Conceitos Básicos Análise Espectral Geração de FM Demodulação de FM Extras. Modulação em Ângulo

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1 Modulação em Ângulo Edmar José do Nascimento (Princípios de Comunicações) edmar.nascimento Universidade Federal do Vale do São Francisco

2 Roteiro 1 Conceitos Básicos 2 Análise Espectral 3 Geração de FM 4 Demodulação de FM 5 Extras

3 Introdução Na modulação em amplitude, a amplitude da portadora é variada de acordo com o sinal modulante Também é possível variar a freqüência ou a fase da portadora de acordo com o sinal modulante FM - Frequency Modulation PM - Phase Modulation A modulação FM foi desenvolvida com o objetivo de reduzir o efeito do ruído Procurava-se reduzir a banda e conseqüentemente, o ruído Entretanto, FM possui uma banda maior ou igual a AM Mesmo assim, o seu desempenho é melhor

4 Freqüência Instantânea Um sinal senoidal generalizado pode ser definido como: ϕ(t) = A cos θ(t) Em que θ(t) é denominado de ângulo generalizado

5 Freqüência Instantânea Para uma senóide convencional, tem-se que: ϕ(t) = A cos (ω c t + θ 0 ) Nesse caso, θ(t) é uma linha reta com inclinação ω c Sob um pequeno intervalo t, a freqüência de ϕ(t) é ω c Pode-se então generalizar e definir-se a freqüência instantânea como a inclinação de θ(t), ou seja: ω i (t) = dθ(t) dt θ(t) = t ω i (α)dα

6 Freqüência Instantânea Dependendo do ângulo θ(t), tem-se um dos vários tipos de modulação em ângulo ou modulação exponencial Modulação em fase θ(t) = ω c t + θ 0 + k p m(t) Pode-se considerar θ 0 = 0, assim: θ(t) = ω c t + k p m(t) E o sinal modulado em fase é dado por: ϕ PM (t) = A cos [ω c t + k p m(t)]

7 Freqüência Instantânea Para a modulação em fase, a freqüência instantânea é dada por: ω i (t) = dθ(t) dt = ω c + k p ṁ(t) Modulação em freqüência θ(t) = t ω i (t) = ω c + k f m(t) t ϕ FM (t) = A cos [ω c t + k f [ω c + k f m(α)]dα = ω c t + k f t ] m(α)dα m(α)dα

8 Modulação em Ângulo As modulações em fase e em freqüência podem ser obtidas uma a partir da outra

9 Modulação em Ângulo As modulações FM e PM são um casa particular da modulação em ângulo No caso geral, tem-se que: ϕ EM (t) = A cos [ω c t + ψ(t)] [ t = A cos ω c t + Se h(t) = k p δ(t) tem-se a modulação PM Se h(t) = k f u(t) tem-se a modulação FM ] m(α)h(t α)dα

10 Exemplo Exemplo Esboce os sinais ϕ FM e ϕ PM para o sinal m(t) mostrado abaixo com k f = 2π 10 5 e k p = 10π para f c = 100MHz Solução f i = f c + k f 2π m(t) = m(t) (FM) f i = f c + k p 2π ṁ(t) = ṁ(t) (PM)

11 Exemplo Exemplo Esboce os sinais ϕ FM e ϕ PM para o sinal m(t) mostrado abaixo com k f = 2π 10 5 e k p = 10π para f c = 100MHz Solução f i = f c + k f 2π m(t) = m(t) (FM) f i = f c + k p 2π ṁ(t) = ṁ(t) (PM)

12 Exemplo Solução

13 Exemplo Exemplo Esboce os sinais ϕ FM e ϕ PM para o sinal digital m(t) mostrado abaixo com k f = 2π 10 5 e k p = π/2 para f c = 100MHz Solução f i = f c + k f 2π m(t) = m(t) (FM) ϕ PM = A cos [ω c t + π m(t)] (PM) 2

14 Exemplo Exemplo Esboce os sinais ϕ FM e ϕ PM para o sinal digital m(t) mostrado abaixo com k f = 2π 10 5 e k p = π/2 para f c = 100MHz Solução f i = f c + k f 2π m(t) = m(t) (FM) ϕ PM = A cos [ω c t + π m(t)] (PM) 2

