REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO Z. n +

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1 REPRESETAÇÃO DE SISTEMAS O DOMÍIO Z [ ] x h y h h n RC RC RC X H Y Y H X R R n h n h Z H < < + : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) ( ) ( Função de Sistema :

2 FUÇÃO DE SISTEMA A PARTIR DA REPRESETAÇÃO POR EQUAÇÕES DE DIFEREÇAS ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k M l l M M M M M k k k M l l l M l l l k k k M l l k k p b a a b b b b b H A B a b X Y H X b Y a Y l n b x k n y a n y ) ( ) ( ) (

3 FUÇÃO DE SISTEMA E RESPOSTA EM FREQÜÊCIA ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( )...) ( ) ( 0 ) ( 0 ou em princípio LIEAR ÃO k j k l j M l LIEAR COSTATE j j j j M j j j j k k j M l l j M j j p e e M e H p e p e p e e e e b e H p e e e b e H + + ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω π

4 Módulo de uma Função Transferência Fase de uma Função Transferência As singularidades (pólos e eros) tem tanto mais influência quanto mais próximos de e jw. A influência aumenta com a proximidade à 1

5 ESTABILIDADE E CAUSALIDADE Teorema 1 (já visto) : Um sistema LIT é estável se e somente se a sua resposta impulsiva é absolutamente somável. Teorema 2 : Um sistema LIT é estável se e somente se a circunferência unitária está contida na região de convergência (RC) da função de sistema H(). Teorema 3 : Um sistema LIT estável é também causal se e somente se a função de sistema H() tem todos os seus pólos no interior da circunferência unitária.

6 Fase Linear:Os eros são colocados aos pares de forma que um ero tem o inverso do raio do outro ero. Os pólos são colocados na origem. Cada par de eros possui o mesmo ângulo (θ).

7 Fase linear Um sistema é dito sistema de fase linear se: Onde Ou seja, o módulo é unitário a fase é linear e o atraso de grupo constante.

8 Fase linear Considere o sistema FIR com a resposta ao impulso do tipo Sua resposta em frequência é: Veja que se trata de uma fase linear com α/2.

9 Considere os sistemas de fase linear e suas respectivas respostas

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13 Sistema Passa-Tudo:Os eros são colocados de tal forma que seus raios têm o inverso do raio dos pólos. Cada par de pólo e ero possui o mesmo ângulo (θ). Filtros passa-tudo tem a resposta em frequência com módulo constante É útil para ajustes de fase, já que a amplitude permanece inalterada cascata

14 Sistema de fase mínima: sistema descrito por uma função racional com todos os pólos e eros dentro do círculo de raio unitário. Sistema em Cascata: Quando agrupamos sistemas em cascata os root-loci de cada sistema são sobrepostos. os sistemas causais o número de pólos é maior ou igual ao número de eros.

15 Estruturas de Implementação Um sistema LTI com uma função transferência racional possui a propriedade das seqüências de entrada e saída satisfaerem uma equação de diferenças. A função de transferência é a transformada Z da resposta ao impulso e a equação de diferenças pode ser determinada pela inspeção da mesma, Assim a equação de diferenças, a resposta ao impulso e a função transferência são diferentes representações da relação entrada/saída de um sistema LTI. Quando tais sistemas são implementados com hardware analógico discreto ou hardware digital, a representação da equação de diferenças ou da função transferência deve ser convertida em um algoritmo ou estrutura que possa ser implementada na desejada tecnologia. Sistemas descritos por equações de diferenças podem ser representados por estruturas que consistem em interconexões de operações básicas, como: adição, multiplicação por uma constante e atraso. O tipo exato de implementação sempre é determinado pelo tipo de tecnologia utiliada.

16 Representação em Diagrama em Blocos de Equações de Diferenças A implementação de um sistema discreto LTI através do cálculo interativo de uma fórmula de recorrência obtida a partir de uma equação de diferenças requer que os valores atrasados da saída, entrada e passos intermediários estejam disponíveis. Os elementos básicos requeridos para a implementação de um sistema discreto LTI são: somadores, multiplicadores e memórias. A interconexão destes elementos básicos é convenientemente representada por diagramas em blocos. Em implementações digitais, a operação de atraso pode ser implementada por um registrador para cada unidade de atraso requerida. Em implementações analógicas discretas, como em filtros a capacitores chaveados, os atrasos são implementados por dispositivos de armaenagem de cargas. Em implementações em tempo-real os atrasos podem ser obtidos a partir de um registrador de deslocamento cujo clock é a taxa de amostragem do sinal de entrada.

