Propriedades da Convolução

Transcrição

1 Processamento Digital de Sinais Propriedades da Convolução Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti

2 Algumas respostas a impulso Função delta Amplificador / Atenuador Atrasador Integrador Diferenciador Filtro passa-baixas Filtro passa-altas

3 Função Delta A função delta é um impulso na origem A convolução de um sinal qualquer com a função delta resulta exatamente no mesmo sinal (função identidade). x[ n] [ n]=x[ n] Sistemas de armazenamento e transmissão devem ter idealmente como resposta a impulso, a função delta (não degradam ou distorcem o sinal).

4 Amplificador / Atenuador amplificador k atenuador k 1 x[ n] k [n ]= x[n]

5 Deslocamento no tempo O deslocamento da função delta produz um deslocamento correspondente entre os sinais de entrada e saída. Dependendo da direção, temos um adiantamento ou um atraso. 2 x[ n s]= x[n] [n s] Atraso de 4 amostras Adiantamento de 1 amostra x[ n 4 ]= x[n ] [n 4] x[ n 1 ]= x[n ] [n 1] Octave:exemploconv.m

6 Aplicações: Eco Uma função delta mais uma outra função delta escalonada e atrasada resulta na adição de um eco ao sinal original. Ecos são encontrados em aplicações de: Áudio (adicionar em gravações) Radares e sonares (localização de alvos) Geofísica (encontrar jazidas) Telecomunicações (eliminar) Octave:exemploconv.m

7 Operações de cálculo diferencial A convolução permite fazer operações parecidas com a integração e a derivação de funções. Como integral e derivada são termos associados às funções contínuas, o pessoal do DSP resolveu usar outros termos: First difference derivada Running sum integral Estas operações são bastante simples e, em geral nem precisam fazer uso da convolução.

8 First difference Calcula a diferença entre amostras consecutivas. Fórmula de recursão: y[n]= x[n] x[n 1] Numericamente igual à inclinação da curva no ponto. Resposta a impulso: h[n]={1, 1 }

9 Running sum Calcula a soma acumulada das amostras até o momento Fórmula de recursão: y[n]= x[n] y[n 1] Resposta a impulso: h[n]=u[n ]

10 Exemplo

11 Cheque sua compreensão Do cálculo, você sabe que a derivada e a integral são operações inversas; uma desfaz o efeito da outra. Prove que a "first difference" e a "running sum" também são operações inversas. Ou seja, mostre que a combinação em cascata desses dois sistemas é idêntica à função delta.

12 Causalidade Causalidade é um conceito que relaciona o instante de aplicação do sinal na entrada de um sistema e o instante da resposta do sistema a esta entrada. Segundo este critério, os sistemas podem ser classificados como causais ou não causais.

13 Sistemas causais A saída acontece depois da aplicação do sinal de entrada. É o comportamento esperado para os sistemas físicos que conhecemos. Para estes sistemas a resposta a impulso é nula para n<0. Exemplos:

14 Sistemas não causais A saída acontece antes da aplicação do sinal de entrada. Embora pareça estranho, podemos implementar facilmente tais sistemas com o uso de memórias. Para estes sistemas a resposta a impulso assume valores não nulos para n<0. Exemplo:

15 Cheque sua compreensão Classifique os sinais a seguir como causais ou não causais. a. x[n] = delta[n] b. x[n] = delta[n-2] c. x[n] = delta[n-1] + delta[n+1] d. x[n] = delta[n] - 5 delta[n-5] e. x[n] = delta[n] + delta[n+5] f. x[n] = delta[n-1] - delta[n-4] + delta[n-7] g. x[n] = exp(-n) h. x[n] = exp(-abs(n)) (onde "abs" é a função valor absoluto) i. x[n] = abs(n) j. x[n] = n + abs(n)

16 Características da fase A simetria dos sinais (e da resposta a impulso dos sistemas) tem efeitos interessantes na fase da resposta em frequência dos mesmos. Quanto à fase, os sinais podem ser classificados como: fase nula fase linear fase não linear

17 Sinais de fase nula No tempo, apresentam simetria em relação à amostra n=0. Na frequência, a fase é sempre nula (mais, adiante). Exemplo:

18 Sinais de fase linear No tempo, apresentam simetria em relação a uma amostra qualquer diferente de n=0. Na frequência, a fase torna-se uma reta. Exemplo:

19 Sinais de fase não linear No tempo, não apresentam simetria em relação a nenhuma. Na frequência, a fase não é nem nula nem linear. Exemplo:

