Filtragem e Identificação de Sistemas em Processos Industriais

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1 Memorias del XVI Congreso Latinoamericano de Control Automático, Filtragem e Identificação de Sistemas em Processos Industriais Rodríguez, O.W.R. Garcia, C. Escola Politécnica, Universidade de São Paulo São Paulo, Brasil( orodriguez@usp.br). Escola Politécnica, Universidade de São Paulo São Paulo, Brasil ( clgarcia@lac.usp.br). Resumo: Este artigo aborda a influência dos métodos de filtragem na identificação de sistemas em processos industriais. Propõe-se projetar filtros passa-baixa digitais que atenuem ou eliminem o ruído presente na medição de uma planta piloto de vazão e avaliar o seu desempenho em relação ao índice de ajuste do modelo identificado. Os métodos de filtragem que vão ser avaliados são: o método da janela de Bartlett, Hann, Hamming, Blackman, Kaiser e retangular; sendo a estrutura auto-regressiva com média móvel e entradas exógenas (ARMAX) usada como modelo do processo a identificar. Observou-se que os índices de ajuste dos modelos com dados filtrados melhoram em torno de 4,26% a 4,88% em relação aos modelos com dados sem filtrar. Esses resultados sugerem que a filtragem de dados tem alguma influência na identificação de sistemas. Keywords: Identificação de sistemas, ARMAX, filtragem, passa-baixa, método da janela. 1. ITRODUÇÃO Os sistemas de controle aplicados em processos industriais têm como principal propósito a manter o controle das variáveis físicas em torno de algumas referências ou pontos de operação, atingindo as especificações do produto, segurança e meio ambiente. Contudo, para projetar as diferentes estratégias de controle clássico e/ou controle avançado, se faz necessário e imprescindível obter os modelos matemáticos que representam a dinâmica da planta. A identificação de sistemas é uma técnica que provê modelos matemáticos que representam o comportamento dinâmico dos processos, em torno de um ponto de operação. O método consiste em gerar sinais com um amplo espectro de frequência nas variáveis de entrada do sistema e registrar os dados das variáveis de saída. A partir dos dados obtidos e modelos paramétricos definidos (AR, ARMAX, BJ), se determinam os parâmetros do modelo. Por fim, realiza-se uma validação do modelo obtido, mediante o índice de ajuste do modelo ao sistema real (fit). Os sinais elétricos gerados pelos instrumentos de campo trafegam por fios, muitas vezes gerando ruído com menor amplitude e maior frequência do que o sinal do processo. O ruído pode ser criado quando o sinal elétrico interage com campos magnéticos presentes na grande maioria das plantas industriais. Os sinais que são utilizados na identificação de sistemas podem estar super-amostrados. Esta prática pode auxiliar na definição do espectro de frequência e diminuição das perdas de informação dos sinais na etapa de filtragem. Em Ljung (1999), define-se a etapa de pré-processamento de dados na identificação de sistemas em três partes principais: filtragem, normalização e reamostragem. a etapa de filtragem, ele sugere coletar os dados dos sinais superamostrados e suprimir o ruído com filtros passa-baixas. a etapa de normalização, procura-se levar as faixas das variáveis para faixas iguais. a etapa de reamostragem, o autor recomenda como uma escolha ótima do intervalo de reamostragem, a décima parte da constante de tempo dominante do processo, isto é, T s = 0, 1τ. Em Harris (1978), Oppenheim and Schafer (2009) e Ingle and Proakis (2011), os autores apresentam a metodologia do processo de filtragem mediante janelas. este artigo, vai-se projetar filtros passa-baixas com o propósito de manipular variáveis de processo, geralmente lentas por natureza, tais como temperatura, nível, vazão e pressão. este trabalho coletam-se sinais da Planta Piloto de Vazão do Laboratório de Controle de Processos Industriais da Escola Politécnica da USP. A partir destes dados, projetamse filtros passa-baixas pelo método do janelamento. 