θ c (t)) = A c R{exp(j φ c (t))} (3) que dá origem ao nome modulação exponencial, que é considerada uma modulação linear. No caso da modulação em fase (PM-Phase Modulation), o valor de φ(t) vale φ(t) = φ x(t), (4) onde x(t) obedece às convenções sobre a mensagem adotadas no capítulo anterior e φ 80 o, para evitar ambiguidades. O valor de φ é o maior desvio de fase possível. Assim, o sinal modulado PM tem o formato: x P M c (t) = A c cos(2πf c t + φ x(t)) (5) O diagrama fasorial deste sinal está mostrado na figura. A velocidade de rotação do fasor não é constante. O angulo total é a soma da rotação 2πf c t mais φ(t). Assim como a velocidade linear de um objeto é a variação de posição de um objeto em uma reta, a velocidade angular é a variação do angulo. Matematicamente: f(t) = dθ c (t) ω(t) = f c + dφ(t) 2π 2π 2π (6) A função f(t) é a frequência instantânea de rotação. Embora a sua unidade seja Hz, o seu valor não se equivale ao f encontrado no espectro, como veremos em breve.

2 f(t) A ϕ(t) 2πfct Figure : Diagrama fasorial de um sinal com modulação FM/PM. Em vermelho a projeção do fasor no eixo real. No caso de modulação em frequência (FM-Frequency Modulation), a mensagem está na frequência instantânea, que vale: f F M (t) f c + f x(t) (7) onde f é o maior desvio de frequência instantânea do sinal e deve ser menor do que f c para que f(t) 0, t. Como para FM a relação entre fase instantânea e frequência instantânea é dφ(t) = 2πf x(t), temos que a frequência instantânea pode ser escrita como: φ(t) = φ(t 0 ) + 2πf t t 0 x(λ)dλ (8) onde a fase inicial vale φ(t 0 ). Assumiremos por simplicidade que ela vale zero no instante t = 0. O sinal modulado é então: t ) x F c M (t) = A c cos (2πf c t + 2πf x(λ)dλ 0 (9) Se x(t) tiver um nível DC diferente de zero, a integral divergirá. Na prática isto equivale a um desvio de frequência constante que pode sere incorporado a f c. As modulações PM e FM são muito parecidas. Uma pode ser obtida a partir da outra com o uso de integradores ou derivadores, como mostra a tabela. Em ambos os casos a amplitude do sinal é constante, o que permite afirmar que S T = A2 c 2. O sinal x c (t) vale zero de forma não periódica. Se f c for grande o suficiente, a informação sobre frequência instantânea pode ser obtida exclusivamente a partir dos cruzamentos de zero. Esta propriedade será utilizada futuramente na demodulação de sinais modulados em fase. 2

