Técnicas de Projeto de Filtros

Transcrição

1 Técnicas de Projeto de Filtros Carlos Alexandre Mello

2 Técnicas de Projeto de Filtros O projeto de um filtro tem três passos: Especificações Determinada pela aplicação Aproximações Projeto do filtro especificamente (H(z)) Implementações Transcrição do projeto para hardware ou software 2

3 Técnicas de Projeto de Filtros Em diversas aplicações como processamento de voz ou som, filtros digitais são usados para implementar operações seletivas de frequência Assim, especificações são necessárias no domínio da frequência em termos de magnitude desejada e resposta em fase do filtro 3

4 Técnicas de Projeto de Filtros Em geral, uma resposta em fase linear na banda de passagem é desejada 4

5 Técnicas de Projeto de Filtros As especificações de magnitude são dadas de duas possíveis formas: Especificações absolutas Requisitos da magnitude H(e jw ) Especificações relativas Requisitos definidos em decibéis (db) Escala db = 5

6 Técnicas de Projeto de Filtros Considerações: Banda de Passagem 1-1 H(e jw ) 1 + 1, para 0 w w p Banda de Corte H(e jw ) 2, para w w s Banda de Transição Largura finita igual a w s w p 6

7 Técnicas de Projeto de Filtros Especificação Absoluta 7

8 Técnicas de Projeto de Filtros Especificação Relativa 8

9 Técnicas de Projeto de Filtros 9

10 Técnicas de Projeto de Filtros Exemplo: As especificações de um FPB definem as ondulações da banda de passagem em 0,25 db e a atenuação na banda de corte em 50 db. Determine 1 e 2 R p = 0,25 = -20 log 10 [(1-1 )/(1 + 1 )] 1 = 0,0144 A s = 50 = -20 log 10 [ 2 /(1 + 1 )] 2 = 0,

11 Técnicas de Projeto de Filtros Objetivo: Projetar um filtro passa baixa (i.e., achar H(z)) que tenha banda de passagem [0, w p ] com tolerância 1 (ou R p em db) e uma banda de corte [w s, ] com tolerância 2 (ou A s em db) 11

12 Técnicas de Projeto de Filtros Vantagens de filtros FIR Resposta em fase linear 12

13 Técnicas de Projeto de Filtros Tanto a aproximação quanto a implementação podem ser realizadas de diversas maneiras diferentes, com o resultado de que não existe uma solução única para o problema de projeto de filtros com um conjunto prescrito de especificações 13

14 Carlos Alexandre Mello

15 Para o projeto de filtros FIR, as técnicas são divididas nas seguintes categorias: Projeto usando janelas Método da amostragem em frequência Projeto equirriple ótimo... 15

16 Projeto Usando Janelas A ideia básica de um projeto por janelas é selecionar um filtro seletor de frequências ideal apropriado (que sempre é não-causal e de resposta ao impulso infinita) e então truncar sua resposta ao impulso em uma janela para obter um filtro FIR causal e de fase linear Assim, o foco está na escolha de uma função de janelamento e um filtro ideal apropriados 16

17 Projeto Usando Janelas Vamos considerar o FPB ideal H d (e jw ) com magnitude 1 e fase linear na banda de passagem e resposta zero na banda de corte: H d (e jw ) = 1.e -jw, w w c 0, w c < w onde w c é chamada de frequência de corte (cutoff) e é o atraso da amostra (sample delay) 17

18 Projeto Usando Janelas A resposta ao impulso desse filtro é infinita e dada por: Para obter um filtro FIR a partir de h d [n], precisamos truncar h d [n] em ambos os lados. 18

19 Projeto Usando Janelas Para obter um filtro FIR causal de fase linear h[n] de comprimento M, devemos ter: e α = (M - 1)/2 Essa operação é chamada de janelamento 19

20 Projeto Usando Janelas Em geral, h[n] pode ser pensado como sendo formado pelo produto de h d [n] e uma janela w[n] tal que: h[n] = h d [n].w[n] onde w[n] é alguma função simétrica com respeito a no intervalo 0 n M 1 e 0 fora desse intervalo 20

