Processos Aleatórios e Ruído

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1 Processos Aleatórios e Ruído Luis Henrique Assumpção Lolis 11 de abril de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 1

2 Conteúdo 1 O Experimento Aleatório / Espaço de Amostras 2 Algebra de eventos e axiomas 3 Probabilidade condicional e teorema de Bayes 4 Variáveis Aleatórias 5 Médias 6 Processos Aleatórios 7 Média, Correlação e Covariância 8 Passagem do Processo Estacionário por um Sistema Linear 9 Densidade espectral de potência 10 Processo Gaussiano 11 Ruído Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 2

3 Sumário 1 O Experimento Aleatório / Espaço de Amostras 2 Algebra de eventos e axiomas 3 Probabilidade condicional e teorema de Bayes 4 Variáveis Aleatórias 5 Médias 6 Processos Aleatórios 7 Média, Correlação e Covariância 8 Passagem do Processo Estacionário por um Sistema Linear 9 Densidade espectral de potência 10 Processo Gaussiano 11 Ruído Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 3

4 Definição ω - Ponto-amostra - resultado de um experimento Ω - Espaço de amostras - todos os possíveis resultados do experimento ω Ω Quando não pertence: ω / Ω Quando A é um subconjunto de B: A B todo elemento de A está contido em B Ω B A Qualquer subconjunto do espaço Ω é um Evento. O evento A números pares pertencente ao conjunto dos números do dado de seis lados: A = {2, 4, 6} Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 4

5 Espaço discreto e espaço contínuo de amostras Espaço discreto Quando o numero possível de elementos é finito. Ex: Lados da moeda, dado de N lados, números inteiros entre 0 e 10. Espaço contínuo Quando o numero possível de elementos é infinito e nós estamos mais interessados na probabilidade de um intervalo que de um valor determinado. Ex: Altura de uma pessoa em determinada população, um numero real entre 0 e 1. Notação: o espaço contendo todos os pontos entre 0 e 1: S = {x : 0 x 1} = [0, 1] Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 5

6 Sumário 1 O Experimento Aleatório / Espaço de Amostras 2 Algebra de eventos e axiomas 3 Probabilidade condicional e teorema de Bayes 4 Variáveis Aleatórias 5 Médias 6 Processos Aleatórios 7 Média, Correlação e Covariância 8 Passagem do Processo Estacionário por um Sistema Linear 9 Densidade espectral de potência 10 Processo Gaussiano 11 Ruído Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 6

7 Resumo das Operações Notação Descrição Matemática Descrição Verbal A B União de A e B A ou B (ou ambos) ocorre A B Interseção de A e B Ambos A e B ocorrem A A c Complemento de A A não ocorre B A Diferença entre B e A B ocorre mas A não ocorre Conjunto Vazio Evento Impossível Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 7

8 Diagrama de Venn União Interseção Ω B A Ω B A A B Complemento A B Diferença Ω A Ω A B A B A Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 8

9 Propriedades Associativa (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C) Distributiva A (B C) = (A B) (A C) Lei de De Morgan A B = A B A B = A B Axiomas Axioma 1: P (A) 0 Axioma 2: P (Ω) = 1 Axioma 3: P (A B) = P (A) + P (B) se A B = Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 9

10 Propriedades Elementares 1 P (A) = 1 P (A) 2 P ( ) = 0 3 P (A) P (B) se A B 4 P (a) 1 5 P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 10

11 Sumário 1 O Experimento Aleatório / Espaço de Amostras 2 Algebra de eventos e axiomas 3 Probabilidade condicional e teorema de Bayes 4 Variáveis Aleatórias 5 Médias 6 Processos Aleatórios 7 Média, Correlação e Covariância 8 Passagem do Processo Estacionário por um Sistema Linear 9 Densidade espectral de potência 10 Processo Gaussiano 11 Ruído Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 11

12 Conceito e Definição A probabilidade pode se alterar se temos informação adicional. Ex: A chance de se ter câncer de pulmão aumenta se a pessoa é fumante. A probabilidade de um evento A dado que um evento B tenha ocorrido. Definida pela seguinte razão: P (A B) = P (AB) P (B) Rearranjando os termos: = P (A B) P (B) P (AB) = P (B)P (A B) Significa que a chance de A e B ocorrerem é igual a chance de B e a chance de A dado que B ocorreu. Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 12