3 Modulação φ(t) f(t) dφ(t) PM φ x(t) 2π t FM 2πf 0 x(λ)dλ f c + f x(t) Table : Embora a frequência instantânea esteja, no caso da modulação FM, entre f c ± f, a banda ocupada é maior do que 2f. É possível melhorar o desempenho da modulação FM aumentando o valor de f, até um certo limite. 5.. PM e FM de faixa estreita Qualquer sinal em banda passante pode ser escrito como: x c (t) = x ci (t)cos(2πf c t) x cq (t)sin(2πf c t) (0) Utilizando a série de Taylor das funções seno e cosseno, escrevemos, com base no diagrama fasorial referenciado em f c : [ x ci (t) = A c cos(φ(t)) = A c 2! φ2 (t) + ] [ x cq (t) = A c sin(φ(t)) = A c φ(t) 3! φ3 (t) + ] () Supondo que φ(t) << (radiano), temos que x ci (t) A c e x cq (t) A c φ(t). A condição sobre φ(t) caracteriza a modulação de faixa estreita (narrowband). Nestas condições: x c (t) A c cos(2πf c t) A c φ(t) sin(2πf c t) X c (f) Ac 2 δ(f f c) + j 2 A cφ(f f c ) para f > 0. (2) Para a modulação PM, Φ(f) = φ X(f). Para FM, Φ(f) = jf X(f) f. Logo, a banda do sinal modulado será de aproximadamente 2W, onde W é a banda de x(t). ( Exemplo: quando o sinal de entrada é x(t) = sinc(2w t), temos que X(f) = 2W Π f 2W de x c (t) para sinais PM e FM seriam aqueles da figura 2-(a) e (b), respectivamente Modulação tonal. ). Logo, o espectro É conveniente no caso genérico analisar o resultado da modulação tonal. Só é necessário fazer esta análise uma vez, ao considerarmos que o sinal de entrada é: { A m sin(2πf m t) PM x(t) = (3) A m cos(2πf m t) FM Ambos os sinais resultariam em φ(t) = β sin(2πf m t), onde: { φ A m para PM β = f Am f m para FM (4) Para que a modulação seja considerada de faixa estreita, necessitamos que β <<. Neste caso, o sinal modulado fica: x c (t) A c cos(2πf c t) A c βsin(2πf m t) (sin(2πf c ) = A c cos(2πf c t) + Acβ 2 [cos(2π(fc + fm)t) cos(2π(fc fm)t)] (5) cujo espectro e diagrama fasorial estão na figura 3. 3

4 (a) (b) f c -W f c f c +W f c -W f c f c +W Figure 2: Espectros resultantes da modulação (a)-pm e (b)-fm de faixa estreita, quando a mensagem é uma sinc. Um fasor com frequência relativa negativa é que garante que a envoltória do sinal é constante. No caso genérico para qualquer β, o sinal modulado é: x c (t) = A c [cos(φ(t)) cos(2πf c t) sin(φ(t)) sin(2πf c t)] (6) Embora x c (t) não seja periódico em t, tanto cos(φ(t)) quanto sin(φ(t)) são periódicos, pois, por exemplo, cos(φ(t)) = cos(β sin(2πf m t)). Logo, eles possuem podem ser escritos como uma série de Fourier, dada por: cos(β sin(2πf m t)) = J 0 (β) + 2 J 0 (β) cos(2πnf m t) sin(β sin(2πf m t)) = n ímpar n par 2 J 0 (β) sin(2πnf m t) onde J n (β) é a função de Bessel do primeiro tipo e ordem n, cuja definição é: (7) J n (β) π exp[j(β sin(λ) nλ)]dλ (8) 2π π Substituindo estes valores em x c (t) chegamos na conclusão que o sinal modulado contém, além da portadora, um número infinito de senoides separadas igualmente de f m. Ao representarmos o espectro unilateral, as frequências negativas devem ser rebatidas. A princípio, a banda de transmissão de um sinal tonal é infinita. Amplitudes das frequências f c + n f m, n 0, dependem das funções de Bessel, cujas principais propriedades são: 4

5 (a) (b) A c β 2 A(t) -f m A c β 2 f c -W f c f c +W f A c f m A c β 2 Figure 3: (a)-espectro aproximado da modulação tonal e (b)-diagrama fasorial correspondente, referenciado em f c.. A amplitude da portadora depende de J 0 (β). Consequentemente, depende da mensagem transmitida. Há valores de β tal que J 0 (β) = O número de linhas laterais com amplitudes relevantes (acima de um certo valor) depende de β. Quando β <<, apenas J 0 e J são relevantes, o que confirma a análise anterior. Com β maior, J n (β) será relevante para um valor de n maior. 3. Quanto maior o valor de β, maior a banda que contém senoides com amplitude relevante. Podemos desenhar J n (β) em função de β, para vários n, como mostrado na figura 4-(a) e (b)-em função de n β. Uma interpretação das figuras é a seguinte: J n (β) em função de n β é semelhante a uma envoltória espectral das bandas laterais. Ao multiplicarmos o eixo horizontal por βf m obtemos a amplitude dos sinais nas frequências f c + nf m. J n (β) decai monotonicamente para n β >, e J n(β) << para n β >> Em FM, é possível manter o valor de A m f e ao mesmo temo aumentar o valor de β ao diminuir f m, pois β = Am f f m. Isto permite manipular a escolha de β, mantendo o maior desvio em frequência Análise Fasorial Voltando ao sinal de faixa estreita e modulação tonal, temos que o sinal modulado é: x c (t) A c cos(2πf c t) A c βsin(2πf m t) (sin(2πf c )) (9) 5