21 Projeto Usando Janelas Dependendo de como obtivermos w[n] acima, temos diferentes projetos de filtros Por exemplo: é uma janela retangular 21

22 Projeto Usando Janelas Observem que estamos tentando definir uma sequência finita h[n] para o filtro (a partir de h d [n]) Mas a transformada de Fourier de uma sequência (TF discreta no tempo), H(e jw ), é contínua 22

23 Projeto Usando Janelas No domínio da frequência, a resposta H(e jw ) do filtro FIR causal é dada pela convolução de H d (e jw ) e a resposta da janela W(e jw ): 23

24 Projeto Usando Janelas 24

25 Projeto Usando Janelas Observações: 1. Como a janela w[n] tem comprimento finito igual a M, sua resposta em frequência tem uma região de pico central (lóbulo principal) cuja largura é proporcional a 1/M e tem lóbulos laterais com pesos menores. 2. A convolução gera uma versão da resposta ideal H d (e jw ), mas com algumas distorções (ondulações). 3. A largura da banda de transição é proporcional a 1/M. 4. Os lóbulos laterais produzem ondulações que têm forma similar tanto na banda de passagem quanto na de corte. 25

26 Projeto Usando Janelas Projeto usando janelas: Para uma dada especificação de filtro, escolha um filtro de comprimento M e uma função janela w[n] para a mais estreita largura do lóbulo principal e a menor atenuação nos lóbulos laterais possível 26

27 Projeto Usando Janelas Da observação 4 anterior, podemos notar que a tolerância 1 da banda de passagem e a tolerância 2 da banda de corte não podem ser especificadas de forma independente Geralmente, toma-se 1 = 2 27

28 Tipos de Janelas Janela Retangular Resposta em frequência 28

29 Tipos de Janelas Magnitude da função sen[w(m+1)/2]/sen(w/2) 29

30 Tipos de Janelas A largura do lóbulo central é w m = 4/(M + 1) para uma janela retangular Observa-se também que a magnitude do primeiro lóbulo lateral é aproximadamente em w = 3/(M+1) e é dada por: 30

31 Tipos de Janelas À medida que M cresce, a largura de cada lóbulo lateral diminui, mas a área sobre eles permanece constante Assim, as amplitudes relativas dos picos laterais vão permanecer constantes e a atenuação da banda de passagem permanece em cerca de 21 db Isso significa que as ondulações vão sofrer um pico perto das bordas das bandas Isso é conhecido como fenômeno de Gibbs Esse fenômeno ocorre por causa da transição brusca de 0 para 1 (e de 1 para 0) da janela retangular 31

32 Tipos de Janelas 32

33 Tipos de Janelas Janela Triangular ou de Bartlett Bartlett sugeriu uma transição mais suave para evitar o fenômeno de Gibbs. Isso seria conseguido através de uma janela triangular da forma: 33

34 Tipos de Janelas 34

35 Tipos de Janelas Janela de Hanning 35

36 Tipos de Janelas Janela de Hamming 36

37 Tipos de Janelas Janela de Blackman 37

38 Tipos de Janelas Características das funções 38

39 Tipos de Janelas Janela de Kaiser Esta é a melhor janela Ela e considerada ótima porque provê um lóbulo principal largo para a dada atenuação da banda de corte, o que implica a mais brusca banda de transição 39

40 Tipos de Janelas Janela de Kaiser I 0 (.) é a função de Bessel modificada de ordem zero 40

41 Tipos de Janelas Janela de Kaiser Variadas formas da Janela de Kaiser 41

42 Tipos de Janelas Janela de Kaiser Na expressão de w[n], existem dois parâmetros: O comprimento M O parâmetro Se = 0, temos a janela retangular Variando e M, é possível ajustar a amplitude dos lóbulos laterais Kaiser encontrou duas fórmulas que permitem achar M e de modo a atender às especificações do filtro 42

