Teoria das Comunicações Profs. André Noll Barreto / Judson Braga. Prova /2 (16/10/2014)

Transcrição

1 Prova 014/ (16/10/014) Aluno: Matrícula: Instruções A prova consiste de quatro questões discursivas A prova terá a duração de h00 A prova pode ser feita a lápis ou caneta Não é permitida consulta a notas de aula, todas as fórmulas necessárias são fornecidas no final da prova. Toda resposta deverá estar contida nas folhas da prova. Folhas adicionais serão fornecidas caso necessário, e, caso entregues, devem conter o nome e matrícula do aluno, mas o professor não se responsabiliza por eventuais perdas. Calculadoras podem ser utilizadas, mas todas as contas e respostas devem ser justificadas Questão Q1 Q Q3 Q4 Total Nota

2 Questão 1 (,5 pontos) Um sinal em forma de escada m(t) = ((n mod 4)-3)rect ( t nt s ) T s n= em que mod é a função módulo (resto da divisão), é modulado em AM (DSB+C). a) Qual a amplitude da portadora e qual a eficiência de potência desta modulação, considerando um índice de modulação igual a 0,8? (1 ponto) O sinal pode ser representado por uma escada com níveis -3,-1, 1 e 3, que se alternam periodicamente a intervalos Ts. Este sinal tem uma potência P m = 1 4 [( 3) + ( 1) ] = 5. A amplitude da portadora é A = m p = 3 = 3,75 μ 0,8 A eficiência é = P m P m +A = 5 = 0,6 5+(3,75) b) Qual seria a eficiência de um sistema DSB-SC? (0,8 ponto) Em um sistema DSB-SC a amplitude da portadora é nula, e portando a eficiência é de 100% c) Por que é utilizado DSB+C em rádios AM comerciais? (0,7 ponto) Apesar de sua baixa eficiência o DSB+C permite a detecção por envelope, sem a necessidade de detecção coerente.

3 Questão (,5 pontos) Um receptor de TV deve ser sintonizado entre os canais VHF de 7 a 13, cujas frequências (em MHz) são definidas na tabela abaixo. Canal Freq. Mínima Portadora de Vídeo Portadora de Áudio Freq. Máxima É utilizado um receptor super-heteródino, que emprega como filtro de imagem um filtro passabaixa ideal com frequência de corte igual a 0MHz. a) Qual a frequência intermediária mínima que pode ser utilizada? (1,5 ponto) Como o filtro de imagem é um filtro passa-baixa, podemos deduzir que f LO = f c + f I. Agora, o canal vai de f 1 = f c 1,5M a f = f c + 4,75M. Após a conversão em frequência o sinal vai estar entre f = f LO f = f I 4,75M e f 1 = f LO f 1 = f I + 1,5M. O pior caso seria a interferência de um sinal em 0MHz, que não foi filtrado, no canal 7. Após a conversão em frequência, queremos portanto que 0M f LO = 0M f C f I f I 4,75M e, com f c = 175,5M, temos que f I 4,75MHz b) Qual a frequência do oscilador local caso seja sintonizado o canal 9? Em que frequência vai cair a portadora de áudio após a conversão de frequência? (1 ponto) Uma vez que f im = f c + f I sabemos que f LO = f c + f I =187,5MHz+4,75MHz = 1MHz Após a multiplicação da portadora de áudio f au pelo oscilador local teremos dois componentes, em f au ± f LO = 191,75MHz ± 1MHz. Como a frequência mais alta será filtrada, teremos f I,au = 0,5MHz.

4 Questão 3 (,5 pontos) Os sinais m 1 (t) = cos(1000πt) sin (1500πt) e m (t) = cos(800πt π/4) + sin (000πt) devem ser transmitidos em paralelo, utilizando um de dois esquemas possíveis a) Enviando o sinal m 1 em LSB e o sinal m em USB b) Utilizando-se QAM Nos dois casos i) Escreva a expressão para o sinal modulado, para uma portadora de frequência igual a 10kHz. Esboce o espectro de fase e amplitude do sinal modulado. (1,3 ponto) a) Sabendo que no sinal USB (LSB) enviamos apenas a parte positiva (negativa) do espectro de m 1, deslocado para f c, e lembrando que a fase da parte negativa é o contrário da fase da parte positiva, temos que: φ SSB = cos(19000πt) + sin(18500πt) + cos(0800πt π 4 ) + sin (000πt) Φ SSB (f) ; Φ SSB (f) π 1 π 11k 10,4k 9,5k 9,5k 9,5k 9,5k 10,4k 11k f [Hz] π/4 π/ b) Já no QAM um sinal é modulado com um cosseno e outro com um seno (ou seja, com -/ de fase), e supondo m1 com o cosseno e m com o seno, teremos φ QAM = cos(1000πt) + cos(19000πt) sin(1500πt) + sin(18500πt) + cos(0800πt 3π 4 ) + cos(1900πt π 4 ) cos(000πt) + cos (18000πt)

