Aula 6 PS Prof. César Janeczko. Filtros Digitais

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1 Aula 6 PS Prof. César Janeczko Filtros Digitais Filtros digitais são usados em geral para dois propósitos: 1 o separação de sinais que foram combinados, por exemplo, modulados; 2 o restauração de sinais que foram distorcidos de algum modo, por exemplo, um ruído ou o batimento cardíaco de um bebe no útero materno. Para tais, os filtros digitais têm desempenho superior aos filtros analógicos. Filtros analógicos quando comparados aos digitais, são em geral baratos, rápidos e tem uma grande faixa dinâmica de amplitude e frequência. Porém, em comparação, filtros digitais são vastamente superiores em desempenho. A figura abaixo mostra que cada filtro tem uma resposta ao impulso, uma resposta ao degrau e uma resposta em frequência. Cada uma destas respostas contém a informação completa sobre o filtro, porém em forma diferente. Tendo uma das formas é possível calcular as outras, sendo essas importantes sobre diferentes circunstâncias. De modo geral, o modo de implementar um filtro digital é pela convolução do sinal de entrada pela resposta ao impulso do filtro. Todo filtro linear pode ser implementado desta maneira. Um outro modo de fazer filtros digitais, é chamado de recursão. Para implementar um filtro recursivo por uma convolução é primeiro necessário calcular a resposta ao impulso deste filtro. Esta resposta é muitas vezes muito longa, mas pode ter seus valores ignorados quando os valores da sua amplitude caem a valores comparáveis com o ruído do sistema. Por causa desta característica, filtros recursivos são também chamados de filtros IIR Infinite Impulse Response. Em comparação, filtros implementáveis por convolução são chamados de filtros FIR Finite Impulse Response 1

2 Como um degrau é a integral de um impulso, a resposta ao degrau é a integral da resposta ao impulso. A escala linear mostra melhor o ripple e freqüência de corte, enquanto a escala em decibel mostra melhor a atenuação da banda de corte. P 1log 1 P 2 db = ou 1 db = 2log 1 A2 A 1 A freqüência de corte é tomada a 3dB, o que significa a amplitude reduzida para.77 (e a potência reduzida a.5) 2

3 Parâmetros no domínio do tempo Risetime - tempo de subida (1% a 9% do nível de amplitude), resposta ao degrau tão rápida quanto possível Overshoot - deve ser eliminado, porque muda a amplitude das amostras do sinal. Fase linear desejável para que a rampa de subida seja simétrica a rampa de decida. 3

4 Parâmetros no domínio da freqüência A Banda de transição entre a banda passante e a banda de corte deve ser a mais estreita possível Sem ripple na banda de passagem Atenuação da banda de corte em db. 4

5 Respostas em freqüência comuns Filtros Passa Altas, Passa Banda e Rejeita Banda Podem ser desenvolvidos a partir de filtros Passa Baixas, através de inversão espectral e reversão espectral Exemplo de inversão espectral A inversão espectral é realizada pela subtração de um passa tudo por um passa baixas 5

6 Exemplo de reversão espectral A reversão espectral é realizada por deslocamento da freqüência, como na modulação, multiplicando se o filtro por uma senóide de freqüência.5 fs 6

7 Filtro Passa Faixa é obtido pela disposição em cascata (convolução) de um passa baixas e um passa altas. Um Filtro Rejeita Faixa é obtido pela soma de um passa altas com um passa baixas (disposição em paralelo) 7

8 Classificação de Filtros Os filtros digitais são classificados de acordo com seu uso e sua implementação, e podem ser divididos em três categorias: domínio do tempo, domínio da freqüência. Domínio do tempo são usados quando a informação está em forma de ondas, e são usados para smoothing (alisar), remover nível DC, etc. Domínio da freqüência são usados quando a informação está contida em amplitude, freqüência e fase de componentes senoidais, e são usados para separar uma banda de freqüência de outra. Filtros Windowed (Janelamento) Filtros FIR Filtros Moving Average (Média Móvel) - Janela Retangular 1 1 M [ i] = x[ i + j] y M j= Por exemplo: x y[ 8] = 5 Também podem ser implementados por convolução [ 8] + x[ 81] + x[ 82] + x[ 83] + x[ 84] y [ 8] = x[ 8] + x[ 81] + x[ 82] + x[ 83] x[ 84] 8