43 Tipos de Janelas Janela de Kaiser considerando 1 = 2 w = w S - w P A = -20log 10 43

44 Tipos de Janelas Janela de Kaiser O procedimento para projetar um filtro passa-baixa digital FIR usando a janela de Kaiser consiste nos seguintes passos: i) Estabelecer as especificações w P, w S e. ii) Estabelecer a frequência de corte w c do filtro passa-baixa ideal ao qual se aplicará a janela (w c = (w P + w S )/2). iii) Calcular A = 20log 10 e w = w P - w S e usar as fórmulas de Kaiser para encontrar os valores de M e. iv) Encontra a resposta ao impulso do filtro através de h[n]=h d [n]w[n], onde w[n] é a janela de Kaiser e h d [n] = -1 [H d (e jw )]. 44

45 Tipos de Janelas Janela de Kaiser Devido à complexidade de cálculos com funções de Bessel, o projeto dessas janelas não é fácil A equação de w[n] definida por Kaiser tem valores encontrados empiricamente e são definidos sem prova 45

46 Tipos de Janelas Janela de Kaiser Exemplo: Projetar, usando janelas de Kaiser, um filtro passa-baixa com as seguintes especificações: w P = 0,4, w S = 0,6 e = 0,001 w c = (w S + w P )/2 = 0,5 w = w S - w P = 0,2 A = -20log 10 = 60 db Como A > 50: = 0,1102(A 8,7) 5,633 M = (A - 8)/(2,285w) 36,219 M = 37 (M inteiro) 46

47 Tipos de Janelas Janela de Kaiser Exemplo: Projetar, usando janelas de Kaiser, um filtro passa-baixa com as seguintes especificações: w P = 0,4, w S = 0,6 e = 0,001 A resposta ao impulso é com w[n] dado pela definição da janela de Kaiser 47

48 Tipos de Janelas Implementações no MatLab O MatLab tem diversas funções para implementar janelas: w = rectwin(m): Janela retangular w = bartlett(m): Janela de Bartlett w = hanning(m): Janela de Hanning w = hamming(m): Janela de Hamming w = blackman(m): Janela de Blackman w = kaiser(m, Beta): Janela de Kaiser 48

49 Exemplos no MatLab Função 1: function hd = ideal_lp(wc, M) % Ideal low pass filter % wc = cutoff frequency % M = length of the ideal filter alpha = (M - 1)/2 n = [0:(M-1)]; m = n - alpha + eps; hd = sin(wc*m)./(pi*m); Função 2: function [db, mag, pha, w] = freqz_m(b, a) % Versao modificada da funcao freqz [H, w] = freqz(b, a, 1000, 'whole'); H = (H(1:501))'; w = (w(1:501))'; mag = abs(h); db = 20*log10((mag + eps)/(max(mag))); pha = angle(h); eps é uma variável do MatLab com valor muito pequeno, colocada apenas para impedir divisão por zero 49

50 Exemplos no MatLab Exemplo 1: Projetar um filtro passa-baixa FIR com as seguintes especificações w P = 0,2, R P = 0,25 db, w S = 0,3 e A S = 50 db. Tanto a janela de Hamming quanto a de Blackman provêem atenuação de mais de 50 db Vamos escolher a janela de Hamming que provê a menor banda de transição e assim tem a menor ordem 50

51 Exemplos no MatLab Exemplo 1: wp = 0.2*pi; ws = 0.3*pi; tr_width = ws - wp; M = ceil(6.6*pi/tr_width) + 1 n = [0:M-1]; wc = (ws + wp)/2; hd = ideal_lp (wc, M); w_ham = (hamming(m))'; h = hd.*w_ham; [db, mag, pha, w] = freqz_m(h, [1]); 51

52 Exemplos no MatLab Exemplo 1: M = 67 alpha = 33 stem(hd) stem(w_ham) stem(h) plot(db) 52

53 Exemplos no MatLab Exemplo 2: Resolver o exemplo anterior com janela de Kaiser 53

54 Exemplos no MatLab Exemplo 3: A resposta em frequência de um filtro rejeita-faixa ideal é dada por: Usando uma janela de Kaiser, projete um filtro rejeitafaixa de comprimento 45 com atenuação na banda de corte de 60 db 54