15 Exemplo Solução

16 Largura de Banda de Sinais Modulados em Ângulo Como as modulações em ângulo não são lineares, é bem mais complicado obter expressões para a largura de banda Para as modulações FM e PM podem ser considerados dois casos: FM/PM de banda estreita (NBFM - Narrow-band FM; NBPM - Narrow-band PM) FM/PM de banda larga (WBFM - Wide-band FM; WBPM - Wide-band PM)

17 FM/PM de Banda Estreita Seja Então, a(t) = t m(α)dα ˆϕ FM (t) = Ae j[ωct+k f a(t)] = Ae jk f a(t) e jωct ϕ FM (t) = Re{ ˆϕ FM (t)} Expandindo-se e jk f a(t) em séries de potência, tem-se: [ ˆϕ FM (t) = A 1 + jk f a(t) k f 2 2! a2 (t) + + j n k f n ] n! an (t)+ e jωct

18 FM/PM de Banda Estreita Então o sinal FM é dado por: ϕ FM (t) = Re{ ˆϕ FM (t)} = [ A cos ω c t k f a(t) sin ω c t k f 2 2! a2 (t) cos ω c t + k f 3 ] 3! a3 (t) sin ω c t + Se m(t) tem banda B, então a(t) também tem banda B Os termos a 2 (t), a 3 (t) e a n (t) possuem larguras de banda 2B, 3B e nb, respectivamente Se k f a(t) 1, então os termos de ordem superior podem ser desprezados

19 FM/PM de Banda Estreita Sendo assim, o sinal FM de banda estreita pode ser aproximado por: [ ] ϕ FM (t) A cos ω c t k f a(t) sin ω c t Nesse caso, a banda do sinal FM é 2B, igual ao AM-DSB Para a modulação PM, um resultado similar é obtido, ou seja: [ ] ϕ PM (t) A cos ω c t k p m(t) sin ω c t

20 FM/PM de Banda Estreita

21 FM/PM de Banda Larga Se a aproximação k f a(t) 1 não é satisfeita, então a expressão obtida para o NBFM/NBPM não é mais válida Para o FM de banda larga, uma boa aproximação da largura de banda é dada pela Regra de Carson Seja B a banda de m(t) e k f a constante do FM, então: B FM = 2( f + B) Sendo que f representa o desvio em freqüência da portadora em Hertz dado por: f = k f m p 2π

22 FM/PM de Banda Larga Em radianos, pode-se obter uma expressão similar com W = 2πB: W FM = 2( ω + W ) Sendo que ω representa o desvio em freqüência da portadora em rad/s dado por: ω = k f m p

23 FM/PM de Banda Larga A partir da regra de Carson, podem ser considerados dois casos específicos f B (Banda bem larga) f B (Banda estreita) B FM 2 f B FM 2B Uma outra forma de expressar a regra de Carson é através do índice de modulação FM denotado por β β = f B

24 FM/PM de Banda Larga Tem-se que: B FM = 2B(β + 1) Para a modulação em fase, as fórmulas anteriores são válidas necessitando-se apenas substituir o desvio em freqüência por: Sendo, ω = k p m p, f = k pm p 2π m p = [ṁ(t)] max

25 Modulação de um Tom A validade da regra de Carson pode ser verificada para o caso da modulação de um tom, ou seja: Nesse caso, a(t) = m(t) = α cos ω m t t ˆϕ FM (t) = Ae j[ωct+k f m(α)dα = α ω m sin ω m t α sin ωmt] ωm ω = k f m p = αk f β = f B = f = ω f m ω m = αk f ω m

26 Modulação de um Tom Pode-se então reescrever ˆϕ FM (t) como ˆϕ FM (t) = Ae j[ωct+β sin ωmt] = Ae jωct (e β sin ωmt ) A segunda exponencial é um sinal periódico com período 2π/ω m que pode ser escrito na forma exponencial das séries de Fourier, resultando em: e β sin ωmt = n= C n e jωmt Com coeficientes dados por: C n = ω π/ωm m e jβ sin ωmt e jnωmt dt = 1 π e j(β sin x nx) dx 2π π/ω m 2π π