13 Probabilidade Total Sendo A = A 1,..., A n um conjunto de Ω e B um evento arbitrário: P (B) = P (B A 1 )P (A 1 ) P (B A n )P (A n ) Para se obter a interseção dos eventos BA i : PP (BA i ) = P (B A i )P (A i ) Teorema da Probabilidade Total Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 13

14 Teorema de Bayes De maneira análoga a P (BA i ) = P (B A i )P (A i ), temos: P (BA i ) = P (A i B)P (B) Combinando as duas equações: P (A i B) = P (B A i ) P (A i) P (B) P (A i ) P (A i B) = P (B A i ) n i=1 P (B A i)p (A i ) Teorema de Bayes P [B j A] = P [A B j] P [A] = P [A B j ]P [B j ] n k=1 P [A B k]p [B k ] Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 14

15 Ex: Canal Binário Simétrico Transmite somente dois bits: 0 e 1 com probabilidades P[A 0 ] = p 0 e P[A 1 ] = p 1 Probabilidades condicionais de erro: P[B 1 A 0 ] = P[B 0 A 1 ] = p Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 15

16 Ex: Canal Binário Simétrico A probabilidade de receber um 0: P[B 0 ] = P[B 0 A 0 ]P[A 0 ] + P[B 0 A 1 ]P[A 1 ] = (1 p)p 0 + pp 1 A probabilidade de receber um 1: P[B 1 ] = P[B 1 A 0 ]P[A 0 ] + P[B 1 A 1 ]P[A 1 ] = pp 0 + (1 p)p 1 Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 16

17 Ex: Canal Binário Simétrico Dado que eu recebi determinado bit (0 ou 1), qual a probabilidade de determinado bit foi enviado (0 ou 1)? Probabilidade a posteriori. Aplicação do teorema de Bayes: P[A 0 B 0 ] = P[B 0 A 0 ]P[A 0 ] P[B 0 ] P[A 1 B 1 ] = P[B 1 A 1 ]P[A 1 ] P[B 1 ] Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 17

18 Sumário 1 O Experimento Aleatório / Espaço de Amostras 2 Algebra de eventos e axiomas 3 Probabilidade condicional e teorema de Bayes 4 Variáveis Aleatórias 5 Médias 6 Processos Aleatórios 7 Média, Correlação e Covariância 8 Passagem do Processo Estacionário por um Sistema Linear 9 Densidade espectral de potência 10 Processo Gaussiano 11 Ruído Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 18

19 Os eventos podem ser definidos em termos de números (cara=0, coroa=1). Pode haver mais de uma V.A. por processo aleatório. Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 19

20 Função de Distribuição Acumulada FDA ou cdf F X (x) = P [X x], para < x < + A probabilidade de X estar entre (, x] A cdf (cumulated distribution function) de qualquer variável aleatória é: É não decrescente É contínua pela direita. F x () = 0 e F x ( ) = 1 Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 20

21 Função de Densidade de Probabilidade - fdp ou pdf A probabilidade de um ponto em uma V.A. é zero. Mas a probabilidade de um intervalo infinitezimal é diferente de zero. Temos a definição da FDA contínua F X (x i ) = xi f X (x)dx f X (x) é a função de densidade de probabilidade fdp f X (x) = df X(x) dx Probabilidade de um intervalo: P (a < X b) = P (X b) P (X a)) = F X (b) F X (a) P (a < X b) = f X (x)dx = 1 b a f X (x)dx Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 21

22 Diversas V.A. s FDA e fdp conjunta. F X,Y (x 1, y 1 ) = P (X x 1, Y y 1 ), para X, Y R f Y (y) = F X,Y (x, y) = f X,Y (x, y) = FDA e fdp marginal y x f X,Y (x, y)dx, y R f S,T (s, t)dsdt 2 x y F X,Y (x, y), x, y R f X (x) = f Y (y) = f X,Y (x, y)dy f X,Y (x, y)dx F X (x) = F X,Y (x, ) F Y (y) = F X,Y (, y) Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 22

23 FDA e fdp marginal f Y (y x) = f X,Y (x, y), para Y R. p X (x) F Y (y x) = P (Y y X = x) = y Usando a lei da probabilidade total: f Y (y) = f Y (y x)f X (x)dx, Y R Para V.A. estatisticamente independentes: f Y (y x) = f Y (y) f X,Y (x, y) f Y (t x)dt Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 23