6 J n ( ) J n ( ) n = 0 n = n = 2 n = 5 n = = = 2 = 5 = n - Figure 4: Duas visualizações das funções de Bessel. onde φ(t) = βsin(2πf m t). A amplitude e fase deste sinal podem ser aproximadas : A(t) = A [ 2 c + (βsin(2πf m t)) 2 ] A c + β2 4 β2 4 cos(4πf mt) [ ] φ(t) = arctan Acβsin(2πf mt) A c β sin(2πf m t) (20) Embora a fase tenha o valor desejado, a amplitude não. Ela deveria ser constante mas não é. Para corrigir a distorção em amplitude, acrescentamos termos em f c ± 2f m, o que causaria distorção na fase. Para corrigir esta nova distorção na fase, adicionaríamos senoides em f c ± 3f m, o que novamente causaria distorção em amplitude(menor do que a distorção original), e assim suscetivamente. Logo, para haver nenhuma distorção em fase e em amplitude ao mesmo tempo, precisamos adicionar termos em f c ± nf m indefinidamente. Os termos de ordem ímpar causam modulação em frequência por gerar o termo em quadratura com a portadora, enquanto que os termos de ordem par corrigem a distorção em amplitude por estarem em fase com a portadora. 5.2 Banda de transmissão e distorção Em geral, a banda de transmissão que contém todo o sinal é infinita, mesmo que a banda do sinal transmitido seja finita. Aproximamos + x + x,primeiros dois termos da série de Taylor, e arctan(x) x. 2 6

7 Na prática, sistemas FM possuem banda finita e funcionam bem, mesmo que isto resulte em uma pequena distorção causada pela eliminação de parte do espectro ideal. Deve-se analisar a relação distorção/banda ocupada e escolher um valor de banda ocupada que resulte em uma distorção razoável Estimativa de Banda de Transmissão Em geral, a amplitude do espectro cai quanto mais distante de f c, isto é, quanto maior f f c. A partir de algum valor de f f c, a amplitude do espectro pode ser considerada insignificante. significado de significância é variável e depende do sistema. O Há resultados empíricos. Retornando à figura J n (β) n β, observamos que o valor de J n(β) cresce rápido quando n β <<, especialmente se β >>. Logo, J n (β) é significante se n << β, isto é, o conteúdo espectral significante está entre os índices ±β. Para obter o equivalente em frequência, lembramos que na modulação FM, temos que β = A m f f m. Logo: W = n f m = β f m = Amf f m f m = A m f (2) isto é, a banda de um sinal FM seria de 2A m f, centralizada em f c. Esta conclusão coincide com a intuição que a energia de um sinal FM estaria na frequência instantânea, e esta varia entre f c ± A m f. Por outro lado, se J 0 (β) >> J n 0 (β) n, então todas as linhas laterais são relativamente pequenos em relação à linha em f c. Isto acontece se β <<. Em um extremo, a conclusão errônea seria de que devemos transmitir somente o termo em f c, ou seja, uma única senoide cuja frequência não varia no tempo. Devemos manter pelo menos os dois primeiros termos (em f c f m e f c + f m ). Logo, para β pequeno, a banda do sinal é aproximadamente de 2f m. Em ambos os casos de β, a alteração de f m da modulação tonal altera linearmente a banda ocupada. Se um sinal não for tonal, aproximamos f m pela maior frequência existente no sinal 2. Uma interpretação possível é que desta forma estamos calculando a banda instantânea do sinal modulado quando a frequência instantânea da mensagem vale f m e que f m < W, a banda da mensagem. Qualitativamente podemos definir o espectro significante de outra maneira: considerando o valores de n tal que J n (β) > ɛ, onde 0.0 < ɛ < 0., dependendo da aplicação. Isto é, se existe M tal que J M (β) > ɛ e J M+ (β) < ɛ, o espectro teria 2M + linhas significativas no total. A banda do sinal pode genericamente ser escrita como: B = 2 M ɛ (β) f m (22) onde M ɛ (β) é uma função de β, parametrizada por ɛ. O formato desta função está na figura 5. Ela pode ser aproximada por M(β) β + 2. Empiricamente, ɛ = 0.0 é conservador, enquanto que ɛ = 0. pode ser aceitável mas causa distorção perceptível. 2 Esta aproximação considera, por exemplo, que a modulação de um sinal FM composto por duas senoides ocuparia a banda 2A m f max, onde f max é a frequência da senoide mais rápida, ignorando a não linearidade existente nessa modulação 7