27 Modulação de um Tom Essa integral é denominada de função de Bessel do primeiro tipo e n-ésima ordem e denotada por J n (β) J n (β) não pode ser resolvida analiticamente Entretanto, os seus valores podem ser encontrados em tabelas Assim, tem-se: e β sin ωmt = ˆϕ FM (t) = A ϕ FM (t) = A n= n= n= J n (β)e jωmt J n (β)e j(ωct+nωmt) J n (β) cos (ω c + nω m )t

28 Modulação de um Tom Como J n (β) é desprezível para n > β + 1, então a quantidade de bandas significativas é β + 1 e tem-se: B FM = 2nf m = 2(β + 1)f m = 2( f + B)

29 Exemplo Exemplo 5.3 (Lathi) (a) Estime B FM e B PM para o sinal modulante m(t) mostrado abaixo para k f = 2π 10 5 e k p = 5π. (b) Repita o problema se a amplitude de m(t) é duplicada.

30 Exemplo Solução m(t) = C n cos nω 0 t, ω 0 = 10 4 π n { 8 }, n ímpar C n = π 2 n 2 0, n par B = 15kHz (Terceira harmônica) B FM = 2( f + B) = 230kHz(a) B PM = 2( f + B) = 130kHz(a) B FM = 2( f + B) = 430kHz(b) B PM = 2( f + B) = 230kHz(b)

31 Características da Modulação em Ângulo Na modulação AM, a largura de banda é fixa Na modulação em ângulo, a largura de banda é controlada pelo f Na modulação AM, o efeito de não linearidades é a distorção Os sistemas modulados em ângulo são imunes a não linearidades Amplitude constante da portadora

32 Imunidade a não Linearidades Os efeitos não lineares não afetam os sinais modulados em ângulo e podem ainda ser usados na geração de sinais Considerando-se por exemplo um elemento não linear de segunda ordem dado por: y(t) = a 1 x(t) + a 2 x 2 (t) Um sinal modulado em ângulo pode ser representado por: x(t) = cos [ω c t + ψ(t)]

33 Imunidade a não Linearidades Então, tem-se: y(t) = a 1 cos [ω c t + ψ(t)] + a 2 cos 2 [ω c t + ψ(t)] = a a 1 cos [ω c t + ψ(t)] + a 2 2 cos [2ω ct + 2ψ(t)] Para FM, tem-se: y(t) = a t ] a 1 cos [ω c t + k f m(α)dα + a [ t ] 2 2 cos 2ω c t + 2k f m(α)dα O termo DC é filtrado e a informação continua intacta em duas freqüências ω c e 2ω c

34 Imunidade a não Linearidades Os dispositivos não lineares desse tipo são chamados de multiplicadores de freqüência Essa análise pode ser generalizada para um dispositivo não linear de ordem n y(t) = a 0 + a 1 x(t) + a 2 x 2 (t) + + a n x n (t) Tem-se para FM: t y(t) = c 0 + c 1 cos [ω c t + k f t +c 2 cos [2ω c t + 2k f t + + c n cos [nω c t + nk f ] m(α)dα ] m(α)dα ] m(α)dα

35 Método Indireto de Armstrong Um multiplicador de ordem n terá o seu espectro em ω c, 2ω c,, nω c com desvio em freqüência de f, 2 f,, n f O método indireto de Armstrong consiste em gerar um sinal FM de banda estreita (NBFM) e depois aumentar a sua freqüência e o seu desvio em freqüência

36 Método Indireto de Armstrong Para gerar um sinal FM com freqüência da portadora de 91, 2MHz e f = 75kHz são realizados os seguintes passos: Gera-se um sinal NBFM com f c1 = 200kHz Para garantir que k f a(t) 1 (condição para NBFM) é necessário que β 1 Escolhe-se então f 1 = 25Hz, pois como em geral para sinais de áudio 50Hz < B < 15kHz, tem-se que 0, 5 < β < 0, 0017 Para se obter um f final de 75kHz, é necessário um fator multiplicativo de no mínimo 3000 Isto é feito em dois estágios, multiplicações por 64 e 48 (64 48 = 3072), resultando em f = 76, 8kHz