2. IDETIFICAÇÃO DE SISTEMAS A identificação de sistemas tem como objetivo determinar os modelos matemáticos de sistemas dinâmicos, com base em dados empíricos das entradas e saídas. 2.1 Projeto de identificação o processo de identificação (Gustavsson, 1975) se excita o sistema com um tipo de sinal de entrada u(t) que pode ser degrau ou sinais aleatórios binários (PRBS ou GB). Os dados de saída do sistema y(t) são coletados junto com os de entrada u(t). Uma parte destes sinais é usada para a identificação e outra para a validação. Baseado no conhecimento prévio do processo, escolhe-se uma estrutura de modelo. Com os dados de identificação e a estrutura de modelo, obtém-se o modelo estimado, que é avaliado com dados de validação, de onde se extrai o índice de ajuste do 864

2 modelo ao sistema real (fit)). Se o modelo não for aceito devido a um baixo fit, o procedimento retorna aos passos prévios; caso contrário, o procedimento se encerra. Algumas considerações devem ser feitas preliminarmente em relação ao projeto do experimento: - a identificação de sistemas dinâmicos, o período de amostragem deve ser suficientemente pequeno, de modo que informações significativas do processo não sejam perdidas (Ikonen and ajim, 2001). - Um efeito chamado aliasing pode ocorrer se o sinal amostrado contiver frequências que sejam mais altas do que a metade da frequência de amostragem. Isto é, seja a frequência de amostragem w s, então a componente de maior frequência do processo tem que ser menor que w s /2 no sinal amostrado (Aguirre, 2007). - Quando se visa estimar parâmetros do modelo em uma certa faixa de frequências, pode-se pré-filtrar o sinal com um filtro passa-banda. Quando o sinal contém offset ou perturbações de carga, podese eliminá-los com um filtro passa-altas. Quando o sinal tem componentes irrelevantes de alta frequência, incluindo o ruído, pode-se eliminá-los com um filtro passa-baixas (Ikonen and ajim, 2001). 2.2 Sinal de entrada O sinal de entrada no processo de identificação é determinante nas estimativas dos parâmetros do modelo. Contudo, nem todos os processos permitem ser excitados por sinais de entrada padrão. A amplitude deve ser tal que a saída do sistema esteja dentro da faixa linear na qual se pretende identificar. A característica da frequência deve promover alterações nas componentes de frequências do processo, isto é, obter a maior informação possível do sistema. Os sinais padrão mais frequentemente usados são: (a) Degrau: deve ser tal que maximize a mudança de valores na saída, dentro da região linear que equivale ao ponto de operação em que se quer trabalhar. Um degrau fornece tempo de acomodação, ganho estático, constante de tempo dominante e tempo morto. (b) Sinal pseudo-aleatório binário (PRBS). É um sinal periódico de onda quadrada que comuta entre dois valores possíveis. O sinal é de natureza determinística e sua função de correlação se assemelha à função de correlação do ruído branco. A escolha dos níveis do sinal é normalmente limitada para maximizar a mudança de valores do sinal de saída, sem comprometer o funcionamento adequado (Aguirre, 2007). (c) Ruído binário generalizado (GB). É um sinal que faz uma mudança entre dois valores, proposto por Tulleken (1990). Tem uma configuração similar ao ruído binário (B), com a diferença de que a probabilidade de chaveamento p não está fixada em 0,5, mas sim em uma faixa 0 < p < 1. O sinal GB possui média zero e é de natureza não-determinística. 