17 Representação gráfica de uma equação de diferenças na forma direta I. Uma equação de diferenças escrita de forma genérica:

18 Representação gráfica de uma equação de diferenças O diagrama em blocos pode ser modificado ou rearranjado em uma variedade de modos sem mudança da função transferência global. Também podemos vê-lo como uma associação em cascata de dois sistemas, o primeiro representando o cálculo de v[n] a partir de x[n] e o segundo representando o cálculo de y[n] a partir de v[n].

19 Representação gráfica de uma equação de diferenças Os dois diagramas apresentados possuem diferenças importantes:no primeiro, os eros são implementados antes dos pólos e no segundo ocorre o contrário. Teoricamente, a ordem de implementação não afeta o resultado final, entretanto, quando uma equação de diferenças é implementada com aritmética de precisão finita, pode haver uma diferença significante entre o resultados dos dois sistemas. Observe que ambos os sistemas possuem o mesmo número (M+) de elementos de memória (atraso). Entretanto, o diagrama em blocos da segunda figura pode ser redesenhado se notarmos que o sinal w[n] é armaenado nos dois canais de elementos de atraso. Consequentemente, os dois canais de atraso podem ser agregados em um único.

20 Representação gráfica de uma equação de diferenças na forma canônica. Implementações na forma da figura ao lado possuem um número menor de elementos de atraso que nas formas apresentadas nas figuras anteriores. Uma implementação de uma equação de diferenças com um número mínimo de elementos de atraso é geralmente referida como: forma canônica de implementação.

21 Representação de Equações de Diferenças por Gráficos de Fluxo de Sinais A representação gráfica de uma equação de diferenças por um diagrama de fluxo de sinais é essencialmente a mesma de um diagrama em blocos, exceto por algumas poucas diferenças de notação. Por convenção, normalmente representa-se as variáveis em um gráfico de fluxo de sinais como "seqüências" ao invés de transformadas Z. Entretanto, para simplificar a notação, os ramos de atraso são identificados por Z-1.

22 DFT Discrete Fourier Transform) A análise de Fourier é uma família de técnicas matemáticas, todas baseadas na decomposição de sinais em senóides e cossenóides. A (DFT Discrete Fourier Transform) é o membro da família utiliado com sinais discretiados. A figura (a) mostra um sinal de exemplo, com 16 pontos, ou seja, amostras 0 a 15. A figura (b) mostra a decomposição deste sinal, nove ondas cossenoidais e nove ondas senoidais, cada uma com a sua própria freqüência e amplitude.

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24 Transformadas de Fourier O termo geral, Transformada de Fourier, pode ser subdividido em quatro categorias, com base nos quatro tipos básicos de sinais que podem ser encontrados. Um sinal pode ser contínuo ou discreto, e ambos podem ser periódicos ou aperiódicos. a) Sinais Contínuos Aperiódicos: inclui-se, por exemplo, decaimentos exponenciais e a curva de Gauss. Estes sinais estendem-se à direita e à esquerda infinitamente sem a repetição de um padrão periódico. A transformada de Fourier deste tipo de sinal é simplesmente chamada de Transformada de Fourier; b) Sinais Periódicos Contínuos: temos como exemplos as ondas senoidais, ondas retangulares, e qualquer foram que se repita em um padrão regular do menos ao mais infinito. Esta versão da série de Fourier é chamada de Série de Fourier. c) Sinais Discretos Aperiódicos: estes sinais são somente definidos em pontos discretos entre o mais e o menos infinito e não se repetem de forma periódica. Este tipo de transformada de Fourier é chamada de Tranformada de Fourier Discreta no Tempo. d) Sinais Discretos Periódicos: estes sinais são discretos e repetitivos de forma periódica entre o menos e o mais infinito. Este tipo de transformada de Fourier é chamada de Transformada de Fourier Discreta.