37 Método Indireto de Armstrong Na saída do primeiro estágio, f c2 = kHz = 12, 8MHz e f 2 = 64 25Hz = 1, 6kHz Antes do segundo estágio, é necessário baixar a freqüência da portadora através de um misturador f mix = f c f I = 12, 8MHz 1, 9MHz = 10, 9MHz é escolhida como freqüência do oscilador local Assim, na saída do misturador, tem-se f c3 = 1, 9MHz e f 3 = 1, 6kHz Na saída do segundo estágio, tem-se f c4 = 48 1, 9MHz = 91, 2MHz e f 4 = 48 1, 6kHz = 76, 8kHz

38 Método Indireto de Armstrong

39 Geração Direta A geração direta pode ser feita a partir de um VCO (Voltage-controlled oscillator) O sinal FM é obtido usando-se o sinal modulante m(t) como sinal de controle ω i (t) = ω c + k f m(t) Um VCO pode ser construído a partir de amplificadores operacionais ou de simples circuitos LC Varia-se os parâmetros L ou C de um circuito ressonante Osciladores de Hartley ou Colpitt (capacitor variável)

40 Geração Direta A freqüência de oscilação é dada por: ω o = 1 LC A capacitância é variada da seguinte maneira: C = C 0 km(t)

41 Geração Direta Então, tem-se: ω o = 1 = LC 0 [1 km(t) C 0 ] 1 LC0 [1 + km(t) 2C 0 ], 1 LC0 [1 km(t) C 0 ] 1/2 km(t) C 0 1 Definindo-se: Tem-se: ω c = 1 LC0, k f = kω c 2C 0 ω 0 = ω c + k f m(t)

42 Geração Direta Sendo C = C 0 km(t), o desvio máximo de capacitância é dado por: Portanto: C = C 0 C = km p = 2k f C 0 m p ω c C C 0 = 2k f m p ω c = 2k f m p 2πf c = 2 f f c Assim, uma variação na capacitância resulta em uma variação no desvio em freqüência O problema da geração direta é a estabilidade em freqüência Necessário um circuito com realimentação

43 Demodulação de FM No FM, a informação está na freqüência instantânea ω i = ω c + k f m(t) Para obter a informação, pode-se passar o sinal por um filtro cuja amplitude é proporcional à freqüência H(ω) = aω + b Um diferenciador ideal é um desses filtros H(ω) = ω Se o sinal ϕ FM (t) passa por um diferenciador ideal, então: ϕ FM (t) = d dt {A cos [ω ct + k f t m(α)dα]} = A[ω c + k f m(t)] sin [ω c t + k f t m(α)dα]

44 Demodulação de FM

45 Demodulação de FM A amplitude da portadora deve ser constante, pois caso contrário, surge o termo Ȧ(t) Devido aos efeitos do canal, A apresenta variações de amplitude Uma alternativa para manter A constante é usar o limitador passa-faixas (bandpass limiter)

46 Demodulação de FM Se a entrada é dada por: v i (t) = A(t) cos θ(t), θ(t) = ω c t + k f t Então a saída do limitador é dada por: { } 1, cos θ > 0 v o (θ) = 1, cos θ < 0 m(α)dα

47 Demodulação de FM Assim, v o (θ) é uma função com período 2π que pode ser expressada como: v o (θ) = 4 π Assim, tem-se que: v o [θ(t)] = v o [ω c t + k f t = 4 π (cos θ 1 3 cos 3θ cos 5θ + ) {cos [ω c t + k f t m(α)dα] 1 3 cos 3[ω ct + k f t m(α)dα] } m(α)dα] +

48 Demodulação de FM Passando o sinal v o [θ(t)] por um filtro passa-faixas em ω c, tem-se como saída o sinal: e o (t) = 4 π cos [ω ct + k f t m(α)dα] Este sinal agora tem amplitude constante e pode ser demodulado usando-se um diferenciador seguido de um detector de envelope

49 Demoduladores Práticos Na prática, os circuitos demoduladores de FM recebem vários nomes: Discriminador balanceado (balanced discriminator) Detector de relação (ratio detector) Detectores de cruzamento nulo (zero-crossing detectors) Na modulação AM, foi mostrado que os circuitos do tipo PLL podem ser usados para rastrear a freqüência e fase de uma portadora Em FM, esses circuitos podem ser usados para fazer a demodulação

