PRE29006 LISTA DE EXERCÍCIOS #

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1 INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA CAMPUS SÃO JOSÉ COORDENADORIA DE ÁREA DE TELECOMUNICAÇÕES ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES PRE9006 LISTA DE EXERCÍCIOS #3 06. Exercícios. [, Exercício 7.] Seja A uma variável aleatória uniforme no intervalo [0, ]. Considere o processo estocástico X(t) = e At. Calcule a função média e a função autocorrelação do processo X(t).. [, Exercício 7.] Considere o processo estocástico X(t) definido por X(t) = At + b, onde A é uma variável aleatória Gaussiana de média nula e variância unitária e b é uma constante qualquer. (a) Determine a função média e a função variância do processo X(t). (b) Determine a função densidade de probabilidade de primeira ordem do processo, ou seja, determine f X(t) (x). (c) Determine a função autocorrelação e a função autocovariância do processo X(t). 3. Considere o processo estocástico X(t) = A rect(t), em que A é uma variável aleatória discreta que assume os valores 0, e com igual probabilidade. (a) Esboce todas as possíveis realizações (isto é, funções-amostra) de X(t). (b) Determine a função densidade de probabilidade de primeira ordem de X(t). (c) Determine a função média de X(t). (d) Determine a função autocorrelação de X(t). (e) O processo X(t) é estacionário no sentido amplo? Justifique.

2 4. Sejam A e B variáveis aleatórias independentes tais que A é uniformemente distribuída no intervalo [, +] e B é discreta com Pr[B = ] = Pr[B = +] = /. Seja também X(t) um processo estocástico definido por X(t) = At + B. (a) Determine a função média e a função autocorrelação do processo X(t). (b) O processo X(t) é estacionário no sentido amplo? Justifique. 5. Seja B[k] um processo estocástico (de parâmetro discreto) em que B[k] Bernoulli(p), para todo k, com B[k ] independente de B[k ] para k k. Seja a, se B[k] = 0, X[k] = +a, se B[k] =, onde a é uma constante. Calcule a função média e a função autocorrelação de X[k]. 6. [, Exercícios 7.0, 7.] (a) Determine a densidade espectral de potência S X (f) de um processo estocástico X(t), estacionário no sentido amplo, com função autocorrelação dada por onde α é uma constante positiva. R X (τ) = e ατ, (b) Determine a função autocorrelação R X (τ) de um processo estocástico X(t), estacionário no sentido amplo, com densidade espectral de potência dada por S X (f) = [ + (πf) ]. 7. [, Exercício 7.] Um processo estocástico X(t) é dado por X(t) = A cos(πf t + Θ), onde A, F e Θ são variáveis aleatórias estatisticamente independentes tais que: A tem média µ A e variância σ A. F é uniformemente distribuída no intervalo [0, f 0 ]. Θ é uniformemente distribuída no intervalo [0, π]. (a) Determine a função média e a a função autocorrelação de X(t). Conclua que X(t) é estacionário no sentido amplo. (b) Determine a potência média de X(t). (c) Determine a densidade espectral de potência de X(t).

3 8. [3, Example 9.4] (Modulação AM-DSB-SC) Seja M(t) um processo estocástico estacionário no sentido amplo com média µ M, função autocorrelação R M (τ) e densidade espectral de potência S M (f). Determine a função média, a função autocorrelação e a densidade espectral de potência de X(t) = M(t) cos(πf c t + Θ), onde Θ Unif(0, π) e f c é uma constante. Considere M(t) e Θ independentes. 9. [3, Example 9.] (Ruído branco após filtragem passa-baixa) Determine a função autocorrelação R X (τ) e a potência média P X de um processo estocástico estácionario no sentido amplo X(t) cuja densidade espectral de potência é dada por onde n 0 e f 0 são constantes positivas. n 0 /, se f < f 0, S X (f) = 0, caso contrário. 0. [, Problems 8.8, 8.9] Determine e esboce a função autocorrelação e a função densidade espectral de potência do sinal na saída de um sistema linear invariante no tempo com resposta ao impulso h(t), supondo na entrada ruído branco X(t) com média nula e função autocorrelação R X (τ) = (n 0 /)δ(τ), para: e t/t 0, se t 0, (a) h(t) = t 0 0, caso contrário; Considere que n 0 e t 0 sejam constantes positivas., se 0 t t 0, (b) h(t) = t 0 0, caso contrário.. [, Exemplo 7.8] Considere um processo estocástico de ruído branco X(t) com média nula e densidade espectral de potência dada por S X (f) = n 0 /, onde n 0 é uma constante positiva. Determine a média, a função autocorrelação, a densidade espectral de potência e a potência média do processo estocástico Y (t) obtido pela passagem de X(t) através do filtro RC mostrado abaixo. + R + X(t) C Y (t). [, Exercício 7.6] Um processo estocástico gaussiano X(t) tem média nula e função autocorrelação R X (t, t ) = t t. 3