24 Sumário 1 O Experimento Aleatório / Espaço de Amostras 2 Algebra de eventos e axiomas 3 Probabilidade condicional e teorema de Bayes 4 Variáveis Aleatórias 5 Médias 6 Processos Aleatórios 7 Média, Correlação e Covariância 8 Passagem do Processo Estacionário por um Sistema Linear 9 Densidade espectral de potência 10 Processo Gaussiano 11 Ruído Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 24

25 Valor Esperado Valor esperado de X E[X] = xf X (x)dx Valor esperado de g(x) E[g(X)] = g(x)f X (x)dx Teorema fundamental do valor esperado Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 25

26 Momentos Valor esperado de g(x) = X n E[X n ] = x n f X (x)dx Momentos centrais (momentos diferenças do valor esperado): E[(X µ x ) n ] = (X µ x ) n f X (x)dx O momento central de segunda ordem é a variância. VAR[X] = E[(X µ x ) 2 ] = E[X 2 ] (E[X]) 2 Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 26

27 Função característica Aplicando g(x) = e vjx, a função característica de X, φ X (v): φ X (v) = E[e jvx ] = f X (x)e jvx dx Análogo a transformada de Fourier, exceto pelo sinal da exponencial. v é análogo a 2πf e x é análogo a t. Então através de uma transformada inversa passamos da função característica para a função de densidade de probabilidade: f X (x) = 1 φ X (v)e jvx dx 2π Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 27

28 Momentos conjuntos E[X i Y k ] = E[XY ] - Correlação de X e Y. x i y k f X,Y (x, y)dxdy O momento central conjunto para i = k = 1 é chamado de covariância: COV[XY ] = E[(X E[X])(Y E[Y ])] = E[XY ] E[X]E[Y ] Para ter uma variável normalizada da correlação, cria-se o coeficiente de correlação: COV [XY ] ρ XY = σ X σ Y Ex: testar a correlação de V.A.s independentes. Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 28

29 Sumário 1 O Experimento Aleatório / Espaço de Amostras 2 Algebra de eventos e axiomas 3 Probabilidade condicional e teorema de Bayes 4 Variáveis Aleatórias 5 Médias 6 Processos Aleatórios 7 Média, Correlação e Covariância 8 Passagem do Processo Estacionário por um Sistema Linear 9 Densidade espectral de potência 10 Processo Gaussiano 11 Ruído Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 29

30 Sinais Aleatórios - Introdução Probabiĺıstico Fonte aleatória Ruído do canal Potência Densidade de Potência Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 30

31 Definição Matemática Varia no tempo Valor exato imprevisível Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 31

32 Processo Aleatório Um processo aleatório, observado num instante de tempo é uma variável aleatória Processo Aleatório: conjunto indexado de V.A. onde o índice é o tempo Para uma V.A: o resultado de um experimento aleatório é associado a um número Para um processo aleatório: o resultado de um experimento aleatório é associado a uma forma de onda que é uma função do tempo Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 32

33 Definição Matemática X(t, s), T t T 2T - Tempo total de observação x j (t) = X(t, s j ) O Processo Estocástico É um conjunto de funções no tempo trazendo uma regra de probabilidade. Essa probabilidade traz a probabilidade para qualquer evento significativo de uma amostra das funções do processo aleatório Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 33

34 Processos Aleatórios: Caracterização Estatística Função de Distribuição Conjunta: F X(t1 )X(t 2 ) X(t k )(x 1, x 2,..., x k ) Processo Aleatório Estacionário: A sua caracterização estatística é independente do tempo em que a observação do processo é iniciada F X(t1 +τ)x(t 2 +τ) X(t k +τ)(x 1, x 2,..., x k ) = F X(t1 )X(t 2 ) X(t k )(x 1, x 2,..., x k ) Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 34

35 Sumário 1 O Experimento Aleatório / Espaço de Amostras 2 Algebra de eventos e axiomas 3 Probabilidade condicional e teorema de Bayes 4 Variáveis Aleatórias 5 Médias 6 Processos Aleatórios 7 Média, Correlação e Covariância 8 Passagem do Processo Estacionário por um Sistema Linear 9 Densidade espectral de potência 10 Processo Gaussiano 11 Ruído Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 35

36 Média, Correlação e Covariância Média No instante t: µ X (t) = E [X(t)] = Sendo estacionário: µ X (t) = µ X para todo t Autocorrelação R X (t 1, t 2 ) = E [X(t 1 )X(t 2 )] = x 1 x 2 f X(t1)X(t 2)(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 xf X(t) (x)dx Se o processo for estacionário: R X (t 1, t 2 ) = R X (t 2 t 1 ) = R X (τ) para todo t 1 e t 2, onde τ = t 2 t 1 Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 36