25 Transformadas de Fourier

26 Transformadas de Fourier

27 Transformadas de Fourier

28 Alguns dos 17 senos e dos 17 cosenos usados em uma DFT com 32. Essas sinusóides somam para formar o sinal de entrada e assim tem o mesmo número de pontos que a entrada. esse caso 32 pontos 0 a 31.

29 DFT A DTFT é um mapeamento de uma sequência para uma função de variável contínua. A DFT é o mapeamento de uma sequência em outra sequência. Considerando uma sequência periódica de período, com r inteiro: A representação com séries de Fourier desse sinal é (k inteiro): Onde representa os coeficientes da série de Fourier. Observe que os coeficientes são periódicos.

30 DFS Série de Fourier Discreta Usando a notação

31 DFS Veja que a sequência de amostras, sendo periódica com período, poderia ser a sequência dos coeficientes da série discreta de Fourier da sequência, onde Por exemplo:

32 DFS - exemplo Considerando a sequência periódica

33 DFS-DFT A sequência periódica possui uma interpretação conveniente como as amostras igualmente espaçadas da TF de um período de, ou seja: xn [ ], 0 n 1 xn [ ] 0, caso contrário Considere o exemplo anterior: 1, 0 n 4 xn [ ] 0, caso contrário 4 jω jωn j2ω X( e ) e e n 0 sen sen ( 5ω ) 2 ( ω ) 2

34 Transformada de Fourier

35 Sobrepondo os dois exemplos

36 Amostrando a TF Considere uma sequência x[n] com TF X(e jw ), e assuma que a sequência é uma amostragem de em Como a TF é periódica em ω a cada 2π, o resultado é uma sequência periódica em k com período. Como a TF é equivalente a T na circunferência unitária, pode ser obtido amostrando X() em pontos igualmente espaçados na circunferência de raio 1.

37 Amostrando a TF Considere a sequência não periódica x[n] com sua TF X(e jω ). Veja que é obtida amostrando ω em 2π/: Ou amostrando X() em pontos igualmente espaçados

38 A TRASFORMADA DISCRETA DE FOURIER x(n) 0 ~ x ( n ) > L 0 ~ n x ( ) - 0 L L ALIASIG!!! < L Quando L, o sinal x(n) pode ser recuperado a partir do sinal periódico sem ambigüidade. Se < L, não é possível recuperar x(n) a partir de sua extensão periódica devido ao efeito de aliasing (sobreposição) no domínio do tempo. O espectro de uma seqüência de duração finita L, pode ser completamente recuperado a partir de suas amostras nas freqüências ω k 2πk /, se tomarmos L. Basta recuperar x(n) a partir de sua extensão periódica e finalmente obter a TFTD X(ω) do sinal original x(n). n n n

39 Aliasing no domínio tempo Com 12 é possível reconstituir a sequência x[n] (de comprimento 9) extraindo um período. Com 7, ocorre superposição da sequência original e não é mais possível reconstituir x[n]

40 DFT Considere uma sequência de comprimento finito x[n] de comprimento amostras, sendo que x[n]0 em 0 x[n] -1. Muitas vees assume-se que a sequência tem comprimento, mesmo que seu comprimento seja M<. esse caso, as (-M) amostras tem amplitude ero. Podemos então definir a sequência periódica: A sequência não periódica pode ser reconstituída:

41 DFT Os coeficientes da DFS de são amostras (espaçadas em frequência por 2π/) da TF de x[n]. Como x[n] tem comprimento finito, não há sobreposição dos termos x[n+r] para valores diferentes de r. A sequência dos coeficientes da DFS da sequência periódica é uma sequência periódica com período. Definindo uma sequência de comprimento finito, estamos definindo a DFT

42 DFT A relação entre a DFT e a DFS é dada por:

43 { } ( ) ( ) 1 0,1,...,, 1 ) ( ) : ( de TDFI 1 0,1,...,, ) ( ) ( ) : ( TDF de, 0 ) ( de duração ) ( Seja n e k X n x k X k e n x k X n x n L n x L n x k n k j n n k j π π A TRASFORMADA DISCRETA DE FOURIER (TDF) forma geral