2.3 Escolha da estrutura de modelo O modelo de um sistema é uma descrição de suas propriedades, adequado a um certo propósito (Ljung, 1999). (a) Estrutura geral de modelo linear Ljung (1999) e Aguirre (2007) apresentam a equação (1), que é a estrutura geral de modelo linear A(q)y(t) = B(q) C(q) u(t) + ε(t) (1) F (q) D(q) onde q 1 é o operador de atraso, isto é, y(t)q 1 = y(t 1), ε(t) é erro na medição e A(q), B(q), C(q), D(q) e F (q) são os polinômios definidos a seguir: A(q) = 1 + a 1 q a na q na B(q) = b 1 q b nb q n b C(q) = 1 + c 1 q c nc q nc D(q) = 1 + d 1 q d nd q n d F (q) = 1 + f 1 q f nf q n f (2) A escolha da estrutura do modelo consiste na seleção dos graus dos polinômios A(q), B(q), C(q), D(q) e F (q), isto é, n a, n b, n c, n d e n f. (b) Modelo ARMAX O modelo auto-regressivo com média móvel e entradas exógenas, ARMAX, pode ser obtido da equação (1), com D(q) = F (q) = 1 e A(q), B(q) e C(q) são polinômios arbitrários. Sua representação matemática é descrita na equação (3). A(q)y(t) = B(q) u(t) + C(q) ε(t) (3) 3. FILTRAGEM DE DADOS o processo de filtragem, o objetivo é separar sinais que se encontram misturados no domínio do tempo, mas na frequência mantêm suas características claramente definidas. Os processos industriais são por natureza lentos, isto é, o tempo de acomodação t s é geralmente maior que 1 minuto. Portanto, são de baixa frequência. esta seção o objetivo é projetar filtros digitais passabaixa, que deixem passar as baixas e atenuem ou eliminem as altas frequências. O ponto limite que separa as baixas frequências das altas é chamado de frequência de corte, f c. A frequência de corte é definida pela avaliação da Densidade Espectral de Potência (DEP). 3.1 Filtros FIR Os filtros de resposta finita ao impulso (FIR) são causais e podem ser projetados com fase linear. O comprimento da resposta ao impulso unitário h(n) é, por definição, finito. A saída do filtro y(n) é definida pela equação 4, como sendo o somatório da convolução finita da resposta impulsiva e das k entradas passadas, onde x(n) é o sinal de entrada do filtro. y(n) = h(n) x(n) = 1 k=0 h(k) x(n k) (4) o domínio da frequência, a convolução equivale a uma multiplicação, portanto a equação (4) pode ser reescrita como: Y (ω) = H(ω)X(ω) (5) onde Y (ω), H(ω) e X(ω) são a transformada discreta de Fourier de y(n), h(n) e x(n), respectivamente. 865

3 A transformada de Fourier no tempo discreto (TFTD) relaciona a resposta ao impulso unitário com seu espectro em frequência H(ω), mediante a relação mostrada em (6). 3.2 Filtro ideal h(n) = 1 2π ω ω H(ω)e jωn dω (6) O filtro passa-baixa ideal preserva as frequências contidas na faixa de passagem e atenua todas as frequências dentro da faixa de rejeição, sendo definido na equação (7). { 1, ω ωc H d (ω) = (7) 0, ω c < ω π onde: H d é a amplitude da resposta em frequência desejada, ω c é a frequência de corte (Madisetti, 2010; Parks and Burrus, 1987; Oppenheim and Schafer, 2009). O filtro passa-baixa ideal é ilustrado na Figura 1. Figura 1. Filtro passa-baixa ideal. Substituindo-se a equação (7) em (6), tem-se: h d (n) = 1 2π Para (n = 0): Para (n 0): h d (n) = 1 π π j2πn ejωn h d (n) = sen(ω cn) πn ω c e jωn dω = 1 e jωn dω (8) 2π ω c h d (0) = ω c π ; (9) ω c = 1 ) (e jωcn e jωcn ω c j2πn (10) De maneira geral, o centro do filtro que naturalmente é na origem, pode ser deslocado em α (ver equação (11)), tal que, o extremo esquerdo da resposta ao impulso unitário desejado h d (n) coincida com a origem. A equação (11) mostra o deslocamento para α = ()/2. h d (n) = sen[ω c(n α)] (11) π(n α) Para representar corretamente o filtro ideal passa-baixa, seu comprimento deveria ser infinito. Por esta razão não é possível ser implementado numericamente. a prática, o filtro ideal passa-baixa é usado para implementar filtros reais mediante a técnica de janelamento, isto é, truncar o filtro ideal com janelas de diferentes características. 