37 Média, Correlação e Covariância Autocovariância de um processo estritamente estacionário: C X (t 1, t 2 ) = E [(X(t 1 ) µ X ) (X(t 2 ) µ X )] = R X (t 2 t 1 ) µ 2 X Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 37

38 Propriedades da Autocorrelação Definimos a autocorrelação de um processo estacinoário como: R X (τ) = E [X (t + τ) X(t)] para todo t Média Quadrática R X (0) = E[X 2 (t)] Autocorrelação é uma função par R X (τ) = R X ( τ) A autocorrelação é máxima para τ = 0 R x (τ) R x (0) O sinal aleatório varia mais rapidamente se a autocorrelação decai rapidamente em função de τ Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 38

39 Exemplo: Onda Senoidal com Fase Aleatória Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 39

40 Exemplo: Onda Senoidal com Fase Aleatória Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 40

41 Exemplo: Sequência Binária Aleatória R X (τ) = { [ ] A 2 1 τ, τ < T T 0, τ T } Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 41

42 Correlação Cruzada Quando queremos testar dois sinais em intervalos de tempo distintos. Aplicações em radar, processamento dos sinais, sincronismo. R XY (t, y) = E[C(t)Y (u)], R XY (τ) quando τ = t u Ex: Processos modulados em quadratura. Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 42

43 Ergodismo Um processo estocástico pode ter uma média em relação as amostras µ X e não varia para o valor de t para um processo estacionário Um processo estocástico também tem uma média no tempo para uma realização x(t), µ x (T ) calculada num intervalo T : A variável é ergótica se: lim T µ x(t ) = µ X lim T var [µ x(t )] = 0 Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 43

44 Sumário 1 O Experimento Aleatório / Espaço de Amostras 2 Algebra de eventos e axiomas 3 Probabilidade condicional e teorema de Bayes 4 Variáveis Aleatórias 5 Médias 6 Processos Aleatórios 7 Média, Correlação e Covariância 8 Passagem do Processo Estacionário por um Sistema Linear 9 Densidade espectral de potência 10 Processo Gaussiano 11 Ruído Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 44

45 Passagem por um Sistema Linear Média Y (t) = h(τ 1 )X(t τ 1 )dτ 1 Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 45 [ ]

46 Passagem por um Sistema Linear - Média se E[X(t)] é finita para todo t e o sistema é estável: µ Y (t) = = h(τ 1 )E [X (t τ 1 )] dτ 1 h(τ 1 )µ X (t τ 1 )dτ 1 com x(t) um processo estacionário:µ X (t τ 1 ) = µ X µ Y = µ X h(τ 1 )dτ 1 = µ X H(0) h(τ 1 )dτ 1 = h(τ 1 )dτ 1 e j2π0τ dτ = H(0) Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 46

47 Passagem por um Sistema Linear - Média do quadrado (potência) Autocorrelaçao e Média Quadrática (potência) R Y (t, u) = E [Y (t)y (u)] R Y [ (t, u) = ] E h(τ 1 )X(t τ 1 )dτ 1 h(τ 2 )X(u τ 2 )dτ 2 Se E[X 2 (t)] é finito para todo t e o sistema é estável: R Y (t, u) = h(τ 1 )dτ 1 h(τ 2 )E [X(t τ 1 )X(u τ 2 )] dτ 2 = h(τ 1 )dτ 1 h(τ 2 )R X (t τ 1, u τ 2 )dτ 2 Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 47

48 Passagem por um Sistema Linear Sendo X(t) estacionário, a função de autocorrelação só depende de do intervalo das funções, nesse caso: (u τ 2 ) (t τ 1 ). Sendo assim e definindo τ = t u: (u τ 2 ) (t τ 1 ) = τ τ 1 τ 2 Dessa forma a autocorrelação de Y fica: R Y (τ) = E R Y (0) para τ = 0 fica: E[Y 2 (t)] = R Y (0) = h(τ 1 )h(τ 2 )R X (τ τ 1 + τ 2 )dτ 1 dτ 2 h(τ 1 )h(τ 2 )R X (τ 2 τ 1 )dτ 1 τ 2 Se a entrada de um sistema linear estável for um processo estacionário no sentido amplo a saída vai ser um processo estacionário no sentido amplo. Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 48