8 Figure 5: Formato da função M ɛ (β) para ɛ = 0.0 e ɛ = 0. (linhas cheias) e aproximação(linha tracejada). O valor de M(β) depende de β que, por sua vez, é inversamente proporcional a f m. Por outro lado, B da equação acima depende linearmente de f m. Logo, a maior banda instantânea ocupada por um sinal depende de alguma forma de f m < W. O seu valor máximo seria a banda de fato do sinal modulado. Usando a aproximação para M(β), chegamos a : ( ) Am f ) B 2(β + 2) f m = 2 + f m = 2(A m f + 2f m ) (23) f m Limitando pela nossa convenção sobre mensagens os valores de A m e f m < W, concluímos que o maior valor de B ocorre quando A m = e f m = W. Logo: B F M T = maxb = 2(f + 2W ), se β > 2 (24) Isto acontece com o valor β = f W, que não é o maior de β, mas sim o valor que maximiza a banda. Qualquer sinal suave com A m < e f m < W necessitará de uma banda menor. Para um mensagem x(t) com banda W e razoavelmente suave, a banda de transmissão seria a definida acima, pois a frequência instantânea do sinal variaria lentamente, assim como a sua integral. Esta análise ignora a não linearidade da modulação exponencial. Pare resolver de forma parcial este problema, definimos a razão de desvio, também conhecido como índice de modulação: D f W O conhecimento de uma função do tipo M(D) permitiria definir a banda de transmissão como B T = 2M(D) W. Entretanto, não há como definir M(D). (25) 8

9 Para valores extremos de D temos que a banda de transmissão vale: { 2DW = 2f D >> B T = 2W D << (modulação de faixa estreita) (26) Estes resultados podem ser combinados em uma única expressão que assintoticamente assume os valores acima: B T 2(f + W ) = 2(D + )W, (27) que é chamada de regra de Carson. A regra de Carson é uma boa estimativa de banda para D << 2 e D >> 0. Entretanto, na região 2 < D < 20, a regra de Carson subestima a banda necessária, empiricamente. Uma aproximação melhor na prática é usar a seguinte fórmula: B T 2(f + 2W ) = 2(D + 2)W (28) Para modulação de faixa estreita, a regra de Carson superestima a banda necessária, pois D + >. As estimativas para banda de FM são válidas para o caso PM utilizando φ no lugar de D. Assim: B T = 2M(φ )W 2(φ + )W (29) Caso as mensagens a serem transmitidas possuem descontinuidades no tempo, a frequência instantânea dos mesmos não varia lentamente. As aproximações acima não seriam válidas e seria necessário por exemplo medir a banda de transmissão ou obter alguma expressão analítica que permita a determinação da banda. Exemplo: FM comercial Por lei, f = 75kHz. o sinal de entrada é um sinal de áudio com conteúdo espectral relevante entre 30Hz e 5kHz. Logo, W = 5kHz. Pelas contas acima: D = f W = 5. Pela regra de Carson, B T 2(5 + )W = 80kHz. Pela regra modificada: B T 2(5 = 2)W = 20kHz. Na prática, usa-se B T = 200Khz. A utilização de uma modulação tonal com f m = 5kHz e com parâmetros acima resultaria em β = 5 e (pela figura) M(β) 7. A banda de transmissão seria de 20kHz. Se f m = 5kHz, o valor de β seria maior, β = 5 e M(5) 5. Entretanto, a banda seria de 50kHz, menor do que o valor anterior Distorção linear Nesta seção mostraremos como a modulação FM é robusta a distorção linear causada por um canal. O problema pode ser modulado como um canal com entrada x c (t), resposta H(f) e saída y c (t), onde: Em banda base equivalente teríamos o sinal: x c (t) = A c R{exp(2πf c t + φ(t)} (30) x lp (t) = exp(jφ(t)) (3) 2 9