44 1. PROPRIEDADES DA TDF Periodicidade : TDF x( n + ) x( n ) X ( k + ) X ( k) 2. Linearidade: ax ( n) + bx ( n ) ax ( k) + bx ( k) TDF Periodicidade: A periodicidade da TDF e da TDFI decorrem imediatamente da periodicidade da TFTD e do processo de amostragem no domínio da freqüência, respectivamente. 2. Linearidade: A TDF é uma transformação linear e portanto pode-lhe ser aplicado o princípio da superposição. Observemos no entanto que, se x1(n) e x2(n) tiverem durações 1 e 2 respectivamente, então é preciso tomar 3 max(1, 2 ) e realiar TDF s de 3 pontos para todas as seqüências.

45 PROPRIEDADES DA TDF 3. Simetria de seqüências reais: x( n) x ( n) se x[n] for real então X[k] é conjugada simétrica ( ) ( ) X k X k X k * * ( ) ( ) ( ) se x[n] for imaginária então X[k] é conjugada anti-simétrica * * X ( k) X (( k) ) X ( k ) ( ) Se x(n) é uma seqüência real, então o seu conjugado é idêntico a ela mesma.

46 PROPRIEDADES DA TDF ( ) ( ) ( ) 4. Deslocamento circular no tempo: x ( n n ) x ( n n ) J km TDF x ( n no) J n W X ( k) 1 0 n [ n] 0 para demais casos o o 4. Deslocamento circular no tempo: Se uma seqüência de pontos for deslocada em qualquer direção, então a seqüência resultante não mais estará no intervalo 0 n -1. Portanto, precisamos primeiro converter a seqüência x(n) para a sua extensão periódica e então faer o deslocamento, ou seja, o deslocamento deve ser circular. Este deslocamento circular no domínio do tempo provoca uma defasagem no domínio da freqüência. Um deslocamento circular n o à direita corresponde a girar o círculo n o posições

47 Deslocamento circular de uma sequência de quatro pontos Deslocamento circular de uma sequência

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49 PROPRIEDADES DA TDF 5. Convolução circular: Sejam duas sequências h[n] e x[n] de comprimento finito, cujas FTDs de pontos são H(k) e X(K). A sequência cuja FTD é Y(k)H(k)X(k) é 1 yn [ ] hkxn 1 [ ] [ k] J [ k] h [ n k] x [ k] J [ k ] k 0 k 0 1 y[ n] h[ n k] x[ k] J [ k ] para 0 n k 0 yn [ ] hn [ ] x[n] Uma convolução linear entre duas seqüências de duração resultará em uma seqüência mais longa. Restringindo-nos ao intervalo 0 n -1 e portanto em lugar de um deslocamento linear teremos que realiar um deslocamento circular. O resultado da convolução circular é também uma seqüência de duração, e o seu efeito no domínio da freqüência é simplesmente a multiplicação das respectivas TDF s. ou

50 Exemplo convolução circular 3 y[ n] h[ n k ] x [ k ] J [ k ] k y[0] h[ k ] x [ k ], y[1] h[1 k ] x [ k ] k 0 k 0 y[0]1, y[1]4, y[2]2, y[3]2 Outra maneira de faer a convolução circular é calcular as DFTs das sequências, multiplicar e faer a Transformada Inversa

51 Convolução linear x circular Em geral a convolução circular não é igual a linear Sejam duas sequências finitas x[n] e h[n] e seja a convolução linear y[n]. A convolução circular de pontos de x[n] e h[n] é relacionada com y[n] da seguinte forma: Se y[n] for de comprimento ou menos, então y[n-k]r 0 para k diferente de ero e Ou seja as convoluções nesse caso são iguais. Se x[n] e h[n] tiverem comprimentos 1 e 2, então a conv. Linear terá comprimento e a convolução circular de pontos será equivalente a conv. Linear desde que >1+2-1

52 Exemplo o exemplo anterior, a conv. Linear é: Montando uma tabela com Listando os valores da sequência y[n+k] e somando esses valores para n0,1,2,3. As únicas sequências que tem valores diferentes de ero no intervalo de 0 a 3 são y[n] e y[n+4], por isso são as únicas que precisam ser listadas. Então, somando as colunas de 0 a 3 temos o resultado obtido anteriormente