3.3 Filtro pelo método da Janela O janelamento é uma método de projetar os filtros digitais mediante o truncamento de um filtro ideal h d (n) por meio de uma função (chamada de janela). Desta forma, pode-se obter filtros FIR causais e de fase linear. O filtro projetado h(n) está definido na equação (12). h(n) = h d (n) w(n) (12) onde w(n) é a função janela. O método da janela foi projetado para evitar o fenômeno de Gibbs, que é um comportamento oscilatório anômalo nos pontos próximos a uma descontinuidade gerada pelas somas parciais da série de Fourier. A amplitude da máxima oscilação é aproximadamente 9% da amplitude da descontinuidade. As principais funções de janelamento são: A. Janela retangular { 1, 0 n B. Janela de Bartlett 2n, 0 n 2 2 2n, < n 2 C. Janela de Hann [ ( )] 2πn 0, 5 1 cos, 0 n (13) (14) (15) D. Janela de Hamming ( ) 2πn 0, 54 0, 46cos, 0 n (16) E. Janela de Blackman ( ) ( ) 2πn 4πn 0, 42 0, 5cos + 0, 08cos, 0 n F. Janela de Kaiser I 0 [β 1 ( ] ) 1 2n 2 1, 0 n (18) I 0 [β] onde β controla a mínima atenuação na faixa de rejeição e I 0 [ ] é a função de Bessel modificada de grau zero, definida por: [ ] (x/2) k 2 I 0 (x) = 1 + (19) k! e k=0 0, 1102(A s 8, 7), A s 50 β = 0, 5842(A s 21) 0,4 +0, 07886(A s 21), 21 < A s < 50 (20) O comprimento da janela de Kaiser está definido pela equação (21). A s 7, 95 (21) 2, 285 ω (17) 866

4 a Tabela 1 (Ingle and Proakis, 2011) é apresentado um resumo das funções de janelamento e suas características em relação à amplitude da faixa de transição ω, ao comprimento do filtro e à mínima faixa de atenuação. Tabela 1. Resumo das características da função janela w(n). ome da Amplitude da transição ( ω) Atenuação na janela Aproximação Valor exato faixa de rejeição 4π 1,8π Retangular 21 db 8π 6,1π Bartlett 25 db 8π 6,2π Hann 44 db 8π 6,6π Hamming 53 db 12π 11π Blackman 74 db 3.4 Projeto de um filtro O projeto de um filtro consiste em definir algumas especificações, tal que ele cumpra os requisitos determinados pela aplicação. As especificações podem ser absolutas ou relativas, como se ilustra na Figura Planta piloto 4. EXPERIMETO A Planta Piloto de Vazão do Laboratório de Controle de Processos Industriais da Escola Politécnica da USP é composta por uma bomba centrífuga; um driver de velocidade, que regula a rotação da bomba; uma válvula de controle, que regula a vazão na linha e um medidor de vazão, que apresenta ruído na medição. O objetivo principal da planta piloto é regular a vazão de água na tubulação. 4.2 Coleta de dados Antes da coleta de dados, o sinal de controle u(t) e a variável do processo P V (t) foram normalizados. Utilizouse um escalonamento proporcional de 0% para o valor mínimo e de 100% para o valor máximo para cada sinal. o experimento considera-se de forma arbitrária que o ponto de operação é de 50% da variável de processo P V. A região linear está em torno do ponto de operação na faixa de 40% 80% da P V e na faixa de 15% 35% do sinal de controle u. O sinal gerado para excitar o sistema dentro da região linear e os valores de saída do sistema são vistos na Figura 3. ela, apresentam-se os dados coletados da planta de vazão, que foi excitada com um sinal PRBS na válvula de controle com um tempo de amostragem T s = 0, 01s (sobre-amostrado) e com uma duração do experimento de 363s. O sinal de saída do processo é ruidoso. Figura 2. Especificações do filtro FIR: (a) absoluto (b) relativo (Ingle and Proakis, 2011). (a) Especificações absolutas a Figura 2(a) observam-se três faixas no espectro de frequência: a faixa de passagem, a faixa de transição e a faixa de rejeição. A faixa de passagem [0, ω p ] e δ 1 é uma banda de tolerância às ondulações. A faixa de transição [ω p, ω s ] não possui nenhuma restrição em sua amplitude de resposta. A faixa de rejeição [ω s, π] e δ 2 é sua tolerância às ondulações. (b) Especificações relativas R p é a ondulação permitida na faixa de passagem em db e A s é a ondulação permitida na faixa de rejeição em db. Os parâmetros R p e A s estão definidos nas equações (22) e (23). Figura 3. Sinais de entrada e saída do sistema para identificação de sistemas. 