Introdução aos Filtros Digitais

Transcrição

1 Processamento Digital de Sinais Introdução aos Filtros Digitais Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti

2 Conceitos Básicos Funções principais dos filtros: separação de sinais Exemplo: monitorar o sinal de ECG do feto ainda dentro do útero da mãe. recuperação de sinais Exemplo: recuperação de gravações de áudio e melhoramento de imagens borradas. Digital vs analógico Os filtros analógicos são muito mais baratos que os digitais. Os filtros digitais conseguem desempenhos muito (mas muito mesmo) melhores.

3 Formas de representação Existem 3 formas de representar um filtro digital: Resposta a impulso Resposta a degrau Resposta em frequência Cada uma destas formas tem informações completas sobre o filtro, mas de formas diferentes. Se uma delas estiver disponível, é sempre possível obter as outras. Todas estas formas são importantes, pois descrevem como o filtro irá reagir sob circunstâncias diferentes.

4 Formas de representação

5 Tipos de filtros digitais Filtros de resposta a impulso finita (FIR) operam por convolução da resposta a impuslso (kernel) com o sinal todos os filtros lineares possíveis podem ser implementados desta maneira possuem desempenho impressionante, mas podem ser lentos, dependendo do comprimento de seu kernel Filtros de resposta a impulso infinita (IIR) operam de forma recursiva têm um desempenho bom, em relação ao seu comprimento são mais rápidos que os filtros FIR podem se tornar instáveis

6 Representações: comentários resposta a impulso: saída do sistema quando aplicase um impulso na entrada resposta a degrau: saída do sistema quando aplicase um degrau na entrada. Formas de obter: coloque um degrau na entrada e verifique a saída integre a resposta a impulso (running sum) resposta em frequência: calcule a DFT da resposta a impulso. Pode ser representada de duas formas: escala de amplitude linear: melhor para visualizar ripple na banda de passagem escala de amplitude logarítmica: melhor para verificar a atenuação na banda de rejeição

7 Decibels? db=10log 10 P 2 P 1 potência db=20log 10 V 2 V 1 tensão

8 Como a informação é representada nos sinais? no domínio do tempo: cada amostra do sinal contém informação relevante. ECG televisão no domínio da frequência: a informação está contida na forma como as amostras variam com o tempo. áudio movimento de um pêndulo

9 Parâmetros de desempenho Parâmetros no domínio do tempo: estão relacionados à resposta a degrau Parâmetros no domínio da freqüência: estão relacionados à resposta em freqüência. Esta distinção é absolutamente crítica no projeto de filtros, pois nunca é possível otimizá-los para ambas as aplicações: um bom desempenho no domínio do tempo implica em um desempenho ruim no domínio da frequência, e vice-versa.

10 Parâmetros no domínio do tempo Por que a resposta a degrau, e não a resposta a impulso? Porque ela funciona como a nossa mente. Se formos analisar um sinal, por exemplo, naturalmente dividimos este sinal e regiões de características similares. A resposta a degrau é a forma mais pura de representar uma divisão entre regiões dissimilares. Os parâmetros relacionados à resposta a degrau são: velocidade overshoot fase

11 Parâmetros no domínio do tempo ruim bom

12 Parâmetros no domínio do tempo Velocidade (ou tempo de subida): número de amostras que o sinal leva para subir de 10% a 90% da amplitude máxima do sinal. Fatores como redução de ruído, limitações inerentes ao sistema de aquisição, evitar o aliasing, etc., limitam a velocidade. Overshoot: deve ser evitado, pois modifica as amplitudes das amostras do sinal, distorcendo-o. Quando isto ocorre fica a dúvida: o overshoot provem do sinal ou do filtro que foi usado? Fase: quando a fase não é linear, a metade superior da forma de onda não é simétrica em relação à indferior. É do sinal? É por causa do filtro?

13 Filtros no domínio da frequência São usados para selecionar certas regiões no espectro, bloqueando as demais. Existem três regiões importantes no espectro destes filtros: banda de passagem: corresponde àquelas frequências que devem passar inalteradas; banda de bloqueio ou banda de rejeição: região do espectro que deve ser eliminada na saída do filtro; banda de transição: é a região entre as duas anteriores frequência de corte: divisão entre a banda de passagem e a banda de transição. Em filtros analógicos corresponde ao ponto em que a amplitude é reduzida de (i.e. -3dB). Para os filtros digitais estes pontos variam entre: 99%, 90%, 70.7%, 50%.

14 Tipos de filtro no domínio da frequência

15 Parâmetros no domínio da frequência ruim bom

16 Parâmetros no domínio da frequência Roll off: um roll off rápido significa que a banda de transição é estreita. Desta forma, esta é uma condição necessária para separar sinais de frequências próximas. Ripple na banda de passagem: é importante que seja baixo, para que as frequências nesta região passem inalteradas. Atenuação da banda de bloqueio: deve ser alta para realmente eliminar as frequências indesejadas.

17 Projetos de filtros no domínio da frequência Filtros passa-altas, passa-faixa e rejeita-faixa são todos projetados a partir de filtros passa-baixas, e então convertendo para a resposta desejada. Existem dois métodos para se fazer isso: inversão espectral reversão espectral IMPORTANTE: os procedimentos a seguir valem apenas para os filtros FIR. Para os filtros IIR a filosofia de projeto é outra.

18 Inversão espectral Procedimento: mude o sinal de todas as amostras do kernel do filtro some 1 à amostra no centro de simetria

19 Inversão espectral

20 Inversão espectral A inversão espectral roda a resposta a impulso no sentido vertical, de modo que a banda de passagem vira banda de bloqueio, e vice-versa. Em outras palavras, este procedimento transforma um filtro passa-baixas em um passa-altas, um passa-altas em um passa-baixas, um rejeita faixa em um passa-faixa, e um passa-faixa em um rejeita faixa.

21 Inversão espectral Porque funciona? O sinal de entrada x[n] é aplicado nos dois sistemas em paralelo o de cima é um FPB o de baixo é um passa-tudo O sinal resultante y[n] é igual à saída do sistema passa tudo menos a saída do FPB. Desde que as componentes de baixa frequência foram subtraídas do sinal original, restaram apenas as componentes de alta frequência!

22 Inversão espectral- implementação Esta operação pode ser realizada de duas formas: passar o sinal através de um filtro passa baixas e depois subtrair o sinal filtrado do sinal original combinar os kernels dos dois filtros em um único kernel, como mostrado abaixo:

23 Inversão espectral Condições de implementação Para que esta técnica funcione, as componentes de frequência que saem do filtro passa-baixas devem estar em fase que as componentes correspondentes do sinal original, para que possam ser corretamente subtraídas. Com isto, as restrições para o método são: o kernel do FPB original deve ter simetria left-right (fase nula ou linear). Portanto o kernel deve ter um número ímpar de amostras. o impulso deve ser adicionado exatamente no centro de simetria.

24 Procedimento: Reversão espectral Inverta o sinal das amostras pares do kernel de um FPB

25 Reversão espectral Este procedimento roda a resposta em frequência na horizontal:0 torna-se 0,5 e 0,5 torna-se 0. Esta aparente mágica tem uma explicação muito simples: mudar o sinal das amostras pares corresponde a multiplicar o kernel do filtro por um cosseno de frequência 0,5fs. Como discutido anteriormente, este procedimento corresponde a deslocar o espectro do kernel para a posição 0,5fs. Imagine o espectro periódico que você entenderá a idéia por trás disso.

26 Filtro passa-faixa

27 Filtro rejeita-faixa