49 Sumário 1 O Experimento Aleatório / Espaço de Amostras 2 Algebra de eventos e axiomas 3 Probabilidade condicional e teorema de Bayes 4 Variáveis Aleatórias 5 Médias 6 Processos Aleatórios 7 Média, Correlação e Covariância 8 Passagem do Processo Estacionário por um Sistema Linear 9 Densidade espectral de potência 10 Processo Gaussiano 11 Ruído Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 49

50 Densidade espectral de potência Sinal aleatório - sem função definida A transformada de Fourier se aplica a uma função definida Função de densidade de probabilidade - é uma função fechada Para entender como um sinal aleatório se distribui na frequência: densidade espectral de potência Transformada de Fourier da função de autocorrelação de sinal aleatório Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 50

51 Definição matemática S X (f) = R X (τ) = R X (τ)e j2πfτ dτ S X (f)e j2πfτ df Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 51

52 Densidade Espectral de Potência: Propriedades 1 S X (0) = R X (τ) dτ O valor da densidade espectral de potência para a frequência zero é a área abaixo função de autocorrelação 2 E [ X 2 (t) ] = S X (f) df A média quadrática de um processo estacionário é a área abaixo da densidade espectral de potência 3 S X (f) 0 para todo f A densidade espectral de potência é sempre não negativa 4 S X ( f) = S X (f) se o processo aleatório for real A densidade espectral de potência de um sinal real é uma função par Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 52

53 DEP dos sinais - senoidal com fase aleatório e sinal binário aleatório Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 53

54 Exemplo: Onda senoidal com fase aleatória R X (τ) = A2 2 cos(2πf cτ) S X (f) = A2 4 [δ(f f c) + δ(f + f c )] S X (f)df = A2 2 Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 54

55 Exemplo: Sequência Binária Aleatória R X (τ) = { [ ] A 2 1 τ, τ < T T 0, τ T } S X (f) = A 2 T sinc 2 (ft ) Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 55

56 Ex: mistura de processo aleatório com proc. senoidal Análise da DEP do produto de um proc. aleatório X(t) por um cosseno de fase aleatória cos(2πf c t + Θ) onde, Θ é uma V.A. uniforme de [0, 2π] R Y (τ) = E[Y (t + τ)y (t)] = E[X(t + τ) cos(2πf c t + 2πf c τ + Θ)X(t) cos(2πf c t + Θ)] = E[X(t + τ)x(t)]e[cos(2πf c t + 2πf c τ + Θ) cos(2πf c t + Θ)] = 1 2 R X(τ)E[cos(2πf c τ) + cos(4πf c t + 2πf c τ + 2Θ)] = 1 2 R X(τ) cos(2πf c τ) S Y (f) = 1 4 [S X(f f c ) + S X (f + f c )] Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 56

57 Potência do sinal e passagem por filtro - análise na frequência O sinal na frequência é a transformada de R Y (τ) S Y (f) = R Y (τ) = R Y (τ)e j2πfτ dτ Aplicando a transformada: S Y (f) = h(τ 1 )h(τ 2 )R X (τ τ 1 + τ 2 )dτ 1 dτ 2 h(τ 1 )h(τ 2 )R X (τ τ 1 + τ 2 )e j2πfτ dτ 1 dτ 2 dτ Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 57

58 Potência do sinal e passagem por filtro - análise na frequência Substituindo τ por τ = τ 0 + τ 1 τ 2, podemos fazer cada integral se tornar uma transformada de Fourier. τ 0 = τ τ 1 + τ 2, dτ 0 /dτ = 1 S Y (f) = h(τ 1 )h(τ 2 )R X (τ 0 )e j2πf(τ 0+τ 1 τ 2 ) dτ 1 dτ 2 dτ 0 Expandindo a exponencial cada uma das funções pode ser integrada individualmente: S Y (f) = h(τ 1 )e j2πfτ 1 dτ 1 h(τ 2 )e j2π( f)τ 2 dτ 2 R X (τ 0 )e j2πfτ 0 dτ 0 S Y (f) = H(f)H( f)s X (f) = H(f)H(f) S X (f) Resultado da potência é integrar a DEP: E[Y 2 (t)] = S X (f) H(f) 2 df Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 58

59 Potência do sinal e passagem por filtro E [ Y 2 (t) ] = H(f) 2 S X (f)df O valor médio quadrático (potência) da saída de um filtro linear estável invariante no tempo em resposta a um processo estacionário é igual à integral sobre todas as frequências da densidade espectral de potência do processo de entrada multiplicada pelo módulo da resposta do filtro elevada ao quadrado Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 59