4 Uma pessoa que desconhece o valor da média do processo X(t) e que tem acesso a uma função amostra do mesmo resolve estimar esta média por M = X(0) + X() + X(). 3 Note que M é uma variável aleatória. Determine a probabilidade de que o módulo do erro cometido exceda o valor, ou seja, determine Pr[ M > ]. 3. [, Exercício 7.7] Seja X(t) um processo estocástico gaussiano de média nula e função autocorrelação dada por R X (t, t ) = a e t t, onde a é uma constante positiva. Sabe-se que a variável aleatória X(0), definida no instante t = 0, excede o valor 6 com probabilidade 0,3499%. Seja onde b é uma constante. (a) Determine o valor da constante a. Y (t) = X(t) + X(t b), (b) Determine a função média e a função autocorrelação do processo Y (t), concluindo sobre sua estacionariedade no sentido amplo. (c) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson entre Y (0) e Y (), para b =. 4. [, Exercício 7.3] Um processo estocástico gaussiano X(t) tem função média µ X (t) = e função autocorrelação R X (τ) = δ(τ). O processo X(t) passa através de um sistema linear cuja resposta ao impulso é dada por h(t) = e t u(t), (onde u(t) denota a função degrau unitário), resultando no processo estocástico Y (t). Determine a função densidade de probabilidade das variáveis aleatórias Y (0) e Y (), ou seja, determine f Y (0),Y () (y 0, y ). 5. Seja X[k] um processo estocástico de parâmetro discreto, em que..., X[ ], X[ ], X[0], X[], X[],... são variáveis aleatórias gaussianas i.i.d. (independentes e identicamente distribuídas) de média 0 e variância. Seja Y [k] = X[k] X[k ]. 4

5 (a) Determine e esboce a função autocovariância de Y [k], em função de l = k k. (b) Determine a função densidade de probabilidade de Y [8]. (c) Calcule Pr[Y [8] > 0 Y [6] > 0]. 6. Considere um processo estocástico de tempo discreto X[k], definido por X[k] = ax[k ] + W [k], para k =,,..., X[0] = 0, onde W [], W [],..., são variáveis aleatórias, todas de média µ W. (a) Determine a função média de X[k], para a =. (b) Determine a função média de X[k], para a =. (c) O processo é estacionário no sentido amplo? Justifique. Exercícios complementares. Demonstre os seguintes fatos. (a) Se X(t) é estacionário de ordem n, então X(t) é estacionário de ordem n. (Por simplicidade, prove para o caso particular n = 3.) (b) Se X(t) é estacionário de ā ordem, então X(t) é estacionário no sentido amplo. (Como visto em sala de aula através de um contra-exemplo, a recíproca é falsa!). Seja R X (τ) a função autocorrelação e S X (f) a densidade espectral de potência de um processo estocástico real X(t) estacionário no sentido amplo. Mostre que: (a) R X (τ) é par, isto é, R X (τ) = R X ( τ). (b) R X (0) = E[X (t)] = P X [potência média de X(t) = valor médio quadrático de X(t)]. (c) R X (τ) assume seu valor máximo em τ = 0. (Dica: Utilize a desigualdade de Cauchy-Schwarz para o valor esperado: E[XY ] E[X ]E[Y ].) (d) S X (f) = R X (τ) cos(πfτ)dτ. 0 (Dica: Utilize o teorema de Wiener-Khinchin e a fórmula de Euler.) (e) S X (f) é real e par. (Dica: Utilize os itens (a) e (d).) (f) S X (f) 0, para todo f. Referências [] J. P. A. Albuquerque, J. M. P. Fortes, and W. A. Finamore, Probabilidade, Variáveis Aleatórias e Processos Estocásticos. Editora Interciência, 008. [] S. M. Kay, Intuitive Probability and Random Processes using MATLAB R. Springer, 006. [3] B. P. Lathi and Z. Ding, Modern Digital and Analog Communication Systems, 4th ed. Oxford University Press,

6 Respostas. µ X (t) = e t t e R X (t, t ) = e (t+t) t + t.. (a) µ X (t) = b, σx (t) = t4. (b) f X(t) (x) = (x b) e t 4. πt (c) R X (t, t ) = t t + b, K X (t, t ) = t t. 3. (a) 0, rect(t), rect(t). (b) f X(t) (x) = 3 δ(x) + 3 δ(x ) + δ(x ), se t /, 3 δ(x), caso contrário. (c) µ X (t) = rect(t). (d) R X (t, t ) = 5 3 rect(t ) rect(t ). (e) Não. 4. (a) µ X (t) = 0, R X (t, t ) = 3 t t +. (b) Não. 5. µ X [k] = a(p ), R X [k, k ] = 6. (a) S X (f) = { a, se k = k, a (p ), caso contrário. π (πf) α e α. (b) R X (τ) = 4 (e τ ) (e τ ) = 4 ( + τ )e τ. 7. (a) µ X (t) = 0 e R X (t, t ) = σ A + µ A sinc ( f 0 (t t ) ). (c) S X (f) = σ A + ( ) µ A f rect. 4f 0 f 0 (b) P X = σ A + µ A. 8. µ X = 0, R X (τ) = R M (τ) cos(πf c τ) e S X (f) = 4 [S M (f + f c ) + S M (f f c )]. 9. R X (τ) = n 0 f 0 sinc(f 0 τ) e P X = n 0 f (a) R Y (τ) = n 0 e τ 4t 0 t 0 e S Y (f) = n 0 + (πt 0 f). (b) R Y (τ) = n 0 t 0 tri. µ Y = 0, R Y (τ) = n 0 τ n 0 / 4RC e RC, S Y (f) = + (πrcf), P Y = n 0 4RC.. Q( 8/) = 0,0 ( τ t 0 ) e S Y (f) = n 0 sinc (t 0 f). 3. (a) a = 4. (b) µ Y (t) = 0, R Y (t, t ) = 8e τ + 4e τ b + 4e τ+b, onde τ = t t. (c) 0,5. [ ] ([ ] [ ]) Y (0) 3 4 e 4 4. N,, de onde pode ser obtido f Y () e 3 Y (0),Y () (y 0, y ). 4 4, se l = 0, 5. (a) R Y [l] =, se l = ±, (b) f Y (8) (y) = e y 4. (c) π. 0, caso contrário. 6. (Em breve.) Obs.: rect(x) = {, se x /, 0, caso contrário; tri(x) = { x, se x, 0, caso contrário; sinc(x) = sen(πx). πx 6