50 PLL

51 PLL A freqüência instantânea do VCO é dada por: ω VCO = ω c + ce o (t) Se a saída do VCO é dada por B cos [ω c t + θ o (t)], então sua freqüência instantânea é ω c + θ o (t), portanto: θ o (t) = ce o (t) Como H(s) é um filtro passa-baixas, a saída efetiva do filtro é dada por: e o (t) = h(t) 1 2 AB sin [θ i(t) θ o (t)] = 1 t 2 AB h(t τ) sin [θ i (τ) θ o (τ)]dτ 0

52 PLL Assim, tem-se: θ o (t) = AK t 0 h(t τ) sin θ e (τ)dτ Quando o sinal de entrada é do tipo FM, ou seja, θ i (t) é da forma: t θ i (t) = k f m(α)dα Então, θ o (t) = k f t m(α)dα θ e E assim, quando o erro é pequeno, tem-se: e o (t) = 1 c θ o (t) k f c m(t)

53 Interferência em Sistemas Modulados em Ângulo A fim de analisar a interferência em sistemas modulados em ângulo, considera-se inicialmente um caso simples: A interferência de uma portadora não modulada A cos ω c t com uma outra senóide I cos (ω c + ω)t Seja r(t) o sinal recebido, então: Em que r(t) = A cos ω c t + I cos (ω c + ω)t = (A + I cos ωt) cos ω c t I sin ωt sin ω c t = E r (t) cos [ω c t + ψ d (t)] ψ d (t) = arctan I sin ωt A + I cos ωt I sin ωt, (I A) A

54 Interferência em Sistemas Modulados em Ângulo Se esse sinal passa por um demodulador, tem-se: y d (t) = I sin ωt (PM) A y d (t) = Iω A cos ωt (FM) Observa-se que: A interferência é inversamente proporcional à amplitude da portadora Os sistemas modulados em ângulo suprimem sinais de interferência fracos Surge o efeito de captura: a portadora mais forte suprime a portadora mais fraca se elas são próximas

55 Interferência em Sistemas Modulados em Ângulo Amplitude da interferência versus a freqüência na saída do receptor Quando a interferência é devida ao ruído branco, o modelo acima ainda se aplica, ou seja, a amplitude da interferência é constante para PM e varia linearmente com ω para FM

56 Pré-ênfase e De-ênfase em FM Na figura anterior, observa-se que a interferência aumenta com a freqüência em FM Dessa forma, a potência do ruído está concentrada nas altas freqüências Como em um sinal de áudio predominam as baixas freqüências, o ruído ataca principalmente onde o sinal é fraco

57 Pré-ênfase e De-ênfase em FM A solução para esse problema consiste em dar um ganho nas componentes de alta freqüência antes da modulação (acima de 2,1kHz) Este processo é realizado utilizando um filtro H p (jω) e é chamado de pré-ênfase No receptor, depois da demodulação é feito o processo inverso chamado de de-ênfase com o filtro H d (jω)

58 Pré-ênfase e De-ênfase em FM A idéia é fazer o sistema se comportar como FM em baixas freqüências e como PM em altas freqüências A pré-ênfase e a de-ênfase podem ser realizadas com circuitos RC

59 Pré-ênfase e De-ênfase em FM A função de transferência H p (ω) é dada por: H p (ω) = K jω + ω 1 jω + ω 2 Se o ganho K for escolhido como K = ω 2 /ω 1, então: { ( ω2 ) jω + ω1 1, ω ω 1 H p (ω) = jω ω 1 jω + ω 2 ω 1, ω 1 ω ω 2 Em que f 1 = 2, 1kHz e f 2 = 15kHz }

60 Pré-ênfase e De-ênfase em FM O filtro de de-ênfase H d (ω) é dado por: H d (ω) = ω 1 jω + ω 1 Sistemas similares de redução de ruído são empregados nas gravações de fitas cassetes e na gravação de LPs

61 Receptor FM A faixa de freqüências atribuída ao FM varia de 88 a 108 MHz para difusão A separação entre canais adjacentes é de 200kHz e o desvio de freqüência de pico f é igual a 75kHz Os receptores mono para FM são semelhantes ao receptor super-heteródino para AM A freqüência intermediária f I é de 10, 7MHz O detector de envelope é substituído por um PLL

62 Receptor FM Na transmissão estéreo, o transmissor e o receptor precisam lidar com dois sinais L e R

63 Receptor FM Se o receptor for mono, ele recebe o sinal L + R