60 Sumário 1 O Experimento Aleatório / Espaço de Amostras 2 Algebra de eventos e axiomas 3 Probabilidade condicional e teorema de Bayes 4 Variáveis Aleatórias 5 Médias 6 Processos Aleatórios 7 Média, Correlação e Covariância 8 Passagem do Processo Estacionário por um Sistema Linear 9 Densidade espectral de potência 10 Processo Gaussiano 11 Ruído Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 60

61 Processos Gaussianos f Y (y) = 1 exp [ (y µ Y ) 2 ] 2πσY 2σ 2 Y Característica da gaussiana: Y (T ) = T 0 g(t)x(t), Y (T ) é a funcional de X(t) Se Y (T ) for gaussiana, X(t) será gaussiana. Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 61

62 Processos Gaussianos Distribuição normalizada a média 0 e variância 1: f Y (y) = 1 ] exp [ (y)2 2π 2 Teorema do Limite Central O efeito soma devido a um grande número de causas independentes tende a um processo Gaussiano: Y = X 1 + X X n Gaussiana para n Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 62

63 Propriedades de um Processo Gaussiano, X(t) 1 Quando X(t) passa por um sistema LIT, o processo de saída continua sendo Gaussiano 2 Considerando um conjunto de V.A., X(t 1 ), X(t 2 ),..., X(t n ), resultantes da observação de X(t) em t 1, t 2,..., t n, se X(t) for Gaussiano, esse conjunto de V.A. será conjuntamente Gaussiano n 3 Se as V.A. X(t 1 ), X(t 2 ),..., X(t n ) de um processo Gaussiano não são correlacionadas, ou seja, se E [( X(t k ) µ X(tk )) ( X(ti ) µ X(ti ))] = 0, i k então essas V.A. são estatisticamente independentes Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 63

64 Sumário 1 O Experimento Aleatório / Espaço de Amostras 2 Algebra de eventos e axiomas 3 Probabilidade condicional e teorema de Bayes 4 Variáveis Aleatórias 5 Médias 6 Processos Aleatórios 7 Média, Correlação e Covariância 8 Passagem do Processo Estacionário por um Sistema Linear 9 Densidade espectral de potência 10 Processo Gaussiano 11 Ruído Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 64

65 Ruído Ruído Sinais indesejáveis que perturbam a transmissão e o processamento de sinais no receptor e que são incontroláveis Fontes externas: ruído atmosférico, galáctico e ruído provocado pelo homem Fontes internas: flutuações espontâneas de corrente ou tensão em circuitos elétricos Ruído Impulsivo: Resulta da natureza discreta da corrente Ruído Térmico: Resulta do movimento aleatório de elétrons em um condutor. Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 65

66 Modelo Equivalente de Ruído Térmico E[VT 2 N ] = 4kT R f(volts)2 k Constante de Boltzmann (k = 1, Joules/K) T Temperatura em K R Resistência em Ohms f Largura de banda em Hz Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 66

67 Ruído Branco Ruído Branco: Forma idealizada cuja densidade espectral de potência é independente da frequência de operação (contém frequência e potência infinita). Temperatura equivalente de ruído do receptor (N 0 = kt e ) Temperatura de um resistor ruidoso de tal maneira que quando conectado a versão de um sistema sem ruído, produz o mesmo ruído na saída que as o sistema produz com as fontes de ruído reais do sistema.

68 Exemplo: Ruído na saída de um filtro passa-baixas ideal S N (f) = R N (τ) = { N0 2, B < f < B 0, f > B N 0 2 ej2πfτ df = N 0 B sinc(2bτ) Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 68

69 Exemplo: Ruído na saída de um filtro passa-baixas RC 1 H(f) = 1 + j2πfrc N 0/2 S N (f) = 1 + (2πfRC) = 2 H(f) 2 N0 2 a2 exp( a τ ) a 2 + (2πf) 2 ( R N (τ) = N0 4RC exp τ ) RC Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 69

70 Banda equivalente de ruído Considera-se a resposta em frequência do sistema e integra-se a potência total de ruído. Transformando essa superfície total (potência), em um retângulo têm-se o quadrado reposta do sistema em DC H 2 (0) multiplicando uma banda equivalente de ruído 2B N out = N0 H(f) 2, df 2 = N 0 H(f) 2, df 0 N out = N 0BH 2 (0) B = 0 H(f) 2, df H 2 (0) Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 70

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