4.3 Projeto do filtro do experimento Mediante a função spectrum do Matlab, gerou-se a densidade espectral de potência (DEP) pelo método de Welch. A DEP é mostrada na Figura 4. Pode-se ver que a frequência fundamental f 0 do sistema é 0, 4 Hz. e R p = 20log 10 1 δ δ 1 > 0( 0) (22) A s = 20log 10 delta δ 1 > 0( 1) (23) Figura 4. Densidade espectral da potência do sinal de saída do sistema PV. 867

5 A frequência de corte f c para o filtro passa-baixa determinou-se em f c = 1 Hz e sua frequência de corte normalizada é definida por: f cn = f c F s /2 = 1 = 0, /2 onde F s é a frequência de amostragem do sinal. Portanto a frequência de corte normalizada é ω cn = 0, Considerou-se uma faixa de transição do filtro igual a 20% da frequência de corte ω cn, sendo este o ponto médio da faixa de transição. Portanto, ω p = 0, 05655, ω s = 0, 0628 e ω = 0, Definiram-se as bandas de oscilação permitidas na faixa de passagem e de rejeição em δ 1 = 0, 01 e δ 2 = 0, 01. Mediante as equações (22) e (23), determinaram-se suas correspondentes oscilações permitidas em db para R p = 0, 1737 e A s = 40, 09. Finalmente, o comprimento do filtro foi definido para cada um dos métodos da janela. Para isso, considerouse o valor de ω igual ao valor exato da Tabela 1. O comprimento pelo método da janela de Kaiser foi calculado mediante a equação (21). a Tabela 2 apresenta-se o comprimento do filtro para cada uns dos métodos. Figura 6. Resposta em frequência dos filtros projetados (db). Tabela 2. Comprimento do filtro passabaixa projetado para ω = 0, ome da janela Comprimento do Filtro Retangular 451 Bartlett 1526 Hann 1551 Hamming 1651 Blackman 2751 Kaiser 1121 A resposta em frequência dos filtros projetados, mediante as equações (13) a (18), é ilustrada nas Figuras 5 e 6. O sinal de saída P V (t) filtrado se mostra na Figura 7. Figura 7. Sinal de vazão filtrado para 50 segundos. 4.4 Identificação do modelo da planta Figura 5. Resposta em frequência dos filtros projetados. Com os dados coletados e filtrados nas seções anteriores, existem mais duas considerações: - O período de amostragem. Os dados coletados foram sobre-amostrados, com uma período de amostragem de t s = 0, 01s. Porém, na etapa de identificação a sobre-amostragem não é desejada, pois o modelo pode estar sobre-estimado, isto é, ele é muito específico para os dados com que foi identificado e muito ruim quando é avaliado com outros dados. Em aplicações industriais, o tempo de amostragem recomendado deve ser igual à décima parte da constante de tempo dominante (Ljung, 1999). o experimento, o tempo de amostragem na identificação está definido por: T s = τ 10 = 3s 10 = 0, 3 s e sua frequência de amostragem é F s = 3, 33 Hz. - Avaliação do efeito de aliasing: para evitar este efeito, a componente de maior frequência do processo (f 0 = 0, 4 Hz) deve ser menor que a metade da frequência 868

6 de amostragem (f s = 3, 33/2 = 1, 665 Hz). Portanto, a frequência escolhida cumpre este requisito. Com os dados filtrados, reamostrados (amostrados com τ/10) e normalizados (em uma faixa de 0%-100%), dividiuse os dados em duas partes, a primeira metade para a etapa de identificação e a outra metade para a etapa de validação.. Escolheu-se a estrutura ARMAX por ser um dos modelos mais usados nos processos industriais. o experimento não foi gerada nenhuma perturbação. O processo de vazão caracteriza-se por ter baixa ordem, por isso, testou-se para ordens n a = n b = n c = a, onde a = 2, 3, 4. Ademais, o parâmetro n k foi fixado em zero (n k = 0), dado que no processo de vazão considera-se que