55 Exemplos no MatLab Exemplo 3: Observe que a largura da banda de transição não foi dada Ela será encontrada a partir do comprimento M = 45 e do parâmetro β da janela de Kaiser Das equações de projeto da janela de Kaiser, podemos determinar β a partir de A s : 55

56 Exemplos no MatLab Exemplo 3: Vamos agora implementar a janela de Kaiser e observar a atenuação na banda de corte M = 45; As = 60; n=[0:m-1]; beta = *(As - 8.7) beta = 5,6533 w_kai = (kaiser(m, beta))'; wc1 = pi/3; wc2 = 2*pi/3; hd = ideal_lp(wc1, M) + ideal_lp(pi, M) - ideal_lp(wc2, M); h = hd.*w_kai; [db, mag, pha, w] = freqz_m(h, [1]); 56

57 Exemplos no MatLab Exemplo 3: Problema. Abaixo de 60 db 57

58 Exemplos no MatLab Exemplo 3: Observe que, com esse valor, a mínima atenuação da banda de corte é menor que 60 db (em módulo) Assim, precisamos aumentar β para aumentar a atenuação para 60 db. Vamos colocar um acréscimo no valor calculado de β para conseguir uma atenuação maior Observamos que, assim, a atenuação fica maior que 60 db na banda de corte 58

59 Exemplos no MatLab Exemplo 3: Vamos agora implementar a janela de Kaiser e observar a atenuação na banda de corte M = 45; As = 60; n=[0:m-1]; beta = *(As - 8.7) beta = 5,9533 w_kai = (kaiser(m, beta))'; wc1 = pi/3; wc2 = 2*pi/3; hd = ideal_lp(wc1, M) + ideal_lp(pi, M) - ideal_lp(wc2, M); h = hd.*w_kai; [db, mag, pha, w] = freqz_m(h, [1]); 59

60 Exemplos no MatLab Exemplo 3: Acima de 60dB OK! 60

61 Projeto por Amostragem em Frequência Nessa técnica, usamos o fato de que a função de sistema H(z) pode ser obtida a partir de amostras H(k) da resposta em frequência H(e jw ) Seja h[n] a resposta ao impulso de um filtro FIR com M amostras, H[k] é sua transformada discreta de Fourier com M- pontos e H(z) sua função de sistema 61

62 Projeto por Amostragem em Frequência 62

63 Projeto por Amostragem em Frequência Observações (da figura anterior): 1) O erro de aproximação a diferença entre a resposta ideal e a atual é zero nas freqüências amostradas 2) O erro de aproximação nas outras freqüências depende da forma da resposta ideal, ou seja, quanto mais sharp a resposta ideal, maior o erro de aproximação 3) O erro é maior perto das fronteiras das bandas e menor dentro das bandas 63

64 Projeto Equirriple Ótimo Os métodos de janelamento e de amostragem na frequência têm alguns problemas: 1) Não podemos especificar w P e w S precisamente nos projetos. 2) Não podemos especificar 1 e 2 simultaneamente Ou consideramos 1 = 2 (como no janelamento) ou otimizamos 2 (como na amostragem). 3) O erro de aproximação não é distribuído uniformemente nas bandas Ele é mais alto perto das fronteiras das bandas e menor quanto mais distante delas 64

65 Projeto Equirriple Ótimo O método equirriple ótimo evita esses problemas. No entanto ele é bastante difícil de utilizar e requer computador na sua implementação O objetivo é minimizar o erro máximo de aproximação (minimax do erro) Otimização Tais filtros são chamados de equirriple porque o erro é distribuído de maneira uniforme na banda de passagem e de corte o que resulta em um filtro de menor ordem 65

66 Projeto Equirriple Ótimo Exemplo: 66

67 Técnicas de Projeto de Filtros Referências: Digital Signal Processing using MatLab, V.Ingle, J.G.Proakis, Brooks/Cole, 2000 Discrete-Time Signal Processing, A.Oppenheim e R.W.Schafer, Prentice-Hall, 1989 Digital Signal Processing Using MatLab and Wavelets, M.Weeks, Ed. Infinity Science, 2007 Digital Signal and Image Processing, T.Bose, John Wiley and Sons,