5 π Φ QAM (f) ; Φ QAM (f) 3π/4 π/ 1/ π/4 f [Hz] 11k 10,5k 10,75k 10,4k 9,6k 9,5k 9,5k 9k π/4 9k 9,5k 9,5k 9,6k 10,4k 10,75k 10,5k 11k π/ 3π/4 π ii) Nos casos, determine os sinais demodulados caso tenhamos no receptor um erro de fase de 45 graus. (1, ponto) a) Devemos filtrar o sinal, separando a USB da LSB, e multiplicá-lo pela portadora, neste caso com erro de fase, cos (πf c t + π 4), e filtrá-lo na recepção. Teremos então m 1(t) = cos(1000πt + π 4) sin (1500πt + π/4) m (t) = cos(800πt) + sin (000πt π/4) ou seja, teremos o sinal original defasados ±π/4. b) Neste caso multiplicamos o sinal pela portadora (cos) em um ramo e pela portadora defasada (sen) em outro ramo, e filtramos na recepção. Sendo assim, enviamos o sinal φ(t) = m 1 (t) cos(πf c t) + m (t)cos(πf c t π/) Ao multiplicarmos o sinal por cos (πf c t + π/4) e filtrá-lo, teremos m 1(t) = m 1 (t) cos ( π 4 ) + m (t) cos ( 3π 4 ) = (m 1(t) m (t)) Ao multiplicarmos o sinal por sin (πf c t + π ) = cos (πf 4 ct π ) e filtrá-lo, teremos 4 m (t) = m 1 (t) cos(π/4) + m (t)cos(π/4) = (m 1(t) + m (t))

6 Questão 4 (,5 pontos) Um sinal m(t) = cos(500πt) + sin (3000πt) é transmitido por meio de modulação FM. 1 f < 1kHz Considerando que é utilizado um filtro de pré-ênfase H p (f) = { f antes da j f 1kHz 1000 modulação em FM, a) qual o máximo valor do parâmetro k f para que a largura de banda do sinal modulado φ FM(t) seja menor que 00kHz? (1 ponto) m FM FM F p (t) = m(t) h p (t) FM Mp (f) = M(f)H FM p (f) Sendo M(f) = δ(f 50)+δ(f+50) + δ(f 1500) δ(f+1500) e j 1 f < 1 khz H FM p (f) = { f j f 1 khz 1000 M FM p (f) = δ(f 50)+δ(f+50) + [δ(f 1500)+δ(f+1500)] m p FM (t) = cos(π50t) + 3cos (π1500t) max( m p FM (t) ) = = 4 B FM = (Δf + B m ) 00k = (4k f + 1,5k); k f = 465 Hz/V b) Se em vez de um modulador FM tivéssemos um modulador PM, qual deveria ser o filtro de pré-ênfase para termos o mesmo sinal φ FM(t) na saída? (1 ponto) F 1 Sendo φ FM (t) = A cos(πf c t + k ω m p FM (τ)dτ) e φ PM (t) = A cos (πf c t + k p m p PM (t)) Para que φ FM (t) = φ PM (t), k ω m p FM (τ)dτ = k p m p PM (t) F M p PM (f) M p FM (f) = k ω k p jπf Usando { m p FM (t) = m(t) h FM p (t) F M FM p (f) = M(f)H FM p (f) m PM p (t) = m(t) h PM p (t) F M p PM (f) M PM p (f) = M(f)H PM p (f) E, portanto, H p PM (f) = k ω k p jπf H p FM (f) j Então H PM p (f) = { k ω πf k p k ω 000π k p = H p PM (f) M FM p (f) H FM p (f) f < 1 khz j k f f < 1 khz f 1 khz ou H p PM f k p (f) = { k f f 1 khz 1000 k p c) Por que deve ser aplicado o filtro de pré-ênfase em um sinal FM? (0,5 ponto) Porque em um sinal FM demodulado o ruído cresce linearmente com a frequência, e, desta forma, o filtro de pré-ênfase produz ganhos em m(t) em frequências que normalmente são mais afetadas pelo ruído de fase do sinal FM após a demodulação. Outra maneira de se ver é considerando que, por outro lado, em um sinal PM demodulado, o ruído independe da frequência, e o filtro de pré-ênfase faz com que a partir de certa frequência o sinal comporte-se como PM.

7 Fórmulas Úteis Identidades Trigonométricas: sin(x) = sinxcosx cos(x) = cos x sin x sin x + cos x = 1 cos x = 1 (1 + cosx) sin x = 1 (1 cosx) sin(x ± y) = sinxcosy ± cosxsiny cos(x ± y) = cosxcosy sinxsiny tanx ± tany tan(x ± y) = 1 tanxtany acosx + bsinx = a + b cos(x + tan 1 ( b/a)), se a > 0 Tabela de Transformadas de Hilbert: g(t) H g h (t) = 1 π g(α) t α dα g h (t) H g(t) sin (t) H cos (t) cos (t) H sin (t) 1 t H t + 1 t + 1 H 1 cos (t) sinc(t) t δ(t) H 1 πt rect(t) H 1 π ln t + 1 t 1 Regra de Carson B (Δf + B), f = max f i (t) f c

8 Tabela de Transformadas de Fourier: g(t) = G(f)e jπft df F G(f) = g(t)e jπft dt δ(t) F 1 1 F δ(f) t n e at F n! u(t) (a + jπf) n+1 e a t F a a + 4π f e jπf 0t F δ(f f 0 ) cos(πf 0 t) F 1 [δ(f f 0) + δ(f + f 0 )] sin(πf 0 t) F 1 j [δ(f f 0) δ(f + f 0 )] u(t) F 1 δ(f) + 1 jπf sgnt F 1 jπf rect ( t τ ) F τ sinc(πfτ) sinc(πbt) F 1 B rect(f/b) Δ ( t τ ) τ F sinc ( πfτ ) F 1 δ(t nt) n= T n δ (f n= T ) k 1 g 1 (t) + k g (t) F k 1 G 1 (f) + k G (f) G(t) F g( f) g(at) F 1 a G (f a ) g(t t 0 ) F G(f)e jπft 0 g(t)e jπf 0t F G(f f 0 ) g 1 (t) g (t) F G 1 (f)g (f) g 1 (t)g (t) F G 1 (f) G (f) d n g(t) dt n F (jπf) n G(f) t F G(f) g(x)dx jπf + 1 G(0)δ(f)