9 Redução do Ruído x Resposta ao Degrau Filtros MA são ótimos para redução de ruído branco (proporcional a raiz quadrada no n o de ptos da média)mantendo a resposta ao degrau. Resposta em freqüência sin [ ] ( πfm ) H f = M sin( πf ) Bom desempenho do domínio do tempo implica em pobre desempenho no domínio da freqüência e vice-versa. 9

10 t Aτ aτ sinc( fτ ) τ Filtro média móvel com múltiplas passagens Implementação recursiva y [ i] = y[ i 1 ] + x[ i + p] x[ i q] onde: ( )/ 2 p = M 1 q = p +1 Esteja ciente que filtro recursivo média móvel é FIR muito diferente de filtros recursivos típicos IIR 1

11 Outras Janelas Janela triangular (Bartlett) [ ] w n = 2 2n / M 2n / M n M / 2 M / 2 n M else Hanning 11

12 12 [ ] = else M n M n w n 2 cos π Hamming [ ] = else M n M n w n 2.46 cos.54 π Blackman

13 2πn 4πn.42.5cos [ ] +.8cos w n = M M n M else Kaiser 2 n M / 2 I β 1 [ ] = M / 2 w n n M I( β ) else I representa a função de Bessel modificada do primeiro tipo para ordem zero ( ) β =.5842 A 8 M = ω.112( A 8.7).4 ( A 21) ( A 21) A > 5 21 A 5 A < 21 ω = ω s ω p largura da banda de transição Exemplo: Especificando: ω =.4π, ω =.6π, δ =.1, δ. 1 p p 1 2 = 1 = δ2 =. Assumindo: δ 1 Determinando a frequencia de corte Devido a simetria nos podemos escolher: ωc =. 5π Calculando 13

14 ω = ωs ωp =. 2π A = 2log1 δ = 6 Parâmetros da janela de Kaise β = M=37 A resposta ao impulso é dada como: 2 n 18.5 I h[ n] = sin[.5π ( n 18.5) ] 18.5 π ( n 18.5) I( 5.653) n M else 14

15 Filtros Windowed-Sinc Usados para separa uma banda de freqüência de outra. São muito estáveis, produzem pouca surpresa e podem ter incrível desempenho. Bom desempenho na freqüência e pobre desempenho no tempo, incluindo excessivo ripple e overshoot na resposta ao degrau. São implementados por convolução, lentos para executar. Função sinc: h [ i] sin = iπ ( 2πf i) Janela de Hamming c [ i] =.54.46cos( 2πi M ) w / Janela de Blackman [ i] =.42.5cos( 2π i / M ) +.8cos( 4πi M ) w / 15

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17 Características das janelas de Blackman (melhor) e Hamming Projetando um filtro Para projetar um filtro Windowed-sinc, dois parâmetros devem ser selecionados: a frequência de corte f c e o comprimento do filtro, M. A freqüência de corte é expressa em função da razão de amostragem e deve ser entre e.5. O valor de M determinando inclinação da descida, através da seguinte aproximação. M = 4 BW Onde, BW é a largura da banda de transição também expressa de a.5 da freqüência de amostragem. 17

18 relação: Depois de f c e M terem sido selecionados, o filtro pode ser calculado pela ( 2 f ( i M / 2) ) sin π c 2πi 4πi h[ i] = K cos +.8cos i M / 2 M M i=,1,2,...m K é escolhido para dar ganho unitário em freqüência zero 1 K = h i [ ] Para i =M/2 usar h[ i] = 2πf K (para evitar divisão por zero) c 18

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