10 Sabemos também que no domínio da frequência: Y lp (f) = H(f + f c ) u(f + f c ) X lp (f), (32) o que resulta no tempo em y lp (t) = F[Y lp (f)] (33) Em banda passante teríamos então y c (t) = 2R{y lp (t) exp(j2πf + ct)} (34) Há problemas: operações X lp (f) = F{x lp (t)} e y lp (t) = F[Y lp (f)] são complicadas e exigem análise numérica. Casos particulares podem ser analisados. Por exemplo, o sistema da figura 6 com resposta em amplitude e em fase linear teria a seguinte transformada de Fourier: ( H lp (f) = H(f + f c ) u(f + f c ) = K 0 + K ) f exp[j( 2πt o f c 2πt f)], (35) f c resultando em: Y lp (f) = K 0 exp( j2πf c t o )[X lp (f) exp( j2πt f)] + K j2πf c exp( j2πf c t) [(j2πf) X lp (f) exp( j2πt f)] (36) K 0 Linear com coeficiente K f f c f -2πft 0 arg[h(f)]=exp(-j2πft ) Figure 6: Resposta em frequência de H(f). Aparecem os termos: exp( j2πf c t 0 ) atraso da portadora; exp( j2πft ) atraso de grupo (linear em f); j2πf X lp (f) derivada de x lp (t) em relação ao tempo. 0

11 Com estas associações, conseguimos escrever a TF inversa de Y lp (f): y lp (t) = K 0 exp( j2πf c t 0 ) x lp (t t ) + K exp( j2πf c t 0 ) dx(t t ) j2πf c (37) A derivada de x(t) vale: dx(t t ) = d { } 2 A c exp[jφ(t t )] = j ( ) dφ(t 2 A t ) c exp(jφ(t t )) (38) Substituindo tudo na equação de y lp (t) chegamos a 3 : ( ) y lp (t) = K d exp[ j2πf c t 0 ] 2 A cexp(jφ(t t )) + K exp[ j2πf c t 0 ] j j2πf c 2 A c Este sinal em banda passante equivale a: ( dφ(t t ) ) exp(jφ(t t )) (39) y c (t) = A(t)cos[2πf c (t t 0 ) + φ(t t )] (40) onde: [ A(t) = A c K d + K ] dφ(t t ) 2πf c (4) Para sinais FM, temos a relação dφ(t t) 2πf x(t). Neste caso: [ ] f A(t) = A c K d + K x(t) f c (42) Pela última equação percebe-se que, quando o sinal FM passa por um sistema com a resposta em frequência definida, o sinal resultante será, além de modulado em frequência, também modulado em amplitude. Este processo é chamado de conversão FM-AM.Um detector de envoltória poderia ser utilizado para recuperar a mensagem, pois este detector é insensível a variações na frequência da portadora de modulações AM. A modulação em amplitude teria índice d emodulação µ = Kf K d f c. Não há maiores problemas neste método a não ser que a distorção causada pelo sistema cause distorção de fase do sinal, que é onde está a informação Distorção não linear e limitadores Distorção em amplitude pode causar conversão FM-AM. Caso indesejada, esta distorção pode ser eliminada través de um elemento não linear controlada seguida de alguma filtragem. Para esta análise, usaremos o sinal v in (t) = A(t) cos(θ c (t)), onde A(t) é a amplitude e θ c (t) = 2πf c t+φ(t) é a fase. Este sinal passa por um dispositivo não linear sem memória, gerando um sinal v out (t). A relação entre entrada e saída deste dispositivo é dada por uma função T [ ]. A ausência de memória quer dizer que v out (t = t ) = T [v in (t = t )], isto é, a saída no instante t depende somente do valor de entrada no instante t. 3 Mantemos o j para mostrar que ele se cancelará

12 A função v in (t) não é necessariamente periódica em t, mas é periódica em θ c (t) com período 2π. Logo, v out (t) também é uma função periódica de θ c (t) com período 2π, o que nos permite escrever a sua série de Fourier (em relação a θ c (t)) como 4 : v out (t) = 2a n cos(nθ c + arg(a n )) n= a n = (43) T [v in (θ c )]exp( jnθ c )dθ c 2π 2π Se a amplitude de T [v in (t)] varia com o tempo, os coeficientes a n também variarão. Por outro lado, se esta amplitude não varia com o tempo, os coeficientes serão constantes. Neste caso, o sinal de saída é: v out (t) = 2a cos(2πf c t + φ(t) + arg(a )) + 2a 2 cos(4πf c t + 2φ(t) + arg(a )) + (44) Pela expressão acima percebe-se que a distorção não linear gera modulações FM adicionais em harmônicos da frequência central, com amplitudes constantes 2a n e modulação em fase por nφ(t), mas uma fase constante. Se estas modulações não se sobreporem significantemente no espectro, o primeiro termo do somatório acima poderia ser isolado utilizando um filtro passa faixas centrado em f c. Um elemento não linear que tornaria a amplitude constante seria um limitador ideal, também conhecido como clipper. A relação entre entrada e saída é, em função de θ c, é: { v 0 π v out = 2 < φ < π 2 π v 0 2 < φ < 3π (45) 2 Nesta situação, os valores dos coeficientes são: 2v 0 nπ n =,5,9, 2v a n = 0 nπ n = 3,7,, 0 n = 2,4,6, (46) O resultado é o sinal: v out (t) = 4v 0 π cos(2πf ct + φ(t)) 4v 0 3π cos(6πf ct + 2φ(t)) + (47) Mesmo filtrando, o primeiro termo contém mais do que 80% da potência do sinal. Amplificadores não lineares podem, pelo meso raciocínio, serem utilizados para gerar sinais FM com grande eficiência em potência. O mesmo método também pode ser utilizado para corrigir pequenas variações na amplitude do sinal no momento da recepção. 5.3 Geração e detecção de sinais FM O componente chave para geração de sinais FM é um VCO - Voltage Controlled Oscillator. modernas equivalentes são DCO - Digitally Controlled Oscillator. Versões Em um VCO, o sinal de saída é uma senoide cuja frequência varia instantaneamente com o nível do sinal de entrada. Pode haver um termo constante, de modo que f(t) = f c + k x(t), onde x(t) é o nível de entrada e k é uma constante. 2

13 Demodulador Modulador FM PM (a) (b) d x(t) VCO x c (t) x(t) VCO x c (t) (c) (d) x c (t) d ENV x(t) x c (t) d ENV d x c (t) Figure 7: Modulador e demodulador para sinais FM e PM Utilizando um VCO, os moduladores FM e PM teriam diagrama de blocos da figura 7-(a) e (b), respectivamente. Há três tipos úteis de demoduladores AM: Conversor FM-AM Discriminador de variação de fase Detector de cruzamentos de zero Conversor FM-AM Um detector de envoltória pode ser utilizado para detectar sinais FM desde que haja uma conversão FM-AM. Como visto nas seções anteriores, um sistema cuja resposta em frequência tenha módulo linear em frequência pode causar esta conversão. Outros dispositivos podem realizar esta operação, desde que de alguma forma a derivada do sinal apareça. Assim, se x c (t) = A c cos(θ c (t)), temos: dx(t) dθ = A c(t) c sin(θ c (t)) = 2πA c [f c + f x(t)] sin(θ c (t) ± 80 o ) (48) Como [f c +f x(t)] ] sempre, não há inversão de fase do sinal e a envoltória é proporcional à mensagem. A derivada pode alternativamente implementada por um circuito sintonizado. derivada deve ser aproximada por equações de diferenças. No tempo discreto, a Um diagrama que utiliza um detector de envoltória para recuperar a mensagem está mostrado na figura 8. 4 Omitimos t em θ c(t) para facilitar o entendimento da periodicidade de v out(t) em relação a θ c(t). 3

14 x c (t) Limitador FPF d ENV Remove DC K D x(t) Figure 8: Detector de envoltória precedido de corretor de distorção em amplitude Discriminador de variação de fase Em vez de utilizar um circuito cuja saída varia linearmente com a fase, podemos utilizar um discriminador de variação de fase. Para t pequeno, a derivada de um sinal pode ser aproximada como: dv(t) t [v(t) v(t t )] (49) Para FM, temos: dφ(t) = 2πf x(t) φ(t) φ(t t ) t dφ(t) (50) = 2πf t x(t), isto é, a diferença de fase em dois instantes próximos é aproximadamente proporcional à mensagem. Um atraso pode ser obtido através de uma linha de atraso. Utilizando a aproximação sin(x) x para x pequeno, podemos utilizar o diagrama da figura Detector de cruzamentos de zero Um detector de cruzamentos de zero está apresentado na figura 0. Os elementos deste circuito são: Um limitador, cuja saída é uma onda retangular com frequência variável. Um circuito monoestável, que tem dois estados: ativo e inativo. Quando o sinal de entrada deste circuito cruza o zero no sentido negativo/positivo, o circuito fica ativo por um curto período de tempo, retornando ao estado inativo. Assim, a cada cruzamento de zero no sentido indicado, o circuito monoestável emite um pulso retangular curto com largura τ e amplitude A. 4

15 x c (t) Limitador FPF cos(2πf c t+ϕ(t)) X FPB K D x(t) Desvio de fase sin(2πf c t+ϕ(t)) Figure 9: Demodulador utilizando discriminador de fase. Um integrador janelado, cuja saída vale a integral do sinal de entrada entre os instantes t T e t. Funciona como um contador de quantos pulsos foram emitidos pelo circuito monoestável nos últimos T segundos. Um eliminador de nível DC A idéia do detector de cruzamento de zero é que, se W << T << f c, o intervalo entre cruzamentos de zero será praticamente constante durante vários pulsos. Isto é, f(t) permanece praticamente constante durante T segundos. Nesta janela de tempo, teremos n T T f(t) cruzamentos de zero no intervalo, que serão contados pelo integrador janelado, resultado em: t v(λ)dλ = Aτ Aτf(t) (5) T t T n t Após eliminação do valor médio f c, obtemos a saída y D (t) K D f x(t), onde K D é uma constante de detecção. Detectores comerciais apresentam erro de demodulação menor do que 0.% para valores de f c entre Hz e 0MHz. Utilizando um divisor por L (que emite um pulso a cada L pulsos recebidos), a faixa de operação (e o erro) de um detector aumenta por L. A vantagem deste tipo de detector é que eles são facilmente implementáveis em circuitos digitais. 5.4 Exercícios Questões Problemas:

16 x c (t) Limitador Circuito Monoestável T t t T Remove DC K D f Δ x(t) x c (t) sgn(x c (t)) Pulsos Figure 0: Detector de cruzamentos de zero. 6