20 Cheque sua compreensão Classifique os sinais abaixo como de fase zero, fase linear ou fase não-linear. a. x[n] = delta[n] b. x[n] = delta[n-2] c. x[n] = delta[n-1] + delta[n+1] d. x[n] = delta[n] - 5 delta[n-5] e. x[n] = delta[n] + delta[n+5] f. x[n] = delta[n-1] - delta[n-4] + delta[n-7] g. x[n] = exp(-n) h. x[n] = exp(-abs(n)) (onde "abs" é a função valor absoluto) i. x[n] = abs(n) j. x[n] = n + abs(n)

21 Propriedades da convolução A convolução apresenta algumas propriedades que facilitam a sua manipulação matemática: Comutatividade Associatividade Distributividade

22 Comutatividade A ordem na qual dois sistemas são convoluídos não faz diferença. a [n ] b[n]=b[ n] a[n ] Se a[n] b[n] y[n] Então b[n] a[n] y[n]

23 Associatividade Descreve o comportamento da associação em cascata de sistemas. a[n] b[n] c[n]=a[n] b[n] c[n] Se x[n] h 1 [n] h 2 [n] y[n] Então x[n] h 2 [n] h 1 [n] y[n] Ainda x[n] h 1 [n]*h 2 [n] y[n]

24 Distributividade Descreve o comportamento de sistemas em paralelo cujas saídas são somadas. a[n ] b [n] a[ n] c[ n]=a[n ] b[ n] c[n ] h 1 [n] Se x[n] + y[n] h 2 [n] Então x[n] h 1 [n]+h 2 [n] y[n]

25 Transferência entre entrada e saída Se o sinal de entrada de um sistema linear sofre uma transformação linear, então a saída do sistema sofrerá a mesma transformação linear. Se x[n] h[n] y[n] Transf. Linear Transf. Linear Então x'[n] h[n] y'[n]

26 Cheque sua compreensão As respostas a impulso de três sistemas lineares são dadas abaixo. Calcule a resposta a impulso da combinação indicada. sistema A: 3, 2, 1, 0 sistema B: 0, 1,-1, 0 sistema C: 1, 1, 1, 1 a. A combinação em paralelo do sistema A com o sistema B. b. A combinação em paralelo dos sistemas A, B e C. c. A combinação em série do sistema A com o sistema B. d. A combinação em série do sistema B com o sistema A. e. A combinação em série dos sistemas A e B, em paralelo com o sistema C.

27 Aplicação: Radar Uma antena transmite uma curta rajada de energia em uma determinada direção. Se a onda propagada bater em algum obstáculo, uma pequena fração da energia transmitida será refletida de volta, podendo ser capturada por uma antena receptora, localizada perto da antena transmissora. O sinal refletido é composto de uma fração do sinal transmitido e de ruído adicionado pelo meio de transmissão. Desde que estas ondas viajam à velocidade da luz, o deslocamento entre as duas é uma medida direta da distância do objeto sendo detectado.

28 Radar (continuação) Configuração de antenas e exemplos das formas de onda transmitida e recebida.

29 Problema O problema do radar pode ser resumido da seguinte forma: Dado um sinal cuja forma de onda é conhecida, qual a melhor maneira de determinar onde (ou se) este sinal está presente em outro sinal? CORRELAÇÃO

30 Correlação É uma medida da similaridade entre dois sinais: quanto mais alta for a correlação, maior a similaridade. É a técnica ótima para deteção de uma forma de onda conhecida em um ambiente ruidoso. Aplicações: radar, comunicação digital, R XY =E [ X t Y t ] reconhecimento de padrões.

31 Octave: correlacao.m Máquina de correlação Matematicamente: M 1 R XY [ ]= n=0 X [n ]Y [n ] Pode ser implementada pela máquina de convolução, porém sem rebater um dos sinais ou... podemos usar a máquina de convolução, se pré-rebatermos um dos sinais.

32 Comentários A amplitude de cada amostra do sinal de correlação cruzada é uma medida de quanto o sinal recebido lembra o sinal transmitido naquele ponto. Isto significa que irá ocorrer um pico no sinal de correlação cruzada para cada alvo detectado. Em outras palavras, o valor da correlação cruzada é maximizado quando o sinal do alvo está alinhado com o sinal recebido. Desta forma, a correlação cruzada leva em conta não apenas o pico do sinal, mas a semelhança de toda a sua forma de onda.