não há tempo morto. a validação cruzada foram testadas predições de 1, 10, 100 e infinitos passos à frente para cada um dos filtros projetados e também para os dados sem filtrar. Esta etapa forneceu os índices de ajuste dos modelos (fit), que são vistos nas Tabelas 3 a 5. Dessas tabelas e considerando a validação para predição com infinitos passos à frente (por ser este o caso mais rigoroso), nota-se que o melhor modelo obtido é com os dados filtrados pelo método de Bartlett (fit=94,50%). O modelo resultante é apresentado na equação (3): A(q) = 1 2, 027q 1 +1, 692q 2 0, 8257q 3 +0, 1944q 4, B(q) = 0, , q 1 0, 02272q 2 0, 01316q 3, C(q) = 1+0, 6315q 1 0, 5751q 2 0, 2089q 3 +0, 3743q 4 e sendo o mínimo erro quadrático MSE = 0, Tabela 3. Fit de validação cruzada do modelo ARMAX para n a = n b = n c = 2 e n k = 0. ome da Passos à frente janela inf Sem filtro 89,95 89,57 90,15 89,21 Retangular 98,35 82,74 83,21 81,95 Bartlett 98,67 74,06 70,24 67,91 Hann 98,66 74,06 70,24 67,91 Hamming 98,77 59,44 45,79 41,90 Blackman 98,82 53,44 34,44 29,96 Kaiser 98,78 63,97 53,99 50,55 Tabela 4. Fit de validação cruzada do modelo ARMAX para n a = n b = n c = 3 e n k = 0. ome da Passos à frente janela inf Sem filtro 90,22 89,98 90,38 89,62 Retangular 98,90 94,94 94,60 94,37 Bartlett 99,12 94,63 94,33 94,08 Hann 99,24 94,47 94,15 93,91 Hamming 99,22 94,47 94,16 93,90 Blackman 99,22 94,47 94,15 93,90 Kaiser 99,20 94,49 94,21 93,96 a Tabela 3 observa-se que para predições 1 passo à frente, os modelos têm um alto índice fit. Porém, para predições mais à frente, o fit é muito menor. O modelo de grau 2 não representa bem a dinâmica do sistema identificado. as Tabelas 4 e 5, nota-se a vantagem de se usar dados filtrados na identificação do processo. Obteve-se um mínimo de 4,26% e um máximo de 4,88% de melhora no índice de ajuste do modelo. Ademais, observa-se não haver diferença significativa entre os modelos de grau 3 e 4, isto é, a planta pode ser representada por um modelo de grau 3. Tabela 5. Fit de validação cruzada do modelo ARMAX para n a = n b = n c = 4 e n k = 0. ome da Passos à frente janela inf Sem filtro 90,20 89,99 90,40 89,62 Retangular 99,07 95,35 94,74 94,49 Bartlett 99,28 95,30 94,79 94,50 Hann 99,52 94,31 94,27 93,88 Hamming 99,51 94,46 94,35 93,99 Blackman 99,56 94,32 94,28 93,88 Kaiser 99,32 95,24 94,76 94,45 5. COCLUSÕES A identificação do modelo da planta piloto de vazão, usando os dados sem filtrar mostra um ajuste aceitável, mesmo no caso quando o horizonte de predição é infinito. A filtragem de dados utilizando qualquer um dos métodos de janela apresentados possui uma vantagem mínima de 4,26% no índice de ajuste fit. ão há vantagem significativa em filtrar os dados por qualquer um dos métodos de janela citados, em relação ao índice fit. Dentre os filtros testados, considerando o comprimento do filtro projetado (Tabela 2) e sua relação com o processamento numérico requerido na etapa de filtragem, o método da janela retangular apresentou um melhor desempenho. a identificação de processos industriais com sinais ruidosos, recomenda-se pré-filtrar os dados para se obter um melhor índice de ajuste do modelo. 6. AGRADECIMETO Os autores agradecem a agência brasileira CPq pelo financiamento da bolsa de Mestrado de Oscar Rodríguez. REFERÊCIAS Aguirre, L.A. (2007). Introdução à identificação de sistemas-técnicas lineares e não lineares aplicadas a sistemas reais. Editora UFMG, 3 o edition. Gustavsson, I. (1975). Survey of applications of identification in chemical and physical processes. Automatica, 11(1), Harris, F.J. (1978). On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform. Proceedings of the IEEE, 66(1), Ikonen, E. and ajim, K. (2001). Advanced